2019届广州市高三调研测试理科数学(解析版)

1
1
切线，故 t 1，所以 a t t
t 1 (t 1) 2 ，
t 1
t 1
t 1
t 1
1
4
作出函数 y (t 1) 2 的图象如图所示，由图可知，
t 1
2
1 当 a 0 或 a 4 时，直线 y a 与函数 y (t 1) 2 的图象
t 1
5
5
有两个交点．
2
4
2ab
2ab 2
2 因为 0 C ，所以 C ． ……………………………………………………6 分
3
(2) 因为 A ，所以 B ．
6
6
……………………………………………………7 分
2 所以△ABC 为等腰三角形，且顶角 C ．
3
1 因为 S△ABC 2 ab sin C
3 a2 4 4
4
(a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2 (a0 a1 a2 a3 a4 )(a0 a1 a2 a3 a4 ) (2 2)(2 2) 24 16 ．
数学(理科)试题 A 第 4 页 共 16 页
2x y ≤ 0,
x 3y 5≥ 0,
x
y
1 1
15．已知实数 x , y 满足 x 0,
6
8
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知向量 a, b 的夹角为 45 ，且 a 1, b 2 ，则 a b ____________．
13．答案：1
2
解析： a b
a b
2
a
2
2 2a b b
a
2
2
a
b
cos 45
2 b
1 2 2 1，所以
ai 2．若复数 z ( i 是虚数单位)为纯虚数，则实数 a 的值为（ ）
1 i
A． 2
B． 1
C．1
D．2
2．答案：C
ai
a b
解析：设 z bi, b R ，则 a i b bi ，则
，解得 a 1 ．
1i
1 b
3．已知an 为等差数列，其前 n 项和为 Sn ，若 a3 6, S3 12 ，则公差 d 等于（ ）
B． x 2 y 1 0
C． x 2 y 3 0
D． 2x y 1 0
4．答案：D
解析：圆的标准方程为 (x 3)2
y2
9 ，圆心为 C(3, 0) ， kCP
0 1
31
1
2
，则 kMN
2 ，则弦 MN
所
在直线方程为 y 1 2(x 1) ，化简得： 2x y 1 0 ．
10. 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn ，若 S3 7 ， S6 63 ，则数列{nan}的前 n 项和为（ ）
A． 3 (n 1) 2n B． 3 (n 1) 2n
C．1 (n 1) 2n
D．1 (n 1) 2n
10．答案：D
解析： S6 S3 q3 8,q 2, S3 a1 a2 a3 a1 2a1 4a1 7a1 7, a1 1 ， S3
A．{x | 0 ≤ x 2}
B．{x | 0 ≤ x 3}
C．{x | 1 x 2} D．{x | 0 ≤ x 1}
1．答案：A
解析：N {x | x2 2x 3 0} {x | (x 1)(x 3) 0} {x | 1 x 3} ，所以 M N {x | 0 ≤ x 2}．
3 ，当 t
3
23
时，V 取得最大值 ．
3
3
3
27
数学(理科)试题 A 第 5 页 共 16 页
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考 生都必须做答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答．
（一）必考题：共 60 分． 17．（本小题满分 12 分）
个交点，且 AF x 轴，则双曲线的离心率为（ ）
A． 2 1
B． 3 1
C． 5 1
D． 2 2
9．答案：A
解析：依题意可知： A
p ,
2
p 或 A c,
b2 a
b2
，所以
a
2c ， b2
2ac ， c2
a2
2ac ，1 e2
2e ，
e2 2e 1 0 ， (e 1)2 2 ， e 2 1．
ab
1．
4
14．已知 2x 2 a0 a1x a2 x2 a3x3 a4 x4 ，则 (a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2 ．
14．答案：16
解析：当 x 1 时，得 a0 a1 a2 a3 a4 (2 2)4 ； 当 x 1 时，得 a0 a1 a2 a3 a4 (2 2)4 (2 2)4 ；
1
A．
3
1
B．
2
5
C．
9
2
D．
9
8．答案：B
1
解析：分两种情况，第一种情况：从甲袋中取出一个黄球放入乙袋，概率为 ，现在乙袋中有 3 个黄球和
2
2
2 个红球，再从乙袋中取出红球，概率为 ．
5
1
第二种情况：从甲袋中取出一个红球放入乙袋，概率为 ，现在乙袋中有 2 个黄球和 3 个红球，再从乙袋
2
3
12 13 1
解析：选项 A， x R, ex 0 ，故 A 错误；选项 B，当 x 2 时， 2x x2 ，故 B 错误；
a 选项 C：当 a b 0 成立时，不妨设 a b 0 ，此时不满足 1，故 C 错误；
b
选项 D，若 x, y 都不大于 1，则 x y ≤ 2 ，所以 D 正确．
7．由 y f (x) 的图象向左平移 个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍得到
D
16．答案：
27
解析：取 AB 中点 O ，连接 CO, DO ，要使得四面体的体积最大，
则必有平面 ABD 平面 ABC ，设 OB t ， A
则 AB 2t, OD OC 1 t2 ，
O B
1 1 则V 2t
1
t2
1 t2 1 (t3 t) ，
C
3 2
3
则V 1 (3t2 1) ，令V 0 ，得 t
3
y
sin
3x
1 6
的图象，则
f
(x)
（
）
A．
sin
3 2
x
1 6
B．
sin
6x
1 6
Hale Waihona Puke C．sin3 2
x
1 3
D．
sin
6
x
1 3
7．答案：B
解析：
y
sin 3x
1
1 横坐标缩短到原来的
2
y
sin 6x
向右平移 个单位
3
6
6
y
sin
6
在△ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且
cos2 B cos2 C sin 2 A sin Asin B .
