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普通高中课程标准实验教科书数学选修1—2第二章推理与证明2.２直接证明与间接证明（第二课时）２.2．２反证法05甲李娜数学科学学院一、教材分析本课是人教Ａ版数学选修1—2第二章“推理与证明”第二节“直接证明与间接证明"第二课时的内容,是反证法部分.“推理与证明”是数学的基本思维过程,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。

推理与证明贯穿于高中数学的整个体系，也是学数学、做数学的基本功。

这一部分的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳,并对后继学习起到引领的作用。

证明一般包括直接证明与间接证明.“直接证明"的两种基本方法是综合法和分析法,它们是解决数学问题常用的思维方式；“间接证明”的一种基本方法是反证法,但是反证法的应用需要逆向思维,这是学生学习的一个难点。

所以,本课的关键是让学生在动脑思考、动手证明的过程中体会反证法的思维过程,建立应用反证法的感觉。

(一)重点1.反证法的理解和定义2.反证法的基本步骤——反设、归谬、结论3.应用反证法进行简单的证明(二)难点反证法的理解(三)关键通过生活和数学中的例子体会反证法的思维过程,培养应用反证法的感觉二、教学目的《标准》要求学生“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例。

”这就要求教师必须重视数学知识产生和发展的过程，注意发展学生的探究精神和创新精神。

本课将通过实际生活中的例子引入、解析反证法，并在解决数学和实际生活中的问题的过程中体会反证法的思维过程,使学生自然地接受新课。

(一)知识教学点1.理解反证法的思维过程2.理解反证法的定义3.掌握反证法的基本步骤(二)能力训练点1.掌握反证法的基本步骤，并能够应用反证法进行一些简单的证明2.通过反证法的教学，培养学生逆向思维的能力3.通过半开放性问题的设置，培养学生搜集、整理资料以解决实际问题的能力(三)德育渗透点在学习和生活中遇到困难的时候，要学会换个角度思考问题，也许会使问题出现转机。

三、教学方法讲授法四、教学条件支持为了有效地实现教学目的、提高课堂教学效率，并考虑到学生的理解能力,借助计算机辅助教学,直观解析例题，给学生以直观、深刻的印象。

五、教学过程设计(一)导入新课引导语:如何证明“世界上至少有两个人的头发根数相等"？师生活动：上一节已经学习了直接证明的两种方法，但是这个问题无法从正面直接证明，从而引出本课内容--一种间接证明的方法——反证法设计意图：通过设置一个学生感兴趣的问题，寻找新知识的“生长点"，引导学生更容易地进入新课。

(二)讲授新课1.反证法的思维过程引导语：分析以下事件的真实性——一位心脏病患者，做梦梦到自己中了500万大奖,结果由于兴奋过度心脏病突发死在了床上。

师生活动:学生可以很容易地分辨这个事件是假的，但是说不清具体的推理过程。

教师点拨：①假设这个事件是真的；②根据事件的叙述：中奖是梦境，所以只有做梦的人知道梦的内容（中奖）;梦的内容被流传，肯定是做梦的人说出去的；做梦的人死在了梦里；所以是死人说出去的。

这个结论与常理不符.③假设是错误的，这个事件是假的。

以上的思维过程就是反证法的内容。

设计意图:通过对生活中显而易见的例子的解析，为新知识设置一个“载体”,引导学生更容易地理解新知识。

2.反证法的定义引导语：现在趁热打铁，通过上面的实例,总结反证法的过程。

师生活动:引导学生通过①②③的分析，总结反证法的定义：①假设原命题不成立;②从假设出发,经过正确的推理,得出矛盾；③由矛盾说明假设错误，原命题成立.注：简单地说，反证法就是①通过否定原命题②导出矛盾③从而肯定原命题的方法。

设计意图：通过分析实例，学生更容易理解反证法的定义，并且也训练了学生从具体到一般的思维过程。

3. 反证法的基本步骤引导语:通过对反证法思维过程及定义的解析,很容易总结出反证法的基本步骤.师生活动：通过反证法的定义讲授：①假设原命题不成立—-反设；②从假设出发，经过正确的推理,得出矛盾——归谬；③由矛盾说明假设错误,原命题成立——结论。

设计意图:通过对实际问题的解析,体会了应用反证法进行证明的基本过程,水到渠成，因此此处已无需多讲，可以直接总结出反证法的基本步骤了。

(三) 应用举例引导语：应用反证法进行证明都是严格地按照反设、归谬、结论这三步进行的。

师生活动:例1， 已知0a ≠,证明x 的方程ax b =有且只有一个根.分析：“有且仅有”的含义是“存在且唯一”：“存在性"显然,而“唯一性”则很难直接证明。

正难则反,故采用反证法.证明:存在性：由于0a ≠，因此方程至少有一个根.b x a= 唯一性:解法一①反设假设方程不只一个根,则不妨设12,x x 是它的两个不同的根，即 12,,.ax b ax b ==②归谬两式相减,得12()0.a x x -=因为12x x ≠，所以120x x -≠,所以应有0a =，这与已知条件矛盾。

