2020年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题 答案

2020年全国高中数学联赛
山东赛区预赛试题参考答案
一.填空题(本题共12道小题,每小题5分,共60分)
1.数列{a n }是集合{2x +2y +2z |0≤x<y<z,x,y,z ∈Z}中的数从小到大排成的数列, 则a 2020=_________________(用2a +2b +2c 的形式表示);
解:令f(x,y,z)=2x +2y +2z ,因f(21,22,23)是第3
24C =2024项,所以
a 2020=f(17,22,23)=217+222+223.
2.设二次函数f (x)=a x 2+b x+c (a >0)和一次函数y=a x+b 满足:当|x|≤1时,|f (x)| ≤1且y=a x+b 有最大值2.则函数f (x)=__________________.
解:由a >0时y=a x+b 递增,知当-1≤x ≤1时,y 最大=a +b =2.由|x|≤1时,|f (x)|≤1 及0,1∈[-1,1],得|c|≤1,|a +b +c |≤1,又a +b =2得|2+c |≤1,得-1≤c ≤-1即c=-1. 故f (0)=c=-1及|f (x)|≤1知f (x)最小=-1,所以0,02==-b a
b
,代入a +b =2得a =2, 所以f (x)=2x 2-1.
3.经过曲线x
y 1
=与y=x 2+3x -7交点的圆的方程是_______________________;
解:由交点(x,y)满足⎩⎨⎧-+==7312x x y xy ,得⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=7
3372
2x y x y x y ,相加得10622
2=+++y x y x , 即20)3()1(22=+++y x 为所求圆的方程.
4.设ΔABC 中∠A=450,∠B=600,则其外心O 到ΔABC 三边距离之比___________; 解:O 到三边a,b,c 距离分别为r a ,r b ,r c ,则B
A
S S b r a r AOC BOC b a 2sin 2sin ==∆∆, 所以
B A
r r b a cos cos =,同理C
B r r c b cos cos =,所以r a :r b :r c =cosA:cosB:cos
C 13:2:2-=;
A
B
C
O
5.正实数a,b,c 成等比数列(q ≠1),log a b,log b c,log c a 成等差数列.则公差d =______; 解:设q
b a =,c=bq,log a b=x -d,log b c=x,log
c a=x+d,则a x-
d =b,b x =c,c x+d =a.
将bq c q b
a ==,代入得⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=
==+-)
3()()2()1()(q b
bq bq b b q b d x x d
x ,将(1)×(3)得b 2x q 2d =b 2q -1,将(2)代入得
b 2q 2d+2=b 2q -1,即q 2d+3=1,因q≠1,所以2
3-=d . 6.设A,B,C 为ΔABC 的三个内角,则使得C
B A cos 23sin 1sin 1+≥+λ恒成立的实 数λ的最大值是——————;
解:因3+2cosC=42cos
2
C +1>0,所以,)sin 1
sin 1)(
12cos 4(2B
A C ++≤λ, 因]cos )[cos(2
1
2
cos
8sin sin 2cos
8)sin 1sin 1)(12cos
4(2
C B A C B A C
B
A C +-=≥++
82cos 2cos
8)
cos 1(212
cos
8==
+≥
C C
C C
,等号成立仅当A=B=300,C=1200,所以λ最大=8. 7.随机选取{1,2,…,n}中r(1≤r ≤n)个元构成子集的最小数的期望值是________.
