第四章 n 维向量空间
n维向量与向量空间
T
λα = (0, λa2 ,L, λan ) ∈ V1 ,
T
所以， 所以，V1是向量空间 .
10
(2) V2 = x = (1, x 2 , L , x n ) x 2 , L , x n ∈ R
T
{
}
若α = (1, a2 ,L , an ) ∈ V2 ,
T
则
(2,2a2 ,L,2an )T ∉ V2 , 2α =
所以， 所以，V2不是向量空间 .
11
维向量， 例 设 a, b为两个已知的 n维向量，集合
V = {x = λa + µb λ , µ ∈ R}
试判断集合是否为向量空间. 试判断集合是否为向量空间 解 若x1 = λ1 2b,
(1, 2, L, n)
第n个分量 个分量
第2个分量 个分量
n维实向量 维实向量
第1个分量 个分量
2
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是 维向量写成一行，称为行向量 行向量， 行矩阵， 行矩阵，如：
αT =(a1,a2,L an) ,
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是 维向量写成一列，称为列向量 列向量， 列矩阵， 列矩阵，如：
1
2 R可视作平面上以原点为起点的有向线段的全体； 可视作平面上以原点为起点的有向线段的全体； 平面上以原点为起点的有向线段的全体
可视作空间 空间直角坐标系中以原点为起点的有向 R3可视作空间直角坐标系中以原点为起点的有向 线段的全体； 线段的全体； 维向量没有直观的几何形象． n> 3时，n 维向量没有直观的几何形象．
哈尔滨工业大学数学系 第四章 N维向量
(β1, β2 ,L, βt )=(α1,α2 ,L,αm )Km×t 则 β1, β2 ,L, βt线性无关 R(K)=t (K列满秩 列满秩) 列满秩
即 β1, β2 ,L, βt线性相关 特别地,当m=t时 线性无关 β1, β2 ,L, βm R(K)<t (K不列满秩 不列满秩) 不列满秩 |K|≠0 (K可逆 可逆) 可逆 |K|=0 (K不可逆 不可逆) 不可逆
哈尔滨工业大学数学系
第四章 n 维 向 量
n维向量
n维向量的概念及其线性运算 向量组线性相关与线性无关 向量组的秩 向量空间 欧式空间
维向量的概念及其线性运算 概念及其 4.1 n维向量的概念及其线性运算
1.定义:数域F内的n个数a 1.定义:数域F内的n个数a1，a2，…，an组成的 定义 ， 有序数组—称为数域 上的（ 称为数域F 有序数组 称为数域F上的（n维）向量 a1 列 ， α 记作： 记作： =(a1，a2，…，an ) 或 α= a2 向 行向量 an 量 几个名词： 复向量、实向量、 几个名词： 复向量、实向量、Rn、 负向量( )、 负向量( −α)、零向量 相等 α = β
0
1
2
m
km
（充分 充分性）假设 α1,α2 ,L,αm 线性相关 充分 假设 则存在不全为零的数k 不全为零的数 则存在不全为零的数 1, k2 , …,km使 k1 α1,α2 ,L,αm k2 = 0 即 AK = 0 且 K ≠ 0 ( ) km R(A) ≤m-1 矛盾. R(A)+R(K) ≤m 注: 1.矩阵An×m的列向量组 α1,α2 ,L,αm线性相关 矩阵A 矩阵 R（A）<m (A不列满秩 列满秩) 列满秩 2.矩阵 n×m的行向量组线性无关 矩阵A 矩阵 R（A）=n (A行满秩 行满秩) 行满秩 3.n阶方阵 的列(行)向量组线性无关 的列( 阶方阵A的列 (A满秩 满秩) 满秩 |A|≠0
n维向量空间
n维向量空间在数学中，向量是用来表示方向和大小的量，而n维向量空间是指由n个方向上的向量组成的空间。
这种空间在许多科学和工程领域中都有广泛的应用，比如计算机图形学、机器学习、统计学等。
向量的定义和性质一个n维向量可以表示为一个包含n个实数的有序集合，通常写成列向量的形式：$$ \\begin{pmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\\\ \\vdots \\\\ x_n \\end{pmatrix} $$在 n 维空间中，两个向量的加法和数量乘法满足以下性质：1.加法交换律：$$ \\mathbf{u} + \\mathbf{v} = \\mathbf{v} + \\mathbf{u} $$2.加法结合律：$$ \\mathbf{u} + (\\mathbf{v} + \\mathbf{w}) = (\\mathbf{u} + \\mathbf{v}) + \\mathbf{w} $$3.数量乘法结合律：$$ c(\\mathbf{u} + \\mathbf{v}) = c\\mathbf{u} + c\\mathbf{v} $$4.数量分配律：$$ (c+d)\\mathbf{u} = c\\mathbf{u} + d\\mathbf{u} $$5.数量乘法分配律：$$ c(d\\mathbf{u}) = (cd)\\mathbf{u} $$6.标量乘法的单位元：$$ 1\\mathbf{u} = \\mathbf{u} $$n维向量空间的例子n维向量空间并不局限于几何空间的概念，它可以应用于更广泛的领域。
比如在机器学习中，特征向量常常被表示为n维空间中的一个点，这个点对应于特征空间中的一个特定特征组合。
另外，在数字信号处理中，信号通常被表示为一个n 维向量，这样可以更好地处理信号的复杂性。
向量的内积和外积在 n 维空间中，向量的内积和外积是两个重要的运算。
内积定义如下：$$ \\mathbf{u} \\cdot \\mathbf{v} = \\sum_{i=1}^{n} u_i v_i $$内积有许多重要的性质，比如内积为零表示两个向量正交，内积的值与向量夹角的余弦有关等。
北京工业大学线性代数第四章第一节 n 维向量空间
n
向量组 1 , 2 , , n 称为矩阵A 的列向量组．
10
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2 a1n 1 1 a 2 n 2 2 ， a in i m a mn m
23
例4 已知
1 1, 4, 0, 2，2 2, 7, 1, 3， 3 0, 1, 1, a , 3, 10, b, 4 , 不能由1 ,2 ,3 线性表出? ⑴ a , b为何值时， 能由1 ,2 ,3 线性表出且表示法 ⑵ a , b 为何值时，
, n
n xn 是否有解。
n xn
,n 线 性表出.
19
＊若方程组 1 x1 2 x2
有解，则 可以由1 ,2 ,
n xn
,n 线 性表出.
且方程组的一组解就是表出系数． ① 若方程组有唯一解，则 可以由1 ,2 , ,n 线性表出且表示法唯一. ② 若方程组有无穷多解，则
1
第一节 n 维向量空间
一． n 维向量空间的概念 二．向量与矩阵的关系 三．向量的线性组合与线性表出
2
一． n 维向量空间的概念 一个mn矩阵的每一行都是由n个数组成 的有序数组,其每一列都是由m个数组成的有序 数组。 n元线性方程组的一个解也是由n个数 组成的有序数组。所以研究线性方程组解的结 构离不开有序数组。 1.定义:由数域P 中n 个数组成的有序数组称为 数域P 上的一个n 维向量，用小写的希腊字母 , , …表示．
线性代数--向量空间
dx4 0 d 2 x4
0
a 3 x1 b3 x2 c 3 x3 d 3 x4 0
该方程组的系数行列式
1111 abcd a2 b2 c2 d 2 (b a)(c a)(c b)(d a)(d b)(d c) a3 b3 c3 d 3
由于a，b，c，d各不相同.，所以行列式不等于零
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 am1 x1 am2 x2 amn xn bm
含n个未知量m个方程的线性非齐次方程组可写成矩阵形式
a11 a12 a1n
x1 b1
AX
b
其中
A
a21
a22
a2n
,
a a 3 = (1,c,c2 , c3 , )T , 4 = (1,d, d2 , d3 )T
（其中a，b，c，d各不相同）
解 考察 x1a1 x2a2 x3a3 x4a4 0
x1 x2 x3 x4 0
按分量写出来，即为
a
2
ax1 x1
b
bx2 2 x2
cx3 c2 x
3
线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由 其余向量线性表示。
k1a1 k2a2 ksas 0 (1) 则称向量组a1,a2, as 线性相关；
否则称之为线性无关。
即当且仅当 k1 k2 ks 0 时，(1)式才成立，
则称向量组 a1,a2 , as , 线性无关。
注意
(1) 任何含有零向量的向量组都线性相关. （2） 仅含两个向量的向量组，它线性相关的充分
X
x2
,
b
b2
am1
am2
线性代数N维向量空间基与维数
§ 4.4 向量空间
12 解: 0 1
1 0
1 1 1
1 1 1
初等 行变换
1 0 0
2 1 0
1 1 0
1 1 0
可见dim L(A1, A2, A3, A4) = 2, A1, A2是L(A1, A2, A3, A4)的一组基.
