东北大学机械学院机电系统与非线性振动控制课程大作业

《机电系统及其控制过程中的非线性振

动》课程报告

姓名：

学号：

指导教师：姚红良

时间：2016年7

月

对非线性振动课程的理解和认识 (1)

0前言 (1)

1含立方项非线性方程的椭圆函数解 (1)

2具体算例 (2)

2.1线性谐振子 (3)

2.2立方非线性振动 (3)

2.3杜芬系统的自由振动 (3)

3解析解与数值解结果的比较 (4)

3.1程序设计 (4)

3.2数值实验结果 (5)

参考文献: (5)

对非线性振动课程的理解和认识

0前言

立方项的非线性振动是物理学及工程应用中出现较多的一类非线性振动。立方项系数远小于线性项系数的杜芬方程,作为弱非线性的典型代表,得到了非常广泛的应用。近年来, 有关含?立方项的强作线性实际振动系统的研究越來越多，如双弹簧振子的横向振动、新材料中的纳米机械共振子的振动及悬索的振动等。描述这些振动系统的微分方程中，线牲项常常小于立方项，甚至仅存在立方项。

为了解决强非线性振动在工程设计中的实际应用，出现了诸如能量法、广义谐波函数平均袪、范式理论方法、同伦摄动法及迭代摄动法等多种强非线性振动系统周期解的近似求解方法。这些方法原则卜.都町以用来求解强立方非线性振动方程周期解，但只能得到近似结果。本文将依据弹性力作用下系统机械能守恒的原理，求解出一类含有线性项和立方项的非线性微分方程的楕确解析解。

1含立方项非线性方程的椭圆函数解

常见的含立方项非线性口由振动微分方程町表示为：

策+比必+=0,

式中，kl^ 0, k2N 0是由振动系统性质决定的非负常数。为了方便，设初始条件为:

x(0) - A \x (0) = ()□

可化为:

xx + k}xx + k2x兀二(),

上式表明：方程表示的系统在振动过程中总机械能守恒。设总机械能为E,则在式中初始条件h E =斗仏/1' +十尼屮，从而；

■y-.v + ~k}x ++尼.丫’ = ~kiA' ++他/。

匕式?表明：系统的相图为闭合凸曲线，则式(1)的解町设为：

x = 4cos 3o

将上式求导得:

是模为入，参数为o 的勒让徳第一类椭圆积分，其反函数为:

0 二 am(Ls A )。

代入可得:

x = Acos [am (Ls A) ] = .4cn (A G A) r

x = 一 L4sn (￡/, A)(ln (Lz, A) 0

其中sn 、cn 和dn 是雅可比椭圆函数。椭圆函数是双周期的亚纯函数。因此，由

LT

=4K( X)可以得振动系统的周期为：

T _ 4K (入)

/ — r 0

2具体算例

为了考察方程的解析解式的合理性，具休分析几个算例。

2. 1线性谐振子

代入得:

f)~ = k 、+ —A ：242 (1 + cos%) o

0 = [A* | 4- -yA*2/l 2 (1 + 丄

2 cosT)],

则上式可化为:

两端枳分得:

+ k.A 2 , A 2

J\ -入' Ldt o

()Jl -入'si 『0 F (弘入)=Lt,

Ldt

9

其中，F(0,

当k2=0时,化为：

? ?

X + k\X = Oo

代入可得：

x = /lcn ( yTptjO)二Acos y/k^C,

卞4/<(O)2TT

1 = --------- = ----- o

可以看出结果与众所周知的结果完全相同。

2. 2立方非线性振动

当ki=o时，化为:

X + A*2%3 = Oo

代入可得:

—Acn

4K（丄

匕式表明立方振子的周期与振幅成反比，比例系数由k2确定。这与己有的报道完全相同。

2. 3杜芬系统的自由振动

此时方程可以化为：

I 9° 3 c

X + 3&咒 + =U O

上式是杜芬系统自由振动微分方程，町采用多种近似方法进行求解。

(1 + G A 1) 2 ;

