21.3 一元二次方程实际问题(类型总结)
九年级数学上册 第21章 一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程(第2课时 平均变化率与销售
整理方程，得 4x2+12x-7=0，
增长率不能为 负数，但可以超 过1.
解这个方程得 x1=-3.5（舍去），x2=0.5.
所以这个增长率为50%．
例3 电商平台发现：某款手机平均每天可售出20台，每台盈利 400元.为了迎接“双十一”，平台决定采取适当的降价措施，扩大 销售量来增加盈利，并尽快占领市场.经市场调查发现：如果每台 手机每降低40元，那么平均每天就可多售出8台.如果想要平均每天 通过销售这款手机盈利12000元，那么每台手机应降价多少元？
解方程，得 y1≈0.225，y2≈1.775. 根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为 22.5％.
第2课时 平均变化率与销售问题
问题1 药品年平均下降额（元）大能否说年平均下降率（百分 数）就大呢？
答：不能.甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000） ÷2=1000元，乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3600） ÷2=1200元.显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．但是， 两种药品的年平均下降率是一样的.
第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第2课时 平均变化率与销售问题
例1 两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的 进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，试求该药品成本的年 平均下降率是多少？
解：设甲种药品的年平均下降率为x.根据题意，列方程，得
5000 ( 1－x )2 = 3000， 解方程，得 x1≈0.225，x2≈1.775. 根据问题的实际意义，甲种药品成本的 年平均下降率约为22.5％.
两次下降后的值为a（1-x）2，n次下降后的值为a（1-x）ⁿ.
第2课时 平均变化率与销售问题
21.3一元二次方程与实际问题
1、传播问题：公式：(a+x)n=M 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？2、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？2、循环问题又可分为单循环问题1/2n(n-1)，双循环问题n(n-1)和复杂循环问题1/2n(n-3)a．参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？b.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人?c.一个正多边形，它共有20条对角线，问是几边形？3、平均率问题M=a(1±x)n，n为增长或降低次数 , M为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降低率4、商品销售问题常用关系式：售价—进价=利润一件商品的利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额利润率= 利润÷进价b\某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售2件，如果商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？5、数字问题：（！）两个相邻偶数的积是168，求这两个偶数。
（2）一个两位数，十位上数字与个位上数字之和为5；把十位上的数字与个位上数字互换后再乘以原数得736，求原来两位数．例、在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为540米2，道路的宽应为多少？解法一、如图，矩形地面面积为，设道路的宽为x米，则横向的路面面积为纵向的路面面积为如图，设路宽为x米，横向路面为纵向路面面积为。
21.3 实际问题与一元二次方程
21.3实际问题与一元二次方程第1课时用一元二次方程解决传播类问题知识要点基础练知识点1传播类问题1.有一个人患了流感,经过两轮传染后共有100人患了流感,设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人,则下列方程正确的是(C)A.1+x2=100B.x2=100C.(1+x)+x(1+x)=100D.(1+x)+(1+x)2=1002.今年冬天病毒性流感严重,巢湖一中的学生在一天中一个学生就能传染x个学生同时患上流感.若先有2人同时患上流感,2天后就有128个学生患上流感,则x的值为(C) A.11 B.6C.7D.8【变式拓展】有一个人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,按此传染速度若最初有4人患了流感,则第一轮传染后患上流感的总人数是44人.3.为了宣传环保,小明写了一篇倡议书,决定用微博转发的方式传播,他设计了如下的传播规则:将倡议书发表在自己的微博上,再邀请n个好友转发倡议书,每个好友转发倡议书之后,又邀请n个互不相同的好友转发倡议书,依此类推,已知经过两轮传播后,共有111人参与了传播活动,则n=10.知识点2握手问题4.合肥市第十五中学的同学毕业聚会时,每两个同学都握手一次,全班共握手36次,则参加这次同学聚会的有(C) A.7人 B.8人C.9人D.10人5.(天津中考)要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据时间和场地等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,设比赛组织者应邀请x个队参赛,则x满足的解析式为(B)A.x(x+1)=28B.x(x-1)=28C.x(x+1)=28D.x(x-1)=28知识点3数字问题6.两个连续奇数的积是195,则这两个连续奇数的和是(C)A.28B.24C.±28D.±247.两数之差为3,这两数的平方和为117,求这两数的积.解:根据题意列方程得x2+(x+3)2=117,解得x1=6,x2=-9.当x=6时,x+3=9;当x=-9时,x+3=-6.因此这两数的积为6×9=54,(-6)×(-9)=54.所以这两个数的积是54.综合能力提升练8.某班同学毕业时都向全班其他同学各送一张自己的照片表示留念,全班共送2070张照片.如果全班共有x名同学,根据题意,列出方程为(A)A.x(x-1)=2070B.x(x-1)=2070×2C.x(x+1)=2070D.2x(x+1)=20709.一个小组有若干人,新年互相打一个电话祝福,已知全组共打电话36次,则这个小组共有人数为(B) A.12 B.9C.16D.1810.鸡瘟是一种传播速度很强的传染病,一轮传染为一天时间,红发养鸡场于某日发现一例,两天后发现共有169只鸡患有这种病.若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同,则每只病鸡传染健康鸡的只数为(C) A.10 B.11C.12D.1311.新年当天,安徽屯溪中学的小明收到了一条祝福的短信,他准备发送给其他同学,每个收到短信的人又给相同数量的人转发了这条短信,此时收到这条短信的人共有157人,则小明发送短信的个数为(C) A.10 B.11C.12D.1312.某种植物的主干长出a个支干,每个支干又长出同样数量的小分支,则主干、支干和小分支的总数为1+a+a2.13.小明在一个月历的一个竖列上勾出三个相邻的数,任意两数相乘后,再求和,得194,则这三个日期分别是2,9,16.14.中新网4月26日电,据法新社26日最新消息,墨西哥卫生部长称,可能已有81人死于猪流感(又称甲型H1N1流感).若有一人患某种流感,经过两轮传染后共有81人患流感,则每轮传染中平均一人传染了8人,若不加以控制,以这样的速度传播下去,经三轮传播,将有729人被传染.15.在一次象棋比赛中,实行单循环制(即每位选手都与其他选手比赛一局),每局赢者记2分,输者记0分,如果平局,两位选手各记1分.比赛结束后,统计比赛中全部选手的得分总和为90分,请求出这次比赛中共有多少名选手参加.解:设这次比赛中共有x名选手参加.则2×x(x-1)=90,解得x=10或x=-9(舍去),答:共有10名选手参加.16.太湖中学机房有150台学生电脑和1台教师用电脑,现在教师用电脑被某种电脑病毒感染,这种电脑病毒传播速度非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有49台电脑被感染.那么每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?解:设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑,依题意得1+x+(1+x)x=49,整理得(1+x)2=49,则x+1=7或x+1=-7,解得x1=6,x2=-8(舍去).答:每轮感染中平均一台电脑会感染6台电脑.拓展探究突破练17.(毕节中考)一个容器盛满纯药液40 L,第一次倒出若干升后,用水加满;第二次又倒出同样体积的溶液,这时容器里只剩下纯药液10 L,则每次倒出的液体是20 L.18.某市计划举办青少年足球比赛,赛制采取双循环形式(即每两队之间都要打两场比赛),一共组织30场比赛.计分规则为胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.(1)该市举办方应该邀请多少支球队参赛?(2)此次比赛结束后,如果其中一支参赛球队共平了4场,负了2场,则该球队此次比赛的总积分是多少?解:(1)设该市举办方应邀请x支球队参赛,依题意得x(x-1)=30,解方程得x1=6,x2=-5(不合题意,舍去).答:该市举办方应邀请6支球队参赛.(2)(10-4-2)×3+4×1+2×0=16.答:该球队的总积分为16分.第2课时用一元二次方程解决增降类问题知识要点基础练知识点1变化类问题1.(六盘水中考)2016年某市仅教育费附加就投入7200万元,用于发展本市的教育,预计到2018年投入将达到9800万元,若每年增长率都为x,根据题意列方程为(B)A.7200(1+x)=9800B.7200(1+x)2=9800C.7200(1+x)+7200(1+x)2=9800D.7200x2=9800【变式拓展】为执行“两免一补”政策,某地区2016年投入教育经费2500万元,预计2017年,2018年两年共投入5775万元.设这两年投入教育经费的年平均增长率为x,那么下面列出的方程正确的是(D)A.2500x2=5775B.2500(1+x%)2=5775C.2500(1+x)2=5775D.2500(1+x)+2500(1+x)2=57752.为积极响应国家提出的“大众创业,万众创新”号召,黄山市加大了对“双创”工作的支持力度,据悉,2015年黄山市对这项拨款为1.5亿元,2017元的拨款达到2.16亿元,这两年该市对“双创”工作专项拨款的平均增长率为20%.3.吴山镇2015年有绿地面积57.5公顷,该镇近几年不断增加绿地面积,2017年达到82.8公顷.(1)求该镇2015至2017年绿地面积的年平均增长率;(2)若年增长率保持不变,2018年该镇绿地面积能否达到100公顷?解:(1)设绿地面积的年平均增长率为x,根据意,得57.5(1+x)2=82.8,解得x1=0.2,x2=-2.2(不合题意,舍去),答:增长率为20%.(2)由题意,得82.8(1+0.2)=99.36公顷.答:2018年该镇绿地面积不能达到100公顷.知识点2利润类问题4.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系,每盆植3株时,平均每株盈利4元,若每盆增加1株,平均每株盈利减少0.5元,要使每盆的盈利达到15元,每盆应多植多少株?设每盆多植x株,则可以列出的方程是(A)A.(x+3)(4-0.5x)=15B.(x+3)(4+0.5x)=15C.(x+4)(3-0.5x)=15D.(x+1)(4-0.5x)=155.(乌鲁木齐中考)某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,在顾客得实惠的前提下,商家还想获得6080元的利润,应将销售单价定为多少元?解:降价x元,则售价为(60-x)元,销售量为(300+20x)件,根据题意得(60-x-40)(300+20x)=6080,解得x1=1,x2=4,又顾客得实惠,故取x=4,即定价为56元.答:应将销售单价定价56元.