数学模型在《一阶线性微分方程》教学中的应用实例
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分析 在解决微分方程的实际问题中, 首先要建模, 即建立描述实际问题的微分方程. 这不仅需要用数学知识, 而且需要用到相关学科的一些基本知识, 有时还要用到实际经验. 利用微分方程解决实际问题的步骤为:
第一步 分析实际问题, 根据它遵循的规律, 建立反映该问题的微分方程, 并写出相应 的初始条件;
第二步 求解微分方程; 第三步 根据所求得的解, 分析和解释相关问题的实际意义, 讨论某些性质和预测一些 现象. 解 第一步 建立模型 如图 1, 建立坐标系. 设绳索的最低点为 D, 取 y 轴通过点 D 铅直向上, x 轴水平向右, 且点 D 到原点 O 的距离为一定值 a (a≠0 待定). 由题意, 曲线在点 D 处的切线斜率为零. 设 M(x,y) 为绳索上任一点, DM 的弧长为 s, 绳索的线密度为 ρ, 分析点 M(x,y) 的受力情 况则有
v(t
)
=
mg k
⎛ ⎜1 − ⎝
−kt
em
⎞ ⎟ ⎠
令 t → +∞ 有 lim v(t ) = mg
t →+∞
k
可以看出，随着 t 的增大，速度 v(t) 接近常数 mg ，且不超过 mg 。即降落伞开始下降
k
k
时是加速运动，以后逐渐接近匀速运动。
例 2：车间通风问题
设一车间体积 Q = 10800m3 ，开始时空气中含有 0.12% 的 CO2 ，为保证工人健康，
Δu = CO2 的通入量 u1 − CO2 的排出量 u2
u1 = v * 0.04%Δt, u2 = v * x%Δt
Δu = Q(x(t + Δt)% − x(t)%) = QΔx%
即
QΔt = vΔt(0.04 − x)
亦即
Δx = v (0.04 − x) Δt Q
令 Δt → 0 ，有 dx = v (0.04 − x) ，代入数值并化简，得 dt Q
T sinθ = ρ gs, T cosθ = H.
于是 tanθ = ρ gs. H
将y′
=
tan θ
,s
=
∫x
0
1 + y′2 dx代入上式并求导
,得
y′′ = 1 1+ y′2 ,
(1)
a
且满足初始条件： y (0)
=
a,
y′(0)
=
0,
其中a
=
H ρg
.
第二步 求解方程 分析 方程(1)是二阶方程,我们现在熟悉的是一阶方程的求解方法. 因此,我们考虑
用一台风量为 v = 1500m3 / min 的鼓风机通入新鲜空气，它含有 0.04% 的 CO2 。设通
入空气与原有空气混合均匀后以相同的风量排出，问鼓风机开动 10 分钟后，车间含有 CO2
的百分比降到多少？
解 ： 设 时 刻 t 车 间 中 含 CO2 的 百 分 比 为 ， 则 Δt 时 间 内 车 间 内 CO2 的 改 变 量
+
o(x2
)
知
悬链线
y
=
a cosh
x a
近似于抛物线
y
=
p′ = 1 1 + p2 , p(0) = 0. a
这是一个变量可分离的方程.求出 p(x) 后, 再由 y′ = p(x) 可得到方程(1)满足给定初
始条件的解为: y = a cosh x , a
这就是所求悬链线的函数表达式.
