2019届广州市高三调研测试理科数学(解析版)

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2019届广州市高三调研测试(理科数学)教师版

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秘密 ★ 启用前 试卷类型: A2019届广州市高三年级调研测试理科数学2018.12 本试卷共5页,23小题,满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合2{|02},{|230}M x x N x x x =<=--<≤,则集合M N =( )A .{|02}x x <≤B .{|03}x x <≤C .{|12}x x -<<D .{|01}x x <≤1.答案:A解析:2{|230}{|(1)(3)0}{|13}N x x x x x x x x =--<=+-<=-<<,所以{|02}M N x x =<≤.2.若复数i1ia z +=-(i 是虚数单位)为纯虚数,则实数a 的值为( ) A .2- B .1- C .1D .22.答案:C 解析:设ii,1i a z b b +==∈-R ,则i i a b b +=+,则1a b b=⎧⎨=⎩ ,解得1a =. 3.已知{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ,若336,12a S ==,则公差d 等于( ) A .1 B .53C .2D .33.答案:C解析:3123(62)(6)618312S a a a d d d =++=-+-+=-=,解得2d =.4.若点(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点,则弦MN 所在直线方程为( ) A .230x y +-= B .210x y -+= C .230x y +-= D .210x y --=4.答案:D解析:圆的标准方程为22(3)9x y -+=,圆心为(3,0)C ,011312CP k -==--,则2MN k =,则弦MN 所在直线方程为12(1)y x -=-,化简得:210x y --=.5.已知实数ln 22a =,22ln 2b =+,()2ln 2c =,则,,a b c 的大小关系是( ) A .c b a <<B .c a b <<C .b a c <<D .a c b <<5.答案:B解析:因为12e <<,所以()2ln 2ln 2(0,1),2(1,2),22ln 2(2,4),ln 2(0,1)a b c ∈=∈=+∈=∈,故c a b <<.6.下列命题中,真命题的是( ) A .00,0xx R e ∃∈≤ B .2,2xx R x ∀∈>C .0a b +=的充要条件是1ab=- D .若,x y R ∈,且2x y +>,则,x y 中至少有一个大于16.答案:D解析:选项A ,,0x x e ∀∈>R ,故A 错误;选项B ,当2x =时,22xx =,故B 错误; 选项C :当0a b +=成立时,不妨设0a b ==,此时不满足1ab=-,故C 错误; 选项D ,若,x y 都不大于1,则2x y +≤,所以D 正确. 7.由()y f x =的图象向左平移3π个单位,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到1sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,则()f x =( )A .31sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭B .1sin 66x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C .31sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭D .1sin 63x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭7.答案:B解析:1321sin 3sin 666y x y x πππ⎛⎫⎛⎫=-−−−−−−−→=-−−−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭向右平移个单位横坐标缩短到原来的1sin 6sin 62sin 63666y x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,即1()sin 66f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.8. 已知甲袋中有1个黄球和1个红球,乙袋中有2个黄球和2个红球.现随机地从甲袋中取出1个球放入乙袋中, 再从乙袋中随机取出1个球, 则从乙袋中取出的球是红球的概率为( ) A .13B .12C .59D .298.答案:B解析:分两种情况,第一种情况:从甲袋中取出一个黄球放入乙袋,概率为12,现在乙袋中有3个黄球和2个红球,再从乙袋中取出红球,概率为25. 第二种情况:从甲袋中取出一个红球放入乙袋,概率为12,现在乙袋中有2个黄球和3个红球,再从乙袋中取出红球,概率为35.故所求概率1213125252P =⨯+⨯=.解法2:因为甲袋中和乙袋中黄球红球的个数均相等,故按题目操作,从乙袋中取出红球黄球的概率也是相等的,故所求概率为12. 9.已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ,点A 是两曲线的一个交点,且AF x ⊥轴,则双曲线的离心率为( )A 1B 1C 1D 29.答案:A解析:依题意可知:,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭或2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以22b c a =,22b ac =,222c a ac -=,212e e -=,2210e e -+=,2(1)2e -=,1e =.10. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若37S =,663S =,则数列{}n na 的前n 项和为( ) A .3(1)2nn -++⨯ B .3(1)2nn ++⨯C .1(1)2nn ++⨯D .1(1)2nn +-⨯10.答案:D 解析:36331231111138,2,2477,1S S q q S a a a a a a a a S -==∴==++=++==∴=, 故12n n a -=,设12n n n b na n -==⋅,数列{}n b 的前n 项和为n T ,则112121,145T b T b b ===+=+=, 经验证,只有选项D 符合.11.如图为一个多面体的三视图,则该多面体的体积为( ) A .6B .7C .223D .23311.答案:B解析: 该几何体的直观图如图所示,则该多面体的体积111122************V ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =⋅的切线有且仅有两条,实数a 的取值范围是( ) A .(,4)(0,)-∞-+∞ B .(0,)+∞ C .(,1)(1,)-∞-+∞12.答案:A解析:设切点为(,)t t te (1)()t t y te t e x t -=+-,将(切线,故1t ≠-,所以a t =作出函数1(1)1y t t =++-+当0a >或4a <-时,直线y 有两个交点.二、填空题:本题共413.已知向量,a b 的夹角为45︒,且1,a b ==a b -=____________.13.答案:1解析:()22222222cos451221a b a b a a b b a a b b -=-=-⋅+=-⋅︒+=-+=r r r r r rr r r r r r ,所以1a b -=r r .14.已知(4234012342x a a x a x a x a x =++++,则2202413()()a a a a a ++-+= .14.答案:16解析:当1x =时,得401234(2a a a a a ++++=; 当1x =-时,得4401234(2(2a a a a a -+-+=-=;4 22024130123401234()()()()(2a a a a a a a a a a a a a a a⎡⎤∴++-+=++++-+-+=⎣⎦4216==.15.已知实数x, y满足20,350,0,0,x yx yxy-⎧⎪-+⎪⎨>⎪⎪>⎩≤≥则1142x yz⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为____________.15.答案:116解析:2111422x y x yz+⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,设2t x y=+,则当t取得最大值时,z取得最小值,作可行域为如图所示的OAB△,其中5(2,1),0,3A B⎛⎫⎪⎝⎭,不包括线段OB,由2t x y=+得2y x t=-+,作直线2y x=-并平移,使其经过可行域内的点,当直线过点(2,1)A时,直线在y轴上的截距最大,此时t取得最大值4,所以12tz⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小值为116.16.已知在四面体A BCD-中,1AD DB AC CB====,则该四面体的体积的最大值为___________.16解析:取AB中点O,连接,CO DO,要使得四面体的体积最大,则必有平面ABD⊥平面ABC,设OB t=,则2,AB t OD OC===则31112()323V t t t⎛=⨯⨯=-+⎝,A BCDO则21(31)3V t '=-+,令0V '=,得3t =,当3t =时,V 取得最大值27. 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22、23题为选考题,考生根据要求做答. (一)必考题:共60分.17.(本小题满分12分)在ABC △中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且B A AC B sin sin sin cos cos 222+=-.(1)求角C 的大小; (2)若6A π=,ABC △的面积为34,M 为BC 的中点,求AM .17.解:(1) 由B A A C B sin sin sin cos cos 222+=-,得B A A B C sin sin sin sin sin 222+=-. ……………………………………………2分 由正弦定理,得ab a b c +=-222,即ab c b a -=-+222, …………………………3分所以2122cos 222-=-=-+=ab ab ab c b a C . ………………………………………………5分 因为0C π<<,所以23C π=. ……………………………………………………6分 (2) 因为6A π=,所以6B π=. ……………………………………………………7分所以ABC △为等腰三角形,且顶角23C π=.因为21sin 24ABC S ab C a ===△ ………………………………………………8分 所以4=a . ………………………………………………………………9分 在MAC △中,24,2,3AC CM C π===, 所以22212cos 164224282AM AC CM AC CM C =+-⋅⋅=++⨯⨯⨯=. ………11分 解得72=AM .…………………………………………………………………………12分图1:设备改造前样本的频率分布直方图18.(本小题满分12分)某企业对设备进行升级改造,现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本,检测一项质量指标值,若该项质量指标值落在[20,40)内的产品视为合格品,否则为不合格品.图1是设备改造前样本的频率分布直方图,表1是设备改造后样本的频数分布表.表1:设备改造后样本的频数分布表(1)请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均值;(2)企业将不合格品全部销毁后,并对合格品进行等级细分,质量指标值落在[25,30)内的定为一等品,每件售价240元;质量指标值落在[20,25)或[30,35)内的定为二等品,每件售价180元;其它的合格品定为三等品,每件售价120元.根据表1的数据,用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品,设其支付的费用为X (单位:元),求X 的分布列和数学期望.18.解:(1)根据图1可知,设备改造前样本的频数分布表如下417.51622.54027.51232.51837.51042.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 100 2.541516204025123018351040=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯3020=. ……………………………………………………………………………1分样本的质量指标平均值为302030.2100=. ……………………………………………2分FDECBA根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为30.2. ………………………3分 (2)根据样本频率分布估计总体分布,样本中一、二、三等品的频率分别为12,13,16, 故从所有产品中随机抽一件,是一、二、三等品的概率分别为12,13,16. …………4分 随机变量X 的取值为:240,300,360,420,480.………………………………………5分111(240)6636P X ==⨯=, 12111(300)369P X C ==⨯⨯=,1211115(360)263318P X C ==⨯⨯+⨯=, 12111(420)233P X C ==⨯⨯=, 111(480)224P X ==⨯=,…………………………………………………………………10分所以随机变量X 的分布列为:…………………………………………………………………11分所以11511()2403003604204804003691834E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.………………12分 19. (本小题满分12分)如图,多面体ABCDEF 中,四边形ABCD 为矩形,二面角A CD F --为60︒,DE CF ∥,,2CD DE AD ⊥=,3DE DC ==,6CF =.(1)求证:BF ∥平面ADE ;(2)在线段CF 上求一点G ,使锐二面角B EG D --的余弦值为14.19.解:(1)因为四边形ABCD 为矩形,所以BC AD ∥.因为AD ⊂平面ADE ,BC ⊄平面ADE ,所以BC ∥平面ADE . ………………………………………………………………1分 同理CF ∥平面ADE . ……………………………………………………………2分 又因为BCCF C =,所以平面BCF ∥平面ADE . …………………………3分因为BF ⊂平面BCF ,所以BF ∥平面ADE . …………………………………4分 (2)法一:因为,CD AD CD DE ⊥⊥,所以ADE ∠是二面角A CD F --的平面角,即60ADE ∠=︒. ………………5分 因为ADDE D =,所以CD ⊥平面ADE .因为CD ⊂平面CDEF , 所以平面CDEF ⊥平面ADE .作AO DE ⊥于点O ,则AO ⊥平面CDEF . ………………6分 由2,3AD DE ==, 得1DO =,2EO =.以O 为原点,平行于DC 的直线为x 轴,DE 所在直线为y 轴,OA 所在直线为z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -,则(3,1,0),(0,1,0),(0,2,0),(3,5,0)A C D E F --,(3,3)O B O A A B O A D C =+=+=,……7分 设(3,,0),15G t t -≤≤,则(3,2,3),(0,,BE BG t =--=, 设平面BEG 的法向量为(,,)m x y z =,则由0,0,m BE m BG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得320,0,x y ty ⎧-+-=⎪⎨=⎪⎩,取2,3,,x t y z ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩ 得平面BEG 的一个法向量为(2)m t =-, ……………………………8分 又平面DEG 的一个法向量为(0,0,1)n =, ……………………………………9分OMHABCEDFG所以24s c ,o m n m nt n m ⋅⋅==…………………………10分14,解得12t =或1322t =-(舍去), ……………………………………………11分 此时14CG CF =,得1342CG CF ==. 即所求线段CF 上的点G 满足32CG =.…………………………………………12分 法二:作BO CF ⊥于点O ,作OH EG ⊥的延长线于点H ,连结BH .因为,,CD BC CD CF BCCF C ⊥⊥=,所以CD ⊥平面BCF , ……………………………………………………………5分BCF ∠为二面角A CD F --的平面角,60BCF ∠=︒. ……………………6分所以CD BO ⊥. 因为CDCF C =,所以BO ⊥平面CDF ,BO EH ⊥.…7分 因为,OH EH OHBO O ⊥=,所以EH ⊥平面BOH .……8分所以EH BH ⊥,BHO ∠为二面角B EG D --的平面角. ……………………9分 在Rt BCO ∆中,2,60BC BCO =∠=︒, 所以1BOCO ==. 又因为1cos 4BHO ∠=,所以tan BOBHO OH ∠==5OH =.…………10分 作EM CF ⊥于M ,则OGHEGM ∆∆,3,3EM CD CM DE ====,设OG x =,则OH EM OG EG =,即5x =, …………………11分 解得12x =,即所求线段CF 上的点G 满足32CG =. ………………………12分 20.(本题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12,点P ⎭在C 上. (1)求椭圆C 的方程;(2)设12,F F 分别是椭圆C 的左, 右焦点,过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ,求1F AB △的内切圆的半径的最大值.20.解:(1)依题意有222221,2,331,4c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩解得2,1.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ………………………………3分故椭圆C 的方程为22143x y +=. ………………………………………………………4分 (2)设1122(,),(,)A x y B x y ,设1F AB △的内切圆半径为r ,1F AB △的周长为121248AF AF BF BF a +++==, 所以11442F AB S a r r =⨯⋅=△.……………………………………………………………5分 解法一:根据题意知,直线l 的斜率不为零,可设直线l 的方程为1x my =+,………………6分 由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,得22(34)690m y my ++-=………………………………………7分 ()22(6)36340m m ∆=++>,m R ∈, 由韦达定理得12122269,3434m y y y y m m --+==++,……………………………………8分112121212F AB S F F y y y y ∴=-=-==△ (10)分 令t =,则1t ≥,121241313F AB t S t t t∴==++△. 令1()3f t t t =+,则当1t ≥时,21'()103f t t=->,()f t 单调递增, 4()(1)3f t f ∴=≥,13F AB S △≤, ……………………………………………………11分即当1,0t m ==时,1F AB S △的最大值为3,此时max 34r =. 故当直线l 的方程为1x =时,1F AB △内切圆半径的最大值为34. ………………12分解法二:当直线l x ⊥轴时,331,,1,,22A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112132F AB S F F AB ∆==. .……………………6分 当直线l 不垂直于x 轴时,设直线l 的方程为(1)y k x =-, 由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,得2222(43)84120k x k x k +-+-=. …………………………………7分 ()()()22222(8)44341214410k k k k ∆=-+-=+>, 由韦达定理得221212228412,4343k k x x x x k k -+==++,………………………………………8分 1121212121()2F AB S F F y y y y k x x ∆∴=-=-=-==……………………………10分 令243t k =+,则3t ≥,1103t <≤,1F AB S ∆∴====3<=. 综上,当直线l 的方程为1x =时,1F AB S ∆的最大值为3,1F AB ∆内切圆半径的最大值为34. ……………………………12分21.(本小题满分12分)已知函数21()(2ln ),x f x a x x a x -=-+∈R . (1)讨论()f x 的单调性;(2)若()f x 有两个零点,求实数a 的取值范围.21.解:(1) ()f x 的定义域为(0,)+∞,23322(2)(1)()1x x ax f x a x xx ---⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭. ………………………………………1分 (i)当0a ≤时,210ax -<恒成立, (0,2)x ∈时,'()0f x >,()f x 在(0,2)上单调递增;(2,)x ∈+∞时,'()0f x <,()f x 在(2,)+∞上单调递减; ……………………2分(ii) 当0a >时,由()0f x '=得,1232,x x x ===(舍去), ①当12x x =,即14a =时,()0f x '≥恒成立,()f x 在(0,)+∞上单调递增;……3分 ②当12x x >,即14a >时, x⎛∈ ⎝或(2,)x ∈+∞时,()0f x '>恒成立,()f x 在⎛ ⎝,(2,)+∞单调递增; x⎫∈⎪⎭时,()0f x '<恒成立,()f x 在⎫⎪⎭上单调递减;……………4分 ③当12x x <即104a <<时, x⎫∈+∞⎪⎭或()0,2x ∈时,()0f x '>恒成立,()f x 在(0,2),⎫+∞⎪⎭单调递增; x⎛∈ ⎝时,()0f x '<恒成立,()f x 在⎛ ⎝上单调递减;……………5分 综上,当0a ≤时,()f x 单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(2,)+∞; 当14a =时,()f x 单调递增区间为(0,)+∞,无单调递减区间; 当14a >时,()f x 单调递增区间为⎛ ⎝,(2,)+∞,单调递减区间为⎫⎪⎭; 当104a <<时,()f x 单调递增区间为(0,2),⎫+∞⎪⎭,单调递减区间为⎛ ⎝.…………………………………………………6分(2)由(1)知,当0a <时,()f x 单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(2,)+∞,又因为(1)0f a =<, …………………………………7分 取01max ,5x a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭,令121()2ln ,()f x x x f x x =-=,则12()10f x x '=->在(2,)+∞成立,故1()2ln f x x x =-单调递增,10()52ln512(2ln5)1f x -=+->≥,0002220000011111()(2ln )0f x a x x a x x x x x =-+-+--<≤≤, (注:此处若写“当x →+∞时,()f x →-∞”也给分)所以()f x 有两个零点等价于1(2)(22ln 2)04f a =-+>,得188ln 2a >--, 所以1088ln 2a >>--.……………………………………………………………8分 当0a =时,21()x f x x-=,只有一个零点,不符合题意; 当14a =时,()f x 在(0,)+∞单调递增,至多只有一个零点,不符合题意;………9分 当0a >且14a ≠时,()f x 有两个极值,1(2)(22ln 2)04f a =-+>,ln f a a a =-,记()ln g x x x x =-, …………………………………10分()(1ln )1ln g x x x '=++-=+ ,令()ln h x x =+,则32211()22h x x x x '=-+=当14x >时,()0h x '>,'()g x 在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增; 当104x <<时,()0h x '<,'()g x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减. 故1()22ln 204g x g ⎛⎫''>=-> ⎪⎝⎭,()g x 在(0,)+∞单调递增.0x →时,()0g x →,故ln 0f a a a =+->.……………………11分 又1(2)(22ln 2)04f a =-+>,由(1)知,()f x 至多只有一个零点,不符合题意. 综上,实数a 的取值范围为1,088ln 2⎛⎫- ⎪-⎝⎭. ……………………………………12分 (二)选考题:共10分. 请考生在第22、23题中任选一题做答, 如果多做, 则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程为2sin ρθθ+,直线1:()6l πθρ=∈R ,直线2:()3l πθρ=∈R .以极点O 为原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系.(1)求直线12,l l 的直角坐标方程以及曲线C 的参数方程;(2)若直线1l 与曲线C 交于,O A 两点,直线2l 与曲线C 交于,O B 两点,求AOB △的面积.22.解:(1) 依题意,直线1l的直角坐标方程为y =,2l的直角坐标方程为y =. …………………………………………………2分由2sin ρθθ+得2cos 2sin ρθρθ+,因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==,………………………………………3分所以22((1)4x y +-=,………………………………………………………4分 所以曲线C的参数方程为2cos 12sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩(α为参数). ……………………5分 (2)联立62sin πθρθθ⎧=⎪⎨⎪+⎩得14OA ρ==, ……………………………6分同理,2OB ρ==……………………………………………………………7分 又6AOB π∠=, ………………………………………………………………………8分所以111sin 4222AOB S OA OB AOB =∠=⨯⨯=△ …………………9分 即AOB △的面积为 ……………………………………………………………10分23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数1()()3R f x x a a =-∈. (1)当2a =时,解不等式1()13x f x -+≥; (2)设不等式1()3x f x x -+≤的解集为M ,若11,32M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦,求实数a 的取值范围. 23.解:(1)当2a =时,原不等式可化为3123x x -+-≥, ……………………1分 ①当13x ≤时,1323x x -+-≥,解得0x ≤,所以0x ≤; …………………………2分 ②当123x <<时,3123x x -+-≥,解得1x ≥,所以12x <≤; …………………3分 ③当2x ≥时,3123x x -+-≥,解得32x ≥,所以2x ≥. …………………………4分 综上所述,当2a =时,不等式的解集为{}|01x x x 或≤≥. …………………………5分 (2)不等式1()3x f x x -+≤可化为313x x a x -+-≤, 依题意不等式313x x a x -+-≤在11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立, ……………………………6分 所以313x x a x -+-≤,即1x a -≤,即11a x a -+≤≤,…………………………8分 所以113112a a ⎧-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩≤≥,解得1423a -≤≤, 故所求实数a 的取值范围是14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. ………………………………10分。