综合能力提升练6.某文具店三月份销售铅笔100支,四、五两个月销售量连续增长.若月平均增长率为x,则该文具店五月份销售铅笔的支数是(B) A.100(1+x) B.100(1+x)2C.100(1+x2)D.100(1+2x)7.某商品的进价为每件20元.当售价为每件30元时,每天可卖出100件,现需降价处理,且经市场调查:每降价1元,每天可多卖出10件.现在要使每天利润为750元,每件商品应降价(D) A.2元 B.2.5元C.3元D.5元8.某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%,第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%,则第三季度的产值比第一季度的产值增长了(D) A.2x% B.1+2x%C.(1+x%)x%D.(2+x%)x%【变式拓展】某种商品原价50元.因销售不畅,3月份降价10%,从4月份开始涨价,5月份的售价为64.8元,则4,5月份两个月的月平均涨价率为20%.9.某企业今年第四季度中的12月份产值是10月份的1.44倍,为保证该季度的月产值增长率相同,12月产值是11月的1.2倍.10.安徽省某区某农户2014年的年收入为6万元,由于党的惠农政策的落实,2016年的年收入增加到9万元,2015与2016年的年平均增长率相同,如果按这样的增长率,该农户2018年的年收入为13.5万元.11.水果店销售某种水果,每千克可以获利20元,平均每天可售出100千克,若每千克的售价每降低2元,平均每天的销售量可增加20千克,水果店要确保平均每天获利2240元,且尽快减少水果的库存量,每千克的售价应降低6元.12.(巴中中考)某商店准备进一批季节性小家电,单价40元.经市场预测,销售定价为52元时,可售出180个,定价每增加1元,销售量净减少10个;定价每减少1元,销售量净增加10个.因受库存的影响,每批次进货个数不得超过180个,商店若将准备获利2000元,则应进货多少个?定价为多少元?解:设每个商品的定价是x元,由题意,得(x-40)[180-10(x-52)]=2000,整理,得x2-110x+3000=0,解得x1=50,x2=60.当x=50时,进货180-10(50-52)=200个>180个,不符合题意,舍去;当x=60时,进货180-10(60-52)=100个<180个,符合题意.答:该商品每个定价应为60元,进货为100个.13.为落实国务院房地产调控政策,使“居者有其屋”,某市加快了廉租房的建设力度.2016年市政府共投资2亿元人民币建设了8万平方米廉租房,预计到2018年年底,三年累计投资9.5亿元人民币建设廉租房,若在这两年内每年投资的增长率相同.(1)求每年该市市政府投资的增长率;(2)若这三年内的建设成本不变,求2017,2018这两年可以建设多少万平方米的廉租房?解:(1)设每年该市市政府投资的增长率为x,根据题意,得2+2(1+x)+2(1+x)2=9.5,整理得x2+3x-1.75=0,解得x1=0.5,x2=-3.5(舍去),答:每年该市市政府投资的增长率为50%.(2)2017,2018这两年共建廉租房面积为(9.5-2)÷=30(万平方米).答:2017,2018这两年可以建设30万平方米的廉租房.拓展探究突破练14.(朝阳中考)为满足市场需求,新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子,根据市场预测,该品牌粽子每个售价4元时,每天能出售500个,并且售价每上涨0.1元,其销售量将减少10个,为了维护消费者利益,物价部门规定,该品牌粽子售价不能超过进价的200%.请你利用所学知识,帮助超市给该品牌粽子定价,使超市每天的销售利润为800元.解:设每个粽子的定价为x元时,每天的利润为800元.根据题意,得(x-3)--=800,解得x1=7,x2=5.∵售价不能超过进价的200%,∴x≤3×200%,即x≤6,∴x=5.答:每个粽子的定价为5元时,每天的销售利润为800元.15.随着人们环保意识的不断增强,黄山市家庭电动自行车的拥有量逐年增加.据统计,某小区2014年年底拥有家庭电动自行车125辆,2016年年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆.(1)若该小区2014年年底到2017年年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同,则该小区到2017年年底电动自行车将达到多少辆?(2)为了缓解停车矛盾,该小区决定投资3万元再建若干个停车位,据测算,建造费用分别为室内车位1000元/个,露天车位200元/个.考虑到实际因素,计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍,但不超过室内车位的2.5倍,则该小区最多可建两种车位各多少个?试写出所有可能的方案.解:(1)设家庭电动自行车拥有量的年平均增长率为x,则125(1+x)2=180,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去).∴180(1+20%)=216(辆).答:该小区到2017年年底家庭电动自行车将达到216辆.(2)设该小区可建室内车位a个,露天车位b个,则①②由①得b=150-5a,代入②得20≤a≤,∵a是正整数,∴a=20或21.当a=20时,b=50;当a=21时,b=45.∴方案一:建室内车位20个,露天车位50个;方案二:建室内车位21个,露天车位45个.第3课时用一元二次方程解决几何图形问题知识要点基础练知识点1一般图形问题1.(衡阳中考)绿苑小区在规划设计时,准备在两幢楼房之间,设置一块面积为900平方米的矩形绿地,并且长比宽多10米.设绿地的宽为x米,根据题意,可列方程为(B) A.x(x-10)=900 B.x(x+10)=900C.10(x+10)=900D.2[x+(x+10)]=9002.用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为75 cm2的矩形,问矩形的长和宽各是多少?解:设矩形的长为x cm,则矩形的宽为(20-x)cm,∵x>20-x,∴x>10.由题意得x(20-x)=75,整理得x2-20x+75=0,解得x1=5(舍去),x2=15,∴20-x=5.答:矩形的长为15 cm,宽为5 cm.知识点2边框与甬道问题3.如图,要设计一幅宽20 cm、长30 cm的图案,其中有两横两竖的彩条即图中的阴影部分,横竖彩条的宽度比为2∶1.如果要使阴影所占面积是图案面积的,则竖彩条宽度为(A)A.1 cmB.2 cmC.19 cmD.1 cm或19 cm4.如图,在宽为40 m,长为70 m的矩形地面上修筑宽度相等的道路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为540 m2,求道路的宽.如果设道路的宽为x,根据题意,所列方程为(40-x)(70-x)=540.【变式拓展】某小区的一块长为26米,宽为15米的草坪内要修一条如图所示的宽度相同的甬道,使绿地的面积是甬道面积的4倍,则甬道的宽度为2米.5.如图所示,有一块矩形的广场,长为32米、宽20米,要在上面修筑同样宽的三条石子路(两条纵向,一条横向,横向与纵向互相垂直),这样把矩形广场分成大小不等的六块小矩形,并且总面积为570平方米,求道路的宽是多少米?解:设道路为x米宽,由题意得(32-2x)(20-x)=570,整理得x2-36x+35=0,解得x1=1,x2=35(舍去),答:道路为1米宽.综合能力提升练6.(哈尔滨中考)今年我市计划扩大城区绿地面积,现有一块长方形绿地,它的短边长为60 m,若将短边增大到与长边相等(长边不变),使扩大后的绿地的形状是正方形,则扩大后的绿地面积比原来增加1600 m2.设扩大后的正方形绿地边长为x m,下面所列方程正确的是(A) A.x(x-60)=1600 B.x(x+60)=1600C.60(x+60)=1600D.60(x-60)=16007.安徽合肥市民为响应市委市政府提出的建设“绿色合肥”的号召,我市某单位准备将院内一块长30米,宽20米的长方形空地,建成一个矩形草坪,要求在草坪中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道,剩余的地方种植花草.如图所示,要使种植花草的面积为532平方米,那么小道进出口的宽度应为多少米?(注:所有小道进出口的宽度相等,且每段小道均为平行四边形)(D) A.1.2米 B.3米C.2米D.1米8.如图,在△ABC中,AC=50 m,BC=40 m,∠C=90°,点P从点A开始沿AC边向点C以2 m/s 的速度匀速移动,同时另一点Q由C点开始以3 m/s的速度沿着射线CB匀速移动,当△PCQ 的面积等于300 m2时运动时间为(A)A.5秒B.20秒C.5秒或20秒D.不确定9.如图,在长为10,宽为8的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形,使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%,则所截去小正方形的边长是2.10.如图,EF是一面长为18米的墙,用总长为32米的木栅栏(图中的虚线)围一个矩形场地ABCD,中间用栅栏隔成同样三块.若围成的矩形ABCD的面积为60平方米,则AB的长为12米.11.如图,要设计一个形状为等腰梯形的花坛,花坛上底长120米,下底长180米,高80米,在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道,上、下底之间有两条纵向甬道,各甬道宽度相等,设甬道的宽为x米.(1)用含x的式子表示甬道的面积;(2)根据设计要求,甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度(米)成正比,比例系数为5.7,花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元,那么甬道宽度为多少米时,所建花坛费用为239万元?解:(1)甬道的面积为(120+180)÷2×x+2×80×x-2x2=(-2x2+310x)平方米.(2)根据题意,得0.02××80-(-2x2+310x)+5.7x=239.整理,得2x2-25x+50=0,即(x-10)(2x-5)=0,解得x1=10,x2=2.5.∵x=10>6(舍去),∴x=2.5.答:甬道的宽度为2.5米时,所建花坛费用为239万元.12.(百色中考)在直角墙角AOB(OA⊥OB,且OA,OB长度不限)中,要砌20 m长的墙,与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓,且地面矩形AOBC的面积为96 m2.(1)求该地面矩形的长;(2)有规格为0.80×0.80和1.00×1.00(单位:m)的地板砖单价分别为55元/块和80元/块,若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙),用哪一种规格的地板砖费用较少? 解:(1)设该地面矩形的长是x m,依题意得x(20-x)=96,解得x1=12,x2=8(舍去).答:该地面矩形的长是12米.(2)采用规格为0.80×0.80的地板砖所需的费用:[96÷(0.80×0.80)]×55=8250(元).采用规格为1.00×1.00的地板砖所需的费用:[96÷(1.00×1.00)]×80=7680(元).因为8250>7680,所以采用规格为1.00×1.00的地板砖所需的费用较少.拓展探究突破练13.小明是一位动手能力很强的同学,他用橡皮泥做成一个棱长为4 cm的正方体.(1)如图1所示,在顶面中心位置处从上到下打一个边长为1 cm的正方形孔,打孔后的橡皮泥块的表面积为平方厘米;(2)如果在第(1)题打孔后,再在正面中心位置(如图2所示)从前到后打一个边长为1 cm的正方形通孔,那么打孔后的橡皮泥块的表面积为平方厘米;(3)如果把(1)(2)中的边长为1 cm的通孔均改为边长为a cm(a≠1)的通孔,能否使橡皮泥块的表面积为118 cm2?如果能,求出a,如果不能,请说明理由.解:(1)110.(2)118.(3)能使橡皮泥块的表面积为118平方厘米.∵S1=96-2a2+4a×4,S2=S1-4a2+4×4a-4a2,∴96-2a2+16a-8a2+16a=118,整理得5a2-16a+11=0,∴a1=,a2=1.∵a≠1,<4,∴当边长改为cm时,表面积为118 cm2.。
21.3实际问题与一元二次方程(教师版)