解:集合M 含r 个元素的子集共有r
n C 个,M 中以正整数k 为最小数的含r 个
元
素的子集共有1--r k n C 个,其中1≤k ≤n -r+1.所以最小数的期望值是
r
n
r r r n r n r n C C r n C C C 11
131211)1(321--------⨯+-++⨯+⨯+⨯
=r
n r r r r r n r r r n r n C C C C C C C 111112111211)()(------------++++++++ =1
111111++==+++++---r n C C C C C C r
n r n r n r r r n r n . 8.与坐标轴交于三个不同点A,B,C 的所有抛物线y=x 2+ax +b ,ΔABC 的外接圆
恒过同一定点___________;
解:设A(x 1,0),B(x 2,0),C(0,b ),⊙ABC 交y 轴于D,显然b ≠0. 若A,B 在原点两侧,则b <0,由|b ||OD|=|x 1x 2|=|b |,得 |OD|=1,所以点D(0,1);若A,B 在原点同侧,则b >0, 由b |OD|=|x 1x 2|=b ,仍有点D(0,1).⊙ABC 恒过点D(0,1). 9.设OABC 是边长为1的正四面体，E 、F 分别为AB 与OC 的 中点.则异面直线OE 与BF 的距离是______________; 解:令则 假设是OE 与BF 的公垂线向量,则有
,取 ,则,, 所以,向量在上的射影长即为所求. 10.一棱长为6的正方体封闭空盒子中放有一半径为1的小球,若将盒子任 意翻动,则小球达不到的空间的体积是_____________ ;
解:将盒子任意翻动时,小球达不到的空间为:正方体8个角处的空间加正方 体12条棱处的空间.其中8个角处的空间合并为棱长为2的正方体挖掉半
,,,c OC b OB a OA ===,2
1),(2
1
b c BF b a OE -=+=c z b y a x n ++=⎩⎨
⎧=+=++⇔⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=+-=-++=⋅=++=+++=⋅0302330
)3(41)21)((0)233(4
1))((21y x z y x y x b c c z b y a x BF n z y x b a c z b y a x OE n c b a n 33)3,1,3(--=--=1039319||=+--=n 1)33(-=⋅--=⋅b c b a b n b OB =n 1010
|
||
|=⋅=n b n d O A
B
C x
y
D
O A
B
C x
y D
径为1的小球,其体积为π3
48-;12条棱处的空间合并为3个空心正四棱柱 (底边长2高4的正四棱柱挖去一底半径1高4的圆柱),体积为)416(3π-, 所以小球达不到的空间的体积为3
4056)416(33
48πππ-=-+-.
11.数列{a n }共1001项,a 1=0,a 1001=2020,且a k+1-a k =1或3,k=1,2,…,1000.则满 足这种条件的不同数列的个数为________(用组合数作答);
解:由a k+1-a k =1或3,a 1001=(a 1001-a 1000)+(a 1000-a 999)+…+(a 2-a 1)=2020,设1000
个差a 1001-a 1000,a 1000-a 999,…,a 2-a 1中有x 个1和y 个3,则有⎩⎨⎧=+=+10002020
3y x y x
解得⎩
⎨⎧==510490y x ,即所求数列的1000个差a k+1-a k (1≤k ≤1000)中有490个1和
510个3.因这490个1和510个3的每一个排列都唯一对应一个满足条件的
数列,故所求数列的个数是490
1000!
510!490!1000C =个.
12.用6种不同颜色,给图中n(n≥2)个彼此相连的区域A 1,A 2,…,A n 染色,任何 相邻的两个区域染不同色,则所有不同的染色方案种数a n =_________________; 解:如图记符合要求的染色方案a n 种,则区域A 1有6 种染法,区域A 2,A 3,…,A n 各有5种染法,这包括A n 与A 1染 同色或不同色两类:若区域A n 与A 1同色,则视A n ,A 1为一个
区域,共n -1个区域,符合要求的染法a n-1种;若区域A n 与A 1染不同色,则有a n 种染法.故有a n +a n-1=6×5n-1,即(a n -5n )=-(a n-1-5n-1).因a 2=6×5=30,a 2-52=5,所以 a n -5n =5(-1)n-2=5(-1)n ,故a n =5(-1)n +5n . 二.解答题(本题共4道小题,每题20分,共80分)
13.设a 为常数,0<a ≠1.求所有函数f :R +→R,对任意x,y ∈R +,f (xy)=f (x)+f (y)
A 2
A 3 A 4 A n
A n －1 A 1
…
A n-2
P
图1
且f (a )=1.
