平行线分线段成比例-- 知识讲解

平行线分线段成比例----知识讲解 【学习目标】 1、掌握平行线分线段成比例定理和三角形一边平行线的性质与判定定理，并会灵活应用.

2、经历运用类比思想针对图形运动的不同位置分别探究的过程,初步领略运用运动观点、化归和分类讨论等思想进行数学思考的策略.

3. 认识事物的一般规律是从特殊到一般，并能欣赏数学表达式的对称美.

【要点梳理】

要点一、一组等距离的平行线截直线

两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.

当 l 1∥l 2∥l 3，AB=BC 时，则有DE=EF .

要点诠释： 常用的比例式:

AB DE BC EF = AB DE AC DF = BC EF AB DE = BC EF AC DE

= 要点二、一组不等距的平行线截直线

两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.简称为平行线分线段成比例.

要点诠释：当两线段的比是1时，即为平行线等分线段定理，可见平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理特殊情况，平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推广.

要点三、平行于三角形一边的直线的性质

平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例.

要点诠释：

(1)主要的基本图形：分A 型和X 型；

A 型 X 型

（2）常用的比例式：,,AD

AE

AD AE DB EC

DB EC AB AC AB AC ===.

【典型例题】

类型一、三角形一边的平行线性质定理

1. （2014•虹口区一模）如图，若AB ∥CD ∥EF ，则下列结论中，与AD

AF 相等的是（

）

A. AB

EF CD EF C .BO OE D.BC

BE

【答案】D.

【解析】根据AB ∥CD ∥EF 得到：AD BC

AF BE =.

故选：D ．

【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段． 举一反三

【变式】如图,在⊿ABC, DG ∥EC, EG ∥BC,求证:2AE AB AD =⋅

【答案】∵DG ∥EC,∴AD AG

AE AC =,

∵EG ∥BC,∴AE AG

AB AC =, A

B C

D

E G

∴AD AE AE AB

=, 即2AE AB AD =⋅.

类型二、一组不等距的平行线截直线

2. （2014•湖里区模拟）如图，直线l 1∥l 2∥l 3，若AB=2，BC=3，DE=1，则EF 的值为（ ）

A. 23

B. 32

C. 6

D. 16 【思路点拨】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再代入求出即可．

【答案】B.

【解析】∵直线l 1∥l 2∥l 3，

∴AB DE BC EF

=， ∵AB=2，BC=3，DE=1，

∴

213EF

=， ∴EF=32， 故选B ．

【总结升华】考查平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截的对应线段成比例．

类型三、平行于三角形一边的直线的性质定理

3. 如图，AM 是△ABC 的中线，P 是AM 上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交AC 、AB 于E 、D 两点.求证：DE ∥BC.

【答案与解析】延长AM 到H ，使HM=MP ，连接BH 、CH,

∵BM=MC,

∴四边形BPCH 是平行四边形.

∵BH ∥CD ，CH ∥BE,

在△ABH和△ACH中，

有AD AP AE AB AH AC

==，

∴DE∥BC.

【总结升华】平行线所截得的对应线段成比例，而两条平行线中的线段与所截得的线段不成比例.

举一反三

【变式】如图，在△ABC（AB＞AC）的边AB上取一点D，在边AC上取一点E,使AD=AE,直线DE和BC

的延长线交于点P,求证：BP BD CP CE

=.

【答案】过点C作CF∥AB交DP于点F,

∵CF∥AB，∴∠ADE=∠EFC.

∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=∠FEC,

∴∠EFC=∠FEC.

∴CF=CE.

∵CF∥AB,

∴BP BD CP CF

=,

即BP BD CP CE

=.

4. ．如图已知△ABC中AB=AC，AD⊥BC，M是AD的中点，CM交AB于P，DN∥CP交AB于N，若AB=6cm，求AP的值.

【答案与解析】∵AB=AC，AD⊥BC,

∴BD=DC.

∵DN∥CP,

∴BN=NP又AM=MD.

∴AP=PN==2(cm).

【总结升华】此题利用平行线分线段成比例定理，结合中点定义找出线段的比值，进而求出线段的长. 举一反三

【变式】如图，AD∥EF∥BC,AD=12cm，BC=18cm，AE:EB=2:3，求EF的长.

【答案】过点D作DN∥AB,交EF于点M,交BC于点N，

∵AD∥EF∥BC，

∴AE DM MF AB DN NC

==,

∴2

=

518126

MF MF

=

-

,

∴MF=12

5

，

即EF=EM+MF=12+12

5

=14.4（cm）.