广东省广州市2019届高三综合测试(一)理科数学试题(解析版)

广东省广州市2019届高三综合测试(一)理科数学试题(解析版)

密★启用前试卷类型 :A 2021 年广州市普通高中毕业班综台测试〔一〕理科数学本试卷共 5 页, 23 小题,总分值150 分,考试用时120 分钟。

注意事顶: 1.答卷前,考生务必将自己的名和考生号、试室号、座位号填在答题卡上,用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号,并将试卷类型〔 A 〕,填涂在答题相应置上。

2.作答选择题时,选出每题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效4.考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:此题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分。

在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的。

1. 集合A x x2 2x 0 , B x 2x ,那么A. A BB. A B RC. B AD. A B答案: D考点:集合的运算,一元二次不等式,指数运算。

解析: A x 0 x 2 , B x x 0 ,所以,D正确。

2. a 为实数,假设复数 a i 1 2i 为实数,那么 a=A. 21C.-1D. 2 B.22答案: B考点:复数的概念与运算。

解析: a i 1 2i = a 2 (1 2a)i 为实数,所以, a 1 222 23. 双曲线C : x2 y 1 的一条渐近线过圆 P : x C 的2 y 41的圆心,那么b2离心率为5B. 3C. 5A.22答案: C文科数学试题A第1页(共 8 页 )考点 :双曲线的性质。

解析 :双曲线中, a = 1,的渐近线为: ybx 经过圆心为〔 2,- 4〕,得: b =2所以, c =5 ,离心率为 54. . 刘徽是我因魏晋时期的数学家,在其撰写的?九章算术注?中首创“割圆术〞,所谓“割 圆术〞,是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法, 如下图,圆内接正十二边形的中心为圆心 O ,圆 O 的半径为 2,现随机向圆 O 内段放 a 粒豆子,其中有 b 粒豆子落在正十二边形内( a, bN , b a ) ,那么圆周率的近似值为A.ba 3a3b aB.C.D.bba答案 : C考点 :几何概型。

广东省广州市普通高中2019届高三综合测试(二)数学(理)试题含解析

广东省广州市普通高中2019届高三综合测试(二)数学(理)试题含解析

广东省2019年广州市普通高中毕业班综合测试(二)理科数学试题一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z=m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点在第三象限,则实数m的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先化代数形式,再根据对应的点在第三象限列不等式,解得结果.【详解】,选B.【点睛】本题考查复数几何意义,考查基本分析求解能力,属基础题.2.己知集合A=,则A. {x|x<2或x≥6}B. {x|x≤2或x≥6}C. { x|x<2或x≥10}D. {x|x≤2或x≥10}【答案】D【解析】【分析】先解不等式,再求补集.【详解】因为,所以,选 D. 【点睛】本题考查解不等式以及补集,考查基本分析求解能力,属基础题.3.某公司生产,,三种不同型号的轿车,产量之比依次为,为检验该公司的产品质量,用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本,若样本中种型号的轿车比种型号的轿车少8辆,则()A. 96B. 72C. 48D. 36【答案】B【解析】【分析】根据分层比例列式求解.【详解】由题意得选B.【点睛】本题考查分层抽样,考查基本分析求解能力,属基础题.4.执行如图所示的程序框图,则输出的值是()A. 21B. 22C. 23D. 24【答案】B【解析】试题分析:运行第一次,,,;运行第二次,,,;运行第三次,,;运行第四次,,不满足,停止运行,所以输出的的值是,故选B.考点:程序框图.5.已知点与点关于直线对称,则点的坐标为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据对称列式求解.【详解】设,则,选 D.【点睛】本题考查关于直线对称点问题,考查基本分析求解能力,属基础题.6.从某班6名学生(其中男生4人,女生2人)中任选3人参加学校组织的社会实践活动.设所选3人中女生人数为,则数学期望()A. B. 1 C. D. 2【答案】B【解析】【分析】先列随机变量,再分别求解对应概率,最后根据数学期望公式求结果.【详解】因为,所以因此,选B.【点睛】本题考查数学期望,考查基本分析求解能力,属基础题.7.已知,其中,则()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据同角三角函数关系求得,再根据二倍角正切公式得结果.【详解】因为,且,所以,因为,所以,因此,从而,,选 D.【点睛】本题考查同角三角函数关系以及二倍角正切公式,考查基本分析求解能力,属基础题.8.过双曲线的左焦点作圆的切线,切点为,延长交双曲线右支于点,若,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据条件得,再根据切线得OE,结合双曲线定义列等式,解得离心率.【详解】设右焦点,因为,所以,因为,所以, 由双曲线定义得,因为⊥PF,所以⊥PF,因此,选A.【点睛】本题考查双曲线定义以及离心率,考查基本分析求解能力,属中档题.9.若曲线y= x3-2x2+2在点A处的切线方程为y=4x-6,且点A在直线mx+ ny -l=0(其中m>0,n>0)上,则的最小值为A. 4B. 3+2C. 6+4D. 8【答案】C【解析】【分析】先求A点坐标,再根据基本不等式求最值.【详解】设,则或,即或因为在上,所以,即,从而,当且仅当时取等号,即的最小值为,选C.【点睛】本题考查导数几何意义以及基本不等式求最值,考查基本分析求解能力,属中档题.10.函数的部分图像如图所示,先把函数图像上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的图像向右平移个单位长度,得到函数的图像,则函数的图像的一条对称轴为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据图象求,再根据图象变换得,最后根据正弦函数性质求对称轴.【详解】由图得,从而,,,选C.【点睛】本题考查由图象求函数解析式、三角函数图象变换以及正弦函数性质,考查基本分析求解能力,属中档题.11.已知点在直线上,点在直线上,的中点为,且,则的取值范围为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先确定所在直线,再根据,得轨迹为一条线段,最后根据斜率公式求结果.【详解】因为点在直线上,点在直线上,所以M在直线上,即,因为,所以轨迹为一条线段AB,其中,因此的取值范围为,选B.【点睛】本题考查线性规划求范围,考查基本分析求解能力,属中档题.12.若点与曲线上点的距离的最小值为,则实数的值为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先设切点B,再根据导数几何意义以及最值列式解得实数的值.【详解】因为,所以由题意得以A为圆心,为半径的圆与曲线相切于点B,设,则在B点处切线的斜率为,所以,选D.【点睛】本题考查利用导数求函数最值,考查综合分析求解能力,属难题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,向量a=2e1+e2,则|a|= ____.【答案】【解析】【分析】根据向量数量积求模.【详解】因为,所以. 【点睛】本题考查利用向量数量积求模,考查基本分析求解能力,属基本题.14.若的展开式中的系数是80,则实数的值是_______.【答案】2【解析】解:因为展开式的的系数为80,则说明,故a=2.15.秦九韶是我国南宋著名数学家,在他的著作《数书九章》中有己知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实.一为从隅,开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是,共中,,是的内角,,的对边为.若,且,1,成等差数列,则面积的最大值为________.【答案】【解析】【分析】先根据正弦定理得,再根据余弦定理化简得【详解】因为,所以,因此,因为,1,成等差数列,所以+=2,因此,即面积的最大值为.【点睛】本题考查正余弦定理以及二次函数性质,考查基本分析求解能力,属中档题.16.有一个底面半径为,轴截面为正三角形的圆锥纸盒,在该纸盒内放一个棱长均为的四面体,并且四面体在纸盒内可以任意转动,则的最大值为________.【答案】【解析】【分析】先求圆锥内切球半径,再根据取最大值时,四面体外接球恰为圆锥内切球,解得结果.【详解】设圆锥内切球半径为,则,所以,因为取最大值时,正四面体外接球恰为圆锥内切球,所以,解得.【点睛】本题考查圆锥内切球以及正四面体外接球,考查基本分析求解能力,属中档题.三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤,第17~21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22、23题为选考题,考生根据要求做答.(一)必考题:共60分.17.己知{a n}是递增的等比数列,a2+a3 =4,a l a4=3.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=na n,求数列{b n}的前n项和S n.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)列方程组解得公比与首项即可,(2)利用错位相减法求和.【详解】(1)设等比数列的公比为,因为,,所以解得或因为是递增的等比数列,所以,.所以数列的通项公式为.解法2:(1)设等比数列的公比为,因为,,所以,是方程的两个根.解得或因为是递增的等比数列,所以,,则.所以数列的通项公式为.(2)由(1)知.则,①在①式两边同时乘以得,,②①-②得,即,所以.【点睛】本题考查等比数列通项公式以及错位相减法求和,考查基本分析求解能力,属中档题.18.科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中,获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据,如下表:根据上表的数据得到如下的散点图.(1)根据上表中的样本数据及其散点图:(i)求;(ii)计算样本相关系数(精确到0.01),并刻画它们的相关程度.(2)若y关于x的线性回归方程为,求的值(精确到0.01),并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量。

2019年广州市高三年级调研测试(理科数学)试题

2019年广州市高三年级调研测试(理科数学)试题

高考数学精品复习资料2019.5秘密 ★ 启用前 试卷类型: A广州市高三年级调研测试理科数学20xx .12 本试卷共5页,23小题, 满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前,考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上,并用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2.作答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。