注: 此外A1, A3也是L(A1, A2, A3, A4)的一组基. 还有A1, A4.
分别为x, y, 则
x = Py, y = P1x.
证明: = (1, 2, …, r)x = (1, 2, …, r)y = (1, 2, …, r)Py
(1, 2, …, r)(x Py) = 0. 又因为1, 2, …, r线性无关,
所以x Py = 0, 即x = Py, 进而y = P1x.
L(A1, A2, …, As)——A的列空间(column space) dimL(A1, A2, …, As) = 秩(A).
1 2 1 1Biblioteka 例3. 设A = [A1, A2, A3, A4] = 0 1 1 1 ,
1 0 1 1
求L(A1, A2, A3, A4)的一组基和维数.
第四章 n维列向量空间
事实上, 对于这个例子, 除了A3, A4以外, A1, A2, A3, A4中任意两个向量都构成 L(A1, A2, A3, A4)的一组基.
第四章 n维列向量空间
三. 向量在基下的坐标
1, 2, …, r——V 的一组基,
§ 4.4 向量空间
由定义, 对V, 唯一的一组有序实数 k1, k2, …, kr使得 = k11+k22+…+krr .
则称V是Rn的一个子空间(subspace), 或直接 称为一个(实)向量空间(real vector space). 仅含有零向量0的集合{0}关于向量的线性运 算也构成一个向量空间.
线性代数-N维向量空间-第5节-标准正交基
n
[, ] = i=1aibi = T.
第四章 n维列向量空间
2. 内积的基本性质
(1) 对称性: [, ] = [, ];
§ 4.5 内积与正交矩阵
(2) 线性性: [k11+k22,] = k1[1, ]+k2[2,];
(3) [, ] 0; 且[, ] = 0 = 0 .
(3) 三角不等式(Triangle Inequality):
| +| |||| + ||||.
第四章 n维列向量空间
§ 4.5 内积与正交矩阵
5. 长度为1的向量称为单位向量(unit vector).
对于非零向量, ||||1是一个单位向量.
——单位化/标准化(normalize).
(i,j1,2,
i j
,n),
故Ae1，Ae2，…，Aen也是一个标准正交组.
第四章 n维列向量空间
§4.5 内积与正交矩阵
§4.5 内积与正交矩阵
一. Rn中向量的内积, 长度和夹角
1. 设 =(a1, a2, …, an)T, =(b1, b2, …, bn)T,
则称实数
n
i=1aibi
为向量
与
的内积
(inner/dot/scalar product).
记为[, ], 即
(4) (Cauchy-Schwartz Inequality) |[, ]| [, ] [, ].
考察y = [, ]x2 + 2[, ]x + [, ].
n
=
i=1
(xai
+
bi)2
0
n维向量空间
第 三
aT (a1 ,a2 ,,an )
章
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
n
维 矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
向 量
a1 Hale Waihona Puke 空 间aa2
或 a (a1, a2 ,, an )T
an
杨建新
第一节 n 维向量空间
第
n
三 章
定理
向量空间V的非空子集L构成子空间的充分 必要条件是： L对于V中的线性运算封闭．
维
向 量
若 L, L, 则 L;
空 间
若 L, R, 则 L.
1 任何一个子空间至少包含一个零向量 2 {0}, Rn 都是 Rn 的子空间。称为平凡子空间.
杨建新
第一节 n 维向量空间
空 间
飞机重心在空间的位置参数 P (x, y, z)
所以，确定飞机的状态，需用6维向量
a ( x, y, z, , , )
杨建新
第一节 n 维向量空间
第 三
有问题可通过Email询问:
章
n
维 向
mathgaoshu@
量
空
间
杨建新
n
维 向
事实上， 0 V1 ,0 V2, 0 V1 V2
量 空 间
任取 , V1 V2, 即 , V1,且 , V2,
则有 V1, V2, V1 V2
同时有 k V1,k V2, k V1 V2, k P
故 V1 V2 为V的子空间.
杨建新
第一节 n 维向量空间
第
n
三 章
kA ka1 kb1 0 0 0 kc1
第四章 n 维向量空间
4.2.3 向量的线性相关与线性无关 线性相关和线性无关与线性表示概念密切联系。 定义4.3 设有n维向量组A : α1 , α2 , L , αm , 如果存在一组 不全为0的数k1 , k2 ,L , km，使 k1α1 + k2 α2 + L + km αm = 0 称向量组A 线性相关。 若仅当k1 = k2 = L = km = 0时，有 k1α1 + k2 α2 + L + km αm = 0 成立，称向量组A 线性无关。 给定的向量组A，线性相关或线性无关二者必居其一。
线 性 方 程 组 (4.2)可 表 示 为 两 种 矩 阵 方 程 ： (1) . 将 所 有 系 数 构 成 一 个 系 数 矩 阵 A a 11 a 12 a 21 a 22 M M a n1 a n 2 即 ： AX = L L M L B a1m a2m M a nm = β b1 b2 = M bn a1m a2m M a nm x1 x2 M xm b1 b2 = M bn
例4.3 证明任意n维向量α = (a1 , a2 ,L, an )T 可由基本单位向量 e1 = (1, 0,L, 0)T , e2 = (0,1,L, 0)T ,L, en = (0, 0,L,1)T 唯一地线性表示。 解 由 1 0 L 0 a1 0 1 L 0 a2 ( e1 , e2 ,L, en , α) = M M M M 0 0 L 1 an 可知 rank(e1 ,e2 ,L, en ) = rank(e1 ,e2 ,L, en , α) = n。 因此，α可由e1 ,e2 ,L, en唯一地线性表示。显然 α = a1e1 + a2 e2 +Lan en
第四章 n维向量
§4.2
向量组的线性相关性
可写成
( a1 a 2
x1 x2 an ) =b xn
即
x1a1 + x2a 2 + + xna n = b ,
T
其中a j = (a1 j , a2 j ,, amj ) ( j = 1,2,, n)
b = (b1, b2 ,, bm )T
§4.2
向量组的线性相关性
给定向量组T：a1,a2, …,am和向量b, 如果存在一组 实数 k1 , k2 , … , km , 使 b = k1a1+k2a2+…+kmam 则称向量 b 是向量组T的线性组合或称向量 b 可由向 量组 T 线性表示 例4.5 若记 e1=(1,0, …,0),e2=(0,1, …,0)，…，en=(0,0, …,1)
分量全是实数的向量叫做实向量，
分量是复数的向量叫做复向量。
§4.1 n 维向量及其线性运算
注： 1.a = ( x1 ,x2 , … ,xn) ——n维行向量；
x1
a=
x2
——n维列向量;
xn
2.若向量的所有分量都等于0，则称该向量为零向 量，在不引起混淆的情况下，简记为0.
§4.1 n 维向量及其线性运算
的n+s维 向量组b1,b2, …,bm仍线性无关。
§4.3 向量组的秩
§4.3
向量组的秩
一、向量组的极大线性无关组
定义4.5 设向量组T的一个部分组 {a1 , a 2 , , a r } T， 若满足 (1) a1 , a 2 , , a r 线性无关；
(2)向量组T 中每一个向量均可由 {a1 , a 2 , , a r } 线性表示 则称 {a1 , a 2 , , a r } 是向量组T的一个极大
4-1 n维向量空间
例6 设向量组1 , 2 , 3 线性无关. 证明:
(3)向量组的一个部分组线性相关,则整体线性相关. 例7 设A是 n阶矩阵, 是n维列向量,若存在正 Am1 , Am , 则 整数m,使得 m1 , A ,, A 线性无关. (证明见黑板)
定义2 在向量组(I) 1 , 2 ,, m 中， 如果存在r个向量 i1 , i 2 ,, ir ，满足： （无关性） (1) i1 , i 2 ,, ir 线性无关；
性质： (1)每个向量组与其极大无关组等价。
(2) 一个向量组的极大无关组可以不唯一，但都是 等价的，且所含向量个数相等。
推论2 若线性无关的向量组 1 , 2 ,, t 与线 性无关的向量组 1 , 2 ,, s 等价,则 t s
(2) (I)中每个向量都可由i1 , i 2 ,, ir线性表示。 （极大性） 则称i1 , i 2 ,, ir是向量组(I) 的一个极大线性 无关向量组(简称极大无关组)。
由此可得,教材中的定理4.3-4.5(见page127).
