概率论与数理统计试题与答案完整版

概率论与数理统计试题
与答案
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概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1)
概率统计模拟题一
一、填空题（本题满分18分，每题3分）
1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。

2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ，若9
5
)1(=
≥X p ，则=≥)1(Y p 。

3、设X 与Y 相互独立，1,2==DY DX ，则=+-)543(Y X D 。

4、设随机变量X 的方差为2，则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。

5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2
χ的样本，则统计量∑==n
1
i i X Y 服从
分布。

6、设正态总体),(2σμN ，2σ未知，则μ的置信度为α-1的置信区间的长度
=L 。

（按下侧分位数）
二、选择题（本题满分15分，每题3分）
1、 若A 与自身独立，则（ ）
(A)0)(=A P ； (B) 1)(=A P ；(C) 1)(0<<A P ； (D) 0)(=A P 或1)(=A P
2、下列数列中，是概率分布的是（ ）
(A) 4,3,2,1,0,15
)(==x x
x p ； (B) 3,2,1,0,65)(2=-=x x x p (C) 6,5,4,3,41)(==
x x p ； (D) 5,4,3,2,1,25
1
)(=+=x x x p 3、设),(~p n B X ，则有（ ）
(A) np X E 2)12(=- (B) )1(4)12(p np X D -=-
(C) 14)12(+=+np X E (D) 1)1(4)12(+-=+p np X D
4、设随机变量),(~2σμN X ，则随着σ的增大，概率()σμ<-X P （ ）。

(A)单调增大 (B)单调减小 (C)保持不变 (D)增减不定
5、设),,,(21n X X X 是来自总体),(~2σμN X 的一个样本，X 与2S 分别为样本均值与样本方差，则下列结果错误．．
的是（ ）。

（A ）μ=X E ； （B ）2
σ=X
D ；（C ）())1(~122
2
--n S n χσ
； （D ）
())(~22
12
n X n
i i χσμ∑=-。

三、（本题满分12分） 试卷中有一道选择题，共有４个答案可供选择，其中只有１个答案是正确的。

任一考生若会解这道题，则一定能选出正确答案；如果不会解这道题，则不妨任选１个答案。

设考生会解这道题的概率为０.８，求：（１）考生选出正确答案的概率？
（２）已知某考生所选答案是正确的，他确实会解这道题的概率？
四、（本题满分12分）设随机变量X 的分布函数为⎪⎩
⎪
⎨⎧>≤≤<=1
1100
0)(2
x x Ax x x F ，试求常数A 及X 的概率密度函数)(x f 。

五、（本题满分10分）设随机变量X 的概率密度为x
e x
f -=2
1)(，)(+∞<<-∞x ，试求数学期望)(X E 和方差)(X D 。

六、（本题满分13分）设总体X 的密度函数为⎪⎩⎪
⎨⎧<≥=-0
001)(22
x x xe
x f x
σσ ，其中0>σ 试求σ的矩估计量和极大似然估计量。

七、（本题满分12分）某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%）
3.25, 3.27, 3.24, 3.26, 3.24
设测定值总体服从正态分布,但参数均未知，问在01.0=α下能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为3.25。

（已知6041.4)4(995.0=t ）
八、（本题满分8分）设)X ,,X ,(X 1021 为来自总体)3.0,0(2N 的一个样本，求
⎭⎬⎫⎩⎨⎧>∑=101244.1i i X P 。