第三步 结论分析
当
|
x
|
很小时，由
cosh
x a
=
1
+
1 2a2
x2
解之得
⎧⎪ dx + 5 x = 1 ⎨ dt 36 180 ⎪⎩x(0) = 0.12
−5t
x(t) = 0.04 + 0.08e 36
91
故
− 50
x(10) = 0.04 + 0.08e 36 ≈ 0.06 答:10 分钟后车间内 CO2 的百分比降到 0.06% 。
注：从上述分析可知：t → +∞ 时， x(t) → 0.04 ，即若一直有鼓风机在换气，则车
四、 微分方程部分
数学模型在《一阶线性微分方程》教学中的应用实例
北京邮电大学数学教研室 丁金扣
教学内容: 一阶线性微分方程 教学对象：理工科本科一年级
教学目的：巩固教学内容并培养建模能力：一阶线性微分方程 dy + p(x) y = q(x) 的通解 dx
为：
使用学时：15 分钟 使用建议：作为课上例题
有
m dv = mg − kv dt
即
⎧ dv
⎪ ⎨
dt
+
k m
v
Байду номын сангаас
=
g
⎪⎩v(0) = 0
解之
∫ ( ) v t
=
−
e
∫
k dt m
⎡ ⎢
ge∫
k m
dt
+
⎤ c⎥
⎣
⎦
=
−k
em
⎛ ⎜ ⎝
g
m k
kt
em
+
⎞ c⎟
⎠
=
mg
−kt
+ ce m
k
90
把 v(0) = 0 代入，求得 c = − mg
k
∫ y
=
−
e
∫
p( x)dx
⎡ ⎢⎣
q(
x)e
∫
p(
x
) dx
dx
+
C
⎤ ⎥⎦
例 1：跳伞运动员下降的运动规律 设降落伞从跳伞塔下降后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时 t = 0 速度为零。求降落伞下落速度与时间的函数关系，以及它的极限速度。
解：设降落伞下降速度为 v(t) ，由牛顿第二定律 F = ma ：
一、 实例 例 1 悬链线方程
设有一条质量均匀、柔软且不能伸缩的绳索, 两端分别被固定在两个不同的位置, 它在 重力作用下处于平衡状态. 试求绳索在平衡状态时所对应的曲线方程.
背景 这是历史上一个著名的力学问题, 它最初由詹姆斯·伯努利在 1690 年提出. 在 此之前, 伽里略曾关注过该问题, 并猜想这条曲线是抛物线, 惠更斯曾利用几何方法证明它 不是抛物线, 最后是由约翰·伯努利解决的. 莱布尼兹将其命名为悬链线, 它在工程中有广 泛的应用.
93
能否将此二阶方程化为一阶方程从而求解. 观察方程(1)的形式,发现它只显含未知函数的 一阶和二阶导数,而没有出现自变量和未知函数. 此时,若引进一个新函数来表示未知函数 的一阶导数,则未知函数的二阶导数就可用新函数的一阶导数表示.
设 y′ = p(,x), 则 y′′ = p于′,是方程(1)化为
间内的空气和外界的空气应该是一样的。事实上，上述结论是在条件” 通入空气与原有空 气混合均匀后”下得出的。一般来说，车间死角处的空气得不到充分的混合，这样就需要在 车间内增加空气搅拌设备。
92
可降阶的二阶微分方程
北京航空航天大学 魏光美
本节课将学习求解下面两种特殊类型的二阶微分方程：
y′′ = f ( x, y′型) 的微分方程 y′′ = f ( y, y′) 型的微分方程
第一步 分析实际问题, 根据它遵循的规律, 建立反映该问题的微分方程, 并写出相应 的初始条件;
第二步 求解微分方程; 第三步 根据所求得的解, 分析和解释相关问题的实际意义, 讨论某些性质和预测一些 现象. 解 第一步 建立模型 如图 1, 建立坐标系. 设绳索的最低点为 D, 取 y 轴通过点 D 铅直向上, x 轴水平向右, 且点 D 到原点 O 的距离为一定值 a (a≠0 待定). 由题意, 曲线在点 D 处的切线斜率为零. 设 M(x,y) 为绳索上任一点, DM 的弧长为 s, 绳索的线密度为 ρ, 分析点 M(x,y) 的受力情 况则有
v(t
)
=
mg k
⎛ ⎜1 − ⎝
−kt
em
⎞ ⎟ ⎠
令 t → +∞ 有 lim v(t ) = mg
t →+∞
k
可以看出，随着 t 的增大，速度 v(t) 接近常数 mg ，且不超过 mg 。即降落伞开始下降
k
k
时是加速运动，以后逐渐接近匀速运动。
例 2：车间通风问题
设一车间体积 Q = 10800m3 ，开始时空气中含有 0.12% 的 CO2 ，为保证工人健康，
Δu = CO2 的通入量 u1 − CO2 的排出量 u2
u1 = v * 0.04%Δt, u2 = v * x%Δt
Δu = Q(x(t + Δt)% − x(t)%) = QΔx%
即
QΔt = vΔt(0.04 − x)
亦即
Δx = v (0.04 − x) Δt Q
令 Δt → 0 ，有 dx = v (0.04 − x) ，代入数值并化简，得 dt Q
T sinθ = ρ gs, T cosθ = H.
于是 tanθ = ρ gs. H
将y′
=
tan θ
,s
=
∫x
0
1 + y′2 dx代入上式并求导
,得
y′′ = 1 1+ y′2 ,
(1)
a
且满足初始条件： y (0)
=
a,
y′(0)
=
0,
其中a
=
H ρg
.