推论1 n个n维向量的向量组线性无关
向量组的行列式 0.
R n中向量个数超过n的向量组必线性相关 推论2
R n中的n个向量1 , 2 ,, n 线性无 推论3 如果 R n中任何一个向量都可以由1 , 2 ,, n 线 关，则 性表示，且表示法唯一。
定义4 实数域R上的全体n维向量，当定义 了上述向量的加法和数乘运算后，就称其为 实数域R上的n维向量空间，记作 R n。
定义5 设 V 是 R 的一个非空子集,如果
n
(1) V 对向量的加法是封闭的,即
《几何与代数》科学出版社第四章n维向量
但表示方式不唯一
Ax=b无解 b不能由A1,…,An 线性表示
第四章 n维向量
§4.1 n维向量空间
Ax=b 唯一解 b能由A1,…,An唯一线性表示 有解 无穷多解b能由A1,…,An线性表示
解析几何与线性代数中向量的联系与区别
向量
解析几何(n3)
线性代数
既有大小又有方向的量 坐 有次序的实数组成的数组
几何形象：可随意平
标
代数形象：向量的
行移动的有向线段
系
坐标表示式
(a1, a2,L , an )T
第四章 n维向量
§4.1 n维向量空间
解析几何与线性代数中向量空间的联系与区别
解析几何
3k1k1204kk2 211 k2 1
此时方程组无解。
不能用 与
线性表示
第四章 n维向量
§4.1 n维向量空间
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1,
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 ,
am1 x1 am2 x2 amn xn bm .
§4.1 n维向量空间 一. n维向量的概念 二. n维向量的线性运算 三. 线性组合与线性表示 四. Rn的子空间
第四章 n维向量
一. n维向量的概念
§4.1 n维向量空间
定义 n 个有次序的数 a1, a2 , , an 所组成的数 组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，
第i个数ai 称为第i个分量 .
几何与代数
主讲: 关秀翠
东南大学数学系
第四章 n维向量
教学内容和学时分配 教学内容
§4.1 n维向量空间 §4.2 向量组的线性相关性 §4.3 子空间的基和维数 §4.4 向量的内积 §4.5 线性方程组的解的结构 §4.7 用Matlab解题
维向量空间
维向量空间n-维向量空间（n-dimensional vector space），在解析几何中有些事物的性质不能用一个数来刻画，如一个n元方程组的解是由n 个数组成，而这n个数作为方程组的解是一个整体，分开来谈是没有意义的，这时我们就需要用n维向量来刻画方程组的解。
在几何上这样的例子是很多的，所以n维向量在抽象代数这一领域的研究中起着很重要的作用。
若向量空间V中分别有两组基，[a1a2⋅⋅⋅an]与[b1b2⋅⋅⋅bm]，那么这两组基有什么特点呢？实际上，只要是同一个向量空间中的基，它们包含的向量数目一定是相等的，即m=n=dimV我们将这个固定的数字dimV称为向量空间的维数。
若dimV是有穷的，我们称向量空间V是有限维的，否则称V是无限维的。
在绝大多数情况下，机器学习聚焦的都是有限维的向量空间，因为无限维的向量空间性质上会有一些不同。
下面是一些显而易见的定理：定理1：有限维向量空间的任意两个基的长度都相同（都等于dimV）。
证明：设B1,B2是V中的任意两组基，则B1在V中是线性无关的，并且B2张成V，因此B1的长度不小于B2长度，互换B1,B2的角色，可以得出B2的长度不小于B1长度，因此两个向量组长度相等。
定理2：若V是有限维的，并且U是V的子空间，则dimU≤dimV。
定理3：若V是有限维的，则V中每个长度为dimV的张成向量都是V的一个基。
定理4：如果V是有限维的，则V中每个长度为dimV的线性无关向量组都是V的基。
定理5：如果U1,U2是同一个有限维向量空间的两个子空间，那么dim(U1+U2)=dimU1+dimU2−dim(U1∩U2)定理6：在有限维向量空间中，线性无关向量组的长度小于或等于张成向量组的长度。
定理7：在有限维向量空间中，每个线性无关向量组都可以扩充成一组基。
线性代数N维向量空间第3节极大无关组
B = (1, 2 , 3) = (1, 2)
1 1
1 2
1 1
= AD,
21
C = (1, 2) = (1, 2, 3) 1 1 = BF,01=(1,2)1 1
1 2
1 1
2 1 0
1 1 1
= (1, 2)
3 4
1 0
= A(DF).
一般地, B能由A线性表示 C能由B线性表示
C能由A线性表示.
向量组的线性表示:
列向量j = b1j1 + b2j2 + …+ bsjs , j =1, 2, …, n, 行向量i = ai11 + ai22 + …+ aiss, i =1, 2,…, m.
第四章 n维列向量空间
3. 传递性
§4.3 向量组的极大线性无关组
A = (1, 2), B = (1, 2, 3), C = (1, 2),
第四章 n维列向量空间
§4.3 向量组的极大线性无关组
§4.3 向量组的极大线性无关组 一. 基本概念
列向量组: 1, 2, …, s
矩阵A = (1, 2, …, s)
矩阵A的秩
向量组1, 2, …, s的秩
r(1, 2, …, s)
第四章 n维列向量空间
§4.3 向量组的极大线性无关组
行向量组: 1, 2, …, s
1 0
0 1
1 0
第四章 n维列向量空间
§4.3 向量组的极大线性无关组
(2) 只含有一个向量的向量组线性相关
= 0.
(3) 含有零向量的向量组一定线性相关.
(4) 含有两个向量, 的向量组线性相关 , 的分量成比例.
