4.1 图论基础pdf
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若n-1成立 则m=n-2 则对n:•端度数至少为1 d(vi)≥1 •所有端不能全为 d(vi)≥2 •至少有1个端为 d(vi)=1 •移去此端及其关联边,留下仍为树,此 时有n-1 端(m=n-2) 所以对 n 有m=n-1
院
树枝:树上的边(branch)
件 学 课 程 》 工 础 息 基 信 论 与 理 信 网 通 智 信 学 任 通 大 《 电 邮 连枝—主树外任一边称主树的连枝 庆 连枝集—树补(Cotree),不同主树对应不同连枝集 重
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某些子集(端集或边集) 联结图→去掉此类子集→变为不联结 非联结图→去掉此类子集→其部分数增加
院
2、 割边集与割集 联结图G的边子集S’,去掉S’使G为不联结,称S’为割边集；
件 学 若S的任一真子集不具割的性质，称S为割集。 课 程 最小化： 》 工 础 息 S: minimal{e:G-{e}为不联结} 信 min——再减边,非割, 基 论 与 mal——再加边,真子集割 理 信 更一般化,对任意G: ρ(G)-ρ(G-S)=1 网 通 智 信 学 任 通 大 最小割集——割集中边数最少的 《 电 结合度——最小割集的边数,表示联通度, 邮 庆 结合度↑∼联通度好 重
24
院
主树: (Spainning Tree) 考虑T是G的子图，若T⊂G,且T包含G的所有端, 称T是G的主树. •只有联结图才有主树,反之有主树的图必为联结图 •一般主树不止一个,至少一个 •主树上任二端间添加一条树支以外的边, 则形成环(circuit)
•图的阶与空度
件 学 课 程 》 工 阶—主树树枝数=|T|=n-1=ρ—表示主树大小； 础 息 基 信 论 与 空度—主树之连枝数=|G-T|=m-n+1=μ 理 信 空度表示主树覆盖图的程度 网 通 智 信 学 任 •μ↑—连枝多，联结性更好 通 大 •μ↓—主树覆盖程度高 《 电 邮 •μ=0，G本身即为主树 庆 重
1 2 n 1 2 m
R
院
ij
i
j
2
无向图: viRvj等价于vjRvi (eij=eji) 有向图: viRvj不等价于vjRvi 空图： V=φ(此时E必为空集) 孤立点图：E=φ,V≠φ 有限图：V,E均为有限元，∣V∣,∣E∣≠∞ 无限图：V,E无限元 图的几何表示： 端 — 点 边 — 线（不一定直线） 端—端有边——邻接 vi与vj邻接：有边 端—边相连——关联 eij与vi关联
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院
课 程 》 工 e e e e 础 息 基 信v v v 论 与 理 信 网 通 智 图的运算： 信 学 任 设A={e ，e }, e =（v ，v ）, e =（v ，v ） 通 大 《 电 设B={e ，e }, e =（v ，v ）, e =（v ，v ） 邮 庆 重
v1
v2
v1 件
学
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院
径：无重边，无重端的边序列 •径是无环的链（每边、每端只能出现一次） •除起止端外，其他各端度数均为2 •即网中的路径、路由
联结图：任何二端间至少存在一条径的图 非联结图→分为几个最大联结子图→即几个“部 分” “最大联结子图”—此图加一个属原图而不属此 图的元素则此图不联结—即部分 G=A∪B∪C=A+B+C
1
n n
2 n −1 − n
5
院
7
件 学 子图：若A的端集与边集分别为G的端集与边 课 程 》 集的子集，则A为G的子图。 工 础 息 基 信 论 与 若A⊂G，且A≠G，则A为G的真子集 理 信 真子集---G中至少有一个元素不在A内 网 通 智 信 学 若A=G，则A⊃G，A⊂G 任 通 大 《 电 邮 庆 重
3
件 学 课 程 》 工 础 息 基 信 论 与 理 信 网 通 智 信 学 任 通 大 《 电 邮 庆 重
院
件 学 也可为 课 程 》 工 有权图：通常对边与端附于一定权值，表示某 础 息 种性质。赋之值—权值， 基)...... 信 权——权不限于一个f (v ),f (v 与 论 理 信 如：距，代价，流量，容量，转接容量...... 网 电流，电位...... 通 智 信 学 任 对通信网：端（站，局）；边（信道） 通 大 运输网： 车站 路 《 电 邮 排水系统：泵源 管道 庆 逻辑思维：状态 转移 重
院
主树T={ e1 e6 e3 e4 } 连枝：e2 , e5 e1 基本割集： （ e1 , e5）, ( e6 , e2 , e5 ) , e5 e3 , e2 ) , ( e4 , e5 ) (
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院
