10_自适应横向滤波器(1)

§3.2 自适应横向滤波器
3.2.1 自适应线性组合器和自适应FIR滤波器
自适应线性组合器和自适应FIR滤波器, 是自适应滤波的基本结构形式, 也是学习自适应信号处理的基础. 1.自适应滤波器的矩阵表示式 （1）自适应线性组合器(多输入系统) 输入信号矢量是一个空间序列, 其元素由同一时刻的一组取样值构成 (即在同一时刻 n , 对 L 1个不同信号源取样得到): T (3.2.1) x (n) x0 (n) x1 (n) xL (n) 这种情况相当于并行输入.
0 0 L Diag(0 , 1 ,, L )
对角线上的元素i (i 0,1,2,, L) 是 R 的 L 1 个特征值.
Q 称为“特征矢量矩阵”:
Q [q0 q00 q01 q q11 10 q1 qL ] qL 0 qL1 q0 L q1L qLL
2E[e(n) x(n)] 0
3.2.2 性能函数表示式及其几何意义
将性能函数表示式(3.2.11)重写如下:
回答p116思考题3.4, 证明:
式(3.2.19)
(n) E[d 2 (n)] wT Rw 2PT w
等效于
式(3.2.11)
(n) E[d 2 (n)] wT Rw 2P T w 1.用权偏移矢量坐标v表示性能函数 不难证明(见附录), 均方误差可写成与上式等效的标准形式:
（1）最佳权矢量 w 满足均方误差最小时, 对应的权矢量即为最佳权矢量. 在性能曲面上, 该点的梯度等于零. 由式(3.2.13), 有
由式(3.2.14), 可 得互相关矩阵:
(3.2.13)
2Rw 2P 0

P Rw
此关系式正是输 入-输出互相关 定理的矢量表达 形式.
(3.2.14)
x(n 2)
z-1
w1 (n)



输出响应 y(n)



z-1
x ( n L)
d ( n) 参考响应

wL (n)




e(n)
自适应处理器
图3.2.2 自适应FIR滤波器
如图3.2.2所示, 单输入自适应系统的输出为
y ( n)

k 0
L
wk (n) x(n k )
T 代入 e(n) d (n) w (n) x(n) , 得
2E[e(n) x(n)]
(3.2.17)
当权矢量取最佳值时, 梯度为0, 即 (3.2.18) 上式说明, 当 w w 时, 误差信号与输入信号是正交的, 即仍然服从正交 性原理. 同样可根据正交性原理推导出维纳解(3.2.15)式.
min (w w )T R(w w )
定义权偏移矢量:
(3.2.19)
v w w [v0 , v1 ,, vL ]
用表示式(3.2.19), 得
(3.2.20)
min v T Rv
(3.2.21)
上式表明，当 w 偏离 w 一个数值 v (v 0) 时，均方误差 将比 min 大 为满足式 (3.2.22), R 应是正 v T Rv 。为保证 0 ，要求 定或半正定的. v T Rv 0 ， v (3.2.22) 半正定是指对某些有限个 v 或所有v, vTR v =0的情况. 2.用旋转坐标v(主坐标系)表示性能函数 由于自相关矩阵 R 是对称和正定(或半正定)的, 因此可利用它的特征 值和特征向量对式(3.2.21)进一步简化. 将 R 化为标准形: R QQT (3.2.23) 式中, 是 R 的特征值矩阵(对角线矩阵): 0 0 0 0 0 (3.2.24) 1

k 0
其中, wk (n) 为加权系数. 定义“权矢量”:
w (n) w0 (n) w1 (n) wL (n)
T
(3.2.3)
则 y (n) 的矢量表示式为: (3.2.4) y(n) xT (n)w(n) w(n)T x(n) 在该线性组合器中，其自适应过程，就是通过自适应算法自动调整权 k 0,1,, L ，使其均方误差最达最小的过程。 系数 wk (n) ， （2）自适应FIR滤波器(单输入系统)
于是得到
这与FIR维纳滤波器的最佳解 hopt R-1 P是一致的,因此 w 又称维纳
（2）最小均方误差 min 将最佳权矢量 w ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ入式(3.2.11), 得最小均方误差 min

min
w R1 P
(3.2.15)
E[d 2 (n)] P T R-1 P E[d 2 (n)] P T w
(3.2.6)
同样用矢量表示为
y(n) xT (n)w(n) w(n)T x(n) 其中权矢量 w ( n) 与式(3.2.3)相同. 由上可得单输入自适应滤波器的结构如图3.2.3示: 1 xn z 1 xn 1 z 1 xn2 xnL z xn
w0 n w1n
第三章 自适应数字滤波器
§3.1 引 言 3.1.1 从维纳滤波到自适应滤波
1.维纳滤波器的适用条件 维纳滤波器的适用条件比较苛刻，主要表现在： （1）需要知道信号和噪声统计特性(如 Rss (m), Rvv (m) )的先验知识； （2）输入信号必须是平稳的，滤波器的参数是针对已知的输入统计特 性设计的，因而是固定的，当输入统计特性变化时, 其最佳滤波性能将 被破坏。 （3）卡尔曼滤波是采用递推算法实现的维纳滤波器, 本质上仍具有维 纳滤波器的上述特点，虽然可适用于平稳和非平稳过程, 但不适用于输 入统计特性未知或变化的情况.