八一八 A =

[/2（1 + ~^7）]。

2（1 +胡?） 由于（）而.4冇限，囚而一般仃0 <胡2 <1。笫一类完全椭圆枳分的级数展开式为: 人3 =却 + 中〉+ （出）〉+???]-fLi

代入并忽略高阶小项后可得:

上式与采用多种近似计算得到的结果一致。 3解析解与数值解结果的比较

将方程采用MATLAB 的ode45函数进行四阶龙裕一库塔数值求解，将得到的振动曲线 与由方程计算得到的振动曲线在同一图中进行比较：同时，将数值解得到的相图与由推导公 式得到的相图在同一图中进行比较。

3. 1程序设计

用fun31. m 文件定义待求函数。

function f = fun31( t, y);

global kl k2;

f= [y( 2); — kl* y( 1) — k2*y(l)A 3];

在wwl. m 文件中实现解析解和数值解结果的比较。

clear; close all;

global kl k2;

kl = input( *kl =#);

k2 = input( *2 = ');

A = input( * A = 9 ；

I = (kl + k2* A A 2) A ( 1 ⑵；

m = ( k2* A A 2)/2/(kl + k2* A A 2);

t = 0: 0. 1: 50;

[yl. y2, y3] = ellipj(l. * t? m);

plot( t? y2. * A);

[tO, y] = ode45( 4fun31\ [0, 50], [A, 0]);

hold on

plot(tO, y(: , 1). 'r ------------ ');

T 4K (入) T =

^~ 4[1

-冷 3() X

xlabel( 4

t( s) 9 ) ? ylabelf *x(m) 9 ); pause

close all

plot( y2. * A> —I.拿 A ? * yl. * y3);

hold on

plot(y(: , 1), y(: , 2), 4r ---------------- );

xlabel( 4x( m)' ), ylabel( 'v(ms A —A l)* )<>

3- 2数值实验结果

采用以上程序进行数值实验发现：无论kl 、k2和A 如何取值，由方程得到的振动曲线 和相图与数值解得到的振动曲线和相图完全觅合。

图1是kl=ls-2, k2=lm-2s-2, A=lm 时方程的数值解（虚线）与解析解（实线）结果的 比牧。图la 足振动曲线的比牧，t 足时间，x 是位移。图lb 是相图的比牧，其中，x 农示位 移，v 表示速度。由图1可见:无论是振动曲线还是相图，解析解与数值解的曲线完全重介。 这充分说明椭圆函数型解式确实有效。

图1 解析解结果（实线〉与数佰祥结果（虚线）比较

综上所述，本文利用仅受弹性力作用的系统，其乱械能守恒的原理，桔确求解了一类含 线性项和立方项的非线性振动微分方程，并通过与常见的算例及一般情况下的数值解结果进 行对比，说明解析解是有效的.丰富了含立方项非线性振动的研究。

参考文献：

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[2] Tomasz K.面向工程的混沌学[M].施引,译.北京:国防工业出版社,2008:1-5.

[3] 刘延柱，陈立群.非线性振动[M].北京：高等教育出版社，2001:8-109.

[4] 何松林，黄燄，戴祖诚.对称双弹赞振子横向振动的复杂性研究[J].昆明学院学报， 2010. 32( 3):86-88.

Karabalin R B. Cross M C, Roukes M L. Nonlinear Dynamics and Chaos in Two Coupled

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[6] Che n Shengmi ng, Chen Zili, Luo Yingshe. Non-U near Dynamics A nalysis of in ?pla ne Motion for Suspended Cable UnderConcentrated Load [j]. J Cent South UnivTechnol, 2008, 15( si).

[7_ Yuriy A R? Marina V S. New Approach for the Analysis of Damped Vibratio no f Fractionl

（a ）援动曲线 1.5

1.0

卞°?5 ?

。

-0.5

-1.0

-1.5

（b ）相图