（987.15)10(2
9.0=χ） 概率试统计模拟一解答
一、填空题（本题满分18分，每题3分）
1、0.6；
2、
2719； 3、34； 4、21
； 5、)10(2n χ；6、
)1(22
1--n t n S α 二、选择题（本题满分15分，每题3分）
1、Ｄ；
2、Ｃ；
3、Ｂ；
4、Ｃ；
5、Ｂ
三、（本题满分12分）解：设Ｂ－考生会解这道题，Ａ－考生解出正确答案
（１）由题意知：8.0)(=B P ，2.08.01)(=-=B P ，1)(=B A P ，25.04
1
)(==
B A P ， 所以85.0)()()()()(=+=B A P B P B A P B P A P , （２）941.0)
()()()(≈=
A P
B A P B P A B P
四、（本题满分12分）解：A A f F =⨯==+21)1()01(，而0
11)1lim()1()01(+→===+x f F ，
1=A
对)(x F 求导，得⎩⎨⎧≤≤=其它0
1
02)(x x x f
五、（本题满分10分）解：0)(=X E ；2=DX
六、（本题满分13分）矩估计：X dx e
x EX x ===-
∞
+⎰
σσσ
σ
,1
220
2
,
极大似然估计：似然函数()n x n
i x x x e x L n
i i 2121
21,∑
⎪⎭
⎫ ⎝⎛==-
σ
σσ,
()02,ln 12
2=∑+-=∂∂=n i i i x n x L σσσσ， ∑==n i i x n 1221σ
七、（本题满分12分）解：欲检验假设 0100:,25.3:μμμμ≠==H H
因2σ未知，故采用t 检验，取检验统计量n S
X t 0
μ-=
，今5=n ，252.3=x ，
013.0=S ，01.0=α，=--)1(2/1n t α6041.4)4(995.0=t ，拒绝域为 ≥-=
n s
X t 0
μ=--)1(2/1n t α6041.4，因t 的观察值6041.4344.05
/013.025.3252.3<=-=
t ，
未落入拒绝域内，故在01.0=α下接受原假设。

八、（本题满分8分）因)3.0,0(~2N X i ，故)10(~3.022
10
1χ∑=⎪⎭
⎫
⎝⎛i i X
概率统计模拟题二
本试卷中可能用到的分位数：
8595.1)8(95.0=t ，8331.1)9(95.0=t ，306.2)8(975.0=t ，2662.2)9(975.0=t 。

一、填空题（本题满分15分，每小题3分）
1、设事件B A ,互不相容，且,)(,)(q B P p A P ==则=)(B A P .
2、设随机变量X 的分布函数为：⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧≥<≤<≤--<=2
1
216.0113.01
)(x x x x x F
则随机变量X 的分布列为 。

3、设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布)2,1(N 和)1,0(N ，则
(1)P X Y +≤= 。

4、若随机变量X 服从[1,]b -上的均匀分布，且有切比雪夫不等式2
(1),3
P X ε-<≥
则
b = ,ε= 。

5、设总体X 服从正态分布)1,(μN ，),,,(21n X X X 为来自该总体的一个样本，则
∑=-n
i i
X
1
2)(μ服从 分布
二、选择题（本题满分15分，每小题3分）
1、设()0,P AB =则有（ ）。

(A)A B 和互不相容 (B)A B 和相互独立；(C)()0P A =或()0P B =；(D)
()()P A B P A -=。

2、设离散型随机变量X 的分布律为：()(1,2),k P X k b k λ===且0b >，则λ为（ ）。

(A)
11b +； (B) 11
b -； (C) 1b +； (D) 大于零的任意实数。

3、设随机变量X 和Y 相互独立，方差分别为6和3，则)2(Y X D -=（ ）。

(A) 9；(B) 15； (C) 21；(D) 27。

4、对于给定的正数α，10<<α，设αu ，)(2
n α
χ，)(n t α，),(21n n F α分别是)1,0(N ，)(2
n χ，)(n t ，),(21n n F 分布的下α分位数，则下面结论中不正确．．．
的是（ ）
（A ）αα--=1u u ； （B ）)()(2
21n n α
αχχ-=-；（C ）)()(1n t n t αα--=； （D ）)
,(1),(12211n n F n n F αα=-
5、设),,,(21n X X X (3≥n )为来自总体X 的一简单随机样本，则下列估计量中不是．．
总体期望μ的无偏估计量有（ ）。

(A)X ； (B)n X X X +++ 21； (C))46(1.021X X +⨯； (D)321X X X -+。

三、（本题满分12分）
假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。

设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；乙河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，试求：
（1）该时期内这个地区遭受水灾的概率；
（2）当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。

四、（本题满分12分） 设随机变量X
的分布密度函数为1()1x f x ⎧
<⎪=⎨⎪≥⎩
0, x
试求： （1）常数A ； （2）X 落在11
(,)22
-内的概率； （3）X 的分布函数
)(x F 。