写在本试卷上无效。

3.第Ⅱ卷必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,0,1,2,3A =-,{}230B x x x =->,则AB =A .{}1-B .{}1,0-C .{}1,3-D .{}1,0,3-2.若复数z 满足()12i 1i z +=-,则z =A .25B .35C.5D3.在等差数列{}n a 中,已知22a =,前7项和756S =,则公差d =A .2B .3C .2-D .3-4.已知变量x ,y 满足202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩,,,则2z x y =+的最大值为A .0B .4C .5D .65.912x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为A .212-B .92-C .92D .2126.在如图的程序框图中,()i f x '为()i f x 的导函数,若0()sin f x x =,则输出的结果是 A .sin x -B .cos xC .sin xD .cos x -7.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,点M 为1CC 的中点,点N 为线段1DD 上靠近1D 的三等分点,平面BMN 交1AA 于点Q ,则AQ 的长为 A .23B .12C .16D .138.已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切,则实数k 的值为A .ln 2B .1C .1ln 2-D .1ln 2+9.某学校获得5个高校自主招生推荐名额,其中甲大学2名,乙大学2名,丙大学1名,并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加,学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象,则不同的推荐方法共有 A .36种B .24种C .22种D .20种10()0ϕϕ>个单位,所得图象对应的函数恰为奇函数,则ϕ的最小值为 A .6πB .12πC .4π D .3π 11.在直角坐标系xOy 中,设F 为双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点,P 为双曲线C 的右支上一点,且△OPF 为正三角形,则双曲线C 的离心率为 AB.3C.1+ D.2+12.对于定义域为R 的函数()f x ,若满足① ()00f =;② 当x ∈R ,且0x ≠时,都有()0xf x '>;③ 当120x x <<,且12x x =时,都有()()12f x f x <,则称()f x 为“偏对称函数”.现给出四个函数:()32132f x x x =-+;()2e 1x f x x =--;()()3ln 1,0,0;2,x x f x x x ⎧-+≤⎪= ⎨>⎪⎩ ()411,0,2120,0.x x x f x x ⎛⎫+≠ ⎪-⎝⎭=⎧⎪=⎨⎪⎩则其中是“偏对称函数”的函数个数为 A .0B .1C .2D .3二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.已知向量(),2x x =-a ,()3,4=b ,若ab ,则向量a 的模为________.14.在各项都为正数的等比数列{}n a 中,若201822a =,则2017201912a a +的最小值为________. 15.过抛物线C :22(0)y px p => 的焦点F 的直线交抛物线C 于A ,B 两点.若6AF =,3BF =,则p 的值为________.16.如图,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的外接球的表面积为________.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22、23题为选考题,考生根据要求做答. (一)必考题:共60分.17.(本小题满分12分)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足2a =,cos (2)cos a B c b A =-. (1)求角A 的大小;(2)求△ABC 周长的最大值.18.(本小题满分12分)EDBCA P如图,已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形,PA ⊥底面ABCD ,ED PA ,且22PA ED ==.(1)证明:平面PAC ⊥平面PCE ;(2)若直线 PC 与平面ABCD 所成的角为o45,求二面角D CE P --的余弦值.19.(本小题满分12分)某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜.过去50周的资料显示,该地周光照量X (小时)都在30小时以上,其中不足50小时的周数有5周,不低于50小时且不超过70小时的周数有35周,超过70小时的周数有10周.根据统计,该基地的西红柿增加量y (百斤)与使用某种液体肥料x (千克)之间对应数据为如图所示的折线图.(1)依据数据的折线图,是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系?请计算相关系数r 并加以说明(精确到0.01).(若75.0||>r ,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合)(2)蔬菜大棚对光照要求较大,某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪,但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制,并有如下关系:周光照量X (单位:小时) 3050X << 5070X ≤≤ 70X >光照控制仪最多可运行台数321若某台光照控制仪运行,则该台光照控制仪周利润为3000元;若某台光照控制仪未运行,则该台光照控制仪周亏损1000元.以过去50周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率,商家欲使周总利润的均值达到最大,应安装光照控制仪多少台?附:相关系数公式∑∑∑===----=ni in i ini iiy y x x y y x x r 12121)()())((,参考数据55.03.0≈,95.09.0≈.20.(本小题满分12分)如图,在直角坐标系xOy 中,椭圆C :22221y x a b+=()0a b >>的上焦点x y (百斤)54386542(千克)O为1F ,椭圆C 的离心率为12,且过点1,3⎛ ⎝⎭. (1)求椭圆C 的方程;(2)设过椭圆C 的上顶点A 的直线l 与椭圆C 交于点B (B 不在y 轴上),垂直于l 的直线与l 交于点M ,与x 轴交于点H ,若110F B F H •=,且MO MA =,求直线l 的方程. 21.(本小题满分12分)已知函数()ln bf x a x x=+()0a ≠.(1)当2b =时,若函数()f x 恰有一个零点,求实数a 的取值范围;(2)当0a b +=,0b >时,对任意121,,e e x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,有()()12e 2f x f x -≤-成立,求实数b 的取值范围.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩,(α为参数),将曲线1C 经过伸缩变换2x x y y'=⎧⎨'=⎩,后得到曲线2C .在以原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为cos sin 100ρθρθ--=.(1)说明曲线2C 是哪一种曲线,并将曲线2C 的方程化为极坐标方程;(2)已知点M 是曲线2C 上的任意一点,求点M 到直线l 的距离的最大值和最小值. 23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数()||f x x a =+. (1)当1=a 时,求不等式()211f x x ≤+-的解集;(2)若函数()()3g x f x x =-+的值域为A ,且[]2,1A -⊆,求a 的取值范围.。

广东省广州市2019届高三年级第一学期调研考试(一模)理科数学试题(解析版)

广东省广州市2019届高三年级第一学期调研考试(一模)理科数学试题(解析版)

2019届广州市高三年级调研测试理科数学本试卷共5页,23小题,满分150分,考试用时120分钟 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

