21____回归分析-2
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解：首先根据10名学生的成绩建立由初一的 数学成绩估计初二数学成绩的回归方程；将另一 学生的初一数学成绩代入方程，估计其初二成绩
Y 1 .2 X 2 1 .3 4 1 2 .2 7 2 1 6 .3 4 7 2 .4 8
表21-1
序号
1 2
10个学生初一与初二数学成绩回归系数计算表
X
需要注意的是，只能根据回归方程由 自变量估计因变量，而不能由因变量估计 自变量。这两种估计需要根据两条不同的 回归线。
还应注意，应用回归方程由自变量的 值估计因变量的值时，数据范围不应超过 原来样本数据的范围。
无论由Ｘ估计Ｙ还是由Ｙ估计Ｘ都有误
差产生。这一误差用误差的标准差来表示。
SYX
2．对因变量真值的预测
利用回归方程由自变量的值在一定概率意义 上估计出因变量的所在区间，只反映了与某自变 量的值相对应的那些因变量的值在回归值上下的 变异。 用回归方程计算出的回归值，并不是因变量 的真值。要预测其真值还需要考虑到各样本回归 方程之间的变异。
⑴．由自变量估计因变量真值的 误差标准误
用r 2表示。
r2
YˆY YY
2 2
SSR SST
（21．5）
例3：10名学生初一对初二年级数学成 绩回归方程方差分析计算中得到：
SST=268.1 SSR=163.724
则回归方程的测定系数为
r2SSR 16.73240.61 SST 26.18
r20.72 80.608
三．一元线性回归方程的应用
Y 1 .2 X 2 1 .3 4 1 2 .2 7 2 1 6 .3 4 7 2 .4 8
计算
2
置信 Y ˆp 区 td f2 间 SYX 11 n X X p X X2
2．对回归系数的显著性检验
H0：βபைடு நூலகம்０
检验统计量为 t
t bYX SE b
（21．3）
公式中SEb为回归系数的标准误，其计算公式为
SE b
SY2X 2
MES
2
XX XX
（21．4）
上述公式中
XX2X2X2 n
因此检验统计量的计算公式可写为：
tSbYE bXbYX
X2X2/n
MES
衡量由某一Ｘp值估计预测相应Ｙp值
的真值Ｙ0时所产生的误差指标，称为误差 标准误。它由两部分组成：一部分是对应
于Ｘp点的那些Ｙp值与回归值Yˆ p 的差异
即
S2 Yˆ p
；另一部分是各样本回归方程之间
的差异，即
S
2 YX
。
误差标准误可表示为
SYˆpY0 SY2XSY2ˆp
（21．7）
各回归值之间的标准差又可计算为
YYˆ 2 n2
当样本容量较大时，由Ｘ估计Ｙ的误差
的标准差可改写为
SYXSY 1r2
（21．6）
而由Ｙ估计Ｘ的误差的标准差则为
SXYSX 1r2
估计误差的标准差反映了实际Ｙ值在其 回归值 Yˆ 上下波动的范围。由这一标准差 的值，可判断由回归值Yˆ 对实际Ｙ值估计 的误差大小。
例4：根据10名学生初一和初二年级的数 学成绩。如果另有一名学生的初一数学成绩为 76，试估计他初二时的数学成绩会是多少？
2
SYˆp SYX 1nXXpXX2
（21．8）
将（21．8）式代入（21．7）式，则 估计误差标准误为：
2
SYˆpY0SYX 11 nXXp X X2
（21．9）
⑵．由自变量估计预测因变量真值 的置信区间
根据总体参数区间估计的原理，其真值的置 信区间应由公式（21．10）计算，计算公式为：
Y
X2
Y2
XY
74
76
5476 5776
5624
71
75
8041 5626
5325
3
72
71
5184 5041
5112
4
68
70
4624 4900
4760
5
76
76
5776 5776
5776
6
73
79
5329 6241
5767
7
67
65
4489 4225
4355
8
70
77
4900 5929
5390
9
2
置信 Y ˆp 区 td f间 SYX 2
11 n X X p X X2
dfn2
（21．10）