五、（本题满分12分）
设随机变量X 与Y 相互独立，下表给出了二维随机变量),(Y X 的联合分布律及关于X 和Y 边缘分布律中的某些数值,试将其余数值求出。

六、（本题满分10
100元，调换一台设备厂方需花费300
七、（本题满分12分）
设),,,(21n X X X 为来自总体X 的一个样本，X 服从指数分布，其密度函数为
⎩⎨
⎧<≥=-0,00
,);(x x e x f x λλλ，其中0>λ为未知参数，试求λ的矩估计量和极大似然估计量。

八、（本题满分12分）
设某市青少年犯罪的年龄构成服从正态分布，今随机抽取9名罪犯，其年龄如下：22，17，19，25，25，18，16，23，24，试以95%的概率判断犯罪青少年的年龄是否为18岁。

模拟二参考答案及评分标准 [基本要求：①卷面整洁，写出解题过程，否则可视情况酌情减分；
②答案仅供参考，对于其它解法，应讨论并统一评分标准。

]
一、填空题（本题满分15分，每小题3分）
1、q p --1；
2、⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-4.03.03.0211；3、21)0(=Φ；4、2,3==εb ；5、)(2
n χ 注：第4小题每对一空给2分。

二、单项选择题（本题满分15分，每小题3分） 1、D ；2、A ；3、D ；4、B ；5、B
三、（本题满分12分）解：设A={甲河流泛滥}，B={乙河流泛滥}……………………………1分
(1) 由题意，该地区遭受水灾可表示为B A ，于是所求概率为：
)()()()(AB P B P A P B A P -+= ……………………………2分
)/()()()(A B P A P B P A P ⋅-+=……………………………2分
27.03.01.02.01.0=⨯-+=…………………………………2分
(2))()()/(B P AB P B A P =
…1分 )
()
/()(B P A B P A P ⋅=………2分 15.02
.03
.01.0=⨯=
………………………………………………2分 四、（本题满分12分）解：(1)由规范性 dx x f ⎰
+∞
∞
-=)(1………………1分
dx x
A ⎰
--=1
1
2
1……1分 πA x A =-=1
1arcsin …1分
π1=∴A ………………………………………………………1分
(2)dx x
X P ⎰--=<<-2121211
1}2121{π ……………………………………2分 31arcsin 1
2
121
=-
=
x
π
……………………………………2分
(3)00)(1==-<⎰∞-x
dx x F x ，
时 ……………………………………………1分 )2
(arcsin 1
11
1)(111
2
π
π
π+
=
-=≤≤-⎰-x dx x x F x x
，
时………………1分
111
1
)(11
1
2
=-=>⎰-dx x x F x π，
时………………………………………1分
⎪⎩
⎪⎨⎧>≤≤-+-<=∴
1
111)
2(arcsin 11
)(x x x x x F X π
π
的分布函数为………………1分
五、（本题满分12分）
解： 24
1
81616181=
-=⇒=+
a a …………………………………………………1分
4
3
411141=-=⇒=+e e ……………………………………………………1分 12181241414181=--=⇒=++b b a …………………………………………2分
21
4814181=⋅=⇒⋅=f f ……………………………………………………2分
8
3
812181=-=⇒=+c f c …………………………………………………2分
3
1
412141=⋅=⇒⋅=
g g b ……………………………………………………2分 4
1
12131=-=
⇒=+d g d b …………………………………………………2分 六、（本题满分10分）
解：设一台机器的净赢利为Y ，X 表示一台机器的寿命，……………………1分
⎪⎩
⎪
⎨⎧
≤≤<-=->=00102003001001100X X X Y ……………………………………………………3分
{}41
1
4
4
11P -∞
-=⎰
e dx e X x ＋＝＞……………………………………………………2分 {}41
1
4
14
110---==
≤<⎰
e dx e X P x ……………………………………………2分 ()64.331200100414
1=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=--
e e
E η………………………………………………2分 七、（本题满分12分）
解：(1)由题意可知 λ
λ1
);()(=
=⎰+∞
∞
-dx x f X E …………………………………2分
令 11A m =，即X =λ
1
，…………………………………………………………2分
可得X 1=
λ，故λ的矩估计量为 X
1ˆ=λ………………………………………2分 （2） 总体X 的密度函数为⎩⎨⎧<≥=-0,
00
,);(x x e x f x λλλ……………………1分
∴ 似然函数 ⎪⎩
⎪⎨⎧≥=∏=-其它
，00
,,)(211
n n
i x x x x e L i
λλλ，……………………………2分
当),2,1(0n i x i =≥时，取对数得 ∑=-=n
i i x n L 1
ln )(ln λλλ，…………………1分
令
01)(ln 1=-=∑=n i i x n d L d λλλ，得x
1
=λ………………………………………1分 ∴ λ的极大似然估计量为 X
1ˆ=λ
………………………………………………1分 八、（本题满分12分）
解：由题意，要检验假设 18:;18:10≠=μμH H ……………………………2分
因为方差未知，所以选取统计量 n
S X T 0
μ-=
…………………………………2分 又 306.2)8(,5.12,21,9,18975.00=====t s x n μ……………………2分
得统计量T 的观测值为 55.23
5.1218
21≈-=
t ……………………………………2分
)8(975.0t t > ，即落入拒绝域内，……………………………………………2分
∴ 能以95%的概率推断该市犯罪的平均年龄不是18岁。

