对非齐次偏微分方程的求解齐次边界条件下非齐次发展方程的混合问题

对非齐次偏微分方程的求解

齐次边界条件下非齐次发展方程的混合问题 （一）冲量定理法 （二）傅立叶级数法

齐次边界条件下非齐次场位方程的混合问题 （一）方程和边界条件同时齐次化 非齐次方程的求解思路

• 用分解原理得出对应的齐次问题 • 解出齐次问题 • 求出任意非齐次特解 • 叠加成非齐次解

方法一

冲量定理法

前提条件：除了方程为非齐次的外，其它定解条件都是齐次的(初始条件均取零值)。

基本思路：利用叠加原理将受迫振动的问题转化为（无穷多个）自由振动问题的叠加.

2000(,)0,0

(),()

tt xx x x l t t t u a u f x t u u u x u x φψ====⎧-=⎪⎪

==⎨⎪==⎪⎩ 试设

12u u u =+

22

211

2211

11,(,0)(,0)(),(),(0,)0,(,)0u u a t

x u x u x x x t

u t u l t ϕψ⎧∂∂=⎪∂∂⎪∂⎨

==⎪∂⎪

==⎩， ()22

222

22

22

22,,(,0)

(,0)0,0,(0,)0,(,)0

u u a f x t t

x u x u x t

u t u l t ⎧∂∂-=⎪∂∂⎪∂⎨==⎪∂⎪

==⎩.

物理意义：

在时间 0 — t ，可以把非齐次项（单位质量所受的持续作用力）看成许多前后相继（无穷多个）的“瞬时”力引起的物理过程的线性叠加。

22

222

0,0,(,),0,0

t t t x x l a t t

x f x d τ

τωωτωω

ττωω====⎧∂∂=>⎪∂∂⎪⎨==⎪⎪==⎩22

222

,0,(,),0,0

t t t x x l v v a t t

x v v

f x v v τ

τττ====⎧∂∂=>⎪∂∂⎪⎨==⎪⎪==⎩

相应的，我们也可以把位移(,)u x t 也表示为

20(,)(,;)d t

u x t v x t ττ=⎰，

则(,;)v x t d ττ就应当是瞬时力所产生的位移.更进一步说，(,,)v x t τ就是定解问题

22

222

0,0,(,),0,0

t t t x x l a t t

x f x d τ

τωωτωω

ττωω====⎧∂∂=>⎪∂∂⎪⎨==⎪⎪==⎩ 22

222

,0,(,),0,0

t t t x x l v v a t t

x v v

f x v v τ

τττ====⎧∂∂=>⎪∂∂⎪⎨==⎪⎪==⎩

的解.非齐次项只存在于τ时刻，其全部效果只是使得弦在τ时刻获得一个瞬时速度.

那么由偏微分方程的积分

22

0002

2

20

00(,)()v v dt a dt f x t d t x ττττ

τττδττ+++---∂∂-=-∂∂⎰⎰⎰

推导出

(,,)

(,)t v x t f x t

τττ=+∂=∂

令 1t t τ=-

则定解问题就可以写成这种形式（0t τ=+简写成t τ=）

11122

22210

00,0,(,),

0,0

t t t x x l v v a t t x v v f x v v ττ====⎧∂∂=>⎪∂∂⎪⎨==⎪⎪

==⎩

在运算过程中，十分需要注意的是，瞬时力的重复计算，不能把瞬时力既算入定解方程的其次项内，又算入初速度内！

总结一下，在上面的过程中，冲量定理就把求解非齐次方程、齐次边界条件以及齐次初条件的定解问题转化成了对齐次方程、齐次边界条件的定解问题的求解，最后将其叠加

111(,)()sin sin n n n n a n v x t B t x l l ππτ∞

=⎛

⎫= ⎪⎝

⎭∑

()1(,)()sin sin n n n n a n v x t B t x l l ππττ∞

=⎛⎫

=- ⎪

⎝

⎭∑ 其中 0

2

()(,)sin

d l

n n B f n a l

π

τξτξξπ=

⎰ 20

1

(,)(,;)()sin

()sin d t

t

n n n a n u x t v x t d B t x l l

ππ

τττττ∞

===-∑⎰⎰

11

(,)(cos

sin )sin (1,2,3,)n n n n a n a n u x t C t D t x n l l l

πππ

∞

==+=∑L 12u u u =+

例题1

求定解问题

22

2022sin u u a A t t x

ω∂∂-=∂∂， 0x l <<， 0t >， 00x u ==， 0x l u ==， 0t ≥，

00t u ==，

0t u t

=∂=∂， 0x l ≤≤,

其中，a 、0A 、ω均为已知常数

解：用冲量定理法进行求解，此时的(,;)v x t τ应当满足定解问题

22

222

v v a t x ∂∂=∂∂， 0x l <<， t τ>， 00x v ==， 0x l v ==， t τ≥， 0t v τ==，

0sin t v

A t

τ

ωτ=∂=∂， 0x l ≤≤，

即可得出定解问题的一般解

1(,;)sin ()cos ()sin n n n n n n v x t C a t D a t x l l l πππτττ∞

=⎡⎤

=-+-⎢⎥⎣

⎦∑

根据题意条件可得

0n D =，

002022sin sin

1(1)sin ()l

n n A l n C A xdx n a

l n a

π

ωτωτππ⎡⎤=

=--⎣⎦⎰ 所以，综上可得 0

(,)(,;)t

u x t v x t d ττ=⎰

0220

0412121

sin sin sin ()(21)t n A l n n x a t d a n l l

πωτπττπ∞=++=•-+∑⎰ []2

022

22

041121

sin (21)(21)()

n A l n x a

n l n a l πππω∞

=+=++-∑ 21(21)sin ()sin

n n a l at l πωτωπ+⎡⎤

⨯+-⎢⎥⎣

⎦

方法二：