件 学 课 程 》 工 e 础 息 e 基 信 论e 与 理 信e e 网 通 智 信 学 e任 通 大 《 电 或： 邮 基本割集—是含主树T之一个树枝的割集。 庆 重
1 2 6 3 5 4
29
3．基本割集与基本环（讨论联结图） 1）设T为联结图G的一个主树，取主树的一边（ 枝）与某些连枝，定可构成割集，此割集称为 基本割集。
vi ∈v i v j ∈v1 j vk ∈v2 k j
11
2）奇度数端有偶数个（或0个） 将端集分为：v1——奇度数端集 v2——偶度数端集 v= v1∪v2
院
件 学 边序列：相邻二边有公共端的边的串序排列（有 课 程 限） (v ,v ), (v ,v ), (v ,v 》 ),…… 工 v ), (v , 础 息 边序列中，边可重复出现——重边 基 信 端可重复出现——重端 论 与 理 信 网 通 智 信 学 任 通 大 《 电 邮 庆 重
院
正则图：所有端度数都相同的联结图 d(vi)=常数（i=1,2,…n） •联结性最均匀的图 •无重边的全联结图是正则图，其d(v)=n-1 •正则图不一定是全联结图
件 学 课 程 》 工 础 息 基 信 论 与 理 信 网 通 智 信 学 任 通 大 《 电 邮 d(v)=2 非正则 d(v)=3 庆 重
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院
四、割(cut)
件 学 课 程 》 工 础 息 种类:割端集与割边集 基 信 论 与 理 信 1、 割端与端集 网 通 智 割端: V,去掉V(连同其关联边),使G的部分数增加。有的 信 学 任 联结图无割端——不可分图(网有意义) 通 大 割端集:几个端具有割性质。有最小化问题 《 电 最小割端集：最小化的割端集,其真子集不割 邮 图的联结度：最小割端集的端数目 庆 重
22
院
树的概念与性质在网中运用是十分重要的. 定义:任何二端有径且只有一条径的图称为树. 性质: 1.树是最小联结网.最小:去一边则不联结 2.树中定无环.据定义:二端只一径 3.m=n-1 (m:树的边数, n:端数)
件 学 课 程 》 工 础 息 基 信 论 与 理 信 网 通 智 信 学 任 通 大 4.除单点树，至少有两个度数为1的端 《 电 邮 庆 重
i + i i i i + i i i
m i =1
院
10
件 学 课 程 》 工 础 息 基 信 论+ 与(v ) = 2m ∑ d (v ) = ∑ d (v ) 信 d 理 ∑ 网 通 智 信 学 任 偶数 偶数 ↑ 通 ∴大 定为偶数 《 电 邮 但v 为奇度数端 庆 重 其个数定为偶数 ∴
v2 v3 件
学
院
二、 图的联结性
件 学 端度数：与该端关联的边数，记为：d(v ) 程 课 工 有向图：d (v )=离开v 的边数 》 础 息 d (v )=进入v 的边数 基 信 有：d(v )=d (v )+d论 (v ) 与 性质： 理 信 网 智 1)由定义而来： 通 信 学 任 任一边或与二端关联，或与一端关联（自环）。 通 大 所以每边均提供度数为2, 所以有下式 《 电 邮∑ d (vi) = 2m(= 2 E ) 庆 重
第四章 通信网结构
1
§1 图论基础
一、 基本定义
件 学 课 程 工 设端集V={v ,v ,……v } 》 础 息 边集E={e ,e ,…….e } 信 基 论E 与 V ×V ⎯ ⎯→ 理 信 网 通 智 信 =(v学) 任 e ,v 通 大 《 电 邮 图G是V，E及R的集合 庆 G={V,E}=V∪E=(V , E , R) 重
院
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1பைடு நூலகம்
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1
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件 学 程 v4》课 工v3 础 息 基 信 交：A∩B={e } 论 与1 v 理 ——A，B公共元 信 v3 网 通 智 素 信 学 任 通 大 《 =φ，则 电 若A∩B 邮 A∪B= A+B称直和 庆 重
1
8
并 ： A∪B={e1， e2， e3} ——A，B 所有元 素组成
1 2 2 3 3 4 i j
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链、径、环的定义
院
链：无重边的边序列 •链中每边只出现一次 •一般链中只有二个端度数为奇数（起止不 同端） •链可有环
件 学 课 程 》 工 础 息 基 信 论 与 理 信 网 通 智 信 学 任 通 大 《 电 邮 庆 重
13
院
件 学 课 程 》 工 础 息 基 信 论 与 理 信 网 通 智 环： 闭链 信 学 任 通 大 《 电 邮 庆 重
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院
