普通高中课程标准实验教科书.doc

普通高中课程标准实验教科书

数学

选修1—2

第二章推理与证明

2.２直接证明与间接证明（第二课时）

２.2．２反证法

05甲李娜数学科学学院

一、教材分析

本课是人教Ａ版数学选修1—2第二章“推理与证明”第二节“直接证明与间接证明"第二课时的内容,是反证法部分.

“推理与证明”是数学的基本思维过程,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理与证明贯穿于高中数学的整个体系，也是学数学、做数学的基本功。这一部分的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳,并对后继学习起到引领的作用。

证明一般包括直接证明与间接证明.“直接证明"的两种基本方法是综合法和分析法,它们是解决数学问题常用的思维方式；“间接证明”的一种基本方法是反证法,但是反证法的应用需要逆向思维,这是学生学习的一个难点。所以,本课的关键是让学生在动脑思考、动手证明的过程中体会反证法的思维过程,建立应用反证法的感觉。

(一)重点

1.反证法的理解和定义

2.反证法的基本步骤——反设、归谬、结论

3.应用反证法进行简单的证明

(二)难点

反证法的理解

(三)关键

通过生活和数学中的例子体会反证法的思维过程,培养应用反证法的感觉二、教学目的

《标准》要求学生“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例。”这就要求教师必须重视数学知识产生和发展的过程，注意发展学生的探究精神和创新精神。

本课将通过实际生活中的例子引入、解析反证法，并在解决数学和实际生活中的问题的过程中体会反证法的思维过程,使学生自然地接受新课。

(一)知识教学点

1.理解反证法的思维过程

2.理解反证法的定义

3.掌握反证法的基本步骤

(二)能力训练点

1.掌握反证法的基本步骤，并能够应用反证法进行一些简单的证

明

2.通过反证法的教学，培养学生逆向思维的能力

3.通过半开放性问题的设置，培养学生搜集、整理资料以解决实

际问题的能力

(三)德育渗透点

在学习和生活中遇到困难的时候，要学会换个角度思考问题，也许会使问题出现转机。

三、教学方法

讲授法

四、教学条件支持

为了有效地实现教学目的、提高课堂教学效率，并考虑到学生的理解能力,借助计算机辅助教学,直观解析例题，给学生以直观、深刻的印象。

五、教学过程设计

(一)导入新课

引导语:

如何证明“世界上至少有两个人的头发根数相等"？

师生活动：

上一节已经学习了直接证明的两种方法，但是这个问题无法从正面直接证明，从而引出本课内容--一种间接证明的方法——反证法

设计意图：通过设置一个学生感兴趣的问题，寻找新知识的“生长点"，引导学生更容易地进入新课。

(二)讲授新课

1.反证法的思维过程

引导语：

分析以下事件的真实性——

一位心脏病患者，做梦梦到自己中了500万大奖,结果由于兴奋过度心脏病突发死在了床上。

师生活动:

学生可以很容易地分辨这个事件是假的，但是说不清具体的推理过程。

教师点拨：

①假设这个事件是真的；

②根据事件的叙述：中奖是梦境，所以只有做梦的人知道梦的内容（中奖）;梦的内容被流传，肯定是做梦的人说出去的；做梦的人死在了梦里；所以是死人说出去的。这个结论与常理不符.

③假设是错误的，这个事件是假的。

以上的思维过程就是反证法的内容。

设计意图:

通过对生活中显而易见的例子的解析，为新知识设置一个“载体”,引导学生更容易地理解新知识。

2.反证法的定义

引导语：

现在趁热打铁，通过上面的实例,总结反证法的过程。

师生活动:

引导学生通过①②③的分析，总结反证法的定义：

①假设原命题不成立;

②从假设出发,经过正确的推理,得出矛盾；

③由矛盾说明假设错误，原命题成立.

注：简单地说，反证法就是①通过否定原命题②导出矛盾③从而肯定原命题的方法。

设计意图：

通过分析实例，学生更容易理解反证法的定义，并且也训练

了学生从具体到一般的思维过程。

3. 反证法的基本步骤

引导语:

通过对反证法思维过程及定义的解析,很容易总结出反证法的基本步骤.

师生活动：

通过反证法的定义讲授：

①假设原命题不成立—-反设；

②从假设出发，经过正确的推理,得出矛盾——归谬；

③由矛盾说明假设错误,原命题成立——结论。

设计意图:

通过对实际问题的解析,体会了应用反证法进行证明的基本过程,水到渠成，因此此处已无需多讲，可以直接总结出反证法的基本步骤了。

(三) 应用举例

引导语：

应用反证法进行证明都是严格地按照反设、归谬、结论这三步进行的。

师生活动:

例1， 已知0a ≠,证明x 的方程ax b =有且只有一个根.

分析：

“有且仅有”的含义是“存在且唯一”：“存在性"显然,而“唯一性”则很难直接证明。正难则反,故采用反证法.

证明:

存在性：由于0a ≠，因此方程至少有一个根.b x a

= 唯一性:

解法一

①反设

假设方程不只一个根,则不妨设12,x x 是它的两个不同的根，即 12,,.ax b ax b ==

②归谬

两式相减,得

12()0.a x x -=

因为12x x ≠，所以120x x -≠,所以应有0a =，这与已知条件矛盾。

③结论

假设错误,原命题成立.即，当时0a ≠，方程ax b =有且只有一个根.

解法一设计意图:解法一中的矛盾是“与已知条件矛盾"

解法二

①反设

假设方程不只一个根，则不妨设12,x x 是它的两个不同的根，即 12,,.ax b ax b ==

②归谬

观察两式，得

12.ax ax =

因为0a ≠，所以12x x =，这与假设矛盾。

③结论

假设错误,原命题成立。即，当时0a ≠,方程ax b =有且只有一个根。

解法二设计意图:解法二中的矛盾是“与假设矛盾”