（1）求角 C 的大小；
（2）若 A ，△ABC 的面积为 4 3 ， M 为 BC 的中点，求 AM ． 6
17．解：(1) 由 cos2 B cos2 C sin2 A sin Asin B ，
3
并平移，使其经过可行域内的点，当直线过点 A(2,1) 时，直线在 y 轴上的截距最大，此时 t 取得最大值 4，
t
1
1
所以 z 的最小值为 ．
2
16
y
B
A
O
x
16．已知在四面体 A BCD 中， AD DB AC CB 1，则该四面体的体积的最大值为___________．
23
数学(理科)试题 A 第 1 页 共 16 页
故c a b．
6．下列命题中，真命题的是（ ）
A． x0 R, ex0 ≤ 0 B． x R, 2x x2
a C． a b 0 的充要条件是 1
b D．若 x, y R ，且 x y 2 ，则 x, y 中至少有一个大于 1
6．答案：D
得 sin2 C sin2 B sin2 A sin Asin B ． ……………………………………………2 分
由正弦定理，得 c2 b2 a2 ab ，即 a2 b2 c2 ab ， …………………………3 分
a2 b2 c2 ab 1
所以 cos C
． ………………………………………………5 分
18．（本小题满分 12 分） 某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了 100 件产品作为样本，检测
数学(理科)试题 A 第 6 页 共 16 页
图 1：设备改造前样本的频率分布直方图
一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20, 40) 内的产品视为合格品，否则为不合格品．图 1 是设备改
中取出红球，概率为 ．故所求概率 P ．
5
25 25 2
解法 2：因为甲袋中和乙袋中黄球红球的个数均相等，故按题目操作，从乙袋中取出红球黄球的概率也是
数学(理科)试题 A 第 2 页 共 16 页
1
相等的，故所求概率为 ．
2
9．已知抛物线 y2 2 px ( p 0) 与双曲线 x2 y2 1(a 0,b 0) 有相同的焦点 F ，点 A 是两曲线的一 a2 b2
5．已知实数 a 2ln2 ， b 2 2 ln 2 ， c ln 22 ，则 a, b, c 的大小关系是（ ）
A． c b a
5．答案：B
B． c a b
C． b a c
D． a c b
解析：因为1 2 e ，所以 ln 2 (0,1), a 2ln2 (1, 2), b 2 2 ln 2 (2, 4), c ln 22 (0,1) ，
A．1 3．答案：C
5
B．
3
C．2
D．3
解析： S3 a1 a2 a3 (6 2d ) (6 d ) 6 18 3d 12 ，解得 d 2 ． 4．若点 P(1,1) 为圆 x2 y2 6x 0 的弦 MN 的中点，则弦 MN 所在直线方程为（ ）
A． 2x y 3 0
1 1 1 1
V
2
2
2
3
2
11
2
3
2
1
2
2
7
12．已知过点 A(a, 0) 作曲线 C : y x ex 的切线有且仅有两条，实数 a 的取值范围是（ ）
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A． (, 4) (0, )
B． (0, )
C． (, 1) (1, )
D． (, 1)
12．答案：A
解析：设切点为 (t, tet ) ，因为 y (x 1)ex ，则切线斜率 k (t 1)et ，则切线方程为
y tet (t 1)et (x t) ，将 (a, 0) 代入，得：tet (t 1)et (a t) ，当 t 1时，k 0 ，此时只有一条
t
(t 1) 1
故 an 2n1 ，设 bn nan n 2n1 ，数列{bn}的前 n 项和为Tn ，则T1 b1 1, T2 b1 b2 1 4 5 ，
经验证，只有选项 D 符合．
11．如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）
A．6
B．7
22
C．
3
23
D．
3
11．答案：B
解析： 该几何体的直观图如图所示，则该多面体的体积
则
z
4
2
的最小值为____________．
y 0,
1
15．答案：
16
x
y
2x y
1 1 1
解析： z ，设 t 2x y ，则当 t 取得最大值时， z 取得最小值，作可行域为如图
4 2 2
5 所示的△OAB ，其中 A(2,1), B 0, ，不包括线段 OB ，由 t 2x y 得 y 2x t ，作直线 y 2x
秘密 ★ 启用前
试卷类型： A
2019 届广州市高三年级调研测试 理科数学
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的．
1．设集合 M {x | 0 ≤ x 2}, N {x | x2 2x 3 0} ，则集合 M N （ ）
x
3
6
sin 6x
2
6
sin 6x
1
6
，即
f
(x)
sin
6x
1 6
．
8. 已知甲袋中有 1 个黄球和 1 个红球，乙袋中有 2 个黄球和 2 个红球．现随机地从甲袋中取出 1 个球放入
乙袋中, 再从乙袋中随机取出 1 个球, 则从乙袋中取出的球是红球的概率为（ ）
3，
………………………………………………8 分
所以 a 4 ．
………………………………………………………………9 分
2 在△MAC 中， AC 4, CM 2, C ，
3
所以 AM 2
AC 2
CM 2
2AC CM
cosC
1 16 4 2 2 4
28 ．
………11 分
2
解得 AM 2 7 ．…………………………………………………………………………12 分