第4章 矩阵的秩与n维向量空间
第4章矩阵的秩与n维向量空间本章主要内容：n维向量的概念与线性运算向量组的线性相关线性无关的概念及其有关的重要理论向量组的最大无关组向量组的秩矩阵的秩与向量组的秩之间的关系向量空间与子空间基底与维数向量的坐标与坐标变换公式向量的内积正交矩阵教学目的及要求：理解n维向量的概念，掌握向量的线性运算．理解向量组的线性相关，线性无关的定义及有关的重要结论．理解向量组的最大无关组与向量组的秩，理解矩阵的秩与向量组的秩之间的关系，并掌握用初等变换求向量组的秩．理解基础解系的概念，了解n维向量空间及子空间，基底，维数，坐标等概念．掌握向量的内积及其性质、向量的长度及其性质、正交向量、正交向量组及其性质、正交规范化方法以及正交矩阵及其性质．教学重点：向量组的线性相关、线性无关的概念及其有关的重要理论；向量组的正交规范化的方法；正交矩阵的概念及其性质．教学难点：向量组的线性相关、线性无关的概念及其有关的重要理论；施密特正交化方法及应用教学方法：启发式教学手段：讲解法教学时间：8学时教学过程：4．1 矩阵的秩矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征，是矩阵在初等变换下的一个不变量，它能表述线性代数变换的本质特性，矩阵的秩在研究n 维向量空间的空间结构及向量之间的相互关系中起着重要的作用．定义4．１ 设A 是一个m n ⨯矩阵，任取A 的k 行与k 列(,k m k n ≤≤)，位于这些行列交叉处的2k 个元素，按原来的次序所构成的k 阶行列式，称为矩阵A 的k 阶子式．m n ⨯矩阵A 的k 阶子式共有k n k m C C 个．定义4．2 设A 是一个m n ⨯矩阵，如果A 中至少存在一个非零的r 阶子式D ，且所有1r +阶子式（如果存在的话）全为零，那么D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，数r 称为矩阵A 的秩，记作()R A ．并规定零矩阵的秩等于0． 由上述定义可知：（1）()R A 是A 的非零子式的最高阶数； （2）0()min{,}m n R A m n ⨯≤≤；（3）()()TR A R A =；（4） 对于n 阶方阵A ，有()0R A n A =⇔≠． 例4．1 求矩阵A 和B 的秩，其中251003042A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，123101110000B -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭．解 由于0A ≠，因此()3R A =．由于B 的所有3阶子式全为零，显然1201-是B 的一个二阶非零子式，因此()2R B =．对于行、列数较多的矩阵A ，用秩的定义计算()R A ，有时要计算很多个行列式，工作量相当大．此时，通常用初等变换来计算()R A ．下面介绍这种方法，为此，先证明一个很重要的定理．定理4．1 若~A B ， 则()()R A R B =．证 先证明：若A 经一次初等行变换变为B ，则()()R A R B ≤．设()R A r =，且A 的某个r 阶子式0D ≠．设 D 是由矩阵A 中的第1i ，2i ，…， r i 行与第1j ，2j ，…， r j 列交叉元组成的，A 经一次初等行变换变为B ，变换后的D 在B 中的位置为第'1i ，'2i ，…， 'r i 行与第1j ，2j ，…， r j 列，有这些行列交叉元组成的r 阶子式记作1D ，显然，1D 是由D 经过一次初等变换得到的， 从0D ≠可推出10D ≠，从而()R B r ≥．由于B 亦可经一次初等变换变为A ，故也有()()R B R A ≤，因此()()R A R B =． 从而，若~rA B ，则()()R A R B =．于是，~cA B ，则~rT T A B ，故()()()()TTR A R A R B R B ===． 由此得证，若~A B ，则()()R A R B =．证毕． 例4．2 设14122383612211028223A -⎛⎫⎪--⎪= ⎪-⎪---⎝⎭求()R A ，并求A 的一个最高阶非零子式．解 由于123451412238361(,,,,)2211028223A a a a a a -⎛⎫⎪-- ⎪=⎪-⎪---⎝⎭2134331423221234514122010333~ (,,,,)0006100000r r r r r r r r r r r b b b b b B --+----⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭，显然()3R B =，因此()3R A =．可见，112412411421423860103(,,)(,,)221006282000~r A a a a b b b B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪== ⎪ ⎪--⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，显然，1()3R B =，所以1()3R A =，故1A 中必有3阶非零子式．1A 的前三行构成的子式：142386600221-=≠- 也是A 的一个最高阶非零子式．例4．3 设1111112k A k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，12b k ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，(,)B A b =问k 取何值，可使（1）()()3R A R B ==；（2）()()R A R B <；（3）()()3R A R B =<．解 由于13213111111221101121122011212~rr r r r kr k B k k k k k k k ↔--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭3223(1)(1)112201120021~r r r r k k kk +÷-÷-⎛⎫⎪-- ⎪⎪+⎝⎭因此（1） 当0k ≠且1k ≠时，()()3R A R B ==；（2） 当0k =时，()2,()3,()()R A R B R A R B ==<；（3） 当1k =时，322112211221122011200110011002100220000~r r kk kk -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()23R A R B ==<．矩阵的秩的性质：① 0()min{,}m n R A m n ⨯≤≤． ② ()()TR A R A =．③ 若~A B ，则()()R A R B =． ④ 若P 、Q 可逆，则()()R PAQ R A =．⑤ max{(),()}(,)()()R A R B R A B R A R B ≤≤+．特别地，当B b =为列向量时，有()(,)()1R A R A b R A ≤≤+．证 由于A 的最高阶非零子式也是(,)A B 的非零子式，所以()(,)R A R A B ≤．同理有()(,)R B R A B ≤．从而max{(),()}(,)R A R B R A B ≤．设(),()R A r R B s ==．则A 和B 列阶梯形0A 和0B 中分别含有r 个和s 个非零列．因为00,~~ccA AB B ，所以00(,)(,)~cA B A B ．由于00(,)A B 中只含有r s +个非零列, 所以00(,)R A B r s ≤+，而00(,)(,)R A B R A B =，故(,)R A B r s ≤+，即(,)()()R A B R A R B ≤+．⑥ ()()()R A B R A R B +≤+．证 显然(,)(,)~cA B B A B +，故()(,)(,)()()R A B R A B B R A B R A R B +≤+≤≤+⑦ ()min{(),()}R AB R A R B ≤．证 设(),()R A r R B s ==．又设A 的行阶梯形为0A ，B 的列阶梯形为0B ，则存在可逆矩阵P 和Q 使00,A PA B B Q ==．因为00AB PA B Q =，所以00()()R AB R A B =．由于0A 有r 个非零行,0B 有s 个非零列，因此00A B 至多有r 个非零行和s 个非零列．故00()min{,}min{(),()}R A B r s R A R B ≤=，即 ()min{(),()}R AB R A R B ≤． ⑧ 若m n n l A B O ⨯⨯=，则()()R A R B n +≤．证 设矩阵 m n A ⨯秩为r ， 显然r n ≤，对矩阵 m n A ⨯存在可逆矩阵m P 和n Q 使rm m n n EO P A Q O O ⨯⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1m m n n n nl m m n nl P A Q Q B P A B O -⨯⨯==，1()()n nl nl R Q B R B -=，设1r l n nl n l n r l C Q B C C ⨯-⨯-⨯⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，则 1m m n n n nl P A Q Q B -⨯＝rE O OO ⎡⎤⎢⎥⎣⎦r l n r l C C ⨯-⨯⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝r r lE C O O O O ⨯⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所以1n nl n l n r l O Q B C C -⨯-⨯⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，n l C ⨯至多有n 行不全为零， ()()n l R C R B n r ⨯=≤-()()()R A R B r R B r n r n +=+≤+-=例4．4 设n 阶矩阵A 满足2,A A E =为n 阶单位阵， 证明：()()R A R A E n +-=证 由2A A =，知 ()A A E O -= ，由性质8，有()()R A R A E n +-≤由于()A E A E +-=，由性质6，有()()()R A R E A R E n +-≥=而()()R A E R E A -=-，所以()()R A R A E n +-=．4．2n 维向量定义4．3 n 个有次序的数12,,,n a a a 所组成的数组称为n 维向量，记为12n a aa a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭或 12(,,,)T n a a a a =其中(1,2,,)i a i n =称为向量a 或T a 的第i 个分量．分量全为实数的向量称为实向量，分量为复数的向量称为复向量．向量12n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭称为列向量，向量12(,,,)Tn a a a a =称为行向量．列向量用黑体小写字母,,,a b αβ等表示，行向量则用,,,TTTTa b αβ等表示．如无特别声明，向量都当作列向量．n 维向量可以看作矩阵，按矩阵的运算规则进行运算．