1.设集合M=2{|02},{|230},x x N x x x ?=--<则集合M N Ç=( )A. {|02}x x ?B. {|03}x x ?C. {|12}x x -<<D. {|01}x x ?【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合N ,再由交集的定义即可得结果. 【详解】因为集合{}|02M x x=?,{}{}2|230|13N x x x x x =--<=-<<,{}|02M Nx x \??,故选A.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交集问题,属于简单题. 研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性.研究两集合的关系时,关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合. 2.若复数(1a iz i i+=-是虚数单位)为纯虚数,则实数a 的值为( ) A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数代数形式的除法运箅化简复数1a iz i+=-,再根据实部为0且虚部不为0求解即可. 【详解】()()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22a a a a z +++-+===+-+-为纯虚数,1010a a ì+?ï\í-=ïî,即1a =,故选C.主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的理解,掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念,复数的运算主要考查除法运算,通过分母实数化转化为复数的乘法,运算时特别要注意多项式相乘后的化简,防止简单问题出错,造成不必要的失分.3.已知{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ,若36a =,312S =,则公差d 等于( ). A. 1 B. 53C. 2D. 3 【答案】C 【解析】试题分析:因为322123124S a a =??,所以32642d a a =-=-=,选C.考点:等差数列性质4.若点(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点,则弦MN 所在直线的方程为( ) A. 230x y +-= B. 210x y -+= C. 230x y +-= D. 210x y --= 【答案】D 【解析】圆心C(3,0),k PC =12-,∵点P 是弦MN 的中点,∴PC ⊥MN , ∴k MN k PC =-1,∴k MN =2,∴弦MN 所在直线方程为y -1=2(x -1), 即2x -y -1=0.考点:圆的弦所在的直线方程.5.已知实数ln222,22ln 2,(ln 2)a b c ==+=,则,,a b c 的大小关系是 A. c b a << B. c a b << C. b a c << D. a c b << 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围,从而可得结果. 【详解】由对数函数的性质0ln21<<, 所以22ln 22,+>所以由指数函数的单调性可得,200ln 2112222,0ln 2ln 21=<<=<<=,c a b \<<,故选B.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题,属于中档题.解答比较大小问题,常见思路有两个:一是判断出各个数值所在区间(本题三个数分别在三个区间()()()0,1,1,2,2,+? );二是利用函数的单调性直接解答;数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用. 6.下列命题中,真命题的是( ) A. 00,0x x R e $危B. 2,2xx R x "?C. 0a b +=的充要条件是1ab=- D. 若,x y R Î,且2x y +>,则,x y 中至少有一个大于1 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的值域判断A ;根据特殊值判断B C 、;根据逆否命题与原命题的等价性判断D . 【详解】根据指数函数的性质可得x 0e >,故A 错误;2x =时,22x x >不成立,故B 错误;当0a b ==时,1ab=-不成立,故C 错误; 因为“2x y +>,则,x y 中至少有一个大于1”的逆否命题 “,x y 都小于等于1,则2x y +?”正确,所以“2x y +>,则,x y 中至少有一个大于1”正确,故选D.【点睛】本题主要考查指数函数的值域、特称命题与全称命题的定义,以及原命题与逆否命题的等价性,意在考查综合应用所学知识解答问题的能力,属于中档题. 7.由()y f x =的图象向左平移3p个单位,再把图象上所有点横坐标伸长到原来的2倍得到sin 36y x p 骣琪=-琪桫的图象,则()f x =( ) A. 3sin 26x p 骣琪+琪桫 B. sin 66x p 骣琪-琪桫 C. 3sin 23x p骣琪+琪桫D. sin 63x p 骣琪+琪桫 【答案】B 【解析】将36y sin x p骣琪=-琪桫的图象上各个点的横坐标变为原来的12,再把所得图象向右平移3p 个单位,即可得到()f x 的图象,根据三角函数的图象变换规律可得()f x 的解析式.【详解】将36y sin x p骣琪=-琪桫的图象上各个点的横坐标变为原来的12,可得函数66y sin x p骣琪=-琪桫的图象, 再把函数66y sin x p骣琪=-琪桫的图象向右平移3p 个单位,即可得到()66366f x sin x sin x p pp 轾骣骣犏琪琪=--=-琪琪犏桫桫臌的图象, 所以()f x = 66sin x p骣琪-琪桫,故选B. 【点睛】本题考查了三角函数的图象,重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握,属于中档题. 能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题,反映学生对所学知识理解的深度.8. 已知甲袋中有1个黄球和2个红球,乙袋中有2个黄球和2个红球,现随机地从甲袋中取出两个球放入乙袋中,然后从乙袋中随机取出1个球,则从乙袋中取出红球的概率为( ) A.13 B. 12 C. 59 D. 29【答案】C 【解析】试题分析:甲取出的求有两种情况:(1)从甲取出1黄球1红球,概率为:132136213C C C ?,(2)从甲取出2红球,概率为:142136129C C C ?,故概率为125399+=.考点:1、古典概型;2、分类加法、分步乘法计数原理.9.已知抛物线22(0)y px p =>为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ,点A 是两曲线的一个点,且AF ⊥x 轴,则双曲线的离心率为( )A.1 B. 31 C. 51 D. 22【解析】 【分析】求出抛物线与双曲线的焦点坐标,将其代入双曲线方程求出A 的坐标,将A 代入抛物线方程求出双曲线的三参数,,a b c 的关系,则双曲线的离心率可求.【详解】抛物线的焦点坐标为,02p骣琪琪桫,双曲线的焦点坐标为(),0c ,2p c \=,点A 是两曲线的一个交点,且AF x ^轴,将x c =代入双曲线方程得到2,b A c a骣琪琪桫, 将A 的坐标代入抛物线方程可得,422222444b pc c a b a===+, 即4224440a a b b +-=,解得222ba=+ 22222222b c a a a -\==+)22232221c a=+=解得21ce a==,故选A . 【点睛】本题主要考查双曲线性质与双曲线的离心率,是中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点,一般求离心率有以下几种情况:①直接求出,a c ,从而求出e ;②构造,a c 的齐次式,求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.10.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若367,63S S ==,则数列{}n na 的前n 项和为( ) A. 3(1)2n n -++? B. 3(1)2n n ++? C. 1(1)2n n ++? D. 1(1)2n n +-? 【答案】D 【解析】当1q = 时,不成立,当1q ¹ 时,()3161171{1a q q a q -=-- ,两式相除得3631171163q q q -==-+ ,解得:2q = ,11a = 即1112n n n a a q --== ,12n n n a n -?? ,2112232......2n n s n -=+??+? ,2n s = ()211222......122n n n n -??+-?? ,两式相减得到:21122......22n n n s n --=++++-?()12212112n nn n n -=-?-?- ,所以()112nn s n =+-? ,故选D.11.如图为一个多面体的三视图,则该多面体的体积为( )A.203 B. 7 C. 223 D. 233【答案】C 【解析】该几何体为如图所示的几何体11EFBC ABCD -,是从棱长为2的正方体中截取去两个三棱锥后的剩余部分,其体积111111131111211212273232A B C D ABCD A A EF D D BC V V V V ---=--=-创创-创创=,故选C. 12.已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =?的切线有且仅有两条,则实数a 的取值范围是( ) A. ()(--4)0+ト?,,B. ()0+¥, C. ()(--1)1+ト?,, D. ()--1¥, 【答案】A 【解析】 【分析】设出切点,对函数求导得到切点处的斜率,由点斜式得到切线方程,化简为20x a =,整理得到方程2000x ax a --=有两个解即可,240a a D=+>解出不等式即可.【详解】设切点为()00,x x x e ,(1)x y x e =+¢,000(1)x x x y x e =\=+?¢,则切线方程为:()00000=1()x x y x e x e x x -+?,切线过点(,0)A a 代入得:()00000=1()x x x e x e a x -+?, 2001x a x \=+,即方程2000x ax a --=有两个解,则有2400a a a D=+>?或4a <-. 故答案为:A.【点睛】这个题目考查了函数的导函数的求法,以及过某一点的切线方程的求法,其中应用到导数的几何意义,一般过某一点求切线方程的步骤为:一:设切点,求导并且表示在切点处的斜率;二:根据点斜式写切点处的切线方程;三:将所过的点代入切线方程,求出切点坐标;四:将切点代入切线方程,得到具体的表达式.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量,a b 的夹角为45°,且1,2a b ==,则a b -=__________ 【答案】1 【解析】 【分析】先利用平面向量的运算法则以及平面向量的数量积公式求出a b -平方的值,再开平方即可得结果. 【详解】因为向量,a b 的夹角为45°,1,2a b ==,()2222a b a b a b -=+-?222cos 45a b a b °=+-?21221212=+-创?,可得1a b -=,故答案为1.【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则以及平面向量的数量积公式,属于简单题. 向量数量积的运算主要掌握两点:一是数量积的基本公式cos a ba b q ?;二是向量的平方等于向量模的平方22a a =.14.已知423401234(23)x a a x a x a x a x +=++++,则2202413()()a a a a a ++-+=__________. 【答案】1令1x =,得401234(23)a a a a a +=++++; 令1x =-,得401234(23)a a a a a -+=-+-+;两式相加得22024130123402413()()()()a a a a a a a a a a a a a a a ++-+=++++?+--444(2(23)(1)1=?=-=.点睛: “赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如2(),()(,)n n ax b ax bx c a b +++?R 的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法, 只需令1x =即可;对形如()(,)n ax by a b +?R 的式子求其展开式各项系数之和,只需令1x y ==即可.15.已知实数,x y 满足203500x y x y x y ì-?ïï-+?ïí>ïï>ïî,则11()()42x y z =的最小值为__________.【答案】C 【解析】试题分析:不等式组20{350x y x y -?-+?表示的平面区域如下图所示,目标函数2111()()()422x y x y z +==,设2t x y =+,令20x y +=得到如上图中的虚线,向上平移20x y +=易知在点()1,2A 处取得最小值,min 4t =,所以目标函数4min 11()216z ==. 考点:线性规划.16.在四面体P ABC -中,1PA PB PC BC ====,则该四面体体积的最大值为________. 3由于平面PBC 是边长为1的正三角形,P ABC A PBC V V --= ,底面面积固定,要使体积最大,只需高最大,故当PA ^平面PBC 时体积最大,2133113V =创?.三、解答题:共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22-23题为选考题,考生根据要求作答.17.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且222cos cos sin sin sin B C A A B -=+. (1)求角C 的大小;(2)若A=6p,△ABC 的面积为43M 为BC 的中点,求AM. 【答案】(1) 2;3C p=(2) 27【解析】 【分析】(1)利用正弦定理,结合同角三角函数的关系化简已知的等式,得到三边的关系式,再利用余弦定理表示出根据cos C 的值,可求角C 的大小;(2)求得()6B AC A pp =-+==,ABC D为等腰三角形,由三角形面积公式可求出CB CM 、的值,再利用余弦定理可得出AM 的值. 【详解】(1)∵222cos cos sin sin sin B C A A B -=+∴()2221sin 1sin sin sin sin B C A A B ---=+() ∴222sin sin sin sin sin C B A A B -=+由正弦定理得:222c b a ab -=+即222a b c ab +-=-∴22211cos 222a b c C ab +-=-=-即∵C 为三角形的内角,∴23C p= (2)由(1)知23C p =,∴()6B AC A pp =-+== ∴△ABC 为等腰三角形,即CA=CB 又∵M 为CB 中点 ∴CM=BM 设CA=CB=2x 则CM=BM=x1sin 432CABSCA CB C =鬃=∴CA=4,CM=2由余弦定理得:222cos 27CA CM CM CA C +-鬃=.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式,属于中档题. 解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷.如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.18.某企业对设备进行升级改造,现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本,检测一项质量指标值,若该项指标值落在[20,40)内的产品视为合格品,否则为不合格品,图1是设备改造前样本的频率分布直方图,表1是设备改造后的频数分布表.表1,设备改造后样本的频数分布表:(1)请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均数;(2)企业将不合格品全部销毁后,并对合格品进行等级细分,质量指标值落在[25,30)内的定为一等品,每件售价240元,质量指标值落在[20,25)或[30,35)内的定为二等品,每件售价180元,其它的合格品定为三等品,每件售价120元.根据表1的数据,用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率,现有一名顾客随机购买两件产品,设其支付的费用为X (单位:元),求X 得分布列和数学期望.【答案】(1) 30.2;(2)分布列见解析, 400. 【解析】(1)每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值;(2)X 的可能取值为:240, 300,360, 420, 480,根据直方图求出样本中一、二、三等品的频率分别为111,,236,利用独立事件与互斥事件概率公式求出各随机变量对应的概率,从而可得分布列,进而利用期望公式可得X 的数学期望. 【详解】(1)样本的质量指标平均值为0.0417.50.162.5??????30.2=. 根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为30.2 .(2)根据样本频率分布估计总体分布,样本中一、二、三等品的频率分别为111,,236, 故从所有产品中随机抽一件,是一、二、三等品的概率分别为111,,236, 随机变量X 的取值为:240, 300,360, 420, 480,()()12111111240;3006636369P X P X C ==?==创=;()()112211115111360;420263318233P X C P X C ==创+?==创=, ()111480224P X ==?, 所以随机变量X 的分布列为:()115112403003604204804003691834E X \=?????.【点睛】本题主要考查直方图的应用,互斥事件的概率公式、独立事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望,属于中档题. 求解数学期望问题,首先要正确理解题意,其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值,计算出相应的概率,写出随机变量的分布列,正确运用均值、方差的公式进行计算,也就是要过三关:(1)阅读理解关;(2)概率计算关;(3)公式应用关.19.如图,多面体ABCDEF 中,四边形ABCD 为矩形,二面角A-CD-F 为60°,DE ∥CF ,CD ⊥DE ,AD=2,DE=DC=3,CF=6.(1)求证:BF ∥平面ADE ;(2)在线段CF 上求一点G ,使锐二面角B-EG-D 的余弦值为14. 【答案】(1)详见解析;(2)点G 满足32CG =. 【解析】 【分析】(1)先证明//BC 平面ADE ,//CF 平面ADE ,可得平面//BCF 平面ADE ,从而可得结果;(2)作AO DE ^于点O ,则AO ^平面CDEF ,以平行于DC 的直线为x 轴,DE 所在直线为y 轴,OA 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,设()3,,0,15G t t-#,利用向量垂直数量积为零列方程组求得平面BEG 的法向量,结合面DEG 的一个法向量为()0,0,1n =,利用空间向量夹角余弦公式列方程解得12t =,从而可得结果.【详解】(1)因为ABCD 是矩形,所以BC ∥AD , 又因为BC 不包含于平面ADE , 所以BC ∥平面ADE ,因为DE ∥CF ,CF 不包含于平面ADE , 所以CF ∥平面ADE ,又因为BC ∩CF =C ,所以平面BCF ∥平面ADF , 而BF ⊂平面BCF ,所以BF ∥平面ADE .(2)∵CD ⊥AD ,CD ⊥DE∴∠ADE 为二面角A-CD-F 的平面角 ∴∠ADE=60° ∵CD ⊥面ADE\平面CDEF ^平面ADE ,作AO DE ^于点O ,则AO ^平面CDEF ,由2,3AD DE ==,得1,2DO EO ==,以O 为原点,平行于DC 的直线为x 轴,DE 所在直线为y 轴,OA 所在直线为z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -,则()()()()()3,3,1,0,0,1,0,0,2,0,3,5,0A C D E F --,()3OB OA AB OA DC =+=+=,设()3,,0,15G t t-#,则()()3,2,3,0,,3BE BG t =--=-,设平面BEG 的法向量为(),,m x y z =,则由00m BE m BG ì?ïí?ïî,得323030x y z ty z ì-+-=ïíï-=î,取233x ty z tì=-ïï=íïïî, 得平面BEG 的一个法向量为()23m t t =-, 又面DEG 的一个法向量为()0,0,1n =,23cos ,4413m n t m n m n t t ×\==-+,314t\=, 解得12t =或1322t =-(舍去),此时14CG CF =,得1342CG CF ==,即所求线段CF 上的点G 满足32CG =.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、空间向量的应用,属于难题.证明线面平行的常用方法:①利用线面平行的判定定理,使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,可利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质,即两平面平行,在其中一平面内的直线平行于另一平面.20.已知椭圆C :22221(0,0)x y a b a b +=>>的离心率为12,点P 3(3,在C 上.(1)求椭圆C 的方程;(2)设12,F F 分别为椭圆C 的左右焦点,过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ,求△1F AB 的内切圆的半径的最大值.【答案】(1) 22143x y += ;(2) 最大值为34.【解析】 【分析】 (1) 根据离心率为12,点33,骣琪琪在椭圆上,结合性质222a b c =+ ,列出关于a 、b 、c 的方程组,求出a 、b ,即可得结果;(2)可设直线l 的方程为1x m y =+,与椭圆方程联立,可得()2234690m ymy ++-=,结合韦达定理、弦长公式,利用三角形面积公式可得12121221121234F ABm S F F y y m D +=-=+,换元后利用导数可得,1F ABS D 的最大值为3,再结11442F AB S a r rD =?可得结果.【详解】(1)依题意有22222123314c a a b c a bì=ïïï=+íïï+=ïî,解得231a b c ì=ïï=íï=ïî故椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)设()()1122,,,A x y B x y ,设1F AB D 的内切圆半径为r ,1F AB D 的周长为121248AF AF BF BF a +++==,11442F AB S a rr D \=?,根据题意知,直线l 的斜率不为零, 可设直线l 的方程为1x my =+,由221431x y x my ìï+=íï=+ïî,得()2234690m y my ++-=, ()()22636340,m m m R D=++>?,由韦达定理得12122269,3434m y y y y m m --+==++, ()12212121212112142F ABm S F F y y y y y y D +\=-+-=,令t ,则1t ³,12124313F AB t S t t tD \==++, 令()13f t t t =+,则当1t ³时,()()21'10,3f t f t t=->单调递增,()()141,33F AB f t f S D \??,即当1,0t m ==时,1F AB S D 的最大值为3,此时max 34r =,故当直线l 的方程为1x =时,1F AB D 内切圆半径的最大值为34.【点睛】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系,属于难题. 用待定系数法求椭圆方程的一般步骤;①作判断:根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上,还是在y 轴上,还是两个坐标轴都有可能;②设方程:根据上述判断设方程()222210x y a b a b +=>>或22221x y b a+=()0a b >>;③找关系:根据已知条件,建立关于a 、b 、c 的方程组;④得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求. 21.已知函数21()(2ln ),x f x a x x a R x-=-+?. (1)讨论()f x 的单调性;(2)若()f x 的有两个零点,求实数a 的取值范围.【答案】(1) 当a≤0,()f x 在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)递减;当104a <<,()f x 在(0,2)和a +?)上单调递增,在(2,aaa=14,()f x 在(0,+∞)递增;当a >14,()f x 在(02,+a 2)递减;(2) ()1,081ln2a 骣琪?琪-桫.【解析】 【分析】(1)求出()'f x ,分四种情况讨论a 的范围,在定义域内,分别令()'0f x >求得x 的范围,可得函数()f x增区间,()'0f x <求得x 的范围,可得函数()f x 的减区间;(2)由(1)知当0a <时,()f x 单调递增区间为()0,2,单调递减区间为()2,+?,又()10f a =<,取01max ,5x a禳镲=-睚镲铪,可证明()()00022200000111112ln 0f x a x x a x x x x x =-+-?-?<,()f x 有两个零点等价于()()1222ln 204f a =-+>,得188ln 2a >--,可证明,当14a =时与当0a >且14a ¹时,至多一个零点,综合讨论结果可得结论.【详解】(1)()f x 的定义域为()0,+?,()()()2332122'1x ax x f x a xx x --骣-琪=-+=琪桫, (i )当0a £时,210ax -<恒成立,()0,2x Î时,()()'0,f x f x >在()0,2上单调递增; ()2,x ??时,()()'0,f x f x <在()2,+?上单调递减.(ii )当0a >时,由()'0f x =得,1232,x x x a a===-(舍去), ①当12x x =,即14a =时,()0f x ³恒成立,()f x 在()0,+?上单调递增;②当12x x >,即14a >时,x a骣琪Î琪桫或()2,x ??,()'0f x >恒成立,()f x 在(),2,a骣琪+?琪桫上单调递增;2x 骣Î时,()'0f x <恒成立,()f x 在2a骣琪琪桫上单调递减. ③当12x x <,即104a <<时,x a骣琪??琪桫或()0,2x Î时,()'0f x >恒成立,()f x 在()0,2,a骣琪+?琪桫单调递增,x 骣琪Î琪桫时,()'0f x <恒成立,()f x 在a骣琪琪桫上单调递减. 综上,当0a £时,()f x 单调递增区间为()0,2,单调递减区间为()2,+?;当14a =时,()f x 单调递增区间为()0,+?,无单调递减区间为;当14a >时,()f x 单调递增区间为(),2,a 骣琪+?琪桫,单调递减区间为2a骣琪琪桫. (2)由(1)知当0a <时,()f x 单调递增区间为()0,2,单调递减区间为()2,+?,又()10f a =<,取01max ,5x a禳镲=-睚镲铪,令()()1212ln ,f x x x f x x =-=,则()12'10f x x=->在()2,+?成立,故()12ln f x x x =-单调递增,()()1052ln5122ln51f x ?=+->,()()0002220000111112ln 0f x a x x a x x x x x =-+-?-?<, ()f x \有两个零点等价于()()1222ln 204f a =-+>,得188ln 2a >--,1088ln 2a \>>--,当0a =时,()21x f x x-=,只有一个零点,不符合题意;当14a =时,()f x 在()0,+?单调递增,至多只有一个零点,不符合题意;当0a >且14a ¹时,()f x 有两个极值,()()1222ln 20,2ln 4f a f a a a a a骣琪=-+>=-琪桫, 记()2ln g x x x x x =-,()()'1ln 1ln 2g x x x xx=++-+, 令()ln h x x x=+,则()3221121'22x h x x x x -=-+, 当14x >时,()()'0,'h x g x >在1,4骣琪+?琪桫单调递增;当104x <<时,()()'0,'h x g x <在10,4骣琪琪桫单调递减, 故()()1''=22ln 20,4g x g g x 骣琪>->琪桫在()0,+?单调递增,0x ®时,()0g x ®,故2ln 0f a a a a a骣琪=->琪桫,又()()1222ln 204f a =-+>,由(1)知,()f x 至多只有一个零点,不符合题意, 综上,实数a 的取值范围为1,088ln 2骣琪-琪-桫.【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题,主要考查了函数思想,化归思想,抽象概括能力,综合分析问题和解决问题的能力,属于较难题,近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度,不仅题型在变化,而且问题的难度、深度与广度也在不断加大,本部分的要求一定有三个层次:第一层次主要考查求导公式,求导法则与导数的几何意义;第二层次是导数的简单应用,包括求函数的单调区间、极值、最值、零点等;第三层次是综合考查,包括解决应用问题,将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合,设计综合题.(二)选考题:共10分,请在22-23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.已知曲线C 的极坐标方程为23cos 2sin r q q =+,直线()1:6l R p q r =?,直线()2:3l R pq r =?,设极点O 为坐标原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系. (1)求直线12,l l 的直角坐标系方程以及曲线C 的参数方程;(2)若直线1l 与曲线C 交于O 、A 两点,直线2l 与曲线C 交于O 、B 两点,求△AOB 的面积.【答案】(1)13:l y x = ; 2:3l y x ;32,12x cos y sin q q qì=ïíï=+î 为参数;(2)23【解析】 【分析】(1)利用极角的定义、直线的倾斜角的定义以及两直线过原点,可得到直线1l 与直线2l 的直角坐标方程;曲线C 的极坐标方程两边同乘以r 利用222,cos ,sin x y x y rr q r q =+== 即可得其直角坐标方程,然后化为参数方程即可;(2)联立6232sin pq r q qì=ïïíï=+ïî,得14OA r ==,同理223OB r ==形面积公式可得结果.【详解】(1)依题意,直线1l 直角的坐标方程为3y x =, 直线2l 直角的坐标方程为3y x ,由2sin r q q =+得223cos 2sin rr q r q =+,222,cos ,x y x sin y r r q r q =+==,()()222314x y r \=-+-=,\曲线C 的参数方程为32cos (12x y sin a a aì=ïíï=+î为参数).(2)联立6232sin pq r q qì=ïïíï=+ïî,得14OA r ==, 同理223OB r ==6AOBp?, 11142323222AOB S OA OB sin AOB D \=?创?,即AOB D 的面积为23【点睛】本题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程与参数方程,属于中档题. 利用关系式cos sin x y r q r qì=ïí=ïî,222tan x y yxr q ì+=ïíï=ïî可以把极坐标方程与直角坐标方程互化,通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程. 23.选修4-5:不等式选讲 已知函数()()13f x x a a R =-?. (1)当2a =时,解不等式()113x f x -+?; (2)设不等式()13x f x x -+?的解集为M ,若11[,]32M Í,求实数a 的取值范围.【答案】(1){|01}x x x 3或.(2)14[,]23-. 【解析】试题分析:(1)利用零点分段讨论求解.(2)利用11,32x 轾Î犏犏臌化简313x x a x -+-?得到1x a -?在区间11,32轾犏犏臌上是恒成立的,也就是11a x a -<<+是不等式11,32轾犏犏臌的子集,据此得到关于a 的不等式组,求出它的解即可.解析:(1)当2a =时,原不等式可化为3123x x -+-?.①当13x £时,原不等式可化为3123x x -++-?,解得0x £,所以0x £; ②当123x <<时,原不等式可化为3123x x --+?,解得1x ³,所以12x ?; ③当2x ³时,原不等式可化为3123x x --+?,解得32x ³,所以2x ³.综上所述,当2a =时,不等式的解集为{}|01x x x 3或. (2)不等式()13x f x x -+?可化为313x x a x -+-?,依题意不等式313x x a x -+-?在11,32轾犏犏臌恒成立,所以313x x a x -+-?,即1x a -?,即11a xa -#+,所以113112a a ì-?ïïíï+?ïî.解得1423a -#,故所求实数a 的取值范围是14,23轾-犏犏臌.。