21.3 实际问题与一元二次方程同步讲解·新课堂知识点1 传播/传染问题1.传播/传染模型1 最初传播源在以后每一轮仍然传播问题（病毒感染类）方程模型：传播源×（1+每轮传播人数x）2=最终传染人数2.传播/传染模型2 最初传播源在以后每一轮不再传播问题（数值分叉类）方程模型：传播源+传播源×每轮传播人数+传播源×每轮传播人数×每轮传播人数=最终传染人数知识点2 平均增长率（降低率）问题1.平均增长率问题模型1 最后产量是b表示不累计的量方程模型：原数×（1+平均增长率）2=新数即a(1+x)2=b（a表示增长前的原数，b表示增长后的新数，x表示平均增长率）（注意：解方程一般用直接开平方法，注意方程根的取舍问题．）2.平均增长率问题模型2 最后产量是b表示总共累计的量方程模型：原数+原数×（1+平均增长率）+原数×（1+平均增长率）2=新数即a+a(1+x)+a(1+x)2=b（a表示增长前的原数，b表示增长后的新数，x表示平均增长率）3.平均降低率模型原数×（1—平均增长率）2=新数即a(1—x)2=b（a表示增长前的原数，b表示增长后的新数，x表示平均降低率）（注意：1与x的位置不能调换，解方程一般用直接开平方法，注意方程根的取舍问题．）知识点3 比赛/握手/增贺卡/发微信/问题1.单循环比赛/握手模型 方程模型：12=⨯总人数（总人数-）总次数2.双循环比赛/互赠贺卡模型方程模型：()-1⨯=总人数总人数总次数知识点4 营销利润问题（每每型问题）1.方程模型：总利润=（售价－进价）×销售数量题干中已知量为进价a 元，原售价b 元，销量m 件，销量随售价提高（降低）d 元而减少（增加）c 件，获得利润w 元.（1）若设提（降）价x 元，方程模型为: ①提价减销量：（b +x －a ）（m －cx d）=w ①降价提销量：（b －x －a ）（m +cx d ）=w （2）若设售价x 元，方程模型为:①提价减销量：（x －a ）[m －c （x b d-）]=w ①降价提销量：（x －a ）[m +c （b x d -）]=w （3）题干中已知量为盈利a 元，销量m 件，销量随售价提高（降低）d 元而减少（增加）c 件，获得利润w 元.设提（降）价x 元，方程模型为:（a ±x ）（m -+cx d）=w（要注意题设中“在顾客得实惠的前提下”“减少库存压力”等语句，这是进行答案取舍的重要信息.）知识点5 几何图形面积问题（1）阴影部分面积几何模型①（空白部分宽均为x）方程模型:（a－2x）（b－2x）=阴影部分面积几何模型②（阴影部分宽均为x）方程模型:ab－（a－x）（b－x）=阴影部分面积知识点6 篱笆围墙问题1.无缺口型的篱笆围墙问题（设垂直墙面长x）方程模型：（篱笆总长－垂直墙面长×个数）×垂直墙面长=矩形面积2.有缺口型的篱笆围墙问题（设垂直墙面长x）方程模型：（篱笆总长+所有缺口长－垂直墙面长×个数）×垂直墙面长=矩形面积考点梳理·新认知考点1 传染问题例1 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？【答案】见解析.【解析】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据题意得：1+x+x（x+1）=81，整理，得：x2+2x-80=0，解得：x1=8，x2=-10（不合题意，舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染8个人．（2）81+81×8=729（人）．答：经过三轮传染后共有729人会患流感．考点2 树枝分叉问题例2 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？【答案】见解析.【解析】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，根据题意列方程得：1+x+x2=91，解得：x=9或x=-10（不合题意，应舍去）；∴x=9；答：每支支干长出9个小分支．考点3 平均增长率问题（不累计增长量）例3 互联网给生活带来极大的方便据报道，2016底全球支付宝用户数为4.5亿，2018年底达到9亿．（1）求平均每年增长率；（2）据此速度，2020底全球支付宝用户数是否会超过17亿？请说明理由．（参考数据：⎷≈1.414）【答案】见解析.【解析】解：（1）设平均每年增长率为x，依题意，得：4.5（1+x）2=9，解得：x1=0.414=41.4%，x2=-2.414（舍去）．答：平均每年增长率为41.4%．（2）9×（1+41.4%）2≈17.995（亿）．∵17.995＞17，∴2020底全球支付宝用户数会超过17亿．考点4 平均增长率问题（累计增长量）例4某公司一月份营业额为100万元，第一季度总营业额为331万元，问：该公司二、三月份营业额的平均增长率是多少？【答案】见解析.【解析】解：设该公司二、三月份营业额平均增长率是x．根据题意得100+100（1+x）+100（1+x）2=331，解得x1=0.1，x2=-3.1（不合题意，舍去）．答：该公司二、三月份营业额平均增长率是10%．考点5 单循环比赛/握手问题例5我校九年级组织一次班际篮球赛，若赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），则需安排45场比赛．问共有多少个班级球队参加比赛？【答案】见解析.【解析】解：设共有x个班级球队参加比赛，根据题意得：()1452x x-=，整理得：x2-x-90=0，即（x-10）（x+9）=0，解得：x=10或x=-9（舍去）．则共有10个班级球队参加比赛．考点6 双循环比赛/互赠贺卡、礼物问题例6新年到了，班上数学兴趣小组的同学互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共送了210张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？【答案】见解析.【解析】解：设数学兴趣小组的人数为x人．根据题意，得x（x-1）=210，解得x=15或x=-14（不合题意，应舍去）．答：数学兴趣小组的人数为15人．考点7 营销利润问题例7 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调査发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？（2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加件，每件商品，盈利元（用含x的代数式表）；（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？【答案】见解析.【解析】解：（1）当天盈利：（50-3）×（30+2×3）=1692（元）．答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元．（2）∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品，盈利（50-x）元．故答案为：2x；50-x．（3）根据题意，得：（50-x）×（30+2x）=2000，整理，得：x2-35x+250=0，解得：x1=10，x2=25，∵商城要尽快减少库存，∴x=25．答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元．例8 某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．（1）当售价为22万元/辆时，求平均每周的销售利润．（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意，可得当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量是：25220.5×1+8=14，则此时，平均每周的销售利润是：（22-15）×14=98（万元）；（2）设每辆汽车降价x万元，根据题意得：（25-x-15）（8+2x）=90，解得x1=1，x2=5，当x=1时，销售数量为8+2×1=10（辆）；当x=5时，销售数量为8+2×5=18（辆），为了尽快减少库存，则x=5，此时每辆汽车的售价为25-5=20（万元），答：每辆汽车的售价为20万元．考点8 旅游花费问题例9为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？【答案】见解析.【解析】解：∵100×30=3000＜3150，∴该班参加研学游活动的学生数超过30人．设共有x名同学参加了研学游活动，由题意得：x[100-2（x-30）]=3150，解得x1=35，x2=45，当x=35时，人均旅游费用为100-2（35-30）=90＞80，符合题意；当x=45时，人均旅游费用为100-2（45-30）=70＜80，不符合题意，应舍去．答：共有35名同学参加了研学游活动．考点9 几何图形面积问题例10 如图所示，在长为32m、宽20m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小不等的六块作试验田，要使试验田面积为570m2，问道路应多宽？【答案】见解析.【解析】解：设道路为x米宽，由题意得：（32-2x）（20-x）=570，整理得：x2-36x+35=0，解得：x1=1，x2=35，经检验是原方程的解，但是x=35＞20，因此不合题意舍去，答：道路为1m宽．例11如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度相同，则人行道宽为多少米？【答案】见解析.【解析】解：设人行道的宽度为x米（0＜x＜3），根据题意得：（18-3x）（6-2x）=60，整理得，（x-1）（x-8）=0．解得：x1=1，x2=8（不合题意，舍去）．即：人行道的宽度是1米．考点10 篱笆围墙问题例12如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料，当矩形的长AB为多少米时，矩形花园的面积为300平方米.【答案】见解析.【解析】解：设矩形花园BC的长为x米，则其宽为12（60-x+2）米，依题意列方程得：12（60-x+2）x=300，x2-62x+600=0，解这个方程得：x1=12，x2=50，∵28＜50，∴x2=50（不合题意，舍去），∴x=12．答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米.考点11 动态几何问题例13 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8．点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．设P、Q分别从从A、B同时出发，运动时间为t，当其中一点先到达终点时，另一点也停止运动．解答下列问题：（1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？（2）是否存在这样的时刻t，使线段PQ恰好平分①ABC的面积？若存在，求出运动时间t；若不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2则：BP=6-x，BQ=2x，所以S△PBQ= 12×（6-x）×2x=8，即x2-6x+8=0，可得：x=2或4，即经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2．（2）设经过y秒，线段PQ恰好平分①ABC的面积，①PBQ的面积等于12cm2，S①PBQ=12×（6-y）×2y=12，即y2-6y+12=0，因为①=b2-4ac=36-4×12=-12＜0，所以①PBQ的面积不会等于12cm2，则线段PQ不能平分①ABC的面积．分层巩固·新空间1.永辉超市以每袋25元的成本价收购一批桂圆，当桂圆售价为每袋40元时，一月份销售256袋。
21.3 实际问题与一元二次方程
27
故上下边衬的宽度为: 左右边衬的宽度为:
要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中 央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果 要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之 一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设 计四周边衬的宽度? 分析:这本书的长宽之比是9:7,正中央的 矩形两边之比也为9:7,由此判断上下边 衬与左右边衬的宽度之比也为9:7
人患流感？
第三轮的传染源有 共有
x+1 +x(x+1) 人，有〔 x+1 +x(x+1) 〕x 人被传染，
x+1 +x(x+1) +〔 x+1 +x(x+1) 〕x 人患流感？
x
1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干 又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的 总数是91,每个支干长出多少小分支?