例5：根据10名学生初一和初二年级的数学 成绩。若另有一名学生的初一数学成绩为76， 试估计他初二时的数学成绩的真值是多少？
解：首先根据10名学生的成绩建立由初一的 数学成绩估计初二数学成绩的回归方程；然后根 据公式（21.10）估计其初二成绩的置信区间。
例1：10名学生初一对初二年级数学成绩的 回归方程，经计算，SST=268.1，SSR=163.724， 可算得：
S Y 2X ST n S S 2R S 2.6 1 1 1 8 0 2.6 73 2 14 .0 347
SYX 1.30473.612
可见回归方程的估计误差并不大。
dfn2
例2：对10名学生初一对初二年级数学成绩 的回归系数进行显著性检验，检验过程为
H0：β=０ H1：β≠０
统计量计算
tSbYE bXbYX
X2X2/n
MES
1.22 50527012/0103.542 1.3047
二．一元线性回归方程的评价 ──测定系数
一元线性回归方程中，总平方和等于回归平 方和与误差平方和之和：
回归方程主要是由自变量的值估计和预 测因变量的值。这里的估计预测包含两个 方面：一方面是用样本的回归方程推算因
变量的回归Yˆ值 ；另一方面是根据样本的
回归Yˆ 值 估计预测因变量的真值Ｙ。
1． 由样本回归方程 推算因变量的回归值
根据样本数据建立的回归方程经检验显 著，表明两个变量之间存在线性关系，这 时可将已知自变量的值代入回归方程式， 推算出因变量的估计值（回归值）。
Y Y 2 Y ˆ Y 2 Y Y ˆ2
两边同除以总平方和，得到 ：
YˆY2 YYˆ2
1
2
2
YY YY
由回归造成的平方和在总平方和中所占的 比例越大，该回归方程的回归效率就越高。
回归平方和在总平方和中所占的比例，称
为测定系数（coefficient of determination） ，
54
62
4225 3844
4030
10
74
72
5476 5184
5328
合计
710
723 50520 52541
51467
问题思考：
从表中可看到，Ｘ＝76时，Ｙ=76
而由回归方程计算得到的回归值为
Y
78.4
怎样解释回归值与实际Y值不同？
怎样理解估计误差的标准差？
SYX 1.30473.612
Y 1 .2 X 2 1 .3 4 1 2 .2 7 2 1 6 .3 4 7 2 .4 8
表21-1
序号
1 2
10个学生初一与初二数学成绩回归系数计算表
X
需要注意的是，只能根据回归方程由 自变量估计因变量，而不能由因变量估计 自变量。这两种估计需要根据两条不同的 回归线。
还应注意，应用回归方程由自变量的 值估计因变量的值时，数据范围不应超过 原来样本数据的范围。
无论由Ｘ估计Ｙ还是由Ｙ估计Ｘ都有误
差产生。这一误差用误差的标准差来表示。
SYX
2．对因变量真值的预测
利用回归方程由自变量的值在一定概率意义 上估计出因变量的所在区间，只反映了与某自变 量的值相对应的那些因变量的值在回归值上下的 变异。 用回归方程计算出的回归值，并不是因变量 的真值。要预测其真值还需要考虑到各样本回归 方程之间的变异。
⑴．由自变量估计因变量真值的 误差标准误
用r 2表示。
r2
YˆY YY
2 2
SSR SST
（21．5）
例3：10名学生初一对初二年级数学成 绩回归方程方差分析计算中得到：
SST=268.1 SSR=163.724
则回归方程的测定系数为
r2SSR 16.73240.61 SST 26.18
r20.72 80.608
三．一元线性回归方程的应用
Y 1 .2 X 2 1 .3 4 1 2 .2 7 2 1 6 .3 4 7 2 .4 8
计算
2
置信 Y ˆp 区 td f2 间 SYX 11 n X X p X X2
2．对回归系数的显著性检验
H0：βபைடு நூலகம்０
检验统计量为 t
t bYX SE b
（21．3）
公式中SEb为回归系数的标准误，其计算公式为
SE b
SY2X 2
MES
2
XX XX
（21．4）
上述公式中
XX2X2X2 n
因此检验统计量的计算公式可写为：
tSbYE bXbYX
X2X2/n
MES