……………………2分
2009-2010 学年第 一 学期末考试试题3（A 卷）概率论与数理统计
本试卷中可能用到的分位数：
0.975(8) 2.3060t =，2622.2)9(975.0=t ,0.975 1.96u =，0.9 1.282u =
一、填空题（本题满分15分，每空3分）
1、设111
(),(|),(|)432
P A P B A P A B ===，则)(B P = 。

2、设随机变量X ~)1,0(N ，)(x Φ为其分布函数，则)()(x x -Φ+Φ=__________。

3、设随机变量X ~)5(E (指数分布)，其概率密度函数为50
5,()00,x x e f x x ->⎧=⎨≤⎩,用切比雪
夫不等式估计{}2P X EX -≥≤ 。

4、设总体X 在(1,1)μμ-+上服从均匀分布，则参数μ的矩估计量为 。

5、设随机变量X 的概率密度函数为 1
,[0,1]32
,
[3,6]()90,.
x x f x ⎧∈⎪⎪⎪∈=⎨⎪⎪⎪⎩
若若其他 若k 使得{}2/3P X k ≥=，则k 的取值范围是__________。

二、单项选择题（本题满分15分，每题3分）
1、A 、B 、C 三个事件不都．．
发生的正确表示法是（ ）。

（A ）ABC （B ） ABC （C ）A B C ⋃⋃ （D ）A B C ⋃⋃
2、下列各函数中是随机变量分布函数的为（ ）。

（A ）+∞<<∞+=x x x F －,11)(21 （B ）200()0
1x F x x
x x
≤⎧⎪=⎨>⎪
+⎩
（C ）-3()e ,-x F x x =∞<<+∞ （D ）431()arctan ,-42F x x x π=+∞<<+∞
3、设1)(=X E ，()2D X =，则=+2)2(X E （ ）。

（A ）11 （B ）9 （C ）10 （D ）1
4、设0121,,,X X X 是来自总体），90(~N X 的一部分样本，则210
22
1X 3X
X +服从
（ ）。

（A ）)1,0(N （B ）)3(t （C ）)9(t （D ）)9,1(F
5、设总体X ～),(2σμN ，其中2σ已知，)(x Φ为)1,0(N 的分布函数，现进行n 次独立
实验得到样本均值为x ，对应于置信水平1-α的μ的置信区间为x x εε-+（，），则ε由
（ ）确定。

（A
）1/2ασ⎛Φ=- ⎝⎭ （B
）1/2αεσ⎛Φ=- ⎝⎭ （C
）1ασ⎛Φ=- ⎝⎭ （D
）
αΦ=⎝⎭
三、（本题满分12分）某地区有甲、乙两家同类企业，假设一年内甲向银行申请贷款的概率为0.3，乙申请贷款的概率为0.2，当甲申请贷款时，乙没有申请贷款的概率为0.1；
求：（1）在一年内甲和乙都申请贷款的概率？
（2）若在一年内乙没有申请贷款时，甲向银行申请贷款的概率？
四、（本题满分12分）设随机变量X 的概率密度函数为(1)01
()0kx x x f x -<<⎧=⎨⎩其它, 其中
常数0>k ，
试求：（1）k ；（2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-212
1
X P ；（3）分布函数()F x .
五、（本题满分12分）设随机变量X 与Y 相互独立，其分布律分别为
律；
求：（1）()Y X ,的联合分布
⎪⎭
⎫ ⎝⎛Y
X
E . （2）Y
X
Z =
的分布律； （3）六、（本题满分12分）设()Y X ,的联合概率密度为
()其他
1
0,100)1(,<<<<⎩
⎨
⎧-=y x y
x A y x f ,
（1） 求系数A ;
（2） 求X 的边缘概率密度()x f x ，Y 的边缘密度()y f y ；
（3） 判断X 与Y 是否互相独立； （4） 求{}1P X Y +≤.
七、（本题满分12分）
正常人的脉搏平均72次/每分钟，现在测得10例酏剂中毒患者的脉搏，算得平均次数为67.4次，样本方差为25.929。