n 维向量的全体所组成的集合1212{(,,,)|,,,}n T n n R x x x x x x x R ==∈叫做n 维向量空间．n 维向量的集合121122{(,,,)|}T n n n x x x x a x a x a x b =+++=叫做n 维向量空间nR 中的1n -维超平面．若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组；反之，一个含有限个向量的向量组总可以构成一个矩阵，例如，n 个m 维列向量所组成的向量组12,,,n a a a 构成一个m n ⨯矩阵12(,,,)m n n A a a a ⨯=m 个n 维行向量所组成的向量组12,,,mT T Tβββ构成一个m n ⨯矩阵 12T T m nT m B βββ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭综上所述，含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．定义4．4 给定向量组12:,,,m A a a a ，对于任何一组实数12,,,m k k k ，表达式1122m m k a k a k a +++称为向量组A 的一个线性组合，12,,,m k k k 称为其系数．给定向量组12:,,,m A a a a 和向量b ，如果存在一组数12,,,m λλλ，使1122m m b a a a λλλ=+++，则称向量b 可由向量组A 线性表示．向量b 可由向量组A 线性表示，也就是方程组1122m m x a x a x a b +++=有解．例4．5 向量组12(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1)T T T n e e e ===称为n 维单位坐标向量．对任一n 维向量12(,,,)T n a a a a =，有1122n n a a e a e a e =+++例4．6 设123(1,2,,1),(2,1,1),(2,2,4),(1,2,3)T T T T αααβ==-=--=--证明：向量β可由向量组123,,ααα线性表示，并求出表示式．证 由于12312211001/3(,,,)21220102/311540011~r αααβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭所以向量β可由向量组123,,ααα线性表示，且表示式为1231233βααα=-+定义4．5 设有两个向量组12:,,,m A a a a 及12:,,,l B b b b ，若B 组中的每个向量都可由向量组A 线性表示，则称向量组B 可由向量组A 线性表示．若向量组A 与向量组B 可相互线性表示，则称这两个向量组等价．4．3 向量组的线性相关性定义4．6 给定向量组12:,,,m A a a a ，如果存在不全为零的数12,,,m k k k ，使11220m m k a k a k a +++=则称向量组A 是线性相关的，否则称为线性无关．向量组12:,,,m A a a a 构成矩阵12(,,,)m A a a a =，向量组A 线性相关，就是齐次线性方程组11220m m x a x a x a +++=即0Ax =有非零解．例4．7 n 维单位坐标向量组12,,,n e e e 线性无关．证 设有数 n x x x ，，，21 使 02211=+++n n e x e x e x ，即 021=Tn x x x ），，，（故021====n x x x ，，所以n e e e ，，， 21线性无关． 例4．8 设112223334441,,,βααβααβααβαα=+=+=+=+，证明：向量组1234,,,ββββ线性相关．证 由于1324ββββ+=+，所以向量组1234,,,ββββ线性相关． 例4．9 设n 维向量组12:,,,m A a a a 线性无关，P 为n 阶可逆矩阵，证明：12,,,m Pa Pa Pa 也线性无关．证 用反证法．如若不然，假设12,,,m Pa Pa Pa 线性相关，则齐次方程组 11220m m x Pa x Pa x Pa +++=有非零解．上式两边左乘1P -可得11220m m x a x a x a +++=也有非零解，于是12,,,m a a a 线性相关， 这与题设相矛盾．因此12,,,m Pa Pa Pa 线性无关．下面给出线性相关和线性无关的一些重要结论． 定理4．2 向量组12:,,,(2)m A a a a m ≥线性相关的充要条件是在向量组A 中至少有一个向量可由其余1m -个向量线性表示． 证 必要性．设向量组12:,,,m A a a a 线性相关，则有不全为0的数12,,,m k k k （不妨设10k ≠），使11220m m k a k a k a +++=从而21211mm k k a a a k k =---即1a 可由2,,m a a 线性表示．充分性．设向量组A 中有某个向量可由其余1m -个向量线性表示，不妨设m a 可由11,,m a a -线性表示，即有121,,,m λλλ-，使112211m m m a a a a λλλ--=+++于是112211(1)0m m m a a a a λλλ--++++-=因为121,,,,1m λλλ--这m 个数不全为0，所以向量组A 线性相关．定理4．3 若向量组12:,,,r A a a a 线性相关，则向量组121:,,,,r r B a a a a +也线性相关．换言之，若向量组B 线性无关，则向量组A 也线性无关．证 由于向量组12,,,r a a a 线性相关，所以存在不全为零的r 个数12,,,r k k k ，使11220r r k a k a k a +++=从而 1122100r r r k a k a k a a +++++⋅=且12,,,,0r k k k 这1r +个数不全为零．因此，121,,,,r r a a a a +线性相关．定理4．4 设向量组12:,,,r A a a a 线性无关，而向量组12:,,,,r B a a a b 线性相关，则向量b 必可由向量组A 唯一地线性表示．证 由于向量组12:,,,,r B a a a b 线性相关，所以存在不全为零的1r +个数12,,,,r k k k k ，使11220r r k a k a k a kb ++++=如0k =，则12,,,r k k k 必不全为零，于是11220r r k a k a k a +++=这与向量组12:,,,r A a a a 线性无关矛盾，所以0k ≠．故1212rr k kk b a a a k kk=----设有1122r r b a a a λλλ=+++，111111a a a b μμμ+++= 两式相减，则有111222()()()0r r r a a a λμλμλμ-+-++-=由向量组12:,,,r A a a a 线性无关，0(1,2,,)i i i r λμ-==．即(1,2,,)i i i r λμ==．所以，向量b 可由向量组A 唯一地线性表示．定理4．5 向量组12:,,,r A a a a 线性相关⇔()R A r <．换言之，向量组12:,,,r A a a a 线性无关⇔()R A r =．证 必要性．设向量组12:,,,r A a a a 线性相关，则存在不全为零的r 个数12,,,r k k k （不妨设0r k ≠），使11220r r k a k a k a +++=即121121r r r r rrk kk a a a a k k k --=----对12(,,,)r A a a a =施行初等列变换121121r r r r rrk kk c c c c k k k --++++可将A 的第r 列变成０，故121(,,,,0)~cr A a a a -，所以121()(,,,)r R A R a a a r -=<充分性．设()R A s r =<，可用列初等变换将A 化为列阶梯形矩阵，即存在可逆矩阵Q ，使得），（0s n C AQ ⨯=，矩阵A 的列向量组n a a a ，，21线性相关． 定理4．6 若向量组12,,,r a a a 线性相关，向量组12,,,r b b b 可由向量组12,,,ra a a 线性表示，则向量组12,,,r b b b 也线性相关． 证 向量组12:,,,r B b b b 可由向量组12:,,,r A a a a 线性表示，则有1211112211122(,,,)(,)r r r r r rr r B b b b k a k a k a k a k a k a ==++++++即11211122221212(,,,)r r r rrrr k k k k k k B a a a AK k k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦因为矩阵A 的列向量组线性相关，所以()R A r < ，由矩阵的秩的性质（7）知r A R AK R B R ）〈（）（）（≤=故B 的列向量组 12,,,r b b b 线性相关．推论1 若向量组12:,,,,r r s B b b b b +可由向量组12:,,,r A a a a 线性表示，则向量组12:,,,,r r s B b b b b +线性相关．证 显然，向量组121:,,,,r r B b b b b +可由向量组'12:,,,,0r A a a a ，…，0（s 个零向量）线性表示，而向量组'A 线性相关，由定理4．6，12:,,,,r r s B b b b b +线性相关．推论2 1n +个n 维向量一定线性相关． 证 1n +个n 维向量组A 一定可由12(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1)T T T n e e e ===线性表示，由推论1立即可的结论．4．4 向量组的秩矩阵的秩在讨论向量组的线性组合和线性相关性时，起了十分关键的作用．向量组的秩也是一个很重要的概念，它在向量组的线性相关性问题中同样起到十分重要的作用． 定义4．7 给定向量组A ，如果存在0A A ⊂，满足 （1）012:,,,r A a a a 线性无关；（2）向量组A 中任意1r +个向量(如果A 中有1r +个向量的话)都线性相关． 那么称向量组0A 是向量组A 的一个极大线性无关向量组（简称极大无关组），r 称为向量组A 的秩，记作A R ．规定：只含零向量的向量组的秩为0．极大无关组的一个基本性质是，向量组A 的任意一个极大无关组012:,,,r A a a a 与A是等价的．事实上，显然0A 组可由A 组线性表示(αα=)．而由定义4．7的条件（2）知，对于A 中任一向量,1a r +个向量12,,,,r a a a a 线性相关，而12,,,r a a a 线性无关，由定理4．4知a 可由12,,,r a a a 线性表示，即A 组可由0A 组线性表示．所以0A 组与A 组等价．定理4．7 矩阵的秩等于其列向量组的秩，也等于其行向量组的秩． 证 设12(,,,),()m A a a a R A r ==，并设r 阶子式0r D ≠．根据定理4．5，由0r D ≠知r D 所在的r 个列向量线性无关；又由A 中所有1r +阶子式全为零，知A 中任意1r +个列向量都线性相关．因此r D 所在的r 个列向量是A 的列向量组的一个极大无关组，所以列向量组的秩等于r ．类似可证矩阵A 的行向量组的秩也等于()R A ． 例4．10 12:,,,n E e e e 是n 维向量空间n R 的一个极大无关组，n R 的秩等于n ．