衡量由某一Ｘp值估计预测相应Ｙp值
的真值Ｙ0时所产生的误差指标，称为误差 标准误。它由两部分组成：一部分是对应
于Ｘp点的那些Ｙp值与回归值Yˆ p 的差异
即
S2 Yˆ p
；另一部分是各样本回归方程之间
的差异，即
S
2 YX
。
误差标准误可表示为
SYˆpY0 SY2XSY2ˆp
（21．7）
各回归值之间的标准差又可计算为
YYˆ 2 n2
当样本容量较大时，由Ｘ估计Ｙ的误差
的标准差可改写为
SYXSY 1r2
（21．6）
而由Ｙ估计Ｘ的误差的标准差则为
SXYSX 1r2
估计误差的标准差反映了实际Ｙ值在其 回归值 Yˆ 上下波动的范围。由这一标准差 的值，可判断由回归值Yˆ 对实际Ｙ值估计 的误差大小。
例4：根据10名学生初一和初二年级的数 学成绩。如果另有一名学生的初一数学成绩为 76，试估计他初二时的数学成绩会是多少？
2
SYˆp SYX 1nXXpXX2
（21．8）
将（21．8）式代入（21．7）式，则 估计误差标准误为：
2
SYˆpY0SYX 11 nXXp X X2
（21．9）
⑵．由自变量估计预测因变量真值 的置信区间
根据总体参数区间估计的原理，其真值的置 信区间应由公式（21．10）计算，计算公式为：
Y
X2
Y2
XY
74
76
5476 5776
5624
71
75
8041 5626
5325
3
72
71
5184 5041
5112
4
68
70
4624 4900
4760
5
76
76
5776 5776
5776
6
73
79
5329 6241
5767
7
67
65
4489 4225
4355
8
70
77
4900 5929
5390
9
2
置信 Y ˆp 区 td f间 SYX 2
11 n X X p X X2
dfn2
（21．10）
例5：根据10名学生初一和初二年级的数学 成绩。若另有一名学生的初一数学成绩为76， 试估计他初二时的数学成绩的真值是多少？
解：首先根据10名学生的成绩建立由初一的 数学成绩估计初二数学成绩的回归方程；然后根 据公式（21.10）估计其初二成绩的置信区间。
例1：10名学生初一对初二年级数学成绩的 回归方程，经计算，SST=268.1，SSR=163.724， 可算得：
S Y 2X ST n S S 2R S 2.6 1 1 1 8 0 2.6 73 2 14 .0 347
SYX 1.30473.612
可见回归方程的估计误差并不大。
dfn2
例2：对10名学生初一对初二年级数学成绩 的回归系数进行显著性检验，检验过程为
H0：β=０ H1：β≠０
统计量计算
tSbYE bXbYX
X2X2/n
MES
1.22 50527012/0103.542 1.3047
二．一元线性回归方程的评价 ──测定系数
一元线性回归方程中，总平方和等于回归平 方和与误差平方和之和：
回归方程主要是由自变量的值估计和预 测因变量的值。这里的估计预测包含两个 方面：一方面是用样本的回归方程推算因
变量的回归Yˆ值 ；另一方面是根据样本的
回归Yˆ 值 估计预测因变量的真值Ｙ。
1． 由样本回归方程 推算因变量的回归值
根据样本数据建立的回归方程经检验显 著，表明两个变量之间存在线性关系，这 时可将已知自变量的值代入回归方程式， 推算出因变量的估计值（回归值）。
Y Y 2 Y ˆ Y 2 Y Y ˆ2
两边同除以总平方和，得到 ：
YˆY2 YYˆ2
1
2
2
YY YY
由回归造成的平方和在总平方和中所占的 比例越大，该回归方程的回归效率就越高。
回归平方和在总平方和中所占的比例，称
为测定系数（coefficient of determination） ，
54
62
4225 3844
4030
10
74
72
5476 5184
5328
合计
710
723 50520 52541
51467
问题思考：
从表中可看到，Ｘ＝76时，Ｙ=76
而由回归方程计算得到的回归值为
Y
78.4
怎样解释回归值与实际Y值不同？
怎样理解估计误差的标准差？
SYX 1.30473.612