北师大版数学高二必修5学案基本不等式与最大(小)值

3.2基本不等式与最大(小)值

1．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(重点)

2．会用基本不等式解决实际问题．(重点、难点)

[基础·初探]

教材整理不等式与最大(小)值

阅读教材P90～P91“例2”以上部分，完成下列问题．

x，y都为正数时，下面的命题成立

(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值s2 4；

(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2p.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个正数的积为定值，它们的和一定能在两个数相等时取得最小值．()

(2)函数y＝x＋1

x的最小值为2.()

(3)若xy＝1，x、y属于正实数，则lg x＋lg y≥0.()

【解析】(1)应用基本不等式求最值时还要看等号能否取到．

(2)当x＞0时，y＝x＋1

x的最小值为2.

(3)若xy＝1，则lg x＋lg y＝lg xy＝0.

【答案】 (1)× (2)× (3)×

[小组合作型]

利用基本不等式求代数式的最值

已知x ，y 均为正数，且1x ＋9

y ＝1，求x ＋y 的最小值．

【精彩点拨】 由于已知条件右边是一定值1，且左边各项均为正数，所以可用代入消元或“1”的代换求解．

【尝试解答】 ∵x 、y 均为正数，且1x ＋9

y ＝1， ∴y ＝9x

x －1，且x －1＞0，∴x ＋y ＝x ＋9x

x －1＝x 2＋8x

x －1

＝(x －1)2＋10(x －1)＋9

x －1

＝(x －1)＋9(x －1)

＋10≥2×3＋10＝16，

当且仅当x －1＝9x －1

即x ＝4时等号成立，

∴(x ＋y )min ＝16.

利用基本不等式求最值时，最重要的是构建“定值”，恰当变形、合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧．

[再练一题]

1．已知正数x 、y 满足8x ＋1

y ＝1，求x ＋2y 的最小值.

【导学号：47172040】

【解】 ∵x ＞0，y ＞0，8x ＋1

y ＝1， ∴x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫

8x ＋1y (x ＋2y )＝10＋x y ＋16y x ≥10＋2x y ·16y

x ＝18，

当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧

8x ＋1y ＝1，

x y ＝16y

x ，

即⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝12，

y ＝3

时等号成立， 故当x ＝12，y ＝3时，(x ＋2y )min ＝18.

利用基本不等式解决实际问题

某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6 吨，每吨面粉的

价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．

求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ 【精彩点拨】 先以购买面粉间隔天数为自变量，平均每天支付的总费用为函数值建立函数模型，再利用基本不等式求最值．

【尝试解答】 设该厂每隔x 天购买一次面粉，则其每次购买量为6x 吨，由题意可知，面粉的保管费及其他费用为3×[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]

＝9x (x ＋1)．

设平均每天所支付的总费用为y 元，

则y ＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800＝9x ＋900

x ＋10 809 ≥2

9x ·900

x ＋10 809＝10 989，

当且仅当9x ＝900

x ，即x ＝10时等号成立．

故该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．

在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：

(1)先理解题意，设变量时一般把要求最值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题； (3)在定义域内，求出函数的最值； (4)写出正确答案． [再练一题]

2.桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图3-3-2，设池塘所占总面积为S 平方米．

(1)试用x 表示S ；

(2)当x 取何值时，才能使得S 最大？并求出S 的最大值．

图3-3-2

【解】 (1)由图形知，3a ＋6＝x ， ∴a ＝x －63.

S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 800x －4·a ＋2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 800x －6

＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫5 400x －16

＝x －63⎝ ⎛⎭⎪⎫5 400x －16

＝1 832－⎝ ⎛⎭

⎪⎫10 800x ＋16x 3.

即S ＝1 832－⎝ ⎛⎭⎪⎫

10 800x ＋16x 3(x >0)．

(2)由S ＝1 832－⎝ ⎛⎭

⎪⎫

10 800x ＋16x 3，

得S ≤1 832－2

10 800x ·16x 3

＝1 832－2×240＝1 352， 当且仅当

10 800x ＝16x

3时等号成立，此时，x ＝45，

即当x 为45米时，S 最大，且S 最大值为1 352平方米．

[探究共研型]

利用基本不等式求函数的最值

探究1 样求它的最值？

【提示】 有最大值，利用二次函数求最值．

探究2 能否通过基本不等式求f (x )＝x (1－x )(0＜x ＜1)的最值？怎样求？ 【提示】 可以，f (x )＝x (1－x )≤⎝

⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝1

4

. 探究3 能否利用基本不等式求f (x )＝x ＋1

x (x ≥2)的最值？怎样求？ 【提示】 不能，等号不能取到，可以利用单调性求解． 探究4 利用基本不等式求最值的基本要求是什么？ 【提示】 必须满足一正、二定、三相等三个条件．

(1)已知x ＞0，求函数y ＝x 2＋5x ＋4

x 的最小值；

(2)已知0＜x ＜1

3，求函数y ＝x (1－3x )的最大值．

【精彩点拨】 (1)利用分式的性质拆开，构造ax ＋b

x 形式，再利用基本不等式；(2)转化为括号内外x 的系数互为相反数即保证和为定值时，再使用基本不