高中数学必修4三角函数常考题型：三角函数的诱导公式

三角函数的诱导公式(一) 【知识梳理】

1．诱导公式二

(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．

如图所示．

(2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α.

cos(π＋α)＝－cos_α.

tan(π＋α)＝tan_α.

2．诱导公式三

(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．

如图所示．

(2)公式：sin(－α)＝－sin_α.

cos(－α)＝cos_α.

tan(－α)＝－tan_α.

3．诱导公式四

(1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．

如图所示．

(2)公式：sin(π－α)＝sin_α.

cos(π－α)＝－cos_α.

tan(π－α)＝－tan_α.

【常考题型】

题型一、给角求值问题

【例1】 求下列三角函数值：

(1)sin(－1 200°)；(2)tan 945°；(3)cos 119π

6

.

[解] (1)sin(－1 200°)＝－sin 1 200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin 120°＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－

3

2

； (2)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1； (3)cos 119π6＝cos ⎝⎛⎭⎫20π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝cos π6＝3

2. 【类题通法】

利用诱导公式解决给角求值问题的步骤

【对点训练】

求sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°的值．

解：sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°＝sin(360°＋225°)cos(3×360°＋210)＋cos 30°sin 210°＋tan(180°－45°)＝sin 225°cos 210°＋cos 30°sin 210°－tan 45°＝sin(180°＋45°)cos(180°＋30°)＋cos 30°·sin(180°＋30°)－tan 45°＝sin 45°cos 30°－cos 30°sin 30°－tan 45°＝22×32－32×1

2－1＝6－3－44

. 题型二、化简求值问题

【例2】 (1)化简：cos?－α?tan?7π＋α?

sin?π－α?＝________；

(2)化简sin?1 440°＋α?·cos?α－1 080°?

cos?－180°－α?·sin?－α－180°?.

(1)[解析] cos?－α?tan?7π＋α?sin?π－α?

＝cos αtan?π＋α?sin α＝cos α·tan αsin α＝sin α

sin α＝1.

[答案] 1

(2)[解] 原式＝sin?4×360°＋α?·cos?3×360°－α?cos?180°＋α?·[－sin?180°＋α?]＝sin α·cos?－α??－cos α?·sin α＝cos α

－cos α＝－1.

【类题通法】

利用诱导公式一～四化简应注意的问题

(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的； (2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；

(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切． 【对点训练】

化简：tan?2π－θ?sin?2π－θ?cos?6π－θ??－cos θ?sin?5π＋θ?

.

解：原式＝tan?－θ?sin?－θ?cos?－θ??－cos θ?sin?π＋θ?

＝tan θsin θcos θ

cos θsin θ＝tan θ.

题型三、给角（或式）求值问题

【例3】 (1)已知sin β＝1

3，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为( )

A ．1

B ．－1

D ．－13

(2)已知cos(α－55°)＝－1

3，且α为第四象限角，求sin(α＋125°)的值．

(1)[解析] ∵cos(α＋β)＝－1， ∴α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ，

∴sin(α＋2β)＝sin[(α＋β)＋β]＝sin(π＋β)＝－sin β＝－1

3.

[答案] D

(2)[解] ∵cos(α－55°)＝－1

3<0，且α是第四象限角．

∴α－55°是第三象限角．

sin(α－55°)＝－1－cos 2?α－55°?＝－223.

∵α＋125°＝180°＋(α－55°)，

∴sin(α＋125°)＝sin[180°＋(α－55°)]＝－sin(α－55°)＝223.

【类题通法】

解决条件求值问题的策略

(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．

(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．

【对点训练】

已知sin(π＋α)＝－1

3，求cos(5π＋α)的值．

解：由诱导公式得，sin(π＋α)＝－sin α， 所以sin α＝1

3，所以α是第一象限或第二象限角．

当α是第一象限角时，cos α＝ 1－sin 2α＝22

3，

此时，cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos α＝－22

3.

当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－22

3，

此时，cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos α＝22

3

.

【练习反馈】

1.如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P ⎝

⎛⎭

⎫

－

55，

255，则cos(π－θ)的值为( )

A ．－255

B ．－5

5

解析：选C ∵r ＝1，∴cos θ＝－5

5

， ∴cos(π－θ)＝－cos θ＝

55

. 2．已知sin(π＋α)＝4

5，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( )

A ．－35

C ．±35

解析：选B sin α＝－4

5，又α是第四象限角，

∴cos(α－2π)＝cos α＝1－sin 2α＝3

5

.

3．设tan(5π＋α)＝m ，则sin?α－3π?＋cos?π－α?

sin?－α?－cos?π＋α?＝________.

解析：∵tan(5π＋α)＝tan α＝m ，