极大无关组有如下的等价定义： 推论 设向量组012:,,,r A a a a 是向量组A 的一个部分组，且满足（1）0A 线性无关；（2）A 中任一向量都可由0A 线性表示． 那么0A 是A 的一个极大无关组．证 任取121,,,r b b b A +∈ ，由条件（ⅱ）知这1r +个向量可由向量组0A 线性表示，从而根据定理4．6推论1，知121,,,r b b b +线性相关． 因此，0A 是A 的一个极大无关组．设向量组12:,,,m A a a a 构成矩阵12(,,,)m A a a a =，根据向量组的秩的定义及定理4．7，有12(,,,)()A m R R a a a R A ==因此，12(,,,)m R a a a 既可理解为矩阵的秩, 也可理解成向量组的秩．定理4．8 如向量组A 可以被和向量组B 线性表示，则A B R R ≤． 证 设向量组A 和向量组B 的极大无关组分别是12,,,s a a a 与12,,,t b b b ，显然12,,,s a a a 可以被12,,,t b b b 线性表示，如s t >，由定理4．6的推论1，12,,,s a a a 线性相关，与12,,,s a a a 是极大无关组矛盾，所以t s ≤，即A B R R ≤．定理4．9 设有两个同维数的向量组A 和向量组B ，向量组C 由向量组A 和向量组B 合并而成，则向量组B 可由向量组A 线性表示的充要条件是A C R R =．特别地，向量b 可由向量组12:,,,m A a a a 线性表示的充要条件是1212(,,,)(,,,,)m m R a a a R a a a b =证 设()R A r =，并设是012:,,,r A a a a 是A 组的一个极大无关组．必要性． C 组由A 组和B 组合并而成，由于B 组可由A 组表示，所以C 组可由A 组表示，由定理4．8，C A R R ≤，显然A 组可由C 组表示，所以A C R R ≤，因此，A C R R =．充分性．任取b B ∈．由于1212(,,,)(,,,,)r r C A r R a a a R a a a b R R r =≤≤==，故12(,,,,)r R a a a b r =，知向量组12,,,,r a a a b 线性相关，而向量组012:,,,r A a a a 线性无关，由定理4．8，知b 可由0A 组表示，所以b 可由A 组表示．由b 的任意性，于是B 组可由A 组表示．推论 设A 和B 是两个同维数的向量组，向量组C 由向量组A 和向量组B 合并而成，则向量组A 与向量组B 等价的充分必要条件是 A B C R R R ==． 例4．11 设n 维向量组12:,,,m A a a a 构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A a a a =． 证明：任一n 维向量可由向量组A 线性表示的充要条件是()R A n =．证 必要性．由于任一n 维向量可由向量组A 线性表示，故向量组12,,,n e e e 可由向量组A 线性表示，从而根据定理4．9有()(,)R A R A E =．而()(,)n R E R A E n ≤≤≤，所以(,)R A E n =，因此()R A n =．充分性．设β是任一n 维向量，由于()(,)n R A R A n β=≤≤， 故()(,)R A R A β=，所以由定理4．9知β可由向量组A 线性表示．例4．12 设矩阵12102448773743025765A --⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪-- ⎪-⎝⎭求矩阵A 的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示．解 由于12345123451010401103(,,,,)(,,,,)0001300000~r A a a a a a b b b b b B -⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪- ⎪⎝⎭而方程0Ax =与0Bx =同解，即方程11223344550x a x a x a x a x a ++++= 与11223344550x a x a x a x a x a ++++=同解，因此向量12345,,,,a a a a a 之间与向量12345,,,,b b b b b 之间有相同的线性关系．而124,,b b b 是12345,,,,b b b b b 的一个极大无关组，且312b b b =--, 5124433b b b b =+-所以124,,a a a 是12345,,,,a a a a a 的一个极大无关组，且312a a a =--, 5124433a a a a =+-4．5 向 量 空 间前面把n 维向量的全体所构成的集合n R 称为n 维向量空间．本节介绍向量空间的一般概念．定义4．8 设V 为n 维向量的集合，若V 非空，且对于加法及数乘两种运算封闭，即：,,V R αβλ∀∈∀∈有,V V αβλα+∈∈．则称V 为向量空间．定义4．9 设有向量空间1V 及2V ，若12V V ⊂，就称1V 是2V 的子空间． 例4．13 n R 是一个向量空间． 例4．14 集合121121{(,,,,0)|,,,}T n n V x x x x x x x R --==∈是一个向量空间．它是nR 的一个子空间．例4．15 集合121121{(,,,,2)|,,,}T n n V x x x x x x x R --==∈不是一个向量空间．定义4．10 设V 为向量空间，如果12,,,r V ααα∈满足（1）12,,,r ααα线性无关；（2）V 中任一向量都可由12,,,r ααα线性表示．那么，向量组12,,,r ααα就称为向量空间V 的一个基，r 称为向量空间V 的维数，并称V为r 维向量空间．例4．16 设有n 维向量组12,,,m ααα，集合112212{|,,,}m m m V x R λαλαλαλλλ==+++∈是一个向量空间．12,,,m ααα的任一最大无关组是V 的一个基．向量空间V 称为由向量组12,,,m ααα所生成的向量空间．例4．17 设向量组12:,,,m A ααα与向量组12:,,,s B βββ等价, 记 1112212{|,,,}m m m V x R λαλαλαλλλ==+++∈ 2112212{|,,,}s s s V x R μβμβμβμμμ==+++∈则12V V =．容易得出如下结论：（1）若向量空间V 没有基，则V 的维数为0．0维向量空间只含一个零向量．（2）若向量空间n V R ⊂，则V 的维数不会超过n ，并且，当V 的维数为n 时，nV R =．（3）若向量组12,,,r ααα是向量空间V 的一个基，则112212{|,,,}r r r V x R λαλαλαλλλ==+++∈例4．18 设123134379(, , )245268A ααα⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，求由向量组123,,ααα所生成的向量空间的一个基和维数，并将123,,ααα中的非基向量用这个基线性表示．解 由于134101/2379013/2245000268000~r A -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以123,,ααα所生成的向量空间的维数是2，12,αα是这个向量空间的一个基，且有3121322ααα=-+例4．19 在n R 中取定一个基12,,,n ααα，再取一个新基12,,,n βββ，设1212(,,,),(,,,)n n A B αααβββ==求用12,,,n ααα表示12,,,n βββ的表示式（基变换公式），并求向量在两个基中的坐标之间的关系式（坐标变换公式）．解 由1212(,,,)(,,,)n n e e e A ααα=得11212(,,,)(,,,)n n e e e A ααα-=故1121212(,,,)(,,,)(,,,)n n n e e e B A B βββααα-==即基变换公式为1212(,,,)(,,,)n n P βββααα=其中：表示式的系数矩阵1P A B -=称为从旧基到新基的过渡矩阵．设向量γ在旧基和新基中的坐标分别为12,,,n a a a 和12,,,n b b b ，即1212(,,,)n n a aa γααε⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1212(,,,)n n b b b γβββ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则1122n n a b a b A B a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是11221n n b a b a B A b a -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 即11221n n b a b a P b a -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭这就是从旧坐标到新坐标的坐标变换公式．4．6 向量的内积 正交矩阵定义 4．11 设有n 维向量12(,,,)T n x x x x =，12(,,,)T n y y y y =，令1122[,]n n x y x y x y x y =+++称[,]x y 为向量x 与y 的内积．当x 与y 都是列向量时，有[,]Tx y x y =．内积具有下列性质（其中,,x y z 为n 维向量，λ为实数）： （1）[,][,]x y y x = ； （2）[,][,]x y x y λλ= ； （3）[,][,][,]x y z x z y z +=+；（4）当0x =时，[,]0x x =；当0x ≠时，[,]0x x >．这些性质可根据内积定义直接证明． 定义4．12 令22221 ] ,[||||nx x x +⋅⋅⋅++==x x x 称x 为n 维向量x 的长度（或范数）． 当1x =时, 称x 为单位向量． 向量的长度具有下述性质：（1）非负性 当0x ≠时，0x >；当0x =时，0x =； （2）齐次性x x λλ=⋅；（3）三角不等式 x y x y +≤+．证 （1）与（2）是显然的，只需证明（3）．因为2222[,][,]2[,][,]2()x y x y x y x x x y y y x x y y x y +=++=++≤+⋅+=+所以x y x y +≤+上面证明中用到了许瓦兹不等式．即当0x ≠，0y ≠时，[,]1||||||||x y x y ≤⋅事实上，由于2()[,][,]2[,][,]0t tx y tx y t x x t x y y y ϕ++=++≥因此24([,][,][,])0x y x x y y ∆=-≤而0x ≠，0y ≠，所以[,]1||||||||x y x y ≤⋅．由上述可得如下的定义：（1） 当0x ≠，0y ≠时，[, ]arccos||||||||x y x y θ=⋅ 称为n 维向量x 与y 的夹角．（2）当[,]0x y =时，称向量x 与y 正交．显然，若0x =，则x 与任何向量都正交． 定理4．10 若n 维向量12,,,r ααα是一组两两正交的非零向量，则12,,,r ααα线性无关．