探究3
在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四 周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长为30cm，宽 2 为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm ，求这个 长方形框的框边宽。 分析: 本题关键是如何用x的代数式表示这个长方形框的面积 解:设长方形框的边宽为xcm,依题意,得
30×20–(30–2x)(20–2x)=400 整理得 x2– 25x+100=0
3 9 x 7 x 27 21 依题意得 4 3 3 3 3 x2 (不合题意, 舍去) 解得 x1 2 2 33
2 54 27 3 1.8 2 4 3 3 21 7 21 7 x 42 21 3 2 1.4 2 2 4 27 9 x 2 27 9
X
21.3 实际问题与一元二次方程 2024-2025学年人教版数学九年级上册
解：（2）设第一次降价售出 a 件，则第二次降价售出
（20－ a ）件.由题意，得
[60（1－10％）－40] a ＋（48.6－40）×（20－ a ）
≥200，解得 a ≥5 .
∵ a 为非负整数，∴ a 的最小值是6.
答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价.
典例导思
根据题意，得60（1－ x ）2＝48.6，
解得 x 1＝0.1＝10％， x 2＝1.9（舍去）.
答：该商品每次降价的百分率为10％.
典例导思
（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方
式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总
利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进
（1＋ x ）2.当问题变为下降（或减产）率为 x 时，第二
次减少后的数量则为 a （1－ x ）2.
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例如：某品牌某羽绒服在冬季来临之际涨价销售，10、
11月份的平均增长率为 x ，9月份的售价为1 000元，10
月份的售价为
元，11月份的售
1 000（1＋ x ）
价为
元.若11月份的售价为1
典例导思
题型二 列一元二次方程解循环问题
例2 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两
队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的
个数是（ C ）
A. 5个
B. 6个
C. 7个
D. 8个
典例导思
3. 在一次同学聚会上，每两人都互赠了一份礼物，所有人共送
了210份礼物，则参加聚会的同学有
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21.3实际问题与一元二次方程(传播问题)
弄清问题背
知数，并表示相关量， 景，特别注意
根据相等关系尝试列
分析清楚题
方程，求根 . 根据实际 意，题中没有
问题要求， 对根进行选 特别说明，那
择确定问题的解 . 教师 么最早的患者
拓展：课本思考 . 四轮呢？
组织学生合作交流， 达 没有痊愈，仍
归纳：
到共识，
在继续传染别
本题一流感为问题背景，讨论按一定传播速度逐步传播的
个完全平方问题，设每轮传染中平均一个人传染
x 了个人，
经两次传染共有 M人被传染，则有
教师提出问题，让学生
1+x+x（1+x）＝（ 1+x）2＝M
完全平方
补充例题
某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又 长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是
91 ，每个支干长出多少个小分支？
结合画图独立理解并解 答问题，培养学生对实 际问题的分析能力，将 数学知识和实际问题相 结合的应用意识
染速度， 再经过 5 天的传染后， 这个地区一共将会有多
少人患甲型流感？
四小结归纳
谈一节课的收获和体会 . 五、作业设计
必做： P18： 4-8 选做： P19： 10
教
学
反思
○3 第二轮的传染源有几个人？第二轮后有几个人被传染了
流感？包括第二轮的传染源在内，共有几个人患着流感？
○4 本题用来列方程的相等关系是什么？列出方程
.
点题，板书课题 .
联系上节课内
容，进一步学习
一元二次方程
教师提出问题， 并指导 的应用
学生进行阅读， 独立思
考，学生根据个人理
解，回答教师提出的问
21.3实际问题与一元二次方程--传播问题(1)
21.3 实际问题与一元二次方程
———传播问题
世界上没有毫无理由的横空出世，所谓的运气 好，不过是因为他们时刻准备着。
知识回顾
列方程解应用题时有哪些基本步骤？ ①审题； ②设未知数； ③根据等量关系列方程(组)； ④解方程(组)； ⑤检验作答.
探究
有一个人患了流感，经过两轮 传染后共有121人患了流感，每轮 传染中平均一个人传染了几个人？
则n=___1_0__.
总结提升
列一元二次方程解应用题，步骤与以 前列方程(组)解应用题一样，其中审题是 解决问题的基础，找等量关系列方程是关 键，恰当灵活地设元直接影响着列方程与 解法的难易，它可以为正确合理的答案提 供有利的条件.方程的解必须进行实际题意 的检验.
作业布置
1、课本习题21.3第1、4题做在练习本上； 2、课时练第一课时
第三轮 (1+x)2 (1+x)2x (1+(x1)+2+x()13+x)2x
第n轮
(1+x)n
通过上面问题的探究，你能归纳利用一元 二次方程解决实际问题的步骤吗？
①审题； ②设未知数； ③根据等量关系列方程； ④解方程； ⑤检验作答.
自主练习
1、甲型流感病毒的传染性极强，某地因1 人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过 两天的传染后共有9人患了甲型流感，每 天平均一个人传染了几人？如果按照这个 传染速度，再经过5天的传染后，这个地 区一共将会有多少人患甲型流感？
解：每天平均一个人传染了x人. 列方程
1+x+(1+x)x=9.
解方程，得 x1=2，x2=-4（不合题意，舍去）.
答：每天平均一个人传染了2人.
再经过5天的传染后，这个地区一共将会 有(1+x)7=37=2187人患甲型流感.
