离散数学 尹宝林版 第7章作业答案

第七章习题答案

2. 试问下列关系中哪个能构成函数：

(1){< x1, x2 > | x1, x2∈N, x1 + x2 <10}

(2){< x, y > | x, y∈R, y = x2}

(3){< x, y > | x, y∈R, y2 = x}

解只有(2)满足单值性，能构成函数。

6. 设X = {0, 1, 2}，求出X X中的如下函数：

(1)f2(x) = f (x)

(2)f2(x) = x

(3)f3(x) = x

解(1) 任取y∈ran( f )，则有x∈X使得f (x) = y，因而

f (y) = f2(x) = f (x) = y

若ran( f ) = {0}，则f1 = {< 0, 0 >,< 1, 0 >,< 2, 0 >}。

若ran( f ) = {1}，则f2 = {< 0, 1 >,< 1, 1 >,< 2, 1 >}。

若ran( f ) = {2}，则f3 = {< 0, 2 >,< 1, 2 >,< 2, 2 >}。

若ran( f ) = {0, 1}，则有两个函数

f4 = {< 0, 0 >,< 1, 1 >,< 2, 0 >}和

f5 = {< 0, 0 >,< 1, 1 >,< 2, 1 >}。

若ran( f ) = {0, 2}，则有两个函数

f6 = {< 0, 0 >,< 1, 0 >,< 2, 2 >}和

f7 = {< 0, 0 >,< 1, 2 >,< 2, 2 >}。

若ran( f ) = {1, 2}，则有两个函数

f8 = {< 0, 1 >,< 1, 1 >,< 2, 2 >}和

f9 = {< 0, 2 >,< 1, 1 >,< 2, 2 >}。

若ran( f ) = {0, 1, 2}，则f10必为I X 。所以，共有10个函数满足条件。

(2) 若f (x) = y≠x，则f (y) = f2(x) = x。集合

{ x | x∈X∧ f (x) ≠x }的元素个数为偶数，可为0或2。若它为0，则f1必为I X 。若它为2，则有三个函数

f2 = {< 0, 0 >,< 1, 2 >,< 2, 1 >}

f3 = {< 0, 2 >,< 1, 1 >,< 2, 0 >}

f4 = {< 0, 1 >,< 1, 0 >,< 2, 2 >}

所以，共有4个函数满足条件。

(3) 设f (x) = y≠x，f (y) = z。若z = x，则

f3(x) = f2(y) = f (z) = f (x) = y≠x，

矛盾，所以z≠x。若z = y，则

f3(x) = f2(y) = f (z) = f (y) = z≠x，

矛盾，所以z ≠ y 。这表明x , f (x ), f 2(x )是三个不同的元素。

集合{ x | x ∈X ∧ f (x ) ≠ x }的元素个数为0或3。若它为0，则 f 1 必为I X 。若它为3，则有两个函数

f 2 = {< 0, 1 >,< 1, 2 >,< 2, 0 >}

f 3 = {< 0, 2 >,< 1, 0 >,< 2, 1 >}

所以，共有3个函数满足条件。

8. 设f , g , h 是从N → N 的函数（其中N 是自然数集合），这些函数分别用下面的形式给出：

f (n ) = n + 1,

g (n ) = 2n ,

⎩

⎨⎧=是奇数是偶数n n n h 10)( 试确定：f ° f , f ° g , g ° h , h ° g 及 ( f ° g ) ° h 。 解 f ° f (n ) = n + 2 f ° g (n ) = 2n +1

⎩

⎨⎧=是奇数是偶数n n n h g 20)( h ° g (n ) = 0

⎩⎨⎧=是奇数是偶数n n n h g f 31)()( 10. 设 f 是从A → A 的函数，证明：对任意的m , n ∈N ，都有f m ° f n = f m + n 。 证明 对m 进行归纳。

(1) f 0 ° f n = I A ° f n = f n = f 0 + n 。

(2) 设 f m ° f n = f m + n 。则

f m +1 ° f n = ( f ° f m ) ° f n = f ° ( f m ° f n ) = f °

f m + n = f m + 1 + n 14. 下列函数中哪一个是单射的、满射的或双射的？

(1) f : I + → R ,

f (n ) = lo

g 10 n n > 0

(2) f : R → R ,

f (x ) = 2x -15 (3) f : R + ⨯ R → R +, f (x , y ) = x y x > 0 解 (1) f 是单射的，不是满射的、双射的。

(2) f 是单射的、满射的、双射的。

(3) 对任意x ∈R +，f (x , 1) = x ，所以 f 是满射的。

因为f (1, 1) = 1 = f (1, 2)，所以 f 不是单射的，当然不是双射的。

16. 设X , Y 是有穷集合，试问从X → Y 有多少不同的单射函数f 和有多少不同的双射函数g ？（用#X 和#Y 表示）

解 设X = {x 1,…, x m }，Y = {y 1,…, y n }。对于每个从X 到Y 的单射函数f ，f (x 1),…, f (x m )是Y 的一个m 排列，这样可以在从X 到Y 的单射函数与Y 的排列之间建立一一对应。