2019年广东省广州市高三年级调研测试(理数)试卷及答案

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高考数学精品复习资料2019.5广州市20xx 届高三年级调研测试数 学(理 科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡相应位置上.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.参考公式:锥体体积公式13V Sh =,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高.一.选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知i 为虚数单位, 则复数i2i-的模等于 A .5 B .3 C .33 D .552.设集合{}0322=--=x x x A ,{}12==x x B ,则B A Y 等于A .{}1-B .{}1,3C .{}1,1,3-D .R 3.已知向量(3,1)=a ,(,2)x =-b ,(0,2)=c ,若()⊥-a b c ,则实数x 的值为 A .43 B .34 C .34- D .43- 4.定义在R 上的函数()f x 满足2log (16), 0,()(1),0,x x f x f x x -≤⎧=⎨->⎩则()3f 的值为A .4-B .2C .2log 13D .45.函数()()sin f x A x ωϕ=+(0A >,0ω>,2πϕ<)的部分图象如图1所示,则函数()y f x =对应的解析式为 A .sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B .sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C .cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D .cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭6.执行如图2的程序框图,如果输入的N 的值是6,那么输出的p 的值是A .15B .105C .120D .7207.若点(1,0)A 和点(4,0)B 到直线l 的距离依次为1和2,则这样的直线有A .1条B .2条C .3条D .4条8.对于实数a 和b ,定义运算“*”:a *2221, ,, .a ab a b b b ab a b ⎧-+-≤⎪=⎨->⎪⎩设()()21f x x =-*()1x -,且关于x的方程为()()f x m m =∈R 恰有三个互不相等的实数根1x ,2x ,3x ,则321x x x ⋅⋅的取值范围是 A .1,032⎛⎫-⎪⎝⎭ B .1,016⎛⎫- ⎪⎝⎭ C .10,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ D .10,16⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.(一)必做题(9~13题)9.在等比数列{}n a 中,若1323a a a =⋅,则4a = .10.若x ,y 满足约束条件0,0,1,3412,x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-≥-⎪⎪+≤⎩则x y +的最大值为_______.11.如图3,设D 是图中边长为4的正方形区域,E 是D 内函数2y x =图象下方的点构成的区域.在D 内随机取一点,则该点落在E 中的概率为 .Oxy 1π611π12图1O xy2 4-2图3是否开始 1,1==p k p p k =⋅?k N <输出p图22k k =+输入N结束12.已知点P 在曲线4e 1x y =+(其中e 为自然对数的底数)上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则αtan 的取值范围是 .13.有4名优秀学生A ,B ,C ,D 全部被保送到甲,乙,丙3所学校,每所学校至少去一名,则不同的保送方案共有 种.(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题) 14.(几何证明选讲选做题)如图4,AC 为⊙O 的直径,OB AC ⊥,弦BN 交AC 于点M .若3OC =,1OM =,则MN 的长为 . 15.(坐标系与参数方程选讲选做题)若点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩(θ为参数,θ∈R )上,则y x 的取值范围是 .三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且3cos 23A C +=. (1)求cosB 的值;(2)若3a =,22b =,求c 的值. 17.(本小题满分12分)空气质量指数PM2.5 (单位:3/m μg )表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,代表空气污染越严重.PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示:PM2.5日均浓度 0~35 35~75 75~115 115~150 150~250>250空气质量类别优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染从甲城市9月份的30天中随机抽取15天的PM2.5日均浓度指数数据茎叶图如图5所示. (1)试估计甲城市在9月份30天的空气质量类别为优或良的天数; (2)在甲城市这15个监测数据中任取2个,设X 为空气质量类别为优或良的天数,求X 的分布列及数学期望.3 2 0 45 56 47 6 9 78 8 0 79 1 8 0 9 图5ABCOM N图418.(本小题满分14分)在如图6的几何体中,平面CDEF 为正方形,平面ABCD 为等腰梯形,AB ∥CD ,BC AB 2=,60ABC ︒∠=,AC FB ⊥.(1)求证:⊥AC 平面FBC ;(2)求直线BF 与平面ADE 所成角的正弦值. 19.(本小题满分14分)已知数列{a n }满足135a =,1321n n n a a a +=+,*n ∈N .(1)求证:数列1 1 n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列; (2)是否存在互不相等的正整数m ,s ,t ,使m ,s ,t 成等差数列,且1m a -,1s a -,1t a -成等比数列?如果存在,求出所有符合条件的m ,s ,t ;如果不存在,请说明理由.20.(本小题满分14分)设函数()313f x x ax =-()0a >,()221g x bx b =+-. (1)若曲线()x f y =与()x g y =在它们的交点()c ,1处有相同的切线,求实数a ,b 的值; (2)当12ab -=时,若函数()()()h x f x g x =+在区间()0,2-内恰有两个零点,求实数a 的取值范围; (3)当1a =,0b =时,求函数()()()h x f x g x =+在区间[]3,+t t 上的最小值.21.(本小题满分14分)如图7,已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>,双曲线12222=-by a x 的两条渐近线为21,l l .过椭圆C 的右焦点F 作直线l ,使1l l ⊥,又l 与2l 交于点P ,设l 与椭圆C 的两个交点由上至下 依次为A ,B .(1)若1l 与2l 的夹角为60°,且双曲线的焦距为4,求椭圆C 的方程;Ox yBAF P l 1l l 2图6ABCDE F(2)求||||AP FA 的最大值.图7数学(理科)参考答案及评分标准说明:1.参考答案及评分标准给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据比照评分标准给以相应的分数.2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40分.二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分) 解:(1)在△ABC 中,A B C π++=.………………………………………………………………1分 所以coscos22A C Bπ+-= …………………………………………………………………………2分 3sin23B ==.………………………………………………………………………3分 所以2cos 12sin2BB =- ……………………………………………………………………………5分 13=.………………………………………………………………………………………7分 (2)因为3a =,22b =,1cos 3B =,由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,………………………………………………………………9分 得2210c c -+=.……………………………………………………………………………………11分 解得1c =.……………………………………………………………………………………………12分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C A D A B C A 题号 9 10 11 12 13 14 15 答案 3 4 13 [)01,- 36 1 33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦17.(本小题满分12分) 解:(1)由茎叶图可知,甲城市在9月份随机抽取的15天中的空气质量类别为优或良的天数为5天.…………………………………………………………………………………………………1分 所以可估计甲城市在9月份30天的空气质量类别为优或良的天数为10天.…………2分(2)X 的取值为0,1,2,………………………………………………………………………………3分因为()02510215C C 30C 7P X ===,………………………………………………………………………5分 ()11510215C C 101C 21P X ===,……………………………………………………………………………7分()20510215C C 22C 21P X ===.…………………………………………………………………………9分所以X 的分布列为:X0 1 2P73 2110 212所以数学期望32212221101730=⨯+⨯+⨯=EX .…………………………………………………12分18.(本小题满分14分)(1)证明1:因为BC AB 2=,60ABC ︒∠=,在△ABC 中,由余弦定理可得BC AC 3=.……………………………………………………2分所以222AC BC AB +=.所以BC AC ⊥.………………………………………………………………………………………3分因为AC FB ⊥,BF BC B =I ,BF 、BC ⊂平面FBC ,所以⊥AC 平面FBC .………………………………………………………………………………4分 证明2:因为60ABC ︒∠=,设BAC α∠=()0120α<<o o ,则120ACB α∠=-o.在△ABC 中,由正弦定理,得()sin sin 120BC ABαα=-o.…………………………………………1分 因为BC AB 2=,所以()sin 1202sin αα-=o.整理得3tan 3α=,所以30α=o.…………………………………………………………………2分 所以BC AC ⊥.………………………………………………………………………………………3分 因为AC FB ⊥,BF BC B =I ,BF 、BC ⊂平面FBC ,所以⊥AC 平面FBC .………………………………………………………………………………4分……………………10分(2)解法1:由(1)知,⊥AC 平面FBC ,FC ⊂平面FBC ,所以FC AC ⊥.因为平面CDEF 为正方形,所以FC CD ⊥.因为AC CD C =I ,所以⊥FC 平面ABCD .……………………………………………………6分取AB 的中点M ,连结MD ,ME ,因为ABCD 是等腰梯形,且BC AB 2=,60DAM ∠=o,所以MD MA AD ==.所以△MAD 是等边三角形,且ME BF P .…………………………7分取AD 的中点N ,连结MN ,NE ,则MN AD ⊥.………8分 因为MN ⊂平面ABCD ,ED FC P ,所以ED MN ⊥. 因为AD ED D =I ,所以MN ⊥平面ADE . ……………9分 所以MEN ∠为直线BF 与平面ADE 所成角. ……………10分 因为NE ⊂平面ADE ,所以MN ⊥NE .…………………11分 因为32MN AD =,222ME MD DE AD =+=,…………………………………………12分 在Rt △MNE 中,6sin 4MN MEN ME ∠==.……………………………………………………13分 所以直线BF 与平面ADE 所成角的正弦值为64.………………………………………………14分 解法2:由(1)知,⊥AC 平面FBC ,FC ⊂平面FBC ,所以FC AC ⊥.因为平面CDEF 为正方形,所以FC CD ⊥.因为AC CD C =I ,所以⊥FC 平面ABCD .……………………………………………………6分所以CA ,CB ,CF 两两互相垂直,建立如图的空间直角坐标系xyz C -.………………………7分 因为ABCD 是等腰梯形,且BC AB 2=,60ABC ︒∠= 所以CB CD CF ==.不妨设1BC =,则()0,1,0B ,()0,0,1F ,()3,0,0A,31,,022D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,31,,122E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, 所以()0,1,1BF =-u u u r ,31,,022DA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ,()0,0,1DE =u u u r .………………………………………9分M N ABCDE Fx AB CDEFyz设平面ADE 的法向量为=()x,y,z n ,则有0,0.DA DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n 即30,220.y x z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩取1x =,得=n ()1,3,0-是平面ADE 的一个法向量.………………………………………11分 设直线BF 与平面ADE 所成的角为θ,则()()0,1,11,3,06sin cos ,422BF BF BF --⋅θ=〈〉===u u u rg u u u r u u u rg g n n n.……………………………13分 所以直线BF 与平面ADE 所成角的正弦值为64.………………………………………………14分19.(本小题满分14分) 解:(1)因为1321n n n a a a +=+,所以111233n n a a +=+.…………………………………………………1分 所以1111113n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.…………………………………………………………………………3分因为135a =,则11213a -=.…………………………………………………………………………4分所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为32,公比为31的等比数列.…………………………………………5分(2)由(1)知,112121333n n n a -⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭,所以332n n na =+.……………………………………7分 假设存在互不相等的正整数m ,s ,t 满足条件,则有()()()22,111.s m t m t s a a a +=⎧⎪⎨-=--⎪⎩……………………………………………………………………9分 由332n n n a =+与()()()2111s m t a a a -=--,得2333111323232s m t sm t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.……………………………………………………10分 即232323343m tm t s s ++⨯+⨯=+⨯.……………………………………………………………11分因为2m t s +=,所以3323mts+=⨯.……………………………………………………………12分因为332323m t m t s ++≥=⨯,当且仅当m t =时等号成立,这与m ,s ,t 互不相等矛盾.……………………………………………………………………13分 所以不存在互不相等的正整数m ,s ,t 满足条件.……………………………………………14分 20.(本小题满分14分) 解:(1)因为()313f x x ax =-,()221g x bx b =+-, 所以()2f x x a '=-,()2g x bx '=.…………………………………………………………………1分 因为曲线()x f y =与()x g y =在它们的交点()c ,1处有相同切线, 所以()()11g f =,且()()11g f '='。

广州市高三年级调研测试-数学(理科)

广州市高三年级调研测试-数学(理科)

试卷类型:A2019 年广州市高三年级调研测试数学(理科)2019.1本试卷共4 页,共21 题,满分150 分。

考试用时120 分钟。

注意事项: 1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上, 并用2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。

用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡相应位置上。

2. 选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4. 作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号(或题组号)对应的信息点,再作答。

漏涂、错涂、多涂的,答案无效。

5. 考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

参考公式:事件A 发生的条件下事件B 的概率为()()()P AB P B A P A =.一.选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =,集合{1,2,3,5}A =,{2,4,6}B =,则图中的阴影部分表示的集合为A .{}2B .{}4,6C .{}1,3,5D .{}4,6,7,82.函数()f x =A .(][),11,-∞-+∞ B .(],1-∞ C .()1,1- D .[]1,1-3.在等差数列}{n a 中,686a a +=,则数列}{n a 的前13项之和为A .239B .39C .1172D .784.命题“,xx e x ∃∈>R ”的否定是A .,xx e x ∃∈<R B .,xx e x ∀∈<R C .,xx e x ∀∈≤R D .,xx e x ∃∈≤R5.已知某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积是A .12B .22+C .23+D .66.设)(x f 是6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的中间项,若mx x f ≤)(在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,22 上恒成立,则实数m 的取值范围是A .(),5-∞B .(],5-∞C .()5,+∞D .[)+∞,57.圆心在曲线2(0)y x x =>上,且与直线210x y ++=相切的面积最小的圆的方程为A .22(1)(2)5x y -+-=B .22(2)(1)5x y -+-=C .22(1)(2)25x y -+-= D .22(2)(1)25x y -+-=8.已知数列:1213214321,,,,,,,,,,...,1121231234依它的前10项的规律,这个数列的第2019项2010a 满足A .20101010a <<B .20101110a ≤< C .2010110a ≤≤ D .201010a >二、填空题: 本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. (一)必做题(9~13题)9.复数512i+-(i 是虚数单位)的模等于 . 10.如图所示的程序框图,若输入5n =,则输出的n 值为 .11.已知函数()cos 3()2f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ,给出如下结论: ①函数)(x f 的最小正周期为23π; ②函数)(x f 是奇函数;③函数)(x f 的图象关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称: ④函数)(x f 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数.其中正确命题的序号是 .(写出所有正确命题的序号)主视图侧视图俯视图12.在平面区域(){}2,2,0x y y xx y ≤-+≥且内任意取一点P ,则所取的点P 恰是平面区域(){},,2,0x y y x x y y ≤+≤≥且内的点的概率为 .13.在实数的原有运算法则中,定义新运算2a b a b ⊗=-,则()()113x x x x ⊗-+-⊗>的解集为 .(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)14.(《几何证明选讲》选做题)如图,在△ABC 中,60A ∠=,70ACB ∠=,CF 是△ABC 的 边AB 上的高,FP BC ⊥于点P ,FQ AC ⊥于点Q ,则CQ P ∠的 大小为 . 15.(《坐标系与参数方程》选做题)以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ-+=,则它与曲线sin cos 1sin 2x y ααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数)的交点的直角坐标是 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)设向量(3,OA =,(cos ,sin )OB θθ=,其中02πθ≤≤.(1)若13AB =,求tan θ的值; (2)求△AOB 面积的最大值. 17.(本小题满分12分)某班从6名班干部(其中男生4人,女生2人)中选3人参加学校学生会的干部竞选. (1)设所选3人中女生人数为ξ,求ξ的分布列及数学期望; (2)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率.18.(本小题满分14分)如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,11AD AA ==,2AB =.(1)证明:当点E 在棱AB 上移动时,11D E A D ⊥;(2)在棱AB 上是否存在点E ,使二面角1D EC D --的平面角为6π?若存在,求出AE 的长;若不存在,请说明理由. 19.(本小题满分14分)已知两点(1,0)M -、(1,0)N ,点P 为坐标平面内的动点,满足||||MN NP MN MP ⋅=. (1)求动点P 的轨迹方程;(2)若点(),4A t 是动点P 的轨迹上的一点,(,0)K m 是x 轴上的一动点,试讨论直线AK 与圆22(2)4x y +-=的位置关系.20.(本小题满分14分)已知a ∈R ,函数()()2f x xx a =-.(1)若函数()x f 在区间20,3⎛⎫⎪⎝⎭内是减函数,求实数a 的取值范围; (2)求函数()f x 在区间[]1,2上的最小值()h a ; (3)对(2)中的()h a ,若关于a 的方程()12h a m a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有两个不相等的实数解,求实数m 的取 值范围.21.(本小题满分14分)设n S 为数列}{n a 的前n 项和,对任意的∈n N *,都有()1n n S m ma =+-m (为常数,且0)m >.(1)求证:数列}{n a 是等比数列;(2)设数列}{n a 的公比()m f q =,数列{}n b 满足()1112,n n b a b f b -== (2n ≥,∈n N *),求数列{}n b 的通项公式;(3)在满足(2)的条件下,求证:数列{}2nb 的前n 项和8918n T <. ABC E1A 1B1C 1D D。