21.3实际问题与一元二次方程(学生版)
21.3 实际问题与一元二次方程同步讲解·新课堂知识点1 传播/传染问题1.传播/传染模型1 最初传播源在以后每一轮仍然传播问题（病毒感染类）方程模型：传播源×（1+每轮传播人数x）2=最终传染人数2.传播/传染模型2 最初传播源在以后每一轮不再传播问题（数值分叉类）方程模型：传播源+传播源×每轮传播人数+传播源×每轮传播人数×每轮传播人数=最终传染人数知识点2 平均增长率（降低率）问题1.平均增长率问题模型1 最后产量是b表示不累计的量方程模型：原数×（1+平均增长率）2=新数即a(1+x)2=b（a表示增长前的原数，b表示增长后的新数，x表示平均增长率）（注意：解方程一般用直接开平方法，注意方程根的取舍问题．）2.平均增长率问题模型2 最后产量是b表示总共累计的量方程模型：原数+原数×（1+平均增长率）+原数×（1+平均增长率）2=新数即a+a(1+x)+a(1+x)2=b（a表示增长前的原数，b表示增长后的新数，x表示平均增长率）3.平均降低率模型原数×（1—平均增长率）2=新数即a(1—x)2=b（a表示增长前的原数，b表示增长后的新数，x表示平均降低率）（注意：1与x的位置不能调换，解方程一般用直接开平方法，注意方程根的取舍问题．）知识点3 比赛/握手/增贺卡/发微信/问题1.单循环比赛/握手模型 方程模型：12=⨯总人数（总人数-）总次数2.双循环比赛/互赠贺卡模型方程模型：()-1⨯=总人数总人数总次数知识点4 营销利润问题（每每型问题）1.方程模型：总利润=（售价－进价）×销售数量题干中已知量为进价a 元，原售价b 元，销量m 件，销量随售价提高（降低）d 元而减少（增加）c 件，获得利润w 元.（1）若设提（降）价x 元，方程模型为: ①提价减销量：（b +x －a ）（m －cx d）=w ②降价提销量：（b －x －a ）（m +cx d ）=w （2）若设售价x 元，方程模型为:①提价减销量：（x －a ）[m －c （x b d-）]=w ②降价提销量：（x －a ）[m +c （b x d -）]=w （3）题干中已知量为盈利a 元，销量m 件，销量随售价提高（降低）d 元而减少（增加）c 件，获得利润w 元.设提（降）价x 元，方程模型为:（a ±x ）（m -+cx d）=w（要注意题设中“在顾客得实惠的前提下”“减少库存压力”等语句，这是进行答案取舍的重要信息.）知识点5 几何图形面积问题（1）阴影部分面积几何模型①（空白部分宽均为x）方程模型:（a－2x）（b－2x）=阴影部分面积几何模型②（阴影部分宽均为x）方程模型:ab－（a－x）（b－x）=阴影部分面积知识点6 篱笆围墙问题1.无缺口型的篱笆围墙问题（设垂直墙面长x）方程模型：（篱笆总长－垂直墙面长×个数）×垂直墙面长=矩形面积2.有缺口型的篱笆围墙问题（设垂直墙面长x）方程模型：（篱笆总长+所有缺口长－垂直墙面长×个数）×垂直墙面长=矩形面积考点梳理·新认知考点1 传染问题例1 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？考点2 树枝分叉问题例2 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？考点3 平均增长率问题（不累计增长量）例3 互联网给生活带来极大的方便据报道，2016底全球支付宝用户数为4.5亿，2018年底达到9亿．（1）求平均每年增长率；（2）据此速度，2020底全球支付宝用户数是否会超过17亿？请说明理由．（参考数据：⎷≈1.414）考点4 平均增长率问题（累计增长量）例4某公司一月份营业额为100万元，第一季度总营业额为331万元，问：该公司二、三月份营业额的平均增长率是多少？考点5 单循环比赛/握手问题例5我校九年级组织一次班际篮球赛，若赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），则需安排45场比赛．问共有多少个班级球队参加比赛？考点6 双循环比赛/互赠贺卡、礼物问题例6新年到了，班上数学兴趣小组的同学互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共送了210张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？考点7 营销利润问题例7 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调査发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？（2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加件，每件商品，盈利元（用含x的代数式表）；（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？例8 某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．（1）当售价为22万元/辆时，求平均每周的销售利润．（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．考点8 旅游花费问题例9为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？考点9 几何图形面积问题例10 如图所示，在长为32m、宽20m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小不等的六块作试验田，要使试验田面积为570m2，问道路应多宽？例11如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度相同，则人行道宽为多少米？考点10 篱笆围墙问题例12如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料，当矩形的长AB为多少米时，矩形花园的面积为300平方米.考点11 动态几何问题例13 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8．点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s 的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．设P、Q分别从从A、B同时出发，运动时间为t，当其中一点先到达终点时，另一点也停止运动．解答下列问题：（1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？（2）是否存在这样的时刻t，使线段PQ恰好平分△ABC的面积？若存在，求出运动时间t；若不存在，请说明理由．分层巩固·新空间1.永辉超市以每袋25元的成本价收购一批桂圆，当桂圆售价为每袋40元时，一月份销售256袋。
21-3 实际问题与一元二次方程 课件(共25张PPT)
2
5−1
− 5−1
或x2=
(不合题意，舍去)，所以
2
2
小练习
例 4：邻边不等的矩形花圃ABCD,它的一边AD利用已有的围
墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m，若矩形的面积为
1
4m2，则AB的长度是____m（可利用的围墙长度超过6m）。
解析：设垂直墙的篱笆的AB为x，那么平行墙的篱笆BC长为（6-2x），
解方程，得:x1≈0.225，x2≈1.775(不合题意，舍去）。
则根据问题的额实际意义，甲乙两种药品成本的年平均下降率均为22.5%
知识梳理
知识点1：组合计算问题。
常见单循环赛问题，握手问题，签合同问题都有相同的规
1
律 x(x-1),送礼物和复循环赛规律相同，即x（x-1)。
2
例 1：某植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长
方程，a（1-x）2=49%a，整理得：x2-2x+0.51=0，解得：x1=1.7（舍去）
或x2=0.3，∴平均每次降价30%。故选D。
知识要点
列方程解应用题的一般步骤：①审题；②设未知数；③列方程；
④解方程；⑤检查作答。
组合计数问题：常见单循环问题，握手问题，签合同问题都有
1
相同的规律 x（x-1)，送礼物和复循环赛规律相同，即x（x-1）。
1+x+x(1+x)
人中的每个人又传染了x个人，用代数式表示，第二轮后共有_________
个人患了流感。
列方程1+x+x(1+x)=121,
解方程，得x1=10，x2=-12(不合题意，舍去).
平均一个人传染了10个人。
教学新知
九年级数学上册21.3 用一元二次方程解决实际问题
2．对于“增长率”问题，如人口的减少、利率的 降低、汽车的折旧等等，都是在原来基数上减少， 不能与一般性的增加和减少相混淆．
（二）几何中面积、长度问题
例2 如图所示，一架长为10 m的梯子斜
靠在墙上，梯子的顶端A处到地面的距离 A
为8 m，如果梯子的顶端沿墙面下滑2 m，A’ 那么梯子的底端在地面上滑动的距离是多 少？
答：梯子的底端在地面上滑动的距离是 2 m．
B
B’
例 3 在宽为 20 m、长为 32 m 的矩形地 面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道 路，余下部分作为耕地，要使耕地面积 为 540 m 2，道路的宽应为多少？
分析：如图所示，此题的相等关系是 矩形面积减去道路面积等于 540元二次方程
用一元二次方程解决实际问题 人教版·九年级上册
【常见类型】
列一元二次方程解决实际问题的常见类型有以下几种 （1）增长率问题 （2）几何中面积、长度问题 （3）假设存在问题 （4）排列组合问题 （5）销售问题
（一）增长率问题
例1 某市为了解决市民看病难的问题，决定下调 药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由 每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次 降价的百分率是多少？
解得，x1＝2，x2＝50（不合题意，舍去）． （以下步骤同解法一）
20米
32米
小结 1．解法二和解法一相比更简单，它利用“图形经过移动， 它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下， 可以使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工， 仍可按原图的位置修路）．
2．有些同学在列方程解应用题时，往往看到正解就保留， 看到负解就舍去．其实，即使是正解也要根据题设条件 进行检验，该舍就舍．此题一定要注意原矩形“宽为20 m、长为32 m”这个条件，从而进行正确取舍．
用一元二次方程解决实际问题(销售问题)
初三备课组
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销 售 中 的 等量 关系
●售价、进价、利润的关系式：
单件利润 = 售价—进价
总利润=单件利润×销售量
●标价、折扣数、商品售价关系 :
售价＝ 标价×
折扣数 10
●进价、利润、利润率的关系：
单件利润
利润率= 进价
×100%
单件利润 销量 总利润
降价前
降ห้องสมุดไป่ตู้后
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变式4：扬州万家福商城在销售 中发现：“宝宝乐”牌童装进 价为60元,当定价为100元时,平 均每天可售出20件为.了迎接”十 一”国庆节,商场决定采取适 当的降价措施经.调查发现,如果 每件童装降价1元，那么平均每 天就可多售出2件.要想平均每天 盈利1200元,那么每件童装售价 应该定为多少元?
