第四章 n 维向量空间

性表示的充要条件是：
rank(α1 ,α2 , ,αm ) rank(α1 ,α2 , ,αm , ) m 证：(1) β可由向量α1 ,α2 , ,αm线性表示
存在m个数x1, x2 , , xm，使得
xα1 1 xα2 2 xmαm
方程组 AX 有解
其中A α( 1,α2, ,αm ), X (x1,x2, ,xm )T
证(4):
若向量组1 ,
，
2
,
中部分向量
m
1 ,
，
2
,k
k
m 线性相关
则存在不全为0的数 c1, c2 , , ck , 使得
c11
c2
+
2
ckk 0
则 c1, c2 , , ck , 0, , 0不全为零
c11
c2
+
2
ckk 0k1
0m 0
向量组1, 2 , ,m线性相关
反之, 若1, 2 , ,m线性无关, 如果它有某一个部分
向量组线性相关，
则整个向量组也必定线性相关,引起矛盾.
所以,它的任意一个部分向量组也必线性无关.
定理4.3 向量组1,2 , ,m线性相关 方程x11 x22 xmm O有非零解 rank(1,2 , ,m ) r m
向量组1,2 , ,m线性无关 方程x11 x22 xmm O只有零解 rank(1,2 , ,m ) m
矩阵A α( 1,α2, ,αm ), A α( 1,α2, ,αm , )
rank( A) rank( A)
即：rank(α1,α2 , ,αm ) rank(α1,α2 , ,αm , )
(2) β可由向量α1 ,α2 , ,αm惟一地线性表示
存在m个惟一的数x1, x2 , , xm，使得
,
ar1
a12
,
ar2
a1n
,
线性相关
arn
即向量组1
,
2
,
,
线性相关
m
推论（2）
若干n维向量组1,2 ,
,
线性无关,则
m
把每个向量任意添加 s 个分量后,
所得向量组 '1, '2 , , 'm 线性无关
证：反证法。设 '1, '2, , 'm 线性相关，
则去掉每个向量的s个分量后得到的
证（3）：若向量1,2 , ,m线性相关，则存在不全为0 的m个数k1, k2 , , km , 使得 k11 k22 kmm 0
不妨设k1 0,于是
1
k2 k1
2
km k1
m
1可用向量组的其它向量线性表示。
反之，若 1 c22 cmm
11 c22 cmm 0
则1,2 , ,m线性相关
方程改写成：
a1m xm b1 a2m xm b2
anm xm bn
a11 x1 a12 x2
a21 x1
a22 x2
an1 x1 an2 x2
a1m xm b1
a2m
xm
b2
anm xm bn
向量线性表示与线性方程组的关系
a11 a12
解：矩阵21 2 , 2 33, 33 1 c2c3
21 2 , 2 1, 33 1 c1c2
31,
2
1 ,
33
1c1
1 3
c 2 c1
1, 2 1, 33 1 c3c1
1,
2,
33
1c3
3
1,
2,
3
矩阵进行初等变换，秩不变。
则rank 21 2 , 2 33, 33 1 =rank 1, 2 , 3
惟一地线性表示。
证明：
100
0
110
0
det(1,2, ,n )= 1 1 1
0 1 0
111 1 1
则1,2, ,n线性无关，
1,2 , ,n线性无关， 而n 1个n维向量1,2 , ,n , 必线性相关。 所以，由定理4.5知，可由1,2 , ,n惟一
地线性表示。
例4.9 证明向量组1，2，3线性无关的充要条件 是向量组21 2 , 2 33, 33 1线性无关。
方程组可表示为两种矩阵方程：
1. 将所有系数构成一个系数矩阵A
a11 a12
a21
a22
an1 an2
a1m x1 b1
a2m
x2
b2
anm xm bn
2. 将所有系数分成m个列向量
即：AX B
a11 a12
x1
a21
x2
a22
第四章 n维向量空间
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
n维向量的概念 向量的线性表示与线性相关 等价向量组 线性方程组的结构 向量空间的子空间
第一节 n维向量的概念 由上一节知道
行向量 (1 n矩阵)
列向量 (n 1矩 阵 )
统称：n维向量 a 1 , a 2 ,
, a n T
a1
a
an1
an2
a1m b1
xm
a2m
b2
anm bn
即：x11 x22 xmm
定理4.1 (1)向量β可由向量α1 ,α2 , ,αm线性表示
的充要条件是：
rank(α1 ,α2 , ,αm ) rank(α1 ,α2 , ,αm , ) (2)向量β可由向量α1 ,α2 , ,αm惟一地线
2
an
n个数构成的有序数组
向量α a1,a2, ,an T 和β b1,b2, ,bn T 相等
对应分量都相等
α,β 的和:
ai bi 1 i n
αβ a1 b2 , a2 b2 ,
向量0,0, , 0T 称为零向量
, an bn T
α的负向量 - a1, a2 , , an T
一般地，
e1 (1, 0, , 0), e2 (0,1, , 0), , en (0, 0, ,1)
对任意n维向量 x1, x2 , , xn
x1e1 x2e2 xnen
向量线性表示与线性方程组的关系
给定具有m个变量的n个线性方程组成的方程组
a11 x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 an1x1 an2 x2
向量与数k数乘 k ka1, ka2 , kan T
向量加法和向量与数的数乘运算规律 :
1加法交换律:αβ β α; 2加法结合律 : αβ γ α βγ; 3α Ο α; 4α α O; 51α α; 6 k lα kl α; 7 k αβ kα kβ 8k l α kα lα
定义4.1 所有 n 维实向量的集合称为n维实向量空间。 记为Rn
