数学建模中高考分卷问题

数学建模竞赛模拟题

题目：中高考电子阅卷中的问题

中高考电子阅卷中的问题

摘要

本文主要讨论的中高考电子阅卷问题中试卷的优化分配、成绩预处理和对教师评阅效果的定量评价问题，在充分理解题意的基础上，建立了合理的模型，并设计了相应的算法，从而有效地解决了上述问题，为考试提供了一个良好的阅卷环境。

1、试卷的分发问题。根据题意要求，首先设计了一种随机分配算法，使其在满足基本条件的前提下实现较好的均匀性。在算法设计时，采用计算机软件随机编号、排列组合和移位搜索相结合的思想，即对1000份试卷进行随机编号，并将其分成25个数据包组合，每个数据包含40份不同编号的试卷，然后将25个数据包重复3次分给40个阅卷教师，每次进行移位搜索以避免重复以及达到较好的均匀性。然后，为了对随机分配结果进行均匀性评价，又设计了两两逐一比对的评价算法，计算出任意两位阅卷教师评阅同一份试卷的次数，从而得出本次任务单的均匀性。

2、评分的预处理问题。首先选取一份均匀性好的任务分配单，任务单中包含了教师的编号i及其需要评阅的75个试卷编号n。然后，利用MATLAB软件自带的库函数随机产生一组均值为70、方差为15并服从正态分布的数据作为评分成绩的模拟数据s，并将数据s通过计算搜索教师编号i与试卷编号n对应，从而得出1000份试卷的初始成绩。为了使合成的试卷分数更加公正合理，采用归一化算法对不同阅卷教师的初始成绩进行标准化处理。这里的归一化处理是对编号为i的教师的75个成绩的归一化。然后再对编号为n的试卷的三个标准化成绩求几何平均得到该份试卷的标准成绩。

3、教师评阅效果的评价。经过评分的预处理后可得教师i评阅试卷n的标准化成绩以及试卷n的标准成绩，然后求取方差，通过方差的大小来评判教师的评阅效果。

关键词：排列组合；移位搜索；计算搜索；归一化；方差

目录

一问题重述 (4)

二问题分析 (5)

三模型假设 (5)

四符号说明 (6)

五模型建立与求解 (6)

六模型的评价 (15)

七模型的推广与改进 (15)

参考文献 (16)

附录 (17)

一问题重述

近些年来，越来越多的考试已经采用标准的“电子阅卷”，尤其像中考、高考这样正规的大型考试。对于广大考生来说，不仅仅要答对卷面上的题目，更要确保答案顺利通过“电子阅卷”的“法眼”，最终才能拿到理想的分数。这对考生的书写规范和答题习惯就有了更多的要求。考试之后都要经过阅卷的过程，除了几百名教师参与繁重的评阅试卷的工作外，许多管理工作都有很强的技术性。比如试卷的分发、教师评分的预处理、对每位教师评阅效果的评价等。这些做得好坏，直接影响着评阅的合理性和公正性，我们追求最优、最准确的评阅效果。一次考试通常试卷有几百份，评阅前已将试卷打乱编号。每份试卷就是一篇科技论文，评阅教师需要综合考虑各方面情况给出一个成绩。每份试卷应有三名不同的教师评阅，所给出的三个成绩合成该试卷的最后成绩。各位教师对自己所在单位的试卷应该回避，但这件事比较容易处理，我们这里就不考虑这个原因，也就是假设教师都没有本单位的试卷。

试卷的随机分发考虑有1000份试卷由40名阅卷教师评阅的情况。每份三人评阅就共需要3000人次，每人阅卷75份。提前编写程序，让试卷随机地分发到教师的任务单中。注意让每份试卷分给每位教师等可能，另外任何两位教师交叉共同评阅一份试卷的情况也尽量均匀，即尽量不要出现交叉次数过多或过少的情况。再编写一个程序，对一次分发的任务单进行均匀性的评价。然后可以在多次生成的任务单中选出一个评价比较好的来使用。请给出两个程序的算法或框图，并选出一个好的分配任务单供使用及对它的评价。

评分的预处理全部阅完之后，就要进行成绩的合成了。但是，每个人见到的卷子不同，实际评分标准也不完全相同（尽管评阅前已经集体开会、讨论，统一评卷标准），大家的分数没有直接的可比性，所以不能简单地合成，需要预处理。比如，可能出现一份试卷的两位评阅教师都给出70分的评价，但是其中一个70分是他给出的最高分，另一个则是他的最低分，能认为这个试卷就应该是70分吗？！请设计一个成绩预处理的算法把教师给出的成绩算得标准化成绩，然后用三个标准化成绩就可以直接合成了，使得合成的成绩尽量地公平合理并且为后面对教师评阅效果的评价提供方便。

教师评阅效果的评价阅卷全部结束之后，组织者要对所聘请的教师有一个宏观的评价，哪些教师比较认真，对评分标准掌握得也好，看论文又快又准，因此给出的成绩比较准确，是这次阅卷的主力。下次再有类似的事情一定还请他们来，甚至于在下一次阅卷后合成成绩的时候给他们以更大的权值。这些除了在日常的生活工作中会有所感觉外，大家给出的成绩也会说明一些问题。请制定一个方法，利用每人给出的成绩，反过来给教师的评阅效果给出评价。

二问题分析

2.1问题一的分析

针对问题一，首先需要设计一个随机分配算法将1000份试卷随机、均匀地分配给40位阅卷教师。在算法设计时，采用了计算机软件随机编号以保证任一份试卷分配给任一位教师的概率是相等的，采用排列组合方法使得每位教师分配到75份不同的试卷且每份试卷有三个不同的教师评阅。另外，为了得到较好的均匀性，即任意两个教师交叉评阅一份试卷的数量不能过大也不能过小，需要设计一个好的算法或对随机分配结果不断修正，使其满足均匀性要求。本文采用的是对1000份试卷的三次分配进行移位搜索的算法以达到良好的均匀性。其次，为了对生成的任务单进行均匀性分析，需要对任意两个教师的试卷号逐一比对并统计其交叉的次数，根据交叉次数可以对本次任务单的均匀性作出评价。

2.2问题二的分析

针对问题二，由于不同教师对试卷的评判标准不同，这将会对成绩的公正性与合理性造成一定的影响。为了避免这种情况的出现，就需要对成绩进行预处理。本文通过采用归一化方法对成绩进行标准化处理，可以得出试卷的标准化成绩。由于每份试卷是由3位不同的阅卷教师共同评阅，因此对于任意一份试卷的标准成绩可由这份试卷对应的三位评委标准化成绩的几何平均求得。通过对成绩的标准化处理，在很大一定程度上解决了试卷成绩的公正性与合理性问题。

2.3问题三的分析

针对问题三，假设所有阅卷教师对任意一份试卷的评阅时间相等且不受其它外界因素的影响，因此，只有根据教师对试卷的评阅成绩来合理评价教师的评阅效果。设计的算法是计算教师评阅的标准化成绩与标准成绩之间的偏离程度，并采用方差之和来表示某位阅卷教师本次阅卷的整体偏离程度，从而可以对阅卷教师的评阅效果作出一个合理的评判。

三模型假设

1、计算机产生的伪随机数认为完全随机。

2、评阅试等概率性：每份试卷分发给每个阅卷教师的概率是相等的，不存在某

阅卷教师一直评阅优秀答卷，另一个阅卷教师一直评阅较差答卷。

3、评阅委员的独立性，每位评委对试卷的评阅不受外界任何因素的干扰。比如

他评委所给出的成绩，自己的疲劳程度等。

4、所给出的成绩服从正态分布。