单件利润 销量 总利润
降价前
降价后
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21.3用一元二次方程解决实际问题 1、销售问题中主要的等量关系： 单件利润= 售价—进价 总利润=单件利润 × 销量 2、价格降则销量增， 价格增则销量降 3、列方程解决销售问题的基本步骤为：审、设、列、解、验、答 4、计算时要先将方程化成一般式，优先考虑十字相乘法 5、要注意题目中的限定条件
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题1:某商场礼品柜台购进大量贺卡,一种贺卡平均每天可销
售500张,每张盈利0.3元,为了尽快减少库存,商场决定采取
适当的措施,调查发现,如果每降价0.1元,那么商场平均每
天多售出300张,商场要想每天盈利160元,每张贺卡应该降
专题21.3 实际问题与一元二次方程--九年级数学人教版
第二十一章 一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程1．列一元二次方程解应用题的一般步骤（1）审：读懂题目，弄清题意，明确 、 ，以及它们之间的关系． （2）设：设出 ．（3）列：找出 ，列出方程． （4）解：解方程，求出 的值． （5）验：检验 是否符合实际意义． （6）答：写出 ．2．常见实际问题（1）传播问题：传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=第二轮传染后的总数． （2）平均增长（降低）率问题：①设基数为a ，平均增长率为x ，则第一次增长后的值为()1a x +，两次增长后的值为()21a x +，依次类推，n 次增长后的值为 ．②设基数为a ，平均降低率为x ，则第一次降低后的值为()1a x -，两次降低后的值为()21a x -，依次类推，n 次降低后的值为 ． （3）几何图形面积问题：学！科网几何图形应用题，关键是将不规则图形分割或组合成 ，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积公式或体积公式列出方程． （4）数字问题：若一个两位数十位、个位上的数字分别为a 、b ，则这个两位数表示为 ；若一个三位数百位、十位、个位上的数字分别为a 、b 、c ，则这个三位数表示为 ． （5）单、双循环问题：设参加队伍有n 个队，则单循环问题中总的比赛场数为 场；双循环问题中总的比赛场数为场．（6）销售利润问题： =-利润售价进价；-==利润售价进价利润率进价进价； ()1=⨯+售价进价利润率；=-=⨯总利润总售价总成本单个利润总销售．（7）存款利息问题：=+本息和本金利息；=⨯利息本金利率．K 知识参考答案：1．（1）已知量，未知量（2）未知数（3）相等关系（4）未知数（5）方程的解（6）答案2．（2）()1n a x +，()1na x -（3）规则图形（4）10ab +，10010a bc ++（5）()112n n -，()1n n -K —重点 一元二次方程解应用题K —难点 （1）平均增长（降低）率问题（2）单、双循环问题K —易错销售利润问题一、根据实际问题列出一元二次方程同一元一次方程、二元一次方程（组）等一样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型．【例1】某校要组织一次乒乓球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排2天，每天安排5场比赛．设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的方程为________．【答案】()11522x x -=⨯【名师点睛】此类问题的几何模型：直线上有个n 点，一共能确定()12n n -条线段，与之相关的问题有：n 个人握手，总共的握手次数为()12n n -等．二、列一元二次方程解应用题的一般步骤1．审：读懂题目，弄清题意，明确已知量、未知量，以及它们之间的关系． 2．设：设出未知数．3．列：找出相等关系，列出方程． 4．解：解方程，求出未知数的值． 5．验：检验方程的解是否符合实际意义． 6．答：写出答案．【例2】某班有一人患了流感，经过两轮传染后，恰好全班49人被传染患上了流感，按这样的传染速度，若4人患了流感，则第一轮传染后患上流感的人数是 【答案】B【解析】设每轮平均一人传染x 人，根据题意，得()1149x x x +++=，解得16x =，28x =-（舍去）． 故4人患了流感，第一轮传染后患流感的人数是44628+⨯=，故选B ．【名师点睛】传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=第二轮传染后的总数．三、常见问题1．传播问题：传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=第二轮传染后的总数． 2．平均增长（降低）率问题：（1）设基数为a ，平均增长率为x ，则第一次增长后的值为()1a x +，两次增长后的值为()21a x +，依次类推，n 次增长后的()1na x +．（2）设基数为a ，平均降低率为x ，则第一次降低后的值为()1a x -，两次降低后的值为()21a x -，依次类推，n 次降低后的值为()1na x -． 3．几何图形面积问题：几何图形应用题，关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程． 4．数字问题：若一个两位数十位、个位上的数字分别为a 、b ，则这个两位数表示为10a b +；若一个三位数百位、十位、个位上的数字分别为a 、b 、c ，则这个三位数表示为10010a b c ++．5．单、双循环问题：设参加队伍有n 个队，则单循环问题中总的比赛场数为()112n n -场；双循环问题中总的比赛场数为()1n n -场．学！科网6．销售利润问题：=-利润售价进价；-==利润售价进价利润率进价进价； ()1=⨯+售价进价利润率；=-=⨯总利润总售价总成本单个利润总销售．7．存款利息问题：=+本息和本金利息；=⨯利息本金利率．【例3】为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同． （1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？ 【答案】（1）50%；（2）27．【名师点睛】在平均增长（或降低）率问题中，要注意常用的相等关系：设基数为a ，平均增长（或降低）率为x ，则两次增长（或降低）后的值为()21a x +（或()21a x -）．【例4】如图，某农场有一块长40m ，宽32m 的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路．要使种植面积为21140m ，求小路的宽．【答案】2 m【名师点睛】几何图形应用题，关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程．1．我省某旅游景点的旅客人数逐年增加，据旅游部门统计，2016年约为120万人次，预计2018年约为170万人次，设游客人数年平均增长率为x，则下列方程中正确的是A．120（1+x）=170 B．170（1﹣x）=120C．120（1+x）2=170 D．120+120（1+x）+120（1+x）2=1702．现代互联网技术的广泛应用，促进快递行业高速发展，据调查，我市某家快递公司，今年3月份与5月份完成投递的快递总件数分别为6.3万件和8万件．设快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是A．6.3(1＋2x)＝8 B．6.3(1＋x)＝8C．6.3(1＋x)2＝8 D．6.3＋6.3(1＋x)＋6.3(1＋x)2＝83．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为A．x（5+x）=6 B．x（5–x）=6C．x（10–x）=6 D．x（10–2x）=64．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为x m，则可列方程为A．(1)(2)++=18 B．2x–3x+16=0x xC．(1)(2)--=18 D．2x+3x+16=0x x5．某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为A．x（x–11）=180 B．2x+2（x–11）=180C．x（x+11）=180 D．2x+2（x+11）=1806．如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为A．5米B．3米C．2米D．2米或5米7．某种服装原售价为200元，由于换季，连续两次降价处理，现按72元的售价销售．已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为__________．8．某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是__________．学￥科网9．某公司2月份的利润为160万元，4月份的利润250万元，若设平均每月的增长率x，则根据题意可得方程为__________．10．两年前生产1 t药品的成本是6000元，现在生产1 t药品的成本是4860元，则药品成本的年平均下降率是__________．11．某厂一月份生产空调机1200台，三月份生产空调机1500台，若二、三月份每月平均增长的百分率是x，则所列方程是__________．12．某工厂一种产品去年的产量是100万件，计划明年产量达到121万件，假设去年到明年这种产品产量的年增长率相同.（1）求去年到明年这种产品产量的年增长率；（2）今年这种产品的产量应达到多少万件？13．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，列出的方程是A．x（x+1）=64 B．x（x–1）=64 C．（1+x）2=64 D．（1+2x）=6414．某超市1月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为A．200（1+x）2=1000 B．200+200×2x=1000C．200+200×3x=1000 D．200[1+（1+x）+（1+x）2]=100015．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则可列一元二次方程为__________．（化用一般式表示）16．波音公司生产某种型号的飞机，7月份的月产量为50架，由于改进了生产技术，计划9月份生产飞机98架，那么8、9月飞机生产量平均每月的增长率是__________．17．某校图书馆去年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，则这两年的年平均增长率为__________．18．某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91．设每个支干长出x个小分支，则可得方程为__________．19．如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD，求该矩形草坪BC边的长．（用方程解）20．某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？21．如图，某农场有一块长40 m，宽32 m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140 m2，求小路的宽．22．（2018·眉山市）我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是A．8% B．9%C．10% D．11%23．（2018·宜宾市）某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为A．2% B．4.4%C．20% D．44%24．（2018·黄冈市）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2−10x+21=0的根，则三角形的周长为______________.25．（2018·盐城市）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？26．（2018·安顺市）某地年为做好“精准扶贫”，投入资金万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，年在年的基础上增加投入资金万元.（1）从年到年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于万元用于优先搬迁租房奖励，规定前户（含第户）每户每天奖励元，户以后每户每天奖励元，按租房天计算，求年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励.1．【答案】C【解析】设游客人数的年平均增长率为x，则2017的游客人数为：120×(1+x)，2018的游客人数为：那么可得方程：.故选C．2．【答案】C【解析】按照增长率公式列一元二次方程，即6.3(1＋x)2＝8.【名师点睛】平均增长率（降低）百分率是x，增长(降低)一次，一般形式为a（1x）=b；增长（降低）两次，一般形式为a（1x）2=b；增长（降低）n次，一般形式为a（1x）n=b ,a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．3．【答案】B【解析】一边长为x米，则另外一边长为：102x-=5–x米，由题意得：x（5–x）=6，故选B．5．【答案】C【解析】设宽为x米，则长为（x+11）米，根据题意得：x（x+11）=180，故选C．6．【答案】C【解析】设道路的宽为x，根据题意得20x+32x-x2=20×32-540，整理得（x-26）2=576，开方得x-26=24或x-26=-24，解得x=50（舍去）或x=2.所以道路宽为2米．故选C．7．【答案】40%【解析】设每次降价的百分率为x，由题意，得200（1–x）2=72，所以（1–x）2=0.36，x=1±0.6，解得：x1=0.4=40%，x2=1.6（不符合题意，舍去），故答案是：40%．8．【答案】10%【解析】设平均每次降价的百分率为x，由题意，第一次降价后的售价是100（1–x），第二次降价后的售价是100（1–x ）2，根据题意列方程解100×（1–x ）2=81，解得x 1=0.1=10%，x 2=1.9（不符合题意，舍去）．所以所求的百分率是10%． 9．【答案】160(1＋x )2=250【解析】设平均每月的增长率是x ，根据题意得，3月份的利润为160（1+x ），4月份的利润为160（1+x ）2=250，故答案是：160（1+x ）2=250．10．【答案】10%【解析】设药品成本的年平均下降率是x ，根据现在生产1 t 药品的成本=两年前生产1 t 药品的成本×(1–下降率)的平方，即可得出关于x 的一元二次方程：6000×()21x -=4860，解得：1x =10%，2x =190%（舍去）．故答案为：10%． 11．【答案】1200()21x +=1500．