证 设有12,,,r λλλ，使11220r r λαλαλα+++=以Ti α左乘上式两端，得0T i i i λαα=，因0i α≠，故20T i i i ααα=≠从而必有0(1,2,,)i i r λ==．于是向量组12,,,r ααα线性无关．定义4．13 设n 维向量12,,,r e e e 是向量空间()n V V R ⊂的一个基，如果12,,,re e e 两两正交，且都是单位向量，则称12,,,r e e e 是V 的一个规范正交基．例如，1231221112,1,2333221e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭就是3R 的一个规范正交基．为了计算方便，我们常常需要从向量空间V 的一个基12,,,r ααα出发，找出V 的一个规范正交基12,,,r e e e ， 使12,,,r e e e 与12,,,r ααα等价．这样一个问题，称为把12,,,r ααα这个基规范正交化．施密特正交化 设12,,,r ααα是向量空间V 中的一个基，首先将12,,,r ααα正交化：11βα= 1222111[, ][, ]βαβαβββ=-，121121112211[, ][, ][, ][, ][, ][, ]r r r r r r r r r βαβαβαβαβββββββββ----=----然后将12,,,r βββ单位化：1111||||e ββ=, 2221||||e ββ=, , 1||||r r r e ββ= 容易验证，12,,,r e e e 是V 的一个规范正交基，且与12,,,r ααα等价．上述从线性无关向量组12,,,r ααα导出正交向量组12,,,r βββ的过程称为施密特正交化过程．它满足：对任何(1)k k r ≤≤，向量组12,,,k βββ与12,,,k ααα等价． 例4．20 试用施密特正交化过程将线性无关向量组 123(1,1,1),(1,2,3),(1,4,9)T T T ααα===规范正交化．解 取11111βα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭, 12221111[, ]0[, ]1βαβαβββ-⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭，1323331211221[, ][, ]12[, ][, ]31βαβαβαββββββ⎛⎫ ⎪=--=- ⎪ ⎪⎝⎭再取11111||||1e ββ⎛⎫⎪==⎪⎪⎭，22210||||1e ββ-⎛⎫⎪==⎪⎪⎭，33312||||1e ββ⎛⎫⎪==-⎪⎪⎭123,,e e e 即为所求．定义4．14 若n 阶方阵A 满足T A A E =（即1T A A -=）， 则称A 为正交矩阵，简称正交阵．正交阵有下述性质：（1）若A 为正交阵，则1T A A -=也是正交阵，且1A =±；（2）若A 和B 都是正交阵，则AB 也是正交阵；（3）方阵A 为正交阵的充要条件是A 的n 个列（行）向量构成向量空间n R 的一个规范正交基．证 性质（1）、（2）显然成立．下面证明性质（3）．只就列向量加以证明．设12(,,,)n A a a a =，因为1212(,,,)T T T n T n a a A A a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭所以()()T T i j ij A A E a a δ=⇔=即A 为正交阵的充要条件是A 的n 个列向量构成向量空间n R 的一个规范正交基．定义4．15 若P 为正交阵，则线性变换y Px =称为正交变换．设y Px =为正交变换，则有||||||||y x ====由此可知，经正交变换两点间的距离保持不变，这是正交变换的优良特性．4．7秩的计算、向量的正交化实验1．矩阵秩的计算矩阵秩的计算是调用函数rank（）>> A=[-10，4，-6，8;4，-1，6，-2;5，7，9，-6;0，9，6，-2]A =－10 4 -6 84 -1 6 -25 7 9 -60 9 6 -2>> rank（A）ans =3向量组a，b，c，d的秩可用下列语句求出：>> rank（[a b c d]）2．向量组的线性相关性与最大无关组对于一个m个向量组A是否线性相关，我们可以通过求向量组的秩来判断，如果rank(A)=m，则线性无关，如果rank(A)<m，则线性相关．例如，键入a，b，c，d四个向量>>a=[1 -1 2 4]';>>b=[0 3 1 2]';>>c=[-3 3 7 14]';>>d=[4 -1 9 18]';将a，b，c，d并为一个矩阵u：>>u=[a b c d]>>rank(u)ans =3u的秩为3，所以组a，b，c，d线性相关．而使用下列语句，不仅可以求出u的行标准阶梯矩阵，还给出了线性无关向量组在原矩阵中的列数，这实际上就是最大无关组．[uip]=rref（t）u=1 0 0 40 1 0 10 0 1 00 0 0 0ip =1 2 3这表明u中第1，2，3列向量线性无关，即向量a，b，c线性无关3．向量的内积与正交性（1）求两个向量a ，b的内积，可把a设为行向量，将b设为列向量，a与b作矩阵乘法求出a与b的内积．>>a=[1 2 -3 4]';>>b=[2，-3 4 8]';>>p =16（2）求向量a的模可调用函数norm（）>> norm(a)ans =5．4772（3）求向量a和b之间的交角>>thita=acos((a*b')/(norm(a)*norm(b)))thita =1．2630要将线性无关的向量组a，b，c，d 化为标准正交基，可先将向量组并为一个矩阵u，再调用正交分解程序[Q，R]=qr()，结果将矩阵u分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵的乘积．Q中前4个行向量，相当于施密特正交化方法得到的标准正交向量，加上最后一行补充的标准正交向量，构成五维线性空间的标准正交基．例如将线性无关的向量组a，b，c，d正交化，先对a，b，c，d赋值：>>a=[1 -1 -1 1 1]';>>b=[2 1 4 -4 2]';>>c=[5 -4 -3 7 1]';>>d=[3，2 4 6 -1]’；再补充一个与a ，b ，c ，d 线性无关的向量e ：>>e=[2 3 1 5 6]’；合并个向量，再调用语句[Q ，R]=qr[u]>>u=[a b c d e]>>[Q ，R]=qr(u)u =1 2 5 1 3-1 1 -4 2 3-1 4 -3 -2 31 -4 7 3 -11 2 1 3 -1Q =-0．4472 -0．5000 -0．5000 -0．0245 -0．5472 0．4472 -0．0000 0．0000 -0．8320 -0．3283 0．4472 -0．5000 -0．5000 0．0245 0．5472 -0．4472 0．5000 -0．5000 -0．3915 0．3830 -0．4472 -0．5000 0．5000 -0．3915 0．3830 R =-2．2361 2．2361 -8．9443 -3．1305 2．2361 0 -6．0000 2．0000 0．5000 -3．0000 0 0 -4．0000 0．5000 -3．0000 0 0 0 -4．0866 -1．7129 0 0 0 0 -1．7510 验证：E Q Q T=⋅>> Q'*Qans =1．0000 -0．0000 -0．0000 -0．0000 -0．0000-0．0000 1．0000 -0．0000 0 -0．0000-0．0000 -0．0000 1．0000 -0．0000 -0．0000-0．0000 0 -0．0000 1．0000 0-0．0000 -0．0000 -0．0000 0 1．0000。
第四章第1节 向量组及其线性组合
(
)
称为列向量。 称为列向量。 列向量 它们的区别 只是写法上 的不同。 的不同。 称为行向量。 称为行向量。 行向量
分量全为零的向量 ( 0,0,⋯ ,0 ) 称为零向量。 称为零向量 零向量。 2. 向量的运算和性质 向量相等： 向量相等：如果 n 维向量 α = a1 , a2 ,⋯ , an 的对应分量都相等， 的对应分量都相等，即 ai = bi
B能由A线性表示，即对每一个向量β j ( j = 1, 2,⋯ , l ) 存在k1 j , k2 j ,⋯ , kmj 使 k1 j k2 j β j = k1 jα1 + k2 jα 2 + ⋯ + kmjα m = (α1 , α 2 ,⋯ , α m ) ⋮ kmj
则方程组的向量表示为 x1α 1 + x2α 2 + ⋯ + xnα n = b
6. 向量组等价
定义3： 定义 ：如果向量组 A : α 1 ,α 2 ,⋯ ,α m 中的每一个向量 ) α i ( i = 1, 2,⋯ , m 都可以由向量组 B : β 1 , β 2 ,⋯ , β s 线性表示，那么就称向量组 可以由向量组 线性表示。 可以由向量组B线性表示 线性表示，那么就称向量组A可以由向量组 线性表示。 若同时向量组B 也可以由向量组A线性表示 线性表示， 若同时向量组 也可以由向量组 线性表示，就称 向量组A与向量组 等价。 与向量组B等价 向量组 与向量组 等价。 即
5. 线性组合与线性表示
定义1： 定义 ：给定向量组 A : α 1 ,α 2 ,⋯ ,α m , 对于任何一组实数 k1 , k2 ,⋯ , km , 向量 k1α 1 + k2α 2 + ⋯ + kmα m 称为向量组 的一个 称为向量组A的一个 线性组合， 称为这个线性组合的系数。 线性组合，k1 , k2 ,⋯ , km 称为这个线性组合的系数。 定义2： 定义 ：给定向量组 A : α 1 ,α 2 ,⋯ ,α m , 和向量 β 如果存在一组实数 λ1 , λ2 ,⋯ λm , 使得 β = λ1α 1 + λ2α 2 + ⋯ + λmα m 则称向量
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e1 (1, 0, , 0), e2 (0,1, , 0), , en (0, 0, ,1)
对任意n维向量 x1, x2 , , xn
x1e1 x2e2 xnen
向量线性表示与线性方程组的关系
给定具有m个变量的n个线性方程组成的方程组
a11 x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 an1x1 an2 x2
rank 1 ,2 , m rank 1 ,2 , m ,β m 定理4.3
rank(1 ,2 ,
m ) m, 则1 ,2 ,
线性无关，
m
rank(1 ,2 , m ,β)=m m 1, 则1 ,2, m ,β线性相关
例4.8 证明任意n维向量均可由n维向量组
1 1，1， ，1T , 2 0，1， ，1T , , n 0,0， , 0,1T
仅当k1 k2 km 0时
kα1 1 k2α2 kmαm 0成立 称向量组A 线性无关
定理4.2
1 仅含一个向量的向量组线性相关 α = 0
2 含有零向量的向量组线性相关
3 向量组线性相关 至少有一个向量可由其他
向量线性表示
4 向量组中部分向量线性相关 向量组线性相关
向量组线性无关 向量组中任意部分向量线性无关
向量组1,2 ,
,
也线性相关。这与
m
条件1,2 ,
,
线性无关矛盾。
m
所以， '1, '2 , , 'm 线性无关。
例4.7
证明下列向量组1，
2，
线性无关。
3
1
1, a, a2, b
T
, 2
1, b, b2, c
T
, 1
1, c, c2, a
T
.