解:取x=y=1得f (1)=0,y
x y f y x f x y x f y x f y x f x f y y y )1(lim
)()1(lim )()(lim )(000/+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=→→→ )1(1)1()1(lim 1/0f x x
y f x y
f x x
y =-+=→,令C 1=f /(1),则,)(1/x C x f =21ln )(C x C x f +=,其中C 1, C 2为常数,因f (1)=C 2=0,f (a )=C 1ln a =1,所以x a
x x f a C a log ln ln )(,ln 11===
. 又显然x x f a log )(=满足方程,故x x f a log )(=为所求.
14.设AB 为椭圆16
162
2=+y x 的长轴,该椭圆的动弦PQ 过C(2,0),但不过原
点,直线AP 与QB 相交于点M,PB 与AQ 相交于点N.求直线MN 的方程. 解:椭圆为:3x 2+8y 2=48,设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),由A(-4,0),B(4,0)得直线AP,QB 为
⎩⎨
⎧-=-+=+)
4()4()
4()4(2211x y x y x y x y ,消去y 得))(4(4))(4(121221211221y y y x y x y y y x y x x M -++=++-①, 由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2
2
22212134883488x y x y 相除得222122211616x x y y --=得)(162
12221222221y y y x y x -=-②, 由P,C,Q 共线即),2(),2(2211y x CQ y x CP -=-=，共线得)(2121221y y y x y x -=-③, 将②÷③得)(8121221y y y x y x +=+④,将③,④代入①得)3(8)3(2121y y y y x M +=+,因 PQ 运动过程中213y y +不恒为0,故8=M x ,同理8=N x ,直线MN 的方程为8=x . 15.已知a ,b 均为正整数,且a >b,)20(2sin 2
2π
θθ<<+=
b
a a
b .证明:对一切正整数 n,存在锐角ϕ,使得)sin()(222ϕθ++n b a n 均为整数,
证明:由222sin b
a ab
+=θ得2222cos b a b a +-=θ,由复数(a 2+b 2)n (cos θ+isin θ)n =
(a 2+b 2)n (cosn θ+isinn θ),又[(a 2+b 2)(cos θ+isin θ)]n =(a 2-b 2+2ab i)n =(a +b i)2n
=n
n n n n n n n n n bi C bi a C bi a C bi a C a 222332322222212122)()()(+++++---
=)()(5
525233232121244242222222 -+-+-+------b a
C b a C b a C i b a C b a C a n n n n n n n n n n n .比 较实,虚部得:)4
sin()(2)sin (cos )(2222π
θθθ++=++n b a n n b a n
n =
Z b a C b a C b a C b a C b a C a n n
n n n n n n n n n ∈-+-+-+------)()(5
525233232121244242222222 . 即锐角4
π
ϕ=
满足条件.
16.求最小的正整数k,使得在任意k 个整数中,总可以选出其中的偶数个数, 其和为2020的倍数.
解:引理 任意m 个整数中必有若干个,其和为m 的倍数.
证明:设m 个整数x 1,x 2,…,x m ,S i =x 1+x 2+…+x i (i=1,2,…,m),若S 1,S 2,…,S m 被m 除的余数两两不同,则必有m|S i ;否则必有1≤i<j ≤m 使得S i ≡S j (modm),则 m|S j -S i =x i+1+…+x j ,引理得证.回到原题.
2020=2×1010,由2019个1与1个0之和为2019,2020∤2020-1,故2019个1 和1个0中不存在偶数个1之和是2020的倍数,所以k ≥2021. 任取2021个整数,设其中有t 个奇数a 1,a 2,…,a t ,s 个偶数b 1,b 2,…,b s ,其中 t+s=2021,若t 为奇数,则s 为偶数,令,2,,2,2122
14322
11---+=+=+=
t t t a a x a a x a a x 22
12
1b b x t +=
+,2,,2110104312
1s s t b b x b b x +=+=-++ ,则由引理知x 1,x 2,…,x 1010中必有若干
个之和为1010的倍数,即a 1,a 2,…,a t ,b 1,b 2,…,b s 中有偶数个之和为2020的倍 数.所以k ≤2021,k=2021.当t 为偶数,s 为奇数时,同理k=2021.综上k=2021.。