【解析】由于一月份生产空调1200台，三月份生产空调1500台，若二、三月份每月平均增长的百分率为x ，那么二、三月份分别生产1200（1+x ）台，1200()21x +，由此即可列出方程1200()21x +=1500．故答案为：1200()21x +=1500．（2）（万件），答：今年这种产品的产量应达到110万件.【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用---增长率问题；本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a (1+x )n =b ，其中n 为共增长了几年，a 为第一年的原始数据，b 是增长后的数据，x 是增长率． 13．【答案】C【解析】平均一人传染了x 人，根据有一人患了流感，第一轮有（x +1）人患流感，第二轮共有x +1+（x +1）x 人，即64人患了流感，由此列方程x +1+（x +1）x =64，整理得，（1+x ）2=64．故选C ． 14．【答案】D【解析】由1月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x ，可得2月份的营业额为200×（1+x ）万元，于是3月份的营业额为200×（1+x ）×（1+x ）=200×（1+x ）2万元，因此可列方程为200+200×（1+x ）+200×（1+x ）2=1000，即200[1+（1+x ）+（1+x ）2]=1000．故选D ． 15．【答案】2560x x --=【解析】每支球队都需要与其他球队赛(x −1)场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为：1(1)472x x -=⨯，(1)56x x -=，2560x x --=，故答案为：2560x x --=． 16．【答案】40%【解析】设8、9月飞机生产量平均每月的增长率是x ，由题意得，250(1)98x += ，解得：x =0.4或x =–2.4（不合题意舍去），即8、9月飞机生产量平均每月的增长率是0.4=40%．故答案为：40%．18．【答案】2x +x +1=91．【解析】由题意，设每个支干长出x 个小分支，则主干长出x 个分支，所以，一共长出x 个分支，2x 个小分支，则主干、支干和小分支的总数为：2x +x +1，即可列方程得：2x +x +1=91．故答案为：2x +x +1=91． 19．【答案】12米【解析】设BC 边的长为x 米，则AB 边的长度为1(32)2x -，根据题意得，1(32)1202x x -=，整理，得(20)(12)0x x --=， 解得：x 1=20，x 2=12，∵20>16， x 1=20不合题意，舍去，∴x =12． 答：矩形草坪BC 边的长为12米． 20．【答案】4株或者5株．【解析】设每盆花苗增加x 株，则每盆花苗有（x +3）株，平均单株盈利为：（3–0.5x ）元，由题意得：（x +3）（3–0.5x ）=10． 化简，整理，得2320x x -+=．解这个方程，得11x =，22x =，则3+1=4，2+3=5． 所以要使每盆的盈利达到10元，每盆应植4株或者5株．答：每盆应植4株或者5株．21．【答案】小路的宽应是2 m．【解析】设小路的宽为x m，依题意有：（40–x）（32–x）=1140，整理，得x2–72x+140=0．解得x1=2，x2=70（不合题意，舍去）．答：小路的宽应是2 m．22．【答案】C【解析】设平均每次下调的百分率为x，由题意，得6000（1−x）2=4860，解得：x1=0.1，x2=1.9（舍去）．答：平均每次下调的百分率为10%．故选C．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，降低率问题的数量关系的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据降低率问题的数量关系建立方程是关键．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．24．【答案】16【解析】解方程x2-10x+21=0得x1=3、x2=7，∵3＜第三边的边长＜9，∴第三边的边长为7．∴这个三角形的周长是3+6+7=16．故答案为：16．【名师点睛】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．25．【答案】（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元.【解析】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件．（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．根据题意，得（40-x）（20+2x）=1200，整理，得x2-30x+200=0，解得：x1=10，x2=20．∵要求每件盈利不少于25元，∴x2=20应舍去，∴x=10．答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．【名师点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键．26．【答案】（1）从年到年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为；（2）年该地至少有户享受到优先搬迁租房奖励.（2）设年该地有户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意得，∵，∴，，解得：.答：年该地至少有户享受到优先搬迁租房奖励.【名师点睛】本题主要考查一元二次方程与一元一次不等式的应用，由题意准确抓住相等关系并据此列出方程或不等式是解题的关键．。
人教版九年级上册数学 21.3 一元二次方程传播问题、平均变化率、几何图形典型题总结
人教版九年级上册数学21.3 一元二次方程传播问题、平均变化率、几何图形典型题总结学生姓名：年级：老师：上课日期：时间：课次：第1课时传播问题与一元二次方程1．会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题中的实际意义，检验所得的结果是否合理．2．联系实际，让学生进一步经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程，获得更多运用数学知识分析、解决实际问题的方法和经验，进一步掌握解应用题的步骤和关键．一、情境导入某细菌利用二分裂方式繁殖，每次一个分裂成两个，那么五次繁殖后共有多少个细菌呢？二、合作探究探究点：传播问题与一元二次方程【类型一】疾病传染问题有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．(1)求每轮传染中平均一个人传染了多少个人？(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？解析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意可知，在第一轮，有x个人被传染，此时，共有(1＋x)人患了流感；到了第二轮，患流感的(1＋x)人作为“传染源”，每个人又传染给了x个人，这样，在第二轮中新增加的患了流感的人有x(1＋x)人，根据等量关系可列一元二次方程解答．解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意，得1＋x＋x(1＋x)＝64，解之，得x1＝7，x2＝－9(不合题意，舍去)．答：每轮传染中平均一个人传染了7个人．(2)7×64＝448(人)．答：又将有448人被传染．方法总结：建立数学模型，利用一元二次方程来解决实际问题．读懂题意，正确的列出方程是解题的关键．【类型二】分裂增长问题月季生长速度很快，开花鲜艳诱人，且枝繁叶茂．现有一棵月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是73.求每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出x个小分支，根据题意得：1＋x＋x2＝73，解得：x1＝8，x2＝－9(舍去)．答：每个支干长出8个小分支．三、板书设计教学过程中，强调利用一元二次方程解应用题的步骤和关键．特别是解有关的传播问题时，一定要明确每一轮传染源的基数.第2课时平均变化率与一元二次方程1．掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．2．会解有关“增长率”及“销售”方面的实际问题．一、情境导入月季花每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？二、合作探究探究点：用一元二次方程解决增长率问题【类型一】增长率问题(2014·辽宁大连)某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同．(1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率；(2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？解析：(1)通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率；(2)依据求得的增长率，代入2014年产量的表达式即可解决．解：(1)设这种产品产量的年增长率为x，根据题意列方程得100(1＋x)2＝121，解得x1＝0.1，x2＝－2.1(舍去)．答：这种产品产量的年增长率为10%.(2)100×(1＋10%)＝110(万件)．答：2014年这种产品的产量应达到110万件．方法总结：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为a(1＋x)n；而增长率为负数时，则降低后的结果为a(1－x)n.某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元；从今年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达364万元，3月份后，每月生产收入稳定在3月份的水平．(1)求使用新设备后，2月、3月生产收入的月增长率；(2)购进新设备需一次性支付640万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？(累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费) 解析：(1)设2月，3月生产收入的月增长率为x，根据题意建立等量关系，即3个月之和为364万元，解方程时要对结果进行合理取舍；(2)根据题意，建立不等关系：前三个月的生产收入＋以后几个月的收入减去一次性支付640万元大于或等于旧设备几个月的生产收入－每个月的维护费，然后解不等式．解：(1)设2月，3月生产收入的月增长率为x，根据题意有100＋100(1＋x)＋100(1＋x)2＝364，即25x2＋75x－16＝0，解得，x＝－3.2(舍)，x2＝0.2，所以2月，3月生产收入1的月增长率为20%.(2)设m个月后，使用新设备所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，根据题意有364＋100(1＋20%)2(m－3)－640≥90m－5m，解得，m≥12.所以，使用新设备12个月后所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润．方法总结：根据实际问题中的数量关系或是题目中给出的数量关系得到方程，通过解方程解决实际问题，当方程的解不只一个时，要根据题意及实际问题确定出符合题意的解．【类型二】利润问题一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终向园林公司支付树苗款8800元．请问该校共购买了多少棵树苗？解析：根据条件设该校共购买了x棵树苗，根据“售价＝数量×单价”就可求解．解：∵60棵树苗售价为120元×60＝7200元<8800元，∴该校购买树苗超过60棵．设该校共购买了x棵树苗，由题意得x[120－0.5(x－60)]＝8800，解得x1＝220，x2＝80.当x1＝220时，120－0.5(220－60)＝40＜100，∴x1＝220不合题意，舍去；当x2＝80时，120－0.5(80－60)＝110＞100，∴x2＝80，∴x＝80.答：该校共购买了80棵树苗．方法总结：根据实际问题中的数量关系或题目中给出的数量关系得到方程，当求出的方程的解不只一个时，要根据题意及实际问题确定出符合题意的解．【类型三】方案设计问题菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的价格对外批发销售．由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售．(1)求平均每次下调的百分率；(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由．分析：第(1)小题设平均每次下调的百分率为x，列一元二次方程求出x，舍去不合题意的解；第(2)小题通过计算进行比较即可求解．解：(1)设平均每次下调的百分率为x，由题意，得5(1－x)2＝3.2，解得x1＝0.2＝20%，x＝1.8(舍去)．∴平均每次下调的百分率为20%；2(2)小华选择方案一购买更优惠，理由如下：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000＝14400(元)；方案二所需费用为：3.2×5000－200×5＝15000(元)，∵14400＜15000，∴小华选择方案一购买更优惠．三、板书设计教学过程中，强调解决有关增长率及利润问题时，应考虑实际，对方程的根进行取舍.第3课时几何图形与一元二次方程1．掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．2．继续探究实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解应用题．3．通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力．一、情境导入如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，你能求出所截去小正方形的边长吗？二、合作探究探究点：用一元二次方程解决图形面积问题【类型一】利用面积构造一元二次方程模型用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( )A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝6解析：设一边长为x米，则另外一边长为(5－x)米，根据它的面积为6平方米，即可列出方程得：x(5－x)＝6，故选择B.方法总结：理解题意，恰当的设未知数，把题中相关的量用未知数表示出来，用相等关系列出方程．现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长．解析：设小正方形的边长为x cm，则长方体盒子底面的长、宽均可用含x的代数式表示，再根据面积，即可建立等量关系，列出方程．