对非联结图: 分成K个最大联结子图(K个“部分”),各有主树 K个主树集合—G的主林,其余的边为林补 •主林的边数——阶：ρ=n-k n=n1+n2+…+nk ρ=( n1-1)+ ( n2-1)+ …+ ( nk-1)=n-k •主林的连枝数———空度：μ=m-n+k
件 学 课 程 》 工 础 息 基 信 论 与 理 信 网 通 智 信 G学 任 n=11 通 大 m=12 《 电 邮 庆 重 k=3; ρ=11-3=8; μ=12-11+3=4
件 学 课 程 》 工 础 息 基 信 论 与 理 信 网 通 智 信 学 任 通 G大 A 《 电 邮 庆 B C 重
15
院
件 学 课 程 》 工 础 息 基 信 论 与 理 信 网 智 n=5的全联结图： 通 信 学 任 通 大 《 电 邮 庆 重
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全联结图：任何二端间有边（直通路由） •最完整的联结图 •对应全联结网 •边、端数之间固定关系 (无自环,无重边)
件 学 课 程 》 工 础 息 基 信 论 与 理 信 网 通 智 信 学 任 通 大 《 电 邮 庆 重
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院
件 学 课 程 》 工 础 息 基 信 E图去任何一边----M图 论 与 M图奇度端间加一边----E图 理 信 网 通 智 信 学 任 通 大 《 电 邮 庆 重
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M图:只有二个奇度数端的图 •不一定是联结的 •不可能一径走完 •充要条件:存在含全边的开链
1 1 2 2
4
有些应用场合，不许线交叉，不可画在平面图上（如印制 ，集成）——图的平面性。
院
件 学 3 课 程 如M序列,以 n=3为例，该序 》 2工 5 列周期为 2 =8 0 础 息 周期 2 为的序列有 2 种 基 信 论 4 6 对于n=3，共有2种，即： 与 理 信 网 通 智 1110100011101000 任 11100010111 信 学 通 大 76401253 765240137 《 电 邮 庆 2010.10.27 重
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院
件 学 课 程 》 Euler图 工 础 息 基 信 论 与 理 信 •联结欧拉图是一笔画图 网 通 智 信 学 任 通 大 《 电 非Euler图 邮 Euler图 庆 重
18
欧拉图(Euler): 端度数均为偶数的图 •不一定是联结图
院
•充要条件:联结欧拉图存在一个含全边的环(链) •二欧拉图的环和也为欧拉图
院
院 H图：哈密尔顿图(Hamrton)至少存在一个含全 件 学 课 程 端的环(Hamrton环) 》 工 •是联结图 础 息 基 信 •充要条件:存在一个含全端的环 论 与 理 信 网 通 智 这些图在图论中占有重要位置。 信 学 任 通 大 《 电 邮 庆 重
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三、树:
件 学 课 程 》 工 础 息 基 信 论 与 理 信 网 通 智 信 学 任 通 大 《 电 用数学归纳法可证: 邮 庆 对n=2(最少端)显然成立 重
v1
v2
院
课 程 》 工 v 环和：A⊕B= {e ，e } 础 v 息 基 信 ——属A或属B，但不同 论 与 属A与B(特有边) 信 v 理 v 网 通 智 信 学 任 注意：去端—同时去掉与 通 大 《 电 该端关联的所有边 邮去边—不去关联端 庆 重
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差：A-B={e2 } —属A但不属B之元素 A中去掉B的公共边
若n-1成立 则m=n-2 则对n:•端度数至少为1 d(vi)≥1 •所有端不能全为 d(vi)≥2 •至少有1个端为 d(vi)=1 •移去此端及其关联边,留下仍为树,此 时有n-1 端(m=n-2) 所以对 n 有m=n-1
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树枝:树上的边(branch)
件 学 课 程 》 工 础 息 基 信 论 与 理 信 网 通 智 信 学 任 通 大 《 电 邮 连枝—主树外任一边称主树的连枝 庆 连枝集—树补(Cotree),不同主树对应不同连枝集 重
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某些子集(端集或边集) 联结图→去掉此类子集→变为不联结 非联结图→去掉此类子集→其部分数增加
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2、 割边集与割集 联结图G的边子集S’,去掉S’使G为不联结,称S’为割边集；
