利用导数研究函数的极值和最值问题

利用导数研究函数的极值和最值问题

1•禾U用导数研究函数的极值的一般步骤：

(1)确定函数的定义域.

(2)求f(X)•

(3)①若求极值，则先求方程f(X) 0的全部实根，再检验f(X)在方程根的左右两侧

值的符号，求出极值．(当根中有参数时，要注意讨论根是否在定义域内)

②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f (X) 0 的根的大小或存在情况，从而求解．

2 •求连续函数y f (x)在a,b上的最大值与最小值的步骤：

(1)求函数y f (x)在a,b内的极值；

(2)将函数y f (x)的各极值与端点处的函数值f(a) , f(b)比较，其中最大的一个

是最大值，最小的一个是最小值 .

例 1.(2018 北京 ,18,13 分 ) 设函数f(x) ax2 4a 1 x 4a 3 e x.

(1) 若曲线y f (x)在点1, f 1处的切线与x轴平行，求a；

(2) 若f(x) 在x 2处取得极小值 , 求a 的取值范围 .

解析 (1) 因为f (x) ax2 4a 1 x 4a 3 e x,

所以f (x) ax2 2a 1 x 2e x，f (1) 1 a e.

由题设知 f '(1)=0, 即1 a e 0,解得a 1.

此时f(1) 3e 0.所以a的值为1.

⑵由(1) 得f (x) 2 ax 2a 1 x 2e x ax 1 x 2 e x.

若a 1

5 则当x 丄2 时f (x) 0;

2 a

当x 2, 时, f (x) 0.所以f (x)在x 2处取得极小值.

若a 1

5 则

x 0,2 时, x 2 0, ax 1

1

x 1 0 ,所以f (x) 2 2

所以2不是f (x)的极小值点•

1

综上可知，a的取值范围是-, 。

2

方法总结：函数极值问题的常见类型及解题策略

(1) 已知导函数图象判断函数极值的情况•先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧导数的符号•

(2) 已知函数求极值.求f '(x) T求方程f '(x)=0 的根T列表检验 f '(x) 在f '(x)=0 的

根的附近两侧的符号T下结论•

(3) 已知极值求参数.若函数f(x)在点(x0,y0)处取得极值，则f '(x0)=0,且在该点左、右

两侧导数值的符号相反•

例 2.(2017 北京,19,13 分)已知函数f(X) e x cosX X.

(1) 求曲线y f(x)在点0, f(0)处的切线方程；

(2) 求函数f (x)在区间0,—上的最大值和最小值.

2

解析本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性、最值.

(1)因为f (x) e x cosx x,

1 ,最小值为f 一

2

又因为f(0) 1,所以曲线y f(x)在点0, f (0)处的切线方程为y 1.

⑵设 h(x) e x cosx sinx 1,

则 h (x) e x cosx si nx si nx cosx 2e x s inx .

当x 0, 时,h (x) 0,所以h(x)在区间0,

上单调递减

2 2

所以对任意x 0,—有h(x) h(0) 0,即f (x) 0.

2

所以函数f(x)在区间0 —上单调递减

，2

因此f (x)在区间0,— 上的最大值为f(0)

2

解题思路：

(1)先求导，再利用导数的几何意义求出切线的斜率

，最后利用点斜式求出切线方程。

⑵设h(x) e x cosx si nx 1,对h(x)求导，进而确定h(x)的单调性，最后求出最值

方法总结

1. 求切线方程问题：

(1) 根据导数的几何意义求出指定点处的导数值 ，即切线的斜率；

(2) 求出指定点处的函数值;(3)求出切线方程.

2. 利用导数研究函数的单调性

：

(1)求出函数f (x)的定义域；

⑵求出函数f (x)的导函数f (x);

⑶令f(X) 0得到f (x)在定义域内的单调递增区间；令f (x) 0得到f (x)在定义域

内的单调递减区间

例 3.(2014 北京，18,13 分,已知函数f(x) xcosx sinx,x 0 —. ，2

(1)求证:f (x) 0;

sin x

⑵若a b，对x 0, 恒成立，求a的最大值与b的最小值.

x 2

解析 (1)由f (x) xcosx sin x 得f (x) cosx xsinx cosx xsin x.

因为在区间

% 上f (x)xsin x 0 ,所以f (x)在区间

0 —上单调递减.

，2

从而f (x) f(0) 0.

(2)当x 0时，“ sin x a ”等价于“ sin x ax 0

” , “

sin x b ”等价于x x

“ sinx bx 0 ” .

令g(x) sin x cx ,贝U g (x) cosx c.

当c 0时,g(x) 0对任意x 0,

2 恒成立.

当c 1时，因为对任意x 0, , g (x) cosx c 0 ,

2

所以g(x)在区间%上单调递减.从而g(x)g(o)0对任意x 0

,-恒成