2019届广州市高三年级调研考试数学

2019届广州市高三年级调研考试数学

试卷类型: A2019届广州市高三年级调研测试理科数学2018.12本试卷共5页,23小题,满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,,则集合A.B.C.D.2.若复数(是虚数单位)为纯虚数,则实数的值为A .B.C.D.3.已知为等差数列,其前项和为,若,则公差等于A.1 B.C.2 D.34.若点为圆的弦的中点,则弦所在直线方程为A.B.C.D.5.已知实数,,,则的大小关系是A.B.C.D.6.下列命题中,真命题的是A.B.C.的充要条件是D.若,且,则中至少有一个大于17.由的图象向左平移个单位,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到的图象,则A.B.C.D.8. 已知甲袋中有1个黄球和1个红球,乙袋中有2个黄球和2个红球.现随机地从甲袋中取出1个球放入乙袋中, 再从乙袋中随机取出1个球, 则从乙袋中取出的球是红球的概率为A.B.C.D.9.已知抛物线与双曲线有相同的焦点,点是两曲线的一个交点,且轴,则双曲线的离心率为A.B.C.D.10. 已知等比数列的前项和为,若,,则数列的前项和为A.B.C.D.11.如图为一个多面体的三视图,则该多面体的体积为A.6 B.7 C.D.12.已知过点作曲线的切线有且仅有两条,则实数的取值范围是A.B.C.D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量的夹角为,且,则____________.14.已知,则=.15.已知实数, 满足则的最小值为____________.16.已知在四面体中,,则该四面体的体积的最大值为___________.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22、23题为选考题,考生根据要求做答.(一)必考题:共60分.17.(本小题满分12分)在中,角,,所对的边分别为,,,且.(1)求角的大小;(2)若,的面积为,为的中点,求.18.(本小题满分12分)某企业对设备进行升级改造,现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本,检测一项质量指标值,若该项质量指标值落在内的产品视为合格品,否则为不合格品.图1是设备改造前样本的频率分布直方图,表1是设备改造后样本的频数分布表.表1:设备改造后样本的频数分布表质量指标值频数 2 18 48 14 16 2(1)请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均值;(2)企业将不合格品全部销毁后,并对合格品进行等级细分,质量指标值落在内的定为一等品,每件售价240元;质量指标值落在或内的定为二等品,每件售价180元;其它的合格品定为三等品,每件售价120元.根据表1的数据,用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品,设其支付的费用为(单位:元),求的分布列和数学期望.19. (本小题满分12分)如图,多面体中,四边形为矩形,二面角为,,,,.(1)求证:平面;(2)在线段上求一点,使锐二面角的余弦值为.20.(本题满分12分)已知椭圆的离心率为,点在上.(1)求椭圆的方程;(2)设分别是椭圆的左, 右焦点,过的直线与椭圆交于不同的两点,求的内切圆的半径的最大值.21.(本小题满分12分)已知函数R.(1)讨论的单调性;(2)若有两个零点,求实数的取值范围.(二)选考题:共10分. 请考生在第22、23题中任选一题做答, 如果多做, 则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为,直线,直线.以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系.(1)求直线的直角坐标方程以及曲线的参数方程;(2)若直线与曲线交于两点,直线与曲线交于两点,求的面积.23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数.(1)当时,解不等式;(2)设不等式的解集为,若,求实数的取值范围.2019届广州市高三年级调研测试理科数学试题参考答案及评分标准评分说明:1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数.选择题不给中间分.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C C D B D B B A D B A 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.1 14.16 15.16.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解:(1) 由,得.……………………………………………2分由正弦定理,得,即,…………………………3分所以.………………………………………………5分因为,所以.……………………………………………………6分(2)因为,所以.……………………………………………………7分所以为等腰三角形,且顶角.因为,………………………………………………8分所以.………………………………………………………………9分在中,,所以.………11分解得.…………………………………………………………………………12分18.解:(1)根据图1可知,设备改造前样本的频数分布表如下质量指标值频数 4 16 40 12 18 10.……………………………………………………………………………1分样本的质量指标平均值为.……………………………………………2分根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为.………………………3分(2)根据样本频率分布估计总体分布,样本中一、二、三等品的频率分别为,,,故从所有产品中随机抽一件,是一、二、三等品的概率分别为,,.…………4分随机变量的取值为:240,300,360,420,480.………………………………………5分,,,,,…………………………………………………………………10分所以随机变量的分布列为:240 300 360 420 480…………………………………………………………………11分所以.………………12分19.解:(1)因为四边形为矩形,所以.因为平面,平面,所以平面.………………………………………………………………1分同理平面.……………………………………………………………2分又因为,所以平面平面.…………………………3分因为平面,所以平面.…………………………………4分(2)法一:因为,所以是二面角的平面角,即.………………5分因为,所以平面.因为平面,所以平面平面.作于点,则平面. ………………6分由, 得,.以为原点,平行于的直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,……7分设,,则,设平面的法向量为,则由得,取得平面的一个法向量为,……………………………8分又平面的一个法向量为,……………………………………9分所以,…………………………10分所以,解得或(舍去),……………………………………………11分此时,得.即所求线段上的点满足.…………………………………………12分法二:作于点,作的延长线于点,连结.因为,所以平面,……………………………………………………………5分为二面角的平面角,.……………………6分所以.因为,所以平面,.…7分因为,所以平面.……8分所以,为二面角的平面角.……………………9分在中,,所以.又因为,所以,.…………10分作于,则,,设,则,即,…………………11分解得,即所求线段上的点满足.………………………12分20.解:(1)依题意有解得………………………………3分故椭圆的方程为.………………………………………………………4分(2)设,设的内切圆半径为,的周长为,所以.……………………………………………………………5分解法一:根据题意知,直线的斜率不为零,可设直线的方程为,………………6分由,得………………………………………7分,,由韦达定理得,……………………………………8分,………10分令,则,.令,则当时,,单调递增,,,……………………………………………………11分即当时,的最大值为3,此时.故当直线的方程为时,内切圆半径的最大值为.………………12分解法二:当直线轴时,. .……………………6分当直线不垂直于轴时,设直线的方程为,由,得. …………………………………7分,由韦达定理得,………………………………………8分. ……………………………10分令,则,,.综上,当直线的方程为时,的最大值为3,内切圆半径的最大值为.……………………………12分21.解:(1) 的定义域为,. ………………………………………1分(i)当时,恒成立,时,,在上单调递增;时,,在上单调递减;……………………2分(ii) 当时,由得,(舍去),①当,即时,恒成立,在上单调递增;……3分②当,即时,或时,恒成立,在,单调递增;时,恒成立,在上单调递减;……………4分③当即时,或时,恒成立,在单调递增;时,恒成立,在上单调递减;……………5分综上,当时,单调递增区间为,单调递减区间为;当时,单调递增区间为,无单调递减区间;当时,单调递增区间为,,单调递减区间为;当时,单调递增区间为,单调递减区间为.…………………………………………………6分(2)由(1)知,当时,单调递增区间为,单调递减区间为,又因为,…………………………………7分取,令,,则在成立,故单调递增,,,(注:此处若写“当时,”也给分)所以有两个零点等价于,得,所以.……………………………………………………………8分当时,,只有一个零点,不符合题意;当时,在单调递增,至多只有一个零点,不符合题意; (9)分当且时,有两个极值,,,记,…………………………………10分,令,则.当时,,在单调递增;当时,,在单调递减.故,在单调递增.时,,故.……………………11分又,由(1)知,至多只有一个零点,不符合题意.综上,实数的取值范围为. ……………………………………12分(二)选考题:共10分.请在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.解:(1) 依题意,直线的直角坐标方程为,的直角坐标方程为.…………………………………………………2分由得,因为,………………………………………3分所以,………………………………………………………4分所以曲线的参数方程为(为参数).……………………5分(2)联立得,……………………………6分同理,.……………………………………………………………7分又,………………………………………………………………………8分所以,…………………9分即的面积为.……………………………………………………………10分23.解:(1)当时,原不等式可化为,……………………1分①当时,,解得,所以;…………………………2分②当时,,解得,所以;…………………3分③当时,,解得,所以.…………………………4分综上所述,当时,不等式的解集为.…………………………5分(2)不等式可化为,依题意不等式在上恒成立,……………………………6分所以,即,即,…………………………8分所以,解得,故所求实数的取值范围是.………………………………10分。

2019广州调研理科数学

2019广州调研理科数学

N { x | x 2 x 3 0} { x | ( x 1)( x 3) 0} { x | 1 x 3}, 所以M N { x | 0 ≤ x 2}
2
ai 2. 若复数z (i是虚数单位 )为纯虚数 , 则实数a的值 1 i 为( C ) A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
x 2
7. 由y f ( x )的图象向左平移

3
个单位 , 再把所得图象上所有点的横
1 坐标伸长到原来的2倍得到y sin 3 x 的图象, 则f ( x ) ( 6 1 1 3 A. sin x B. sin 6 x 6 6 2 1 3 C . sin x 3 2 1 D. sin 6 x 3
S3 a1 a2 a3 (6 2d ) (6 d ) 6 18 3d 12, 解得d 2
4. 若点P (1,1)为圆x y 6 x 0的弦MN的中点, 则弦 MN 所在直线的方程为( D ) A. 2 x y 3 0 B. x 2 y 1 0 C. x 2 y 3 0 D. 2 x y 1 0
2
6. 下列命题中, 真命题是( D ) A. x0 R, e ≤ 0
x0
B. x R, 2 x
x
2
a C . a b 0的充要条件是 1 b D. 若x , y R, 且x y 2, 则x , y中至少有一个大于1
选项A, x R, e x 0, 故A错; 选项B,当x 2时, 2 x , 故B错; 选项C ,当a b 0成立时, 不妨设a b 0, 此时不满足 a 1, 故C 错误; b 若x, y都不大于1, 则x y ≤ 2, 所以D正确.

(2021年整理)2019届广州市高三年级调研测试(理科数学)试题

(2021年整理)2019届广州市高三年级调研测试(理科数学)试题

2019届广州市高三年级调研测试(理科数学)试题编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(2019届广州市高三年级调研测试(理科数学)试题)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。

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秘密 ★ 启用前 试卷类型: A2019届广州市高三年级调研测试理科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|02M x x =≤<,{}2|230N x x x =--<,则集合M N =A .{}|02x x ≤<B .{}|03x x ≤<C .{}|12x x -<<D .{}|01x x ≤<2.若复数i 1ia z +=-(i 是虚数单位)为纯虚数,则实数a 的值为 A .2- B .1- C .1 D .23.已知{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ,若336,12a S ==,则公差d 等于A .1B .53C .2D .3 4.若点(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点,则弦MN 所在直线方程为A .230x y +-=B .210x y -+=C .230x y +-=D .210x y --=5.已知实数ln 22a =,22ln 2b =+,()2ln 2c =,则,,a b c 的大小关系是A .c b a <<B .c a b <<C .b a c <<D .a c b <<6.下列命题中,真命题的是A .00,0x x R e ∃∈≤B .2,2x x R x ∀∈>C .0a b +=的充要条件是1a b=- D .若,x y R ∈,且2x y +>,则,x y 中至少有一个大于17.由()y f x =的图象向左平移3π个单位,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到1sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,则()f x = A .31sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B .1sin 66x π⎛⎫- ⎪⎝⎭ C .31sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D .1sin 63x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 8. 已知甲袋中有1个黄球和1个红球,乙袋中有2个黄球和2个红球.现随机地从甲袋中 取出1个球放入乙袋中, 再从乙袋中随机取出1个球, 则从乙袋中取出的球是红球的概率为A .13B .12C .59D .299.已知抛物线()220y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>有相同的焦点F ,点A 是两曲线的一个交点,且AF x ⊥轴,则双曲线的离心率为A 21B 31C 51D 22+10。

2019届广州市高三数学调研测(理科)答案

2019届广州市高三数学调研测(理科)答案

解得 AM 2 7 .…………………………………………………………………………12 分
18.解:(1)根据图 1 可知,设备改造前样本的频数分布表如下
质量指标值 [15, 20) [20, 25) [25,30) [30,35) [35, 40) [40, 45)
频数
4
16
40
12
18
10
4 17.5 16 22.5 40 27.5 12 32.5 18 37.5 10 42.5
2019 届广州市高三年级调研测试 理科数学试题参考答案及评分标准
评分说明: 1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题
的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的
内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
9
18
3
4
19.解:(1)因为四边形 ABCD 为矩形, 所以 BC∥AD . 因为 AD 平面 ADE , BC 平面 ADE ,
所以 BC∥平面 ADE . ………………………………………………………………1 分
同理 CF∥平面 ADE . ……………………………………………………………2 分 又因为 BC CF C ,所以平面 BCF∥平面 ADE . …………………………3 分
100 根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为 30.2 . ………………………3 分
1 11
(2)根据样本频率分布估计总体分布,样本中一、二、三等品的频率分别为 , , ,

精品解析:【市级联考】广东省广州市普通高中毕业班2019届高三综合测试(二)理科数学试题(解析版)

精品解析:【市级联考】广东省广州市普通高中毕业班2019届高三综合测试(二)理科数学试题(解析版)