③结论假设错误,原命题成立.即，当时0a ≠，方程ax b =有且只有一个根.解法一设计意图:解法一中的矛盾是“与已知条件矛盾"解法二①反设假设方程不只一个根，则不妨设12,x x 是它的两个不同的根，即 12,,.ax b ax b ==②归谬观察两式，得12.ax ax =因为0a ≠，所以12x x =，这与假设矛盾。

③结论假设错误,原命题成立。

即，当时0a ≠,方程ax b =有且只有一个根。

解法二设计意图:解法二中的矛盾是“与假设矛盾”例１设计意图：1)常见的矛盾大概有以下五种：①与已知条件矛盾;②与假设矛盾；③与定义、定理、公理矛盾；④与客观事实矛盾;⑤证明过程自相矛盾2)证明“唯一性”是数学学习中的一个难点，学生不知道从何处下手,教学中向学生指出，解决“唯一性”问题，往往采用反证法。

除此之外,遇到以下情况也常常应用反证法：①命题结论是用否定形式出现的；②命题结论是用“至多”、“至少”及类似的词语构造的;③命题结论的反面比原结论更具体、更容易的;④命题是用唯一性(如本例)、存在性表述的；⑤命题表述简单，没有更多公理、定理、法则可供论证的例2，证明“世界上至少有两个人的头发根数相等”。

（方案１、教师提供材料供学生选择;方案2、让学生分小组探究,自主搜集资料）资料一、如今世界人口已超过60亿S的相关信息：资料二、各国人口头发密度(每平方厘米的头发根数)欧洲人22673±根/平方厘米；中国人17554±根/平方厘米；日本人16654±根/平方厘米;非洲人16150±根/平方厘米。

分析:“世界上至少有两个人的头发根数相等"的反面是“世界上任何两个人的头发根数都不相等"。

证明:①反设假设世界上任何两个人的头发根数都不相等，那么我们可以按照头发根数将人编号n:秃顶的人编为０号，一根头发的人编为1号，两根头发的人编为2号,“三毛”编为3号……根据资料一,一定有人的编号大于6０亿，假定中国的李四就是其中的一个人,于是李四的头发有9610n>⨯根。

②归谬设李四的头发密度为S,头皮面积为S，根据资料二，0300S<根／平方厘米，则97610210nSS⨯=>=⨯根平方厘米=2000平方米。

300根/平方厘米即,李四的头皮面积大于2000平方米，这显然与客观事实矛盾!③结论假设错误，原命题成立。

即，世界上至少有两个人的头发根数相等。

设计意图：1)本例中的矛盾是“与客观事实矛盾”;2)对于课前无法解决的问题,现在可以通过本节课所学的知识予以解决,提高了学生学习的积极性，增强了学生的自我效能感;3)本例印证了“命题结论是用“至多”、“至少”及类似的词语构造的“常常应用反证法证明。

例3，古希腊哲学家亚里士多德有一个著名的论点：轻重不同的物体从同一高度自由下落时，一定是重的先着地。

在意大利物理学家伽利略提出反对的论点以前的一千多年里,人们对亚里士多德的说法都深信不疑。

伽利略认为，如果忽略空气阻力不计,应该是同时着地。

为此他在意大利的比萨斜塔上，让重1磅和重10０磅的两个铁球同时从同一高度自由下落,果然是同时着地。

这是科学史上一个非常著名的实验,它否定了亚里士多德的错误论点。

请问:是否可以用数学上的反证法来否定亚里士多德的论点呢？分析：设想有三个物体自同一高度同时自由下落（忽略空气阻力不计）,一个是重１磅的铁块，一个是重100磅的铁块,第三个是与上面所说的那两个铁块重量相同的铁块用铁丝焊在一起(形如哑铃）的组合体。

证明：①反设假设亚里士多德的论点是正确的,即，轻重不同的物体从同一高度自由下落时，一定是重的先着地.②归谬如果上述三组铁块同时从同一高度自由下落,那么重1磅的落得慢,重10０磅的落得快，那个用铁丝焊在一起的哑铃似的铁块要比重1０0磅的那个慢些,比重1磅的那个快些。

（因为重１０0磅的那头落得快，重1磅的那头落得慢，这就像快马拉着小羊跑一样，快马被牵扯住了)。

因此,上述三组铁块同时从同一高度自由下落，重10０磅的先着地，重101磅的第二着地,重1磅的最后着地.但是，同样是根据亚里士多德的同一理论，１磅、100磅、101磅的三组铁块同时从同一高度自由下落,根据重的先着地的原则应该是１01磅的那块先着地,这与前面所说的重１00磅的先着地矛盾。

③结论假设错误，原命题成立。

即,亚里士多德的论点是错误的。

设计意图：1) 本例中的矛盾是“证明过程自相矛盾"；2) 此例中反证法的证明简洁、有力，充分体现了数学中的美！(四) 总结新课(五) 课外探究1. 以同桌为单位,从一下两道题目中任选一道试着进行论证。

1)是无理数2) 证明质数(也称素数）有无穷多个2. 三个古希腊哲学家，由于争论激烈和天气炎热感到疲倦了，于是在花园里的一棵大树下躺下来休息一会,结果都睡着了。

这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额。

三个人醒来以后，彼此看了看,都大笑了起来，因为他们都以为其他两个人在互相取笑。

突然，一个人不笑了，因为他发觉自己的前额也给涂黑了.那么他是怎样觉察到的呢？你能想出来吗？。