件 学 若S的任一真子集不具割的性质，称S为割集。 课 程 最小化： 》 工 础 息 S: minimal{e:G-{e}为不联结} 信 min——再减边,非割, 基 论 与 mal——再加边,真子集割 理 信 更一般化,对任意G: ρ(G)-ρ(G-S)=1 网 通 智 信 学 任 通 大 最小割集——割集中边数最少的 《 电 结合度——最小割集的边数,表示联通度, 邮 庆 结合度↑∼联通度好 重
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主树: (Spainning Tree) 考虑T是G的子图，若T⊂G,且T包含G的所有端, 称T是G的主树. •只有联结图才有主树,反之有主树的图必为联结图 •一般主树不止一个,至少一个 •主树上任二端间添加一条树支以外的边, 则形成环(circuit)
•图的阶与空度
件 学 课 程 》 工 阶—主树树枝数=|T|=n-1=ρ—表示主树大小； 础 息 基 信 论 与 空度—主树之连枝数=|G-T|=m-n+1=μ 理 信 空度表示主树覆盖图的程度 网 通 智 信 学 任 •μ↑—连枝多，联结性更好 通 大 •μ↓—主树覆盖程度高 《 电 邮 •μ=0，G本身即为主树 庆 重
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无向图: viRvj等价于vjRvi (eij=eji) 有向图: viRvj不等价于vjRvi 空图： V=φ(此时E必为空集) 孤立点图：E=φ,V≠φ 有限图：V,E均为有限元，∣V∣,∣E∣≠∞ 无限图：V,E无限元 图的几何表示： 端 — 点 边 — 线（不一定直线） 端—端有边——邻接 vi与vj邻接：有边 端—边相连——关联 eij与vi关联
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课 程 》 工 e e e e 础 息 基 信v v v 论 与 理 信 网 通 智 图的运算： 信 学 任 设A={e ，e }, e =（v ，v ）, e =（v ，v ） 通 大 《 电 设B={e ，e }, e =（v ，v ）, e =（v ，v ） 邮 庆 重
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径：无重边，无重端的边序列 •径是无环的链（每边、每端只能出现一次） •除起止端外，其他各端度数均为2 •即网中的路径、路由
联结图：任何二端间至少存在一条径的图 非联结图→分为几个最大联结子图→即几个“部 分” “最大联结子图”—此图加一个属原图而不属此 图的元素则此图不联结—即部分 G=A∪B∪C=A+B+C
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n n
2 n −1 − n
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件 学 子图：若A的端集与边集分别为G的端集与边 课 程 》 集的子集，则A为G的子图。 工 础 息 基 信 论 与 若A⊂G，且A≠G，则A为G的真子集 理 信 真子集---G中至少有一个元素不在A内 网 通 智 信 学 若A=G，则A⊃G，A⊂G 任 通 大 《 电 邮 庆 重
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件 学 课 程 》 工 础 息 基 信 论 与 理 信 网 通 智 信 学 任 通 大 《 电 邮 庆 重
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件 学 也可为 课 程 》 工 有权图：通常对边与端附于一定权值，表示某 础 息 种性质。赋之值—权值， 基)...... 信 权——权不限于一个f (v ),f (v 与 论 理 信 如：距，代价，流量，容量，转接容量...... 网 电流，电位...... 通 智 信 学 任 对通信网：端（站，局）；边（信道） 通 大 运输网： 车站 路 《 电 邮 排水系统：泵源 管道 庆 逻辑思维：状态 转移 重
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主树T={ e1 e6 e3 e4 } 连枝：e2 , e5 e1 基本割集： （ e1 , e5）, ( e6 , e2 , e5 ) , e5 e3 , e2 ) , ( e4 , e5 ) (
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件 学 课 程 》 工 e 础 息 e 基 信 论e 与 理 信e e 网 通 智 信 学 e任 通 大 《 电 或： 邮 基本割集—是含主树T之一个树枝的割集。 庆 重
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3．基本割集与基本环（讨论联结图） 1）设T为联结图G的一个主树，取主树的一边（ 枝）与某些连枝，定可构成割集，此割集称为 基本割集。