广东省2019年广州市普通高中毕业班综合测试(二)理科数学试题一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z=m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点在第三象限,则实数m的取值范围是A. B. D.【答案】B【解析】【分析】先化代数形式,再根据对应的点在第三象限列不等式,解得结果.选B.【点睛】本题考查复数几何意义,考查基本分析求解能力,属基础题.2.己知集合A. {x|x<2或x≥6}B. {x|x≤2或x≥6}C. { x|x<2或x≥10}D. {x|x≤2或x≥10}【答案】D【解析】【分析】先解不等式,再求补集.D.【点睛】本题考查解不等式以及补集,考查基本分析求解能力,属基础题.3.8)A. 96 B. 72 C. 48 D. 36【答案】B【解析】【分析】根据分层比例列式求解.B.【点睛】本题考查分层抽样,考查基本分析求解能力,属基础题.4.)A. 21B. 22C. 23D. 24【答案】B【解析】试题分析:运行第一次,,,运行第二次,,,,,不满足B.考点:程序框图.5.)A. B. D.【答案】D【解析】【分析】根据对称列式求解.D.【点睛】本题考查关于直线对称点问题,考查基本分析求解能力,属基础题.6.从某班6名学生(其中男生4人,女生2人)中任选3人参加学校组织的社会实践活动.设所选3人中女)A. B. 1 D. 2【答案】B【解析】【分析】先列随机变量,再分别求解对应概率,最后根据数学期望公式求结果.,选B.【点睛】本题考查数学期望,考查基本分析求解能力,属基础题.7.)A. B. D.【答案】D【解析】【分析】再根据二倍角正切公式得结果.,因为,从而 D.【点睛】本题考查同角三角函数关系以及二倍角正切公式,考查基本分析求解能力,属基础题.8.,则双曲线的离心率为()B.D. 【答案】A 【解析】 【分析】再根据切线得.,所以PF,PF,A.【点睛】本题考查双曲线定义以及离心率,考查基本分析求解能力,属中档题.9.若曲线y= x 3 -2x 2+2在点A 处的切线方程为y=4x-6,且点A 在直线mx+ ny -l=0(其中m>0,n>0)上,的最小值为 A.B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求A 点坐标,再根据基本不等式求最值.【详解】的最小值为,选C.【点睛】本题考查导数几何意义以及基本不等式求最值,考查基本分析求解能力,属中档题.10.的图像的一条对称轴为()A. B. D.【答案】C【解析】【分析】,再根据图象变换得.,选C.【点睛】本题考查由图象求函数解析式、三角函数图象变换以及正弦函数性质,考查基本分析求解能力,属中档题.11.)A. B. D.【答案】B【解析】【分析】.MAB,因此的取值范围为选B.【点睛】本题考查线性规划求范围,考查基本分析求解能力,属中档题.12.,则实数)A. B. D.【答案】D【解析】【分析】先设切点B.【详解】A为圆心,B,则在B,选D.【点睛】本题考查利用导数求函数最值,考查综合分析求解能力,属难题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,向量a=2e1+e2,则|a|= ____.【解析】【分析】根据向量数量积求模.【点睛】本题考查利用向量数量积求模,考查基本分析求解能力,属基本题.14.若的展开式中的系数是80,则实数的值是_______.【答案】2【解析】80a=2.15.秦九韶是我国南宋著名数学家,在他的著作《数书九章》中有己知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实.一为从隅,开平方得,,的内角,,的对边为.1,成等差数列,则________.【解析】【分析】再根据余弦定理化简得1的最大值为.【点睛】本题考查正余弦定理以及二次函数性质,考查基本分析求解能力,属中档题.16.________.【解析】【分析】.正四面体外接球恰为圆锥内切球,所以【点睛】本题考查圆锥内切球以及正四面体外接球,考查基本分析求解能力,属中档题.三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤,第17~21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22、23题为选考题,考生根据要求做答.(一)必考题:共60分.17.己知{a n}是递增的等比数列,a2+a3 =4,a l a4=3.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=na n,求数列{b n}的前n项和S n.【答案】(1(2【解析】【分析】(1)列方程组解得公比与首项即可,(2)利用错位相减法求和.【详解】(1的是递增的等比数列,所以,..解法2:(1因为是递增的等比数列,所以(2)由(1①②①-【点睛】本题考查等比数列通项公式以及错位相减法求和,考查基本分析求解能力,属中档题.18.科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中,获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据,如下表:根据上表的数据得到如下的散点图.(1)根据上表中的样本数据及其散点图:(i)(ii)计算样本相关系数(精确到0.01),并刻画它们的相关程度.(2)若y关于x0.01),并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量。

广东省广州市2019届高三12月调研测试数学(理)试题(小题解析版)

广东省广州市2019届高三12月调研测试数学(理)试题(小题解析版)

秘密 ★ 启用前 试卷类型: A2019届广州市高三年级调研测试理科数学2018.12 本试卷共5页,23小题,满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|02M x x =≤<,{}2|230N x x x =--<,则集合MN =A .{}|02x x ≤<B .{}|03x x ≤<C .{}|12x x -<<D .{}|01x x ≤< 答案:A考点:集合的运算,一元二次不等式。

解析:{}|13N x x =-<<,所以,M N ={}|02x x ≤<2.若复数i1ia z +=-(i 是虚数单位)为纯虚数,则实数a 的值为 A .2- B .1- C .1 D .2 答案:C考点:复数运算,纯虚数的概念。

解析:i ()(1)1(1)1i 22a a i i a a iz +++-++==-=,因为纯虚数,所以,a =1。

3.已知{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ,若336,12a S ==,则公差d 等于 A .1 B .53C .2D .3 答案:C考点:等差数列的通项公式,前n 项和。

解析:依题意,得:3131263312a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩,解得:2d =,所以,选C 。

广州市2019届高三年级1月调研测试(理科)数学试题及答案

广州市2019届高三年级1月调研测试(理科)数学试题及答案

广州市2019届高三年级1月调研测试数 学(理 科) 2018.1本试卷共4页,21小题, 满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.一.选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知i 为虚数单位,则复数i 23(-i 对应的点位于A .第一象限B . 第二象限C .第三象限D .第四象限2.已知集合}4,3,2,1,0{=A ,集合},2|{A n n x x B ∈==,则=B AA .}0{B .}4,0{C .}4,2{D .}4,2,0{3.已知函数()2030xx x f x x log ,,⎧>=⎨≤⎩, 则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是A .9B .19 C .9- D .19- 4.设向量=a ()21x ,-,=b ()14x ,+,则“3x =”是“a //b ”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 5.函数)(x f y =的图象向右平移6π单位后与函数x y 2sin =的图象重合, 则)(x f y =的解析式是A .()fx =)32cos(π-x B .()f x =)62cos(π-xC .()f x =)62cos(π+xD .()f x =)32cos(π+x图3俯视图侧视图正视图图16.已知四棱锥P ABCD -的三视图如图1所示,则四棱锥P ABCD -的四个侧面中面积最大的是A .3B ..6 D .87.在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦分别取一个数,记为a b ,, 则方程22221x y a b+=表示焦点在xA .12 B .1532C .1732D .3132 8.在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若对任意2x >,不等式()2x a x a -⊗≤+都成立,则实数a 的取值范围是 A .17,⎡⎤-⎣⎦ B .(3,⎤-∞⎦ C .(7,⎤-∞⎦D .()17,,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. (一)必做题(9~13题)9. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,若34512a a a ++=,则7S 的值为 .10.若291()ax x-的展开式的常数项为84,则a 的值为 . 11.若直线2y x m =+是曲线ln y x x =的切线,则实数m 的值为 .12.圆2224150x y x y +++-=上到直线20x y -=的点的个数是 _ . 13.图2是一个算法的流程图,则输出S 的值是 . (二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)14.(几何证明选讲选做题)如图3,已知AB 是⊙O 的一条弦,点P 为AB 上一点, PC OP ⊥,PC 交⊙O 于C ,若4AP =,2PB =, 则PC 的长是图4M NBCDAP15.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知圆C 的参数方程为2x y cos ,sin ,θθ⎧=⎨=+⎩(θ为参数), 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=, 则直线截圆C 所得的弦长是 .三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知ABC V 的内角A B C ,,的对边分别是a b c ,,,且123a b B ,,π===.(1) 求A sin 的值; (2) 求2C cos 的值. 17.(本小题满分12分)某市,,,A B C D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示:为了了解参加考试的学生的学习状况,该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查. (1)问,,,A B C D 四所中学各抽取多少名学生?(2)从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生,求这两名学生来自同一所中学的概率; (3)在参加问卷调查的50名学生中,从来自,A C 两所中学的学生当中随机抽取两名学生,用ξ表示抽得A 中学的学生人数,求ξ的分布列.18. (本小题满分14分)如图4,已知四棱锥P ABCD -,底面ABCD 是正方形,PA ^面ABCD , 点M 是CD 的中点,点N 是PB 的中点,连接AM ,AN MN ,. (1) 求证:MN //面PAD ;(2)若5MN =,3AD =,求二面角N AM B --的余弦值.19.(本小题满分14分)如图5, 已知抛物线2P y x :=,直线AB 与抛物线P OA OB ^,OA OB OC uu r uu u r uuu r+=,OC 与AB 交于点M .(1) 求点M 的轨迹方程;(2) 求四边形AOBC 的面积的最小值.20.(本小题满分14分)在数和2之间插入n 个实数,使得这2n +个数构成递增的等比数列,将这2n +个数 的乘积记为n A ,令2n n a A log =,n ∈N. (1)求数列{}n A 的前n 项和n S ;(2)求2446222n n n T a a a a a a tan tan tan tan tan tan +=⋅+⋅++⋅.21.(本小题满分14分)若函数()f x 对任意的实数1x ,2x D ∈,均有2121()()f x f x x x -≤-,则称函数()f x 是区间D 上的“平缓函数”.(1) 判断()sin g x x =和2()h x x x =-是不是实数集R 上的“平缓函数”,并说明理由; (2) 若数列{}n x 对所有的正整数n 都有 121(21)n n x x n +-≤+,设sin n n y x =,求证: 1114n y y +-<.广州市2019届高三年级调研测试数学(理科)试题解析 2018-1-9222N一、选择题1. A分析:2i(23i)=2i 3i2i332i--=+=+,其对应的点为(3,2),位于第一象限2. D分析:{0,1,2,3,4}A=,{|2,}{0,2,4,6,8}B x x n n A∴==∈=,{0,2,4}A B∴=3. B分析:22211log log2244f-⎛⎫===-⎪⎝⎭,()2112349f f f-⎛⎫⎛⎫=-==⎪⎪⎝⎭⎝⎭4. A分析:当//a b时,有24(1)(1)0x x?-+=,解得3x=±;所以3//x a b=⇒,但//3a b x=¿,故“3x=”是“//a b”的充分不必要条件5. B分析:逆推法,将sin2y x=的图象向左平移6π个单位即得()y f x=的图象,即()sin2()sin(2)cos[(2)]cos(2)cos(2)632366f x x x x x xππππππ=+=+=-+=-+=-6. C分析:三棱锥如图所示,3PM=,142PDCS∆=⨯=,12332PBC PADS S∆∆==⨯⨯=,14362PABS∆=⨯⨯=7. B分析:方程22221x ya b+=表示焦点在x的椭圆时,有222a bcea a⎧>⎪⎨==<⎪⎩,即22224a ba b⎧>⎨<⎩,化简得2a ba b>⎧⎨<⎩,又[1,5]a∈,[2,4]b∈,画出满足不等式组的平面区域,如右图阴影部分所示,求得阴影部分的面积为154,故152432SP==⨯阴影8. C分析:由题意得()()(1)x a x x a x-?--,故不等式()2x a x a-?…化为()(1)2x a x a--+…,化简得2(1)220x a x a-+++…,故原题等价于2(1)220x a x a -+++…在(2,)+∞上恒成立,由二次函数2()(1)22f x x a x a =-+++图象,其对称轴为12a x +=,讨论得 122(2)0a f +⎧⎪⎨⎪⎩…… 或 1221()02a a f +⎧>⎪⎪⎨+⎪⎪⎩…,解得3a … 或 37a <…, 综上可得7a … 二、填空题 9.28分析:方法一、(基本量法)由34512a a a ++=得11123412a d a d a d +++++=,即13912a d += ,化简得134a d +=,故7117677(3)73282S a d a d ´=+=+=? 方法二、等差数列中由173542a a a a a +=+=可将34512a a a ++=化为173()122a a +=, 即178a a +=,故1777()282a a S +== 10.分析:299183991C ()(1)C rr rr r rr ax a x x---骣琪-=-琪桫,令6r =,得其常数项为6369(1)C 84a -=, 即38484a =,解得1a =11.e -分析:设切点为000(,ln )x x x ,由1(ln )ln ln 1y x x x xx x''==+=+得0ln 1k x =+, 故切线方程为0000ln (ln 1)()y x x x x x -=+-,整理得00(ln 1)y x x x =+-, 与2y x m =+比较得00ln 12x x m+=⎧⎨-=⎩,解得0x = 12. 4分析:圆方程2224150x y x y +++-=化为标准式22(1)(2)20x y +++=,其圆心坐标(1,2)--,503(1592009)503(59132013)=-+++++++++50315032013=-++半径r =,由点到直线的距离公式得圆心到直线20x y -=的距离5d ==,由右图所示,圆上到直线20x y -=的点有4个. 13.3018 分析:由题意11cos112a π=⨯+=,222cos112a π=⨯+=-,333cos 112a π=⨯+=,444cos 152a π=⨯+=,555cos 112a π=⨯+=,666cos 152a π=⨯+=-,777cos 112a π=⨯+=,888cos 192a π=⨯+=,…20091a =, 20102009a =-, 20111a =, 20122013a =;以上共503行,输出的122012S a a a =+++3018=14.分析:如图,因为PC OP ⊥ ,所以P 是弦CD 中点,由相交弦定理知2PA PB PC =, 即28PC =,故PC =15. 分析:圆C 的参数方程化为平面直角坐标方程为22(2)1xy +-=,直线的极坐标方程化为平面直角坐标方程为1x y +=,如右图所示,圆心到直线的距离2d ==, 故圆C 截直线所得的弦长为=三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)(本小题主要考查同角三角函数的关系、正弦定理、二倍角、两角差的余弦等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力) (1)解:∵123a b B ,,π===,依据正弦定理得:a bA Bsin sin =, …………… 1分即1A sin =,解得A sin =…………… 3分 (2)解:∵a b <, ∴02A B π<<<. …………… 4分∴4A cos ==. …………… 5分∴22A A A sin sin cos ==, …………… 6分 252128A A cos sin =-=. …………… 7分 ∵ABC π++=,∴23C A π=-. …………… 8分 ∴4223C A cos cos π⎛⎫=-⎪⎝⎭…………… 9分 442233A A coscos sin sin ππ=+ …………… 10分152828=-⨯-⨯516+=-. …………… 12分17.(本小题满分12分)(本小题主要考查分层抽样、概率、离散型随机变量的分布列等基础知识,考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识,以及或然与必然的数学思想)(1)解:由题意知,四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名, 抽取的样本容量与总体个数的比值为5011002=. ∴应从,,,A B C D 四所中学抽取的学生人数分别为15,20,10,5. …………… 4分E MNDCBAP(2)解:设“从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生,这两名学生来自同一所中学”为事件M ,从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生的取法共有C 250=1225种,… 5分 这两名学生来自同一所中学的取法共有C 215+C 220+C 210+C 25=350. …………… 6分∴()3501225P M ==27. 答:从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生,求这两名学生来自同一所中学的概率为27. …………… 7分(3) 解:由(1)知,在参加问卷调查的50名学生中,来自,A C 两所中学的学生人数分别为15,10.依题意得,ξ的可能取值为0,1,2, …………… 8分()0P ξ==210225C C 960=, ()1P ξ==111510225C C C =12,()2P ξ==215225C C 720=. …………… 11分 ∴ξ的分布列为:…………… 12分18.(本小题满分14分)(本小题主要考查空间线面位置关系、二面角等基础知识,考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力,以及化归与转化的数学思想方法) (1)证法1:取PA 的中点E ,连接DE EN ,, ∵点N 是PB 的中点, ∴12EN AB EN AB //,=. …………… 1分 ∵点M 是CD 的中点,底面ABCD 是正方形,∴12DM AB DM AB //,=. …………… 2分EMNDCBAPFENDBAP∴EN DM EN DM //,=. ∴四边形EDMN 是平行四边形.∴MN DE //. …………… 3分 ∵DE ⊂平面PAD ,MN ⊄平面PAD , ∴MN //面PAD . …………… 4分证法2:连接BM 并延长交AD 的延长线于点E ,连接PE , ∵点M 是CD 的中点,∴12DM AB DM AB //,=, …………… 1分 ∴点M 是BE 的中点. …………… 2分∵点N 是PB 的中点,∴MN PE //. …………… 3分 ∵PE ⊂面PAD ,MN ⊄平面PAD ,∴MN //面PAD . …………… 4分 证法3: 取AB 的中点E ,连接NE ME ,, ∵点M 是CD 的中点,点N 是PB 的中点,∴ME AD //,NE PA //. ∵AD ⊂面PAD ,ME ⊄平面PAD ,∴ME //面PAD . …………… 1分 ∵PA ⊂面PAD ,NE ⊄平面PAD ,∴NE //面PAD . …………… 2分 ∵MENE E =,NE ⊂平面MEN ,ME ⊂平面MEN , ∴平面MEN //面PAD . …………… 3分∵MN ⊂平面MEN ,∴MN //面PAD . …………… 4分(2)解法1:∵NE PA //,PA ^面ABCD ,∴NE ^面ABCD . …………… 5分 ∵AM ⊂面ABCD ,∴NE AM ⊥. …………… 6分 过E 作EF AM ⊥,垂足为F ,连接NF , ∵NEEF E =,NE ⊂面NEF ,EF ⊂面NEF ,∴AM ⊥面NEF . …………… 7分 ∵NF ⊂面NEF ,∴AM NF ⊥. …………… 8分 ∴NFE ∠是二面角N AM B --的平面角. …………… 9分在Rt △NEM 中,5MN =,3ME AD ==,得4NE ==,…………… 10分在Rt △MEA 中,32AE =,得2AM ==,AE ME EF AM ==g . …………… 11分在Rt △NEF 中,NF ==, …………… 12分cos 89EF NFENF ?=. …………… 13分∴二面角N AM B --的余弦值为89. …………… 14分 解法2:∵NE PA //,PA ^面ABCD , ∴NE ^面ABCD .在Rt △NEM 中,5MN =,3ME AD ==,得4NE ==,…………… 5分以点A 为原点,AD 所在直线为x 轴,AB 所在直线为y 轴,AP 所在直线为z 轴, 建立空间直角坐标系A xyz -, …………… 6分则()333000300004222A M E N ,,,,,,,,,,,⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ∴()004EN ,,=,,3042AN ,,⎛⎫= ⎪⎝⎭. …………… 8分 设平面AMN 的法向量为n ()x y z ,,=,由n 0AM ⋅=,n 0AN ⋅=,得33023402x y y z ,.⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 令1x =,得2y =-,34z =.∴n 3124,,⎛⎫=- ⎪⎝⎭是平面AMN 的一个法向量. …………… 11分又()004EN ,,=是平面AMB 的一个法向量, …………… 12分cos ,n EN ==n EN nEN89. …………… 13分 ∴二面角N AM B --的余弦值为89. …………… 14分 19. (本小题满分14分)(本小题主要考查抛物线、求曲线的轨迹、均值不等式等基础知识,考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识) 解法一:(1)解:设()()()221122M x y A y y B y y ,,,,,, ∵OA OB OC +=,∴M 是线段AB 的中点. …………… 2分∴()222121212222yy y y y y x +-+==,① …………… 3分∵OA OB ⊥, ∴0OA OB ⋅=.∴2212120y y y y +=. …………… 5分依题意知120y y ≠,∴121y y =-. ③ …………… 6分把②、③代入①得:2422y x +=,即()2112y x =-. …………… 7分∴点M 的轨迹方程为()2112yx =-. …………… 8分 (2)解:依题意得四边形AOBC 是矩形,∴四边形AOBC 的面积为S OA OB ==⋅…………… 9分===…………… 11分∵22121222y y y y +≥=,当且仅当12y y =时,等号成立, …………… 12分∴2S ≥=. …………… 13分∴四边形AOBC 的面积的最小值为2. …………… 14分 解法二:(1)解:依题意,知直线OA OB ,的斜率存在,设直线OA 的斜率为k , 由于OA OB ⊥,则直线OB 的斜率为1k-. …………… 1分 故直线OA 的方程为y kx =,直线OB 的方程为1y x k=-. 由2y kx y x ,.⎧=⎨=⎩ 消去y ,得220k x x -=.∴点A 的坐标为211k k ,⎛⎫⎪⎝⎭. …………… 3分 同理得点B 的坐标为()2k k ,-. …………… 4分 ∵OA OB OC +=,∴M 是线段AB 的中点. …………… 5分 设点M 的坐标为()x y ,,则221212k kx k k y ,.⎧+⎪=⎪⎪⎨⎪-⎪=⎪⎩ …………… 6分消去k ,得()2112yx =-. …………… 7分 ∴点M 的轨迹方程为()2112y x =-. …………… 8分 (2)解:依题意得四边形AOBC 是矩形, ∴四边形AOBC 的面积为S OA OB==⋅ (9)分=…………… 10分≥…………… 11分 2=. …………… 12分 当且仅当221kk=,即21k =时,等号成立. …………… 13分 ∴四边形AOBC 的面积的最小值为2. …………… 14分20. (本小题满分14分)(本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识,考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力) (1)解法1:设1232n b b b b ,,,,+构成等比数列,其中1212n b b ,+==,依题意,1212n n n A b b b b ++=⋅⋅⋅⋅, ① …………… 1分2121n n n A b b b b ++=⋅⋅⋅⋅, ② …………… 2分由于12213212n n n n b b b b b b b b +++⋅=⋅=⋅==⋅=, …………… 3分①⨯②得()()()()212211221n n n n n A b b b b b b b b ++++=⋅⋅⋅⋅22n +=.…………… 4分∵0n A >, ∴222n n A +=. …………… 5分∵3212222n n n nA A +++==…………… 6分∴数列{}n A是首项为1A =的等比数列. …………… 7分∴1nn S ⎡⎤-⎢⎥=(41n⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦. …………… 8分 解法2: 设1232n b b b b ,,,,+构成等比数列,其中1212n b b ,+==,公比为q ,则121n n b b q ++=,即12n q+=. …………… 1分 依题意,得1212n n n A b b b b ++=⋅⋅⋅⋅()()()211111n b b q b q b q +=⋅⋅⋅⋅ …………… 2分()()212311n n b q++++++=⋅ …………… 3分()()122n n q ++= …………… 4分222n +=. …………… 5分∵3212222n n n nA A +++==…………… 6分∴数列{}n A是首项为1A =的等比数列. …………… 7分∴1nn S ⎡⎤-⎢⎥=(41n⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦. …………… 8分 (2)解: 由(1)得2n n a A log =222222n n log ++==, …………… 9分 ∵()()()11111n nn n n ntan tan tan tan tan tan +-⎡⎤=+-=⎣⎦++⋅, ……………10分∴()()1111n nn n tan tan tan tan tan +-⋅+=-,n ∈N. ……………11分 ∴2446222n n n T a a a a a a tan tan tan tan tan tan +=⋅+⋅++⋅2334tan tan tan tan tan =⋅+⋅++()()12n n tan +⋅+()()213243111111n n tan tan tan tan tan tan tan tan tan ⎛⎫+-+⎛⎫⎛⎫--=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=()221n n tan tan tan +--. …………… 14分21.(本小题满分14分)(本小题主要考查函数、绝对值不等式等基础知识,考查函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识)(1) 解:()sin g x x =是R 上的“平缓函数”,但2()h x x x =-不是区间R 的“平缓函数”; 设()sin x x x ϕ=-,则()1cos 0x x ϕ'=-≥,则()sin x x x ϕ=-是实数集R 上的增函数, 不妨设12x x <,则12()()x x ϕϕ<,即1122sin sin x x x x -<-,则2121sin sin x x x x -<-. ① …………… 1分 又sin y x x =+也是R 上的增函数,则1122sin sin x x x x +<+,即2112sin sin x x x x ->-, ② …………… 2分 由①、②得 212121()sin sin x x x x x x --<-<-.因此,2121sin sin x x x x -<-,对12x x <都成立. …………… 3分当12x x >时,同理有2121sin sin x x x x -<-成立 又当12x x =时,不等式2121sin sin 0x x x x -=-=, 故对任意的实数1x ,2x ∈R,均有2121sin sin x x x x -≤-.因此 ()sin g x x =是R 上的“平缓函数”. …………… 5分 由于121212()()()(1)h x h x x x x x -=-+- …………… 6分 取13x =,22x =,则1212()()4h x h x x x -=>-, …………… 7分 因此, 2()h x x x =-不是区间R 的“平缓函数”. …………… 8分 (2)证明:由(1)得:()sin g x x =是R 上的“平缓函数”,则11sin sin n n n n x x x x ++-≤-, 所以 11n n n n y y x x ++-≤-. …………… 9分 而121(21)n n x x n +-≤+, ∴ 12211111()(21)4441n n y y n n n n n +-≤<=-+++. …………… 10分∵11111221()()()()n n n n n n n y y y y y y y y y y ++----=-+-+-++-,……… 11分∴1111221n n n n n y y y y y y y y ++---≤-+-++-. …………… 12分∴11111111[()()(1)]4112n y y n n n n+-≤-+-++-+-11141n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭…………… 13分14<. …………… 14分。