解：设小正方形的边长为x cm，则可得这个长方体盒子的底面的长是(80－2x)cm，宽是(60－2x)cm，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面积，方程可列为(80－2x)(60－2x)＝1500，整理得x2－70x＋825＝0，解得x1＝55，x2＝15.又60－2x>0，∴x＝55(舍)．∴小正方形的边长为15cm.方法总结：要从已知条件中找出关键的与所求问题有关的信息，通过图形求出面积，解题的关键是熟记各种图形的面积公式，列出符合题意的方程，整理即可．【类型二】整体法构造一元二次方程模型如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．设道路宽为x米，根据题意可列出的方程为______________．解析：解法一：把两条道路平移到靠近矩形的一边上，用含x的代数式表示草坪的长为(22－x)米，宽为(17－x)米，根据草坪的面积为300平方米可列出方程(22－x)(17－x)＝300.解法二：根据面积的和差可列方程：22×17－22x－17x＋x2＝300.方法总结：解答与道路有关的面积问题，可以根据图形面积的和差关系，寻找相等关系建立方程求解；也可以用平移的方法，把道路平移构建特殊的图形，并利用面积建立方程求解．【类型三】利用一元二次方程解决动点问题如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC 向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．(1)如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？(2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．解析：这是一道动态问题，可设出未知数，表示出PC与CQ的长，根据面积公式建立方程求解．解：(1)设x s后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以AP＝x cm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2x cm.则根据题意，得12·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x＋8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4.所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.(2)设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半．则根据题意，得12(6－x)·2x＝12×12×6×8.整理，得x2－6x＋12＝0.由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于△ABC面积一半的时刻．三、板书设计与图形有关的问题是一元二次方程应用的常见题型，解决这类问题的关键是将不规则图形分割或补全成规则图形，找出各部分面积之间的关系，运用面积等计算公式列出方程；对图形进行分割或补全的原则：转化成为规则图形时越简单越直观越好.。
21.3一元二次方程与实际问题
练习1、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支 干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总 数是91，每个支干长出多少个小分支？
小 分 支 小 „„ 分 支
x
支干 „„ x
主干
小 分 支
小 分 支
x
„„
支干
„„
解：设每个支干长 出 x 个小分支，则 1 + x + x· x = 91 x 1 = 9， x2 = -10（不合题意，舍去） ． 答：每个支干长出 9 个小分支．
2 2 x1 1 , x2 1 2 2
练习 2: 某药品两次升价，零售价升为原来的 1.2 倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的 百分率（精确到0.1%） 解，设原价为 a 元，每次升价的百分率为 ， 根据题意，得 2
x
a(1 x) 1.2a
解这个方程，得
30 x 1 5 由于升价的百分率不可能是负数， 所以 x 1 30 不合题意，舍去
例2：某药品经两次降价，零售价从100元降 为原来的一半.已知两次降价的百分率一样， 求每次降价的百分率.（精确到0.1%） 解：设每次降价的百分率为 x. 根据题意，得 100 2
1001 x 2
解这个方程，得
2 但x 1 >1不合题意，舍去 2 2 x 1 29.3%. 答：每次降价的百分率为29.3%. 2
“传播问题”
例1、有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了 几个 人？ 解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人．
1+ x + x （ 1+ x）=121 答：平均一个人传染了 10 个人．
21.3 实际问题与一元二次方程(传播问题和变化率问题)九年级数学上册(人教版)
针针对对训训练练
一个人传染了几个人？
具体传播过程
【问题】如果按照这样的传播速度，第
三轮传染过后总共会有多少人得流感？
[分析]经过两轮传染后共有___1_2_1__个人患了流感,平
x
…
均每轮传染___1_0____人，则第三轮有_____1_2_1_0___人 患了流感。
一轮传染
121+121×10 = 1 331（人）
直接开方法
x2=a (a≥0)
配方法
(x+m)2=n (n≥0)
公式法
因式分解法
(x-x1)(x-x2)=0
复习巩固
【提问】回顾列方程解决实际问题的基本步骤? 1）审：分清已知未知，明确数量关系； 2）设：设未知数； 3）列：列方程； 4）解：解方程； 5）验：根据实际验结果； 6) 答：写出答案。
1.2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题 教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3 月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人． （1）求这两个月参观人数的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？
两种药品成本的年平均下降率相等
【问题】成本下降额大的药品，它的成本下降率一定也大吗？ 成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大。
21.3 实际问题与一元二次方程(几何问题和数字问题)九年级数学上册(人教版)
复习巩固Hale Waihona Puke 【提问】计算下列图形面积?
探探究究新新知知
要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩
形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等
宽，应如何设计四周边衬的宽度？
7a
【分析】封面的长宽之比是9∶7，中央的矩形的长宽之比也应是9∶7。
典典例例分分析析
针针对对训训练练
能能力力提提升升
能能力力提提升升
能能力力提提升升
3 如图，某中学课外兴题小组准备围建一个矩形花园 ABCD，其中一边靠墙，另外三边用总长 为60 m的篱笆围成，与墙平行的一边 BC上要预留2 m宽的入口（如图中MN所示，不用篱笆）， 已知墙长为 28 m． (1)当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米； (2)能否围成500平方米的矩形花园?若能求出 BC长；若不能，说明理由．
解：设水渠的宽应挖 x m . ( 92 - 2x)（60 - x ）= 6×885
解得 x1=105(舍去），x2=1 答：水渠应挖1米宽
60
60-x
92-2x
92
探探究究新新知知
如图,在一块长为 92m ,宽为 60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠 把耕地分成面积均为 885m2 的 6 个小矩形，水渠应挖多宽？ 【分析】设水渠宽为 x m，水渠的总面积为
1.根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程。 2.通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用， 经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识。
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4、如图，在Rt△ABC中，AB=BC=12cm，点D从点A开始沿边AB以2cm/s
解：设每年经营总收入的年增长率为a.经两次增长：原来数（1+x）2=现在数
4、商品销售问题：售价—进价=利润一件商品的利润×销售量=总利润 单价×销售量=销售额）
（1）.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？
8、数学问题：一个两位数，十位上数字与个位上数字之和为5；把十位上的数字与个位上数字互换后再乘以原数得736，求原来两位数．
9、动态几何：如图，在△ABC中，∠B=90o。点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动。如果P、Q分别从A，B同时出发，经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？
的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC，问点D出发几秒
后四边形DFCE的面积为20cm2？
5、已知关于x的方程
⑴求证:方程有两个不相等的实数根.
⑵当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解
6、行程问题：
（1）相对而行：甲走的路程+乙走的路程=总路程
例：A、B两地相距82km，甲骑车由A向B驶去，9分钟后，乙骑自行车由B出发以每小时比甲快2km的速度向A驶去，再经48分钟后相遇。问甲、乙的速度各是多少?
（2）追逐问题：快走的路程+慢走的路程=原来相差路程
例：经检测汽车A的制动性能：以标准速度
注意：（1）增长前与增长后的数据描述内容必须一和致；（2）必须分清增长后的是第二次增长后的数还是两次增长后的总数。
例：平均增长率问题：某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人(x+1)2=总数
（2）某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?解:设每个支干长出x个小分支,则1+x+x2=总数
2、循环问题：又可分为单循环问题，双循环问题和复杂循环问题
a．参加一次同学聚会的第每两同学之间都握一次手共所握了45次手，问有多少个同学参加聚会？
10、其他类型题：
例：象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.
11、动点问题与综合运算
1、如图， 的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以 的速度移动。如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：（1）经过几秒， 的面积等于 ?
解：设有x个同学参加聚会。 总数b解：设有x队参加比赛。 总数
b.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？
c.一个正n边形，它有35条对角线？，问是几边形？解：设是正x边形。 总数
3、平均增长率问题：M增长后数、a原始数、x平均增长率或降低率：M=a(1±x)nn为增长或降低次数
2、如图所示，人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处的位置O点的正北方向10海里外的A点有一涉嫌走私船只正以24海里/时的速度向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以26海里/时的速度追赶。在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问需要几小时才能追上（点B为追上时的位置）？
（2）.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
（3）
（3）在北京2008年第29届奥运会前夕，某超市用20元进了一批奥运会吉祥物“福娃”，售价为60元时，平均每天可售出20套。为了迎接奥运会，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存。经市场调查发现：如果每套降价1元，那么平均每天就可多售出2套。要想平均每天在销售吉祥物上盈利1200元，那么每套应降价多少？（10分）
20m/s在平直公路上行驶时，制动后40s停
下来。现A在平直公路上以20m/s的速度行
驶发现前方180m处有一货车B以6m/s的速度同向匀速行驶，司机立即制动，能否发生撞车事故？
（3）环形：相向：甲+乙=1圈 同向：快的路程 - 慢的路程=1圈
例：甲、乙两人都以不变的速度在环形路上跑步，相向而行，每隔2分钟相遇一次；同向而行，每隔6分钟相遇一次，已知甲比乙跑得快，求甲、乙每分钟各跑几圈？
7、工程问题：
某公司需在一个月（31天）内完成新建办公楼的装修工程．如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数．（2）如果请甲工程队施工，公司每日需付费用2000元；如果请乙队施工，公司每日需付费用1400元．在规定时间内：A．请甲队单独完成此项工程出．B请乙队单独完成此项工程；C．请甲、乙两队合作完成此项工程．以上三种方案哪一种花钱最少？
一元二次方程实际应用
一、列一元二次方程解应用题解应用题步骤：
1．审题；
2．设未知数，包括直接设未知数和间接设未知数两种；
3．找等量关系列方程；
4．解方程；
5．判断解是否符合题意；
6．写出正确的解．
二、常见类型
1、传播问题：
（1）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
5、面积问题：根据实际问题画图设置，根据图形进行分析
（1）如图1，在宽20米，长32米的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路(两条纵向，一条横向，并且横向与纵向互相垂直)，把这块耕地分成大小相等的六块试验田，要使试验田的面积是570平方米，问道路应该多宽?
（2）如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。①鸡场的面积能达到150m2吗？②鸡场的面积能达到180m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。（3）若墙长为 m,另三边用竹篱笆围成，题中的墙长度 m对题目的解起着怎样的作用?