vi ∈v i v j ∈v1 j vk ∈v2 k j
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2）奇度数端有偶数个（或0个） 将端集分为：v1——奇度数端集 v2——偶度数端集 v= v1∪v2
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件 学 边序列：相邻二边有公共端的边的串序排列（有 课 程 限） (v ,v ), (v ,v ), (v ,v 》 ),…… 工 v ), (v , 础 息 边序列中，边可重复出现——重边 基 信 端可重复出现——重端 论 与 理 信 网 通 智 信 学 任 通 大 《 电 邮 庆 重
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正则图：所有端度数都相同的联结图 d(vi)=常数（i=1,2,…n） •联结性最均匀的图 •无重边的全联结图是正则图，其d(v)=n-1 •正则图不一定是全联结图
件 学 课 程 》 工 础 息 基 信 论 与 理 信 网 通 智 信 学 任 通 大 《 电 邮 d(v)=2 非正则 d(v)=3 庆 重
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四、割(cut)
件 学 课 程 》 工 础 息 种类:割端集与割边集 基 信 论 与 理 信 1、 割端与端集 网 通 智 割端: V,去掉V(连同其关联边),使G的部分数增加。有的 信 学 任 联结图无割端——不可分图(网有意义) 通 大 割端集:几个端具有割性质。有最小化问题 《 电 最小割端集：最小化的割端集,其真子集不割 邮 图的联结度：最小割端集的端数目 庆 重
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树的概念与性质在网中运用是十分重要的. 定义:任何二端有径且只有一条径的图称为树. 性质: 1.树是最小联结网.最小:去一边则不联结 2.树中定无环.据定义:二端只一径 3.m=n-1 (m:树的边数, n:端数)
件 学 课 程 》 工 础 息 基 信 论 与 理 信 网 通 智 信 学 任 通 大 4.除单点树，至少有两个度数为1的端 《 电 邮 庆 重
i + i i i i + i i i
m i =1
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件 学 课 程 》 工 础 息 基 信 论+ 与(v ) = 2m ∑ d (v ) = ∑ d (v ) 信 d 理 ∑ 网 通 智 信 学 任 偶数 偶数 ↑ 通 ∴大 定为偶数 《 电 邮 但v 为奇度数端 庆 重 其个数定为偶数 ∴
v2 v3 件
学
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二、 图的联结性
件 学 端度数：与该端关联的边数，记为：d(v ) 程 课 工 有向图：d (v )=离开v 的边数 》 础 息 d (v )=进入v 的边数 基 信 有：d(v )=d (v )+d论 (v ) 与 性质： 理 信 网 智 1)由定义而来： 通 信 学 任 任一边或与二端关联，或与一端关联（自环）。 通 大 所以每边均提供度数为2, 所以有下式 《 电 邮∑ d (vi) = 2m(= 2 E ) 庆 重
第四章 通信网结构
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§1 图论基础
一、 基本定义
件 学 课 程 工 设端集V={v ,v ,……v } 》 础 息 边集E={e ,e ,…….e } 信 基 论E 与 V ×V ⎯ ⎯→ 理 信 网 通 智 信 =(v学) 任 e ,v 通 大 《 电 邮 图G是V，E及R的集合 庆 G={V,E}=V∪E=(V , E , R) 重
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件 学 程 v4》课 工v3 础 息 基 信 交：A∩B={e } 论 与1 v 理 ——A，B公共元 信 v3 网 通 智 素 信 学 任 通 大 《 =φ，则 电 若A∩B 邮 A∪B= A+B称直和 庆 重
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并 ： A∪B={e1， e2， e3} ——A，B 所有元 素组成
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链、径、环的定义
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链：无重边的边序列 •链中每边只出现一次 •一般链中只有二个端度数为奇数（起止不 同端） •链可有环