已知人的脉搏次数服从正态分布，试问：中毒患者与正常人脉搏有无显着差异（
0.05α=）
八、（本题满分10分）1．已知事件A 与B 相互独立，求证A B 与也相互独立.
2. 设总体X 服从参数为λ的泊松分布，1,
,n X X 是X 的简单随机样本，已知样本方差
2S 是总体方差的无偏估计，试证：
()
22
1
S X +是λ的无偏估计. 2009-2010 学年第 一 学期期末考试试题答案及评分标准3（A 卷）概率论与数理统计
一、填空题（本题满分15分，每小题3分）
1、
61； 2、1；3、100
1
；4、X ；5、[]31，
二、单项选择题（本题满分15分，每小题3分）
1、D ；
2、B ；
3、A ；
4、C ；
5、A
三、（本题满分12分）
解：A ={甲向银行申请贷款 } B ={乙向银行申请贷款}
（1）
()()(()(1()))P A P B A P P AB A P B A ==-
3分
0.3(10.1)0.27=⨯-=
3分
（2）
()(|)
(|)()
P A P B A P A B P B =
3分
380
=
3分 四、（本题满分12分）解 （1） 由⎰⎰⎰+∞
∞
-=-=-==1
1
26/)()1()(1k dx x x k dx x kx dx x f .
得 6k =
.
3分
（2）⎰=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-21
021)1(6212
1
dx x x X P
3分
（3）()⎰∞
-=x
dt t f x F )(
2分, 当0≤x 时 =)(x F 0 1分
当10<<x 时，=
)(x F 320
23)1(6x x dx x x x
-=-⎰
1分
当1≥x 时 =)(x F
1
1
分
230,0()32,011,1x F x x x x x ≤⎧⎪
=-<≤⎨⎪>⎩
… 1分
五、（本题满分12分） （1）（X ，Y ）的联合分布为：
4分
（2） Y
X
Z =
的分布律为：
4
分
（3）⎪
⎭⎫
⎝⎛Y X E =1522
4分
六、（本题满分12分） 解：（1）由于1),(=⎰
⎰
+∞
∞-+∞
∞
-dydx y x f 2分
所以：212100
11[][]122A x x y -=,11
122
A ⨯⨯=, A =4 1分
（2）当10<<x 时，1
2100
1
()4(1)4(1)[]2(1)2x f x x ydy x y x =-=-=-⎰
所以：
⎩
⎨
⎧<<-=其他01
0)1(2)(x x x f X
2分
当10<<y 时，1
2100
1
()4(1)4[]22y f y x ydx y x x y =-=-=⎰
所以：⎩⎨⎧<<=其他0
1
02)(y y x f Y
2分
（3）所有的,(,)x y ∈-∞+∞，对于(),()()x y f x y f x f y =都成立
∴X 与Y 互相独立
2分
（4） {}1
1
14(1)x P X Y x dx
ydy -++≤=-⎰⎰
2分
2233410
12112[]2334x x x x x x =--++-11
242
=⨯= 1分 七、（本题满分12分） 解：由题意得，),(~2σμN X
H 0：720==μμ H 1：720=≠μμ
2分
)1(~/0
-μ-=
n t n
S X T 3分
0H 的拒绝域为{()}1/29W t t α-=>
3分
其中 929.5,4.67,10===S X n 代入
2622.2)9(453.2
10
/929.5724.67975.0=>=-=
t t
2分
所以，拒绝H
0 ，认为有显着差异。