w2 n

w( L1)n


wLn

yn
图3.2.3 自适应横向滤波器结构
这是一种时变横向数字滤波器, 在信号处理中应用较为广泛. 2.利用均方误差最小准则求最佳权系数和最小均方误差 下面采用均方误差(或平均功率)最小准则, 求最佳权系数. 对于以上两种输入情况, 输出误差信号均可表示为:
e( n ) d ( n ) y ( n ) d ( n ) x T ( n ) w ( n ) d ( n ) w T ( n) x ( n)
x0 (n)
输 入 x1 (n) 信 号 矢 量 x (n) L
w0 (n)

w1 (n)

wL (n)


输出响应 y(n)


d ( n) 参考响应


自适应处理器



e(n)

图3.2.1 自适应线性组合器
如图3.2.1所示, 这种多输入系统的输出 y (n) , 等于输入矢量 x (n) 的 各元素的线性组合(因此称该系统为线性组合器): L (3.2.2) y ( n) wk (n) xk ( n)
(3.2.25)
其中 qi 称为对应于特征值 i 的特征矢量. 调节每个特征矢量的模, 使它们都具有单位长度, 于是, Q 的 L 个特 1 征矢量是相互正交并各自归一的, 即满足: 1, i j (3.2.26) qi T q j 0, i j (3.2.27) Rqi i qi
2.自适应滤波器的特点 （1）自适应滤波器，实际上是一种参数可自动调整的特殊的维纳滤波 器。 （2）实现自适应滤波器不需要任何关于信号和噪声统计特性的先验知 识；当输入统计特性变化时，它能按照某种准则自动地调整自身参数， 以满足最佳滤波的需要。 （3）自适应滤波器具有学习和跟踪性能。 ●学习过程: 在输入信号统计特性未知的情况下, 调整自身参数达到 最佳的过程. ●跟踪过程: 当输入信号统计特性变化时, 调整自身参数达到最佳的 过程.
(3.2.7)
均方误差为:
(n) E[e2 (n)]
E[d 2 (n)] w T (n) E[ x(n) x T (n)]w(n) 2 E[d (n) x T (n)]w(n)
(3.2.8)
定义输入信号 x (n)的自相关矩阵 R :
R E[ x (n) x T (n)]
2 x0 ( n) x0 (n) x1 (n) x12 (n) x1 (n) x0 (n) E xL (n) x0 (n) xL (n) x1 (n)
3.1.2 自适应滤波器的原理
原理框图如图3.1.1所示，主要包括两部分： ●参数可调数字滤波器，滤波器结构: FIR, IIR或格形滤波器； ●自适应算法。 与维纳滤波器比较, 自适应滤波器增加了一个识别控制环节.
x(n)

参数可调数字滤波器

y(n)

d(n)
自适应算法 识别控制环 节
x0 (n) xL (n) x1 (n) xL (n) 2 xL (n)
T
(3.2.9)
d (n) 与 x (n)的互相关矩阵P:
P E[d (n) x (n)] E d (n) x0 (n) d (n) x1 (n) d (n) xL (n)
输入信号矢量是一个时间序列, 其元素由同一个信号在不同时刻的取 样值构成(即对同一信号源, 在 n 时刻以前 L 1个取样时刻得到): T (3.2.5) x (n) x(n) x(n 1) x(n L)


x ( n)
z-1
时变横向（FIR）数字滤波器
w0 (n)
x(n 1)
(3.1.1)
即 y (n) 是 d (n)的估计. 将 y (n)与期望信号 d (n)比较, 产生误差信号 e(n) : e(n) d (n) y(n)
(3.1.2) （2）通过自适应算法，由 e(n) 产生相应的控制信号，自动调整数字滤 波器的参数，最终使 e(n) 的均方误差最小, 即 (3.1.3) E[e2 (n)] min 这时 y (n)即为 d (n) 的最佳逼近.
证明见本节附录.
(3.2.16)
（3）正交原理 根据均方误差性能曲面梯度的定义
E[e (n)] E[e 2 (n)] E[e 2 (n)] E[e 2 ( n)] w w w w 0 1 L
2 T e(n) e(n) e(n) 2 E e( n ) 0 w1 wL w0 T



e(n)
图3.1.1 自适应滤波器原理图
图中:
x(n) —— 输入信号(或称观测信号)；
y (n) —— 输出信号；
d (n) —— 期望信号(或称参考信号,训练信号)； e(n) —— 误差信号。 自适应滤波原理(过程): （1）输入信号 x(n) 经参数可调数字滤波器输出 y (n) : ˆ(n) y(n) d
(3.2.10)
将式(3.2.9)和式(3.2.10)代入式(3.2.8), 并用 w代替 w ( n) , 可得
(n) E[d (n)] w Rw 2P w
2 T T
若将式(3.2.11)展开, 则w的 各分量只含一次项和二次项, (3.2.11) 所以说 , ξ 是 w 各分量的二 次函数.
说明: （1）自适应滤波有两个输入信号: 原始输入信号和参考输入信号; 两个输出信号: 实际响应y (n)和误差信号 e(n) . x(n)和 d (n) 究竟哪个作原始输入, 哪个作参考输入, 信号形式如何; y (n)和 e(n)究竟哪个作为输出, 均根据具体应用来确定. （2）要达到自适应滤波的目的, 原始输入信号与参考输入信号必须 相关.
上式表明: 当输入矢量 x (n) 和参考响应 d (n)都是平稳随机信号时, 均 方误差 是权矢量 w 的各分量的二次函数. 的函数图形是 L 2 维空间中 的一个向下凹的超抛物面, 并有唯一的最低点 min .该曲面称为均方误差 性能曲面, 简称性能曲面; 式(3.2.11)称为性能函数. 均方误差性能曲面的梯度定义为: T (3.2.12) w w0 w1 wL 将式(3.2.11)代入上式, 得 2 Rw 2 P