'm a1m , a2m , , arm T
也是线性相关的向量组
证（1）：令A Er Orn
向量组1,2 , ,m线性相关 则向量组A1, A2 , , Am也线性相关；
a11
a12
即A1
ar1
,
A
2
=
ar
2
,
0
0
a1n
,
A
n
=
arn
线性相关
0
a11
Rn a1, a2 , , an T a1, a2 , , an为实数
所有n 维复向量的集合称为n维复向量空间。 记为C n
Cn z1, z2 , ,zn T z1, z2 , ,zn 为复数
第二节 向量的线性表示与线性相关
向量的线性表示
定义4.2 设1,2 , ,m ,β都是n维向量， 若存在数k1, k2 , , km ,使得
例4.2 设1 (1, 2, 3,1)T ,2 (5, 5,12,11)T
3 (1, 3, 6,3)T ,4 (2, 1,3, 4)T
问：
4是否可由1，
2，
线性表示？
3
1 5 1 2 1 5 1 2
解：1，
2， 3，
4
2 3
5 12
3 6
1 3
0 0
3 0
1 0
1
0
1
11
3
x1
a21
x2
a22
an1
an2
记
a11
a12
1
a21
,2
a22
,
an1
anm
a1m b1
xm
a2m
b2
anm bn
a1m
b1
,m
a2
m
,β
b2
anm
bn
方程组写成：x11 x22 xmm
1，2，3，
111
由于det(1，
2，
3
)=
aຫໍສະໝຸດ Baidu
b
c (b a)(c a)(c b) 0
a2 b2 c2
所以，1，2，3是线性无关，则
1，
2，
也线性无关。
3
定理4.5
向量β可由向量组1 ,2,
惟一地
m
线性表示的充分必要条件是：
1 ,2 ,
线性无关，
m
而1 ,2 , m ,β线性相关。
证：β可由1 ,2 , m惟一线性表示 定理4.1
1 a11 , a21, , ar1, ar1,1, ,n1 T , 2 a12 , a22 , , ar2 , ar1,2 , ,n2 T ，
m a1m , a2m , , arm , ar1,m , ,nm T 线性相关，
则这些向量的前r个分量 r < n组成的向量 '1 a11, a21, , ar1 T , '2 a12 , a22 , , ar2 T
c11 c22 cmm 0
两边左乘矩阵A
c1A1 c2 A2 cm Am 0
A1, A2 , , Am线性相关
反之，若A1, A2 , , Am线性无关， 原向量组1,2 , ,m也必线性无关
(若线性相关 A1 , A2 , , Am线性相关,引起矛盾)
推论（1） 若n 维向量组
4
0
0
0
0
rank(1，2，3 ) rank(1，2，3，4 ) 2 3 4可由1，2，3线性表示, 但表示式子不惟一
定义4.3 设有n维向量组A :α1 ,α2 ,
如果存在一组不全为0的数 k1, k2 ,
kα1 1 k2α2 kmαm 0 称向量组A 线性相关
,αm
, km，使得
xα1 1 x2α2 xmαm
方程组 AX 有惟一解
其中A (α1 ,α2 , ,αm ), X (x1 ,x2 , ,xm )T
矩阵A (α1,α2 , ,αm ), A (α1,α2 , ,αm , )
rank( A) rank( A) m
即：rank(α1,α2 , ,αm ) rank(α1,α2 , ,αm , ) m
证：由齐次方程组是否有非零解的充要条件可证。
推论
1 1,2,
,
线性相关
n
det
1,2
,
,n 0
线性无关 det 1,2, ,n 0
2当m n时,n维向量组1,2,
,
必定线性相关
m
证明(2)
矩阵1,2 , ,m 只有n行,它的秩
rank 1,2 , ,m n m
所以向量组1,2 ,
,
线性相关
m
定理4.4 设n维向量组1,2 , ,m线性相关， A是p n矩阵，则向量组A1, A2 , , Am
也线性相关；
反之，若向量组A1, A2 , , Am线性无关， 则向量组1,2 , ,m线性无关
证：
若1,2 , ,m线性相关,则存在不全为零的
数c1, c2 , , cm , 使
c11 c22 cmm 0
向量组1,2 ,
,
也线性相关。这与
m
条件1,2 ,
,
线性无关矛盾。
m
所以， '1, '2 , , 'm 线性无关。
例4.7
证明下列向量组1，
2，
线性无关。
3
1
1, a, a2, b
T
, 2
1, b, b2, c
T
, 1
1, c, c2, a
T
.
其中，a,b, c为互不相等的实数。
证： 将1，2，3各自第4个分量去掉，得到：
rank 1 ,2 , m rank 1 ,2 , m ,β m 定理4.3
rank(1 ,2 ,
m ) m, 则1 ,2 ,
线性无关，
m
rank(1 ,2 , m ,β)=m m 1, 则1 ,2, m ,β线性相关
例4.8 证明任意n维向量均可由n维向量组
1 1，1， ，1T , 2 0，1， ，1T , , n 0,0， , 0,1T
仅当k1 k2 km 0时
kα1 1 k2α2 kmαm 0成立 称向量组A 线性无关
定理4.2
1 仅含一个向量的向量组线性相关 α = 0
2 含有零向量的向量组线性相关
3 向量组线性相关 至少有一个向量可由其他
向量线性表示
4 向量组中部分向量线性相关 向量组线性相关
向量组线性无关 向量组中任意部分向量线性无关
β k11 k22 kmm
称β可由1,2 , ,m线性表示
或称β是1,2 ,
,
的线性组合
m
例 向量 = -3,2,0,5T ,
e1 (1, 0, 0, 0)T , e2 (0,1, 0, 0)T , e3 (0, 0,1, 0)T , e4 (0, 0, 0,1)T .
可 由 e1 , e2 , e3 , e4线 性 表 示 ： =-3e1 2e2 0e3 5e4