2
分
八、（本题满分10分）
1 、 A 与B 相互独立 ()()()P AB P A P B ∴=） 1分
从而() ()P AB P A B =1()P A B =-
1[()()()]P A P B P AB =-+- 2分
因此：A 与B 相互独立 2分
2、X 服从参数为λ的泊松分布，则λλ==)(,)(X D X E
n
X D X E λ
λ=
=)(,)( 2分
λ=)(2S E ，22)(λλ+=
i X E ，故()
λ=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+221S X E ，
2分
因此()
22
1
S X +是λ的无偏估计. 1分
期末考试试题4
试卷中可能用到的分位数：0.975(25) 2.0595t =，0.975(24) 2.0639t =，0.975 1.960u =，
645.195.0=u
一、单项选择题（每题3分，共15分）
1、设()0.3P A =，()0.51P A B ⋃=，当A 与B 相互独立时，()P B =（ ）.
A. 0.21
B. 0.3
C. 0.81
D. 0.7
2、下列函数中可作为随机变量分布函数的是（ ）.
A. 11,01,()0,x F x ≤≤⎧=⎨⎩其它
B. 21,
0,(),01,1, 1.x F x x x x -<⎧⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
C. 30,0,(),01,1, 1.x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩
D. 40,0,(),01,2, 1.x F x x x x <⎧⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
3、设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则()E X =（ ）.
A.
14 B. 1
2
C. 2
D. 4 4、设随机变量X 与Y 相互独立，且~(0,9)X N ，~(0,1)Y N . 令2Z X Y =-，则()D Z =（ ）.
A. 5
B. 7
C. 11
D. 13
5、设12,,,n X X X 是来自正态总体2
(0,)X
N σ的一个样本，则统计量
2
2
1
1
n
i
i X
σ
=∑服从
（ ）分布.
A. (0,1)N
B. 2(1)χ
C. 2()n χ
D. ()t n
二、填空题（每题3分，共15分）
1、若()0P A >，()0P B >，则当A 与B 互不相容时，A 与B .（填“独立”或“不独立”）
2、设随机变量2~(1,3)X N ，则{24}P X -≤≤= .（附：(1)0.8413Φ=）
3、设随机变量(,)X Y 的分布律为：
则
a b += .
4、设
X 的方差为2.5，利用切比雪夫不等式估计
{|()|5}P X E X -≥≤ .
单位职工的医疗费服从2(,)N μσ，现抽查了5、某天，测得样本均值170x =
25
本方差2230S =，则职工每天医疗费均值μ
元，样
的置信水平为0.95的置信区间
为 .（保留到小数点后一位）
三、计算题（每小题10分，共60分）
1、设某工厂有,,A B C 三个车间，生产同一种螺钉，各个车间的产量分别占总产量的25%，35%和40%，各个车间成品中次品的百分比分别为5%，4%，2%，现从该厂产品中抽取一件，求：(1) 取到次品的概率；(2) 若取到的是次品，则它是A 车间生产的概率.
2、设连续型随机变量X 的分布函数为2e ,0,
()0,0x A x F x x -⎧->=⎨≤⎩
.
试求：(1) A 的值；(2) {11}P X -<<；(3) 概率密度函数()f x .
3、设二维随机变量(,)X Y 的分布律为：
（1）求X 与Y 的边缘分布律；
（2）求()E X ；
（3）求Z X Y =+的分布律.
4、设相互独立随机变量X 与Y 的概率密度函数分别为：
（1）求X 与Y 的联合概率密度函数(,)f x y ；（2）求11
{0,1}24
P X Y <<<<.
5、设总体X 的概率密度函数为：1,01,
()0,x x f x θθ-⎧≤≤=⎨⎩其它
其中，0>θ为未知参数. 12,,,n X X X 为来自总体X 的一个简单随机样本，求参数θ的矩
估计和极大似然估计.
6、已知某摩托车厂生产某种型号摩托车的寿命X （单位：万公里）服从2(10,0.1)N ，在采用新材料后，估计其寿命方差没有改变. 现从一批新摩托车中随机抽取5辆，测得其平均寿命为10.1万公里，试在检验水平0.05α=下，检验这批摩托车的平均寿命μ是否仍为10万公里
四、证明题（10分）设12,X X 是来自总体(,1)N μ(μ未知)的一个样本，试证明下面三个估计量都是μ的无偏估计，并确定哪一个最有效
1122133X X μ∧
=+，2121344X X μ∧=+，31211
22X X μ∧=+.
X 学年第 一 学期末考试试题5 概率论与数理统计
本试卷中可能用到的分位数：
3406.1)15(90.0=t ，3368.1)16(90.0=t ，7531.1)15(95.0=t ，7459.1)16(95.0=t
8413.0)1(=Φ ， 6915.0)5.0(=Φ ，5.0)0(=Φ
一、填空题 (每小题3分，本题共15分)
1、设,A B 为两个相互独立的事件, 且)()(,91
)(B A P B A P B A P ==，则
=)(A P 。