件 学 课 程 》 工 础 息 基 信 论 与 理 信 网 通 智 信 学 任 通 大 《 电 邮 庆 重
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件 学 课 程 》 工 础 息 基 信 论 与 理 信 网 通 智 环： 闭链 信 学 任 通 大 《 电 邮 庆 重
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对非联结图: 分成K个最大联结子图(K个“部分”),各有主树 K个主树集合—G的主林,其余的边为林补 •主林的边数——阶：ρ=n-k n=n1+n2+…+nk ρ=( n1-1)+ ( n2-1)+ …+ ( nk-1)=n-k •主林的连枝数———空度：μ=m-n+k
件 学 课 程 》 工 础 息 基 信 论 与 理 信 网 通 智 信 G学 任 n=11 通 大 m=12 《 电 邮 庆 重 k=3; ρ=11-3=8; μ=12-11+3=4
件 学 课 程 》 工 础 息 基 信 论 与 理 信 网 通 智 信 学 任 通 G大 A 《 电 邮 庆 B C 重
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件 学 课 程 》 工 础 息 基 信 论 与 理 信 网 智 n=5的全联结图： 通 信 学 任 通 大 《 电 邮 庆 重
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全联结图：任何二端间有边（直通路由） •最完整的联结图 •对应全联结网 •边、端数之间固定关系 (无自环,无重边)
件 学 课 程 》 工 础 息 基 信 论 与 理 信 网 通 智 信 学 任 通 大 《 电 邮 庆 重
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件 学 课 程 》 工 础 息 基 信 E图去任何一边----M图 论 与 M图奇度端间加一边----E图 理 信 网 通 智 信 学 任 通 大 《 电 邮 庆 重
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M图:只有二个奇度数端的图 •不一定是联结的 •不可能一径走完 •充要条件:存在含全边的开链
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有些应用场合，不许线交叉，不可画在平面图上（如印制 ，集成）——图的平面性。
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件 学 3 课 程 如M序列,以 n=3为例，该序 》 2工 5 列周期为 2 =8 0 础 息 周期 2 为的序列有 2 种 基 信 论 4 6 对于n=3，共有2种，即： 与 理 信 网 通 智 1110100011101000 任 11100010111 信 学 通 大 76401253 765240137 《 电 邮 庆 2010.10.27 重
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件 学 课 程 》 Euler图 工 础 息 基 信 论 与 理 信 •联结欧拉图是一笔画图 网 通 智 信 学 任 通 大 《 电 非Euler图 邮 Euler图 庆 重
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欧拉图(Euler): 端度数均为偶数的图 •不一定是联结图
院
•充要条件:联结欧拉图存在一个含全边的环(链) •二欧拉图的环和也为欧拉图
院
院 H图：哈密尔顿图(Hamrton)至少存在一个含全 件 学 课 程 端的环(Hamrton环) 》 工 •是联结图 础 息 基 信 •充要条件:存在一个含全端的环 论 与 理 信 网 通 智 这些图在图论中占有重要位置。 信 学 任 通 大 《 电 邮 庆 重
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三、树:
件 学 课 程 》 工 础 息 基 信 论 与 理 信 网 通 智 信 学 任 通 大 《 电 用数学归纳法可证: 邮 庆 对n=2(最少端)显然成立 重
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课 程 》 工 v 环和：A⊕B= {e ，e } 础 v 息 基 信 ——属A或属B，但不同 论 与 属A与B(特有边) 信 v 理 v 网 通 智 信 学 任 注意：去端—同时去掉与 通 大 《 电 该端关联的所有边 邮去边—不去关联端 庆 重
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差：A-B={e2 } —属A但不属B之元素 A中去掉B的公共边