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1
1
切线,故 t 1,所以 a t t
t 1 (t 1) 2 ,
t 1
t 1
t 1
t 1
1
4
作出函数 y (t 1) 2 的图象如图所示,由图可知,
t 1
2
1 当 a 0 或 a 4 时,直线 y a 与函数 y (t 1) 2 的图象
t 1
5
5
有两个交点.
2
4
2ab
2ab 2
2 因为 0 C ,所以 C . ……………………………………………………6 分
3
(2) 因为 A ,所以 B .
6
6
……………………………………………………7 分
2 所以△ABC 为等腰三角形,且顶角 C .
3
1 因为 S△ABC 2 ab sin C
3 a2 4 4
4
(a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2 (a0 a1 a2 a3 a4 )(a0 a1 a2 a3 a4 ) (2 2)(2 2) 24 16 .
数学(理科)试题 A 第 4 页 共 16 页
2x y ≤ 0,
x 3y 5≥ 0,
x
y
1 1
15.已知实数 x , y 满足 x 0,
6
8
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.已知向量 a, b 的夹角为 45 ,且 a 1, b 2 ,则 a b ____________.
13.答案:1
2
解析: a b
a b
2
a
2
2 2a b b
a
2
2
a
b
cos 45
2 b
1 2 2 1,所以
ai 2.若复数 z ( i 是虚数单位)为纯虚数,则实数 a 的值为( )
1 i
A. 2
B. 1
C.1
D.2
2.答案:C
ai
a b
解析:设 z bi, b R ,则 a i b bi ,则
,解得 a 1 .
1i
1 b
3.已知an 为等差数列,其前 n 项和为 Sn ,若 a3 6, S3 12 ,则公差 d 等于( )
B. x 2 y 1 0
C. x 2 y 3 0
D. 2x y 1 0
4.答案:D
解析:圆的标准方程为 (x 3)2
y2
9 ,圆心为 C(3, 0) , kCP
0 1
31
1
2
,则 kMN
2 ,则弦 MN

在直线方程为 y 1 2(x 1) ,化简得: 2x y 1 0 .
10. 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn ,若 S3 7 , S6 63 ,则数列{nan}的前 n 项和为( )
A. 3 (n 1) 2n B. 3 (n 1) 2n
C.1 (n 1) 2n
D.1 (n 1) 2n
10.答案:D
解析: S6 S3 q3 8,q 2, S3 a1 a2 a3 a1 2a1 4a1 7a1 7, a1 1 , S3
A.{x | 0 ≤ x 2}
B.{x | 0 ≤ x 3}
C.{x | 1 x 2} D.{x | 0 ≤ x 1}
1.答案:A
解析:N {x | x2 2x 3 0} {x | (x 1)(x 3) 0} {x | 1 x 3} ,所以 M N {x | 0 ≤ x 2}.
3 ,当 t
3
23
时,V 取得最大值 .
3
3
3
27
数学(理科)试题 A 第 5 页 共 16 页
三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,每个试题考 生都必须做答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求做答.
(一)必考题:共 60 分. 17.(本小题满分 12 分)
个交点,且 AF x 轴,则双曲线的离心率为( )
A. 2 1
B. 3 1
C. 5 1
D. 2 2
9.答案:A
解析:依题意可知: A
p ,
2
p 或 A c,
b2 a
b2
,所以
a
2c , b2
2ac , c2
a2
2ac ,1 e2
2e ,
e2 2e 1 0 , (e 1)2 2 , e 2 1.
ab
1.
4
14.已知 2x 2 a0 a1x a2 x2 a3x3 a4 x4 ,则 (a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2 .
14.答案:16
解析:当 x 1 时,得 a0 a1 a2 a3 a4 (2 2)4 ; 当 x 1 时,得 a0 a1 a2 a3 a4 (2 2)4 (2 2)4 ;
1
A.
3
1
B.
2
5
C.
9
2
D.
9
8.答案:B
1
解析:分两种情况,第一种情况:从甲袋中取出一个黄球放入乙袋,概率为 ,现在乙袋中有 3 个黄球和
2
2
2 个红球,再从乙袋中取出红球,概率为 .
5
1
第二种情况:从甲袋中取出一个红球放入乙袋,概率为 ,现在乙袋中有 2 个黄球和 3 个红球,再从乙袋
2
3
12 13 1
解析:选项 A, x R, ex 0 ,故 A 错误;选项 B,当 x 2 时, 2x x2 ,故 B 错误;
a 选项 C:当 a b 0 成立时,不妨设 a b 0 ,此时不满足 1,故 C 错误;
b
选项 D,若 x, y 都不大于 1,则 x y ≤ 2 ,所以 D 正确.
7.由 y f (x) 的图象向左平移 个单位,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍得到
D
16.答案:
27
解析:取 AB 中点 O ,连接 CO, DO ,要使得四面体的体积最大,
则必有平面 ABD 平面 ABC ,设 OB t , A
则 AB 2t, OD OC 1 t2 ,
O B
1 1 则V 2t
1
t2
1 t2 1 (t3 t) ,
C
3 2
3
则V 1 (3t2 1) ,令V 0 ,得 t
3
y
sin
3x
1 6
的图象,则
f
(x)


A.
sin
3 2
x
1 6
B.
sin
6x
1 6
Hale Waihona Puke C.sin3 2
x
1 3
D.
sin
6
x
1 3
7.答案:B
解析:
y
sin 3x
1
1 横坐标缩短到原来的
2
y
sin 6x
向右平移 个单位
3
6
6
y
sin
6
在△ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且
cos2 B cos2 C sin 2 A sin Asin B .
(1)求角 C 的大小;
(2)若 A ,△ABC 的面积为 4 3 , M 为 BC 的中点,求 AM . 6
17.解:(1) 由 cos2 B cos2 C sin2 A sin Asin B ,
3
并平移,使其经过可行域内的点,当直线过点 A(2,1) 时,直线在 y 轴上的截距最大,此时 t 取得最大值 4,
t
1
1
所以 z 的最小值为 .
2
16
y
B
A
O
x
16.已知在四面体 A BCD 中, AD DB AC CB 1,则该四面体的体积的最大值为___________.
23
数学(理科)试题 A 第 1 页 共 16 页
故c a b.
6.下列命题中,真命题的是( )
A. x0 R, ex0 ≤ 0 B. x R, 2x x2
a C. a b 0 的充要条件是 1
b D.若 x, y R ,且 x y 2 ,则 x, y 中至少有一个大于 1
6.答案:D
得 sin2 C sin2 B sin2 A sin Asin B . ……………………………………………2 分
由正弦定理,得 c2 b2 a2 ab ,即 a2 b2 c2 ab , …………………………3 分
a2 b2 c2 ab 1
所以 cos C
. ………………………………………………5 分
18.(本小题满分 12 分) 某企业对设备进行升级改造,现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了 100 件产品作为样本,检测
数学(理科)试题 A 第 6 页 共 16 页
图 1:设备改造前样本的频率分布直方图
一项质量指标值,若该项质量指标值落在[20, 40) 内的产品视为合格品,否则为不合格品.图 1 是设备改
中取出红球,概率为 .故所求概率 P .
5
25 25 2
解法 2:因为甲袋中和乙袋中黄球红球的个数均相等,故按题目操作,从乙袋中取出红球黄球的概率也是
数学(理科)试题 A 第 2 页 共 16 页
1
相等的,故所求概率为 .
2
9.已知抛物线 y2 2 px ( p 0) 与双曲线 x2 y2 1(a 0,b 0) 有相同的焦点 F ,点 A 是两曲线的一 a2 b2
5.已知实数 a 2ln2 , b 2 2 ln 2 , c ln 22 ,则 a, b, c 的大小关系是( )
A. c b a
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