专题01 导数与函数的最(极)值(训练篇B)-用思维导图突破导数压轴题

专题01 导数与函数的最（极）值（训练篇B ）

-用思维导图突破导数压轴题

《挑战压轴题•高中数学•精讲解读篇》（华东师大出版社第1-10版（2009-2019年））、《上海高考好题赏析》（浙江大学出版社2019年）、330多篇论文（文章）作者

上海市特级教师文卫星

1.(2015·新课标全国Ⅱ,12)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数,f (－1)＝0,当x >0时,xf ′(x )－f (x )＜0,则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是 ( )

A.(－∞,－1)∪(0,1)

B.(－1,0)∪(1,＋∞)

C.(－∞,－1)∪(－1,0)

D.(0,1)∪(1,＋∞)

解 因为f (x )(x ∈R )为奇函数,f (-1)＝0,所以f (1)＝-f (-1)＝0.当x ≠0时,令g (x )＝f （x ）x ,则g (x )

为偶函数,且g (1)＝g (－1)＝0.则当x ＞0时,g ′(x )＝(

x

x f )()′＝xf ′（x ）－f （x ）x 2

＜0,故g (x )在(0,

＋∞)上为减函数,在(－∞,0)上为增函数.所以在(0,＋∞)上,当0＜x ＜1时,g (x )＞g (1)＝0⇔

f （x ）

x ＞0⇔f (x )＞0；

在(－∞,0)上,当x ＜－1时,g (x )＜g (－1)＝0⇔f （x ）

x ＜0⇔f (x )＞0.综上,得使得f (x )＞0成立

的x 的取值范围是(－∞,－1)∪(0,1),选A.

2.（2015年新课标Ⅱ，理12）设函数()f x '是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，

(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围

是 （ ）

（A ）(,1)(0,1)-∞-

（B ） (1,0)(1,)-+∞ （C ）(,1)(1,0)-∞-- （D ）(0,1)(1,)+∞

解 设()()f x F x x =

，则2

()()()xf x f x F x x '-'=，由已知得，当0x >时，()()0xf x f x '-<，所以当0x >时，()0F x '<，即()F x 在(0,)+∞上单调递减；又

()()f x x R ∈为奇函数，则()

()f x F x x

=

为偶函数，即()F x 在(,0)-∞上单调递增，且(1)F -=(1)0F =.

当01x <<时，()0,()0F x f x >>，当1x <-时，()0,()0F x f x <>，综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)

(0,1)-∞-.

3. (2017年山东理第20题)已知函数

()22cos f x x x =+，

()()cos sin 22x g x e x x x =-+-，其中 2.71828

e =是自然对数的底数．

(1) 求曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程；

(2) 令()()()h x g x af x =-(a R ∈)，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时

求出极值．

解 (1) 函数

()f x 的导函数()'22sin f x x x =-，于是()2

2f ππ=-，()'2f ππ=，

所求的切线方程为()222y x π

ππ=-+-，也即222y x ππ=--．

(2) 根据题意，有()()2cos sin 222cos x h

x e x x x ax a x =-+---，其导函数

()()

()'2sin x h x e a x x =--。由于()sin '1cos x x x -=-，于是该函数单调递增，有唯

一零点0x =．这样就得到了讨论分界点0,1a =．

①0a ≤．此时函数()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，在0x =处

取得极小值12a --．

② 01a <<．此时函数()h

x 在(),ln a -∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，在

()0,+∞上单调递增，在ln x a =处取得极大值2

2ln 2ln

sin ln cosln a a a a a a a a a ----，

在0x =处取得极小值12a --．

③ 1a =．此时函数()h x 在R 上单调递增，没有极值．

④ 1a >．此时函数()h

x 在(),0-∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减，在

()ln ,a +∞上单调递增，在0x =处取得极大值12a --，在ln x a =处取得极小值

22ln 2ln sin ln cosln a a a a a a a a a ----。

4.（2015北京，理18）已知函数x

x

x f -+=11ln

)(． (1)求曲线)(x f 在点()()0,0f 处的切线方程；

(2)求证：当）（1,0∈x 时，）（3

2)(3

x x x f +>；

(3)设实数k 使得）（3

)(3

x x k x f +>对）（1,0∈x 恒成立，求k 的最大值．

解 (1)因为)1ln()1ln()(x x x f --+=，所以x

x x f -+

+=

1111)('，2)0('

=f ．