2、设随机变量X 的分布函数为00()sin 0212
x F x x x x ππ⎧⎪<⎪
⎪
=≤≤⎨⎪
⎪
>⎪⎩，则{||}6P X π<= 。

3、若随机变量),2(~p B X ，),3(~p B Y ，若9
5
}1{=
≥X P ，则=≥}1{Y P 。

4、设,,,n X X X ⋅⋅⋅12是n 个相互独立且同分布的随机变量，()i E X μ=，
()(,,,),i D X i n ==⋅⋅⋅812对于∑==n
i i X n X 1
1，根据切比雪夫不等式有
{4}P X μ-<≥ 。

5、设（12,X X ）为来自正态总体2~(,)X N μσ的样本，若122CX X +为μ的一个无偏估计, 则C = 。

二、单项选择题(每小题3分，本题共15分)
1、对于任意两个事件A 和B , 有()P A B -等于（ ）
（A ）()()P A P B - （B ）()()P A P AB -
（C ）()()()P A P B P AB -+ （D ）()()()P A P B P AB +-
2、下列)(x F 中，可以作为某随机变量的分布函数的是（ ）。

(A)⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<≤<=11108
.00
5.0)(x x x e x F x (B)⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
≥<≤--<=01
02sin 20)(x x x x x F ππ
(C)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=21212.0103.000)(x x x x x F (D)⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥<≤<≤<=61
654.0501.000
)(x x x x x x F
3、设离散型随机变量X 的分布律为{},(1,2,)k P X k b k λ===⋅⋅⋅，且b 0,>则λ为（ ）
（A ）大于零的任意实数 （B ）1b λ=+ （C ）1
1
b λ=
+ （D ）11
b λ=
- 4、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布, 则随机变量32Z X =-的数学期望为（ ）
(A)1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
5、设随机变量X 与Y 相互独立，都服从正态分布)3,0(2N ，）（921,,,X X X 和),,,(921Y Y Y 是分别来自总体X 和Y 的样本，则29
22
21
921Y
Y Y X X X U +++++=
服从（ ）
(A) )8(~t U (B) )9,9(~F U (C))9(~t U (D) )8(~2χU
三、（本题满分12分）某工厂有三部制螺钉的机器A 、B 、C ，它们的产品分别占全部产品的25%、35%、40%，并且它们的废品率分别是5%、4%、2%。

今从全部产品中任取一个，试求：（1）抽出的是废品的概率；（2）已知抽出的是废品，问它是由A 制造的概率。

四、（本题满分12分）设随机变量X 的概率密度函数为||(),()x f x Ae x -=-∞<<+∞，求:
（1）常数A; （2）}10{<<X P ；（3）X 的分布函数。

五、（本题满分12分）设(,)X Y 的联合概率密度函数为
()201,01
,0x y x y f x y --≤≤≤≤⎧=⎨
⎩
其它，试求：（1）,X Y 的边缘概率密度函数(),()X Y f x f y ；（2）判断,X Y 是否相互独立,是否相关。

六、（本题满分10分）设随机变量X 服从正态分布)2,3(2N ，试求:
(1) }52{≤<X P 。

(2) 求常数c , 使}{}{c X P c X P ≤=>。

(3) 若X 与Y 相互独立，Y 服从正态分布(2,4)N ，求(321)D X Y -+。

七、（本题满分12分）设总体),10(~p B X , 其中10<<p 为未知参数。

设12(,...,)n X X X 为来自总体X 的样本，求未知参数p 的矩估计与极大似然估计。

八、（本题满分12分） (1)从一批钉子中随机抽取16枚，测得其长度（单位：cm ）的均值125.2=x ，标准差01713.02==s s 。

假设钉子的长度),(~2σμN X ，求总体均值μ的置信水平为90.0的置信区间。

(2)设),(~211σμN X ，),(~2
22σμN Y ，X 与Y 相互独立，而）（m X X X ,,,21 和
),,,(21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的样本，若),(~b a N Y X -，求b a ,。

