边际成本和收益的计算

教学目的：理解边际分析含义，运用导数工具解决边际分析问题，培

养解决实际问题的能力。

教学重点：运用导数工具解决边际分析问题

教学难点：运用导数工具解决边际分析问题，计算收益最大化

教学内容：

一、 需求函数

需求函数表示的是某一特定时期内，市场上某种商品的各种可能的购买量和

决定这些购买量的诸因素之间的关系.假定其他因素（消费者的货币收入、偏好

和相关的商品价格等）不变，某种商品需求的决定因素就是这种商品的价格.这

时，需求函数表示的就是商品需求量和价格这两个经济变量之间的数量关系.

一般地，需求函数表示为)(P f Q = (0>P )

式中，Q 表示需求量，P 表示价格.需求函数)(P f Q =的反函数)(1Q f

P -=称为

价格函数，有时价格函数也称为需求函数.

一般情况下，当某一商品的价格下降时，消费者对这一商品愿意且能购买的

数量就会增加.因此，一般情况下需求函数应该是单调减少函数.

二、供给函数

供给函数表示的是在某一不变特定时期内，某种商品的各种可能的供给量和

决定这些供给量的诸因素之间的数量关系。假定生产技术水平、生产成本等其他

因素不变，某种商品的供给量的决定因素就是这种商品的价格.这时，供给函数

表示的是商品的供给量和价格这两个经济变量之间的函数关系.

一般地，供给函数表示为)(P g Q = (0>P )

其中Q 表示供给量，P 表示价格.

一般情况下，当某一种商品的价格上涨时，供给者（生产者或卖方）对这种

商品愿意而且能够提供的数量就会增加；反之，当某种商品的价格下降时，供给者对这种商品愿意而且能够提供的数量就会减少.因此，一般情况下供给函数应该是单调增加函数.

1.4.3成本函数

产品成本是以货币形式表现的企业生产和销售产品的全部费用支出.一般

地，以货币计值的成本C 是产量Q 的函数，称其为成本函数，记作)(Q C C = (0≥Q )

成本函数表示费用总额与产量之间的依赖关系，产品成本可分为固定成本

0C 和变动成本1C .所谓固定成本，就是在一定时期不随产量变化的那部分成本，当产量时，对应的成本函数值)0(C 就是固定成本值.所谓变动成本，就是随产量变化而变化的那部分成本1C ，记作)(11Q C C =.于是成本函数可表示为

)()(10Q C C Q C += 设为成本函数，称Q

Q C Q C )()(= (0>Q )为单位成本函数或平均成本函数. 三、收入函数与利润函数

销售某种商品的收入R 等于商品的单位价格乘以销售量Q ，即PQ R =

这个函数称为收益函数.

根据反映P ,Q 关系的需求函数)(p f Q =或)(1Q f P -=，收益函数可有两种

形式，即)()(1Q Qf Q R -=

或)()(p Pf P R =，又销售利润L 等于收入)(Q R 减去成本)(Q C ，即

)()(Q C Q R L -=这个函数称为利润函数.

四、边际分析

一、边际成本

例1：生产某产品Q 件时的总成本函数为

C （Q ）=500+0.04Q 2（百元）求产量为100件时的边际成本。

解：求边际成本，需要求函数函数C （Q ）=500+0.04Q 2的导

数.

25

2)(='Q C Q=0.08Q 所以，产量为100件时的边际成本为

810025

2)100(=⨯='C （百元）=800（元/件） 例2：求成本函数为

C （Q ）=0.001Q 3-0.3Q 2+40Q+2000

的边际成本函数，以及产量Q 分别为50、100、200时的边际成本，并指出它们的经济意义。

406.0003.0)(2+-='Q Q Q C

于是产量Q 分别为50、100、200时的边际成本分别为

5.174050

6.050003.0)50(2=+⨯-⨯='C

10401006.0100003.0)100(2=+⨯-⨯='C

40402006.0200003.0)200(2=+⨯-⨯='C

它们的经济意义是：在产量Q 分别为50、100、200的基础上再生

产一个单位产品，总成本的增加分别为17.5、10、40.

该边际成本函数在区间（0，100）内是单调下降的，在区间（100，+∞）内是单调上升的。由此说明，一方面，当产量小于100时，增加产量，边际成本下降，这是因为增加产量时可使生产能力得到充分利用，因而在（0，100）内，尽量扩大生产：另一方面，当增加产量时需要投资新的设备或增加工人的工作时间等，造成成本的升高。因而在生产管理中，边际成本的分析是一个不可忽视的问题。

二、边际收益

例设某产品的收益函数为R（Q）=200Q-0.01Q2（元）试求：（1）边际收益函数；

（2）产量Q分别为9000台、10000台、11000台时的边际收益，并说明其经济意义。

解：（1）边际收益函数Q

'

(-

=

)

Q

R02

.0

200

（2）20

'R（元）

(=

⨯

-

9000

=

)

02

9000

.0

200

'R（元）

⨯

-

=

(=

10000

02

.0

10000

200

)

'R（元）

=

⨯

-

=

(-

20

02

11000

.0

11000

200

)

其经济意义为：

当产量为9000台时，若再增加一台产品，收益增加20元；

当产量为9000台时，若再增加一台产品，收益没有增加；

当产量为9000台时，若再增加一台产品，收益减20元。

这说明，由于产品的收益受到多种因素的制约，收益并不是简单地与产品数量成正比，而是随着数量的增加，收益越来越大，大到