其中，a,b, c为互不相等的实数。
证： 将1，2，3各自第4个分量去掉，得到：
an1
an2
a1m b1
xm
a2m
b2
anm bn
即：x11 x22 xmm
定理4.1 (1)向量β可由向量α1 ,α2 , ,αm线性表示
的充要条件是：
rank(α1 ,α2 , ,αm ) rank(α1 ,α2 , ,αm , ) (2)向量β可由向量α1 ,α2 , ,αm惟一地线
1，2，3，
111
由于det(1，
2，
3
)=
a
b
c (b a)(c a)(c b) 0
a2 b2 c2
所以，1，2，3是线性无关，则
1，
2，
也线性无关。
3
定理4.5
向量β可由向量组1 ,2,
惟一地
m
线性表示的充分必要条件是：
1 ,2 ,
线性无关，
m
而1 ,2 , m ,β线性相关。
证：β可由1 ,2 , m惟一线性表示 定理4.1
c11 c22 cmm 0
两边左乘矩阵A
c1A1 c2 A2 cm Am 0
A1, A2 , , Am线性相关
反之，若A1, A2 , , Am线性无关， 原向量组1,2 , ,m也必线性无关
(若线性相关 A1 , A2 , , Am线性相关,引起矛盾)
推论（1） 若n 维向量组
性表示的充要条件是：
rank(α1 ,α2 , ,αm ) rank(α1 ,α2 , ,αm , ) m 证：(1) β可由向量α1 ,α2 , ,αm线性表示
存在m个数x1, x2 , , xm，使得
xα1 1 xα2 2 xmαm
方程组 AX 有解
其中A α( 1,α2, ,αm ), X (x1,x2, ,xm )T
向量与数k数乘 k ka1, ka2 , kan T
向量加法和向量与数的数乘运算规律 :
1加法交换律:αβ β α; 2加法结合律 : αβ γ α βγ; 3α Ο α; 4α α O; 51α α; 6 k lα kl α; 7 k αβ kα kβ 8k l α kα lα
定义4.1 所有 n 维实向量的集合称为n维实向量空间。 记为Rn
4
0
0
0
0
rank(1，2，3 ) rank(1，2，3，4 ) 2 3 4可由1，2，3线性表示, 但表示式子不惟一
定义4.3 设有n维向量组A :α1 ,α2 ,
如果存在一组不全为0的数 k1, k2 ,
kα1 1 k2α2 kmαm 0 称向量组A 线性相关
,αm
, km，使得
惟一地线性表示。
证明：
100
0
110
0
det(1,2, ,n )= 1 1 1
0 1 0
111 1 1
则1,2, ,n线性无关，
1,2 , ,n线性无关， 而n 1个n维向量1,2 , ,n , 必线性相关。 所以，由定理4.5知，可由1,2 , ,n惟一
地线性表示。
例4.9 证明向量组1，2，3线性无关的充要条件 是向量组21 2 , 2 33, 33 1线性无关。
,
ar1
a12
,
ar2
a即向量组1
,
2
,
,
线性相关
m
推论（2）
若干n维向量组1,2 ,
,
线性无关,则
m
把每个向量任意添加 s 个分量后,
所得向量组 '1, '2 , , 'm 线性无关
证：反证法。设 '1, '2, , 'm 线性相关，
则去掉每个向量的s个分量后得到的
1 a11 , a21, , ar1, ar1,1, ,n1 T , 2 a12 , a22 , , ar2 , ar1,2 , ,n2 T ，
m a1m , a2m , , arm , ar1,m , ,nm T 线性相关，
则这些向量的前r个分量 r < n组成的向量 '1 a11, a21, , ar1 T , '2 a12 , a22 , , ar2 T
2
an
n个数构成的有序数组
向量α a1,a2, ,an T 和β b1,b2, ,bn T 相等
对应分量都相等
α,β 的和:
ai bi 1 i n
αβ a1 b2 , a2 b2 ,
向量0,0, , 0T 称为零向量
, an bn T
α的负向量 - a1, a2 , , an T
向量组线性相关，
则整个向量组也必定线性相关,引起矛盾.
所以,它的任意一个部分向量组也必线性无关.
定理4.3 向量组1,2 , ,m线性相关 方程x11 x22 xmm O有非零解 rank(1,2 , ,m ) r m
向量组1,2 , ,m线性无关 方程x11 x22 xmm O只有零解 rank(1,2 , ,m ) m
证：由齐次方程组是否有非零解的充要条件可证。
推论
1 1,2,
,
线性相关
n
det
1,2
,
,n 0
线性无关 det 1,2, ,n 0
2当m n时,n维向量组1,2,
,
必定线性相关
m
证明(2)
矩阵1,2 , ,m 只有n行,它的秩
rank 1,2 , ,m n m
所以向量组1,2 ,
矩阵A α( 1,α2, ,αm ), A α( 1,α2, ,αm , )
rank( A) rank( A)
即：rank(α1,α2 , ,αm ) rank(α1,α2 , ,αm , )
(2) β可由向量α1 ,α2 , ,αm惟一地线性表示
存在m个惟一的数x1, x2 , , xm，使得
'm a1m , a2m , , arm T
也是线性相关的向量组
证（1）：令A Er Orn
向量组1,2 , ,m线性相关 则向量组A1, A2 , , Am也线性相关；
a11
a12
即A1
ar1
,
A
2
=
ar
2
,
0
0
a1n
,
A
n
=
arn
线性相关
0
a11
证(4):
若向量组1 ,
，
2
,
中部分向量
m
1 ,
，
2
,k
k
m 线性相关
则存在不全为0的数 c1, c2 , , ck , 使得
c11
c2
+
2
ckk 0
则 c1, c2 , , ck , 0, , 0不全为零
c11
c2
+
2
ckk 0k1
0m 0
向量组1, 2 , ,m线性相关
反之, 若1, 2 , ,m线性无关, 如果它有某一个部分
解：矩阵21 2 , 2 33, 33 1 c2c3
21 2 , 2 1, 33 1 c1c2
31,
2
1 ,
33
1c1
1 3
c 2 c1
1, 2 1, 33 1 c3c1
1,
2,
33
1c3
3
1,
2,
3
矩阵进行初等变换，秩不变。
则rank 21 2 , 2 33, 33 1 =rank 1, 2 , 3
,
线性相关
m
定理4.4 设n维向量组1,2 , ,m线性相关， A是p n矩阵，则向量组A1, A2 , , Am
也线性相关；
反之，若向量组A1, A2 , , Am线性无关， 则向量组1,2 , ,m线性无关