X 学年第一学期期末考试试题5答案及评分标准 概率论与数理统计
一、填空题（本题满分15分，每小题3分）
1、
32；2、12； 3、2719；4、1
12n
-；5、-1 二、单项选择题（本题满分15分，每小题3分）
2、B ；2、A ；
3、C ；
4、D ；
5、C
三、（本题满分12分）
解：设A 1={抽出的产品由A 制造}，A 2={抽出的产品由B 制造}，
A 3={抽出的产品由C 制造}, B={抽出的产品是废品} ······· 1分
由全概率公式：)()()(3
1
i i i A B P A P B P ∑==
4分
%%%%%=⨯+⨯+⨯255354402％ ().=
69
003452000
6分
由贝叶斯公式：)
()
()(11B P B A P B A P =
9分
)()()(11B P A B P A P ⋅=
%%⨯=255692000
().=25
036269
12分
四、（本题满分12分）解：（1） 由于||()1x f x dx Ae dx +∞
+∞
--∞
-∞
==⎰
⎰
2分
即 0
21x A e dx +∞
-=⎰ 故 1
2
A =
3分 （2）1
01{01}2x
P x e dx -<<=⎰ 5分 =
110.3162
e --≈ ······· 6分 （3）||
1()2
x
x F x e dx --∞=⎰
当0x <时，11
()22
x x x F x e dx e -∞==⎰ ·············· 9分
当0x ≥时，00111
()1222
x x x x F x e dx e dx e ---∞=+=-⎰⎰ ······· 12分
五、（本题满分12分）
解：（1）1
03(2)01
()(,)2
0X x y dy x x f x f x y dy +∞
-∞
⎧--=-≤≤⎪==⎨⎪⎩
⎰⎰
其它 ··· 2分 1
03(2)01()(,)2
0Y x y dx y y f y f x y dx +∞
-∞
⎧--=-≤≤⎪
==⎨⎪⎩
⎰⎰
其它 ······· 4分 （2）因为()()(,)X Y f x f y f x y ≠，所以X ，Y 不独立。

········ 5分
1035
()()()212X E X xf x dx x x dx +∞
-∞
==-=⎰⎰ ············· 7分
1035
()()()212
Y E Y yf y dy y y dy +∞
-∞
==-=⎰
⎰ ·············· 9分
11001
()(,)(2)6
E XY xyf x y dxdy dx xy x y dy +∞
+∞
-∞
-∞
==--=⎰
⎰
⎰⎰ ····· 11分
因为215
(,)()()()()0612
Cov X Y E XY E X E Y =-=
-≠，所以X 与Y 相关。

12分 六、（本题满分10分）解： (1) )2,3(~2N X
∴ }52{≤<X P =5328.0)5.0()1(=-Φ-Φ ············ 3分
（2）由}{}{c X P c X P ≤=>
有}{c X P ≤=0.5=)2
3
(
-Φc ················· 5分 302
3
=⇒=-∴
c c 7分 （3）(321)D X Y -+ =94DX DY + =52
10分
七、（本题满分12分）
解：（1）ˆˆ10,1010
X
EX p X p
p ==⇒= ············ 5分 (2)i i
i n
x x 10x 10
i 1
L(p)C p (1p)-==-∏ ·················· 7分 ln L(p)＝1
1
1
ln ln (10)ln(1)i n n n
x n i i i i i c x p n x p ===++--∑∑∏ ······· 9分
0110)
(ln 1
1
=---
=∑∑==p
x n p
x
dp
p L d n
i i
n
i i
⇒11ˆ1010
n i i X p x n ===∑ 12分
八、（本题满分12分）
解：(1)由置信区间)]1(,)1([2
12
1-+
--
-
-
n t
n
S X n t
n
S X αα ····· 3分
代入数值计算得]133.2,117.2[ ················· 5分
(2)21)(μμ-=-Y X E ···················· 8分
D )(Y X -)()(Y D X D +==
n
m
2
2
2
1σσ+
··············· 11分
=∴a 21μμ-,=
b n
m
22
2
1σσ+
. ················· 12分。