第二步 求解方程 分析 方程(1)是二阶方程,我们现在熟悉的是一阶方程的求解方法. 因此,我们考虑
用一台风量为 v = 1500m3 / min 的鼓风机通入新鲜空气，它含有 0.04% 的 CO2 。设通
入空气与原有空气混合均匀后以相同的风量排出，问鼓风机开动 10 分钟后，车间含有 CO2
的百分比降到多少？
解 ： 设 时 刻 t 车 间 中 含 CO2 的 百 分 比 为 ， 则 Δt 时 间 内 车 间 内 CO2 的 改 变 量
+
o(x2
)
知
悬链线
y
=
a cosh
x a
近似于抛物线
y
=
p′ = 1 1 + p2 , p(0) = 0. a
这是一个变量可分离的方程.求出 p(x) 后, 再由 y′ = p(x) 可得到方程(1)满足给定初
始条件的解为: y = a cosh x , a
这就是所求悬链线的函数表达式.
第三步 结论分析
当
|
x
|
很小时，由
cosh
x a
=
1
+
1 2a2
x2
解之得
⎧⎪ dx + 5 x = 1 ⎨ dt 36 180 ⎪⎩x(0) = 0.12
−5t
x(t) = 0.04 + 0.08e 36
91
故
− 50
x(10) = 0.04 + 0.08e 36 ≈ 0.06 答:10 分钟后车间内 CO2 的百分比降到 0.06% 。
注：从上述分析可知：t → +∞ 时， x(t) → 0.04 ，即若一直有鼓风机在换气，则车
四、 微分方程部分
数学模型在《一阶线性微分方程》教学中的应用实例
北京邮电大学数学教研室 丁金扣
教学内容: 一阶线性微分方程 教学对象：理工科本科一年级
教学目的：巩固教学内容并培养建模能力：一阶线性微分方程 dy + p(x) y = q(x) 的通解 dx
为：
使用学时：15 分钟 使用建议：作为课上例题
有
m dv = mg − kv dt
即
⎧ dv
⎪ ⎨
dt
+
k m
v
Байду номын сангаас
=
g
⎪⎩v(0) = 0
解之
∫ ( ) v t
=
−
e
∫
k dt m
⎡ ⎢
ge∫
k m
dt
+
⎤ c⎥
⎣
⎦
=
−k
em
⎛ ⎜ ⎝
g
m k
kt
em
+
⎞ c⎟
⎠
=
mg
−kt
+ ce m
k
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把 v(0) = 0 代入，求得 c = − mg
k
∫ y
=
−
e
∫
p( x)dx
⎡ ⎢⎣
q(
x)e
∫
p(
x
) dx
dx
+
C
⎤ ⎥⎦
例 1：跳伞运动员下降的运动规律 设降落伞从跳伞塔下降后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时 t = 0 速度为零。求降落伞下落速度与时间的函数关系，以及它的极限速度。
解：设降落伞下降速度为 v(t) ，由牛顿第二定律 F = ma ：
一、 实例 例 1 悬链线方程
设有一条质量均匀、柔软且不能伸缩的绳索, 两端分别被固定在两个不同的位置, 它在 重力作用下处于平衡状态. 试求绳索在平衡状态时所对应的曲线方程.
背景 这是历史上一个著名的力学问题, 它最初由詹姆斯·伯努利在 1690 年提出. 在 此之前, 伽里略曾关注过该问题, 并猜想这条曲线是抛物线, 惠更斯曾利用几何方法证明它 不是抛物线, 最后是由约翰·伯努利解决的. 莱布尼兹将其命名为悬链线, 它在工程中有广 泛的应用.
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能否将此二阶方程化为一阶方程从而求解. 观察方程(1)的形式,发现它只显含未知函数的 一阶和二阶导数,而没有出现自变量和未知函数. 此时,若引进一个新函数来表示未知函数 的一阶导数,则未知函数的二阶导数就可用新函数的一阶导数表示.
设 y′ = p(,x), 则 y′′ = p于′,是方程(1)化为
间内的空气和外界的空气应该是一样的。事实上，上述结论是在条件” 通入空气与原有空 气混合均匀后”下得出的。一般来说，车间死角处的空气得不到充分的混合，这样就需要在 车间内增加空气搅拌设备。
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可降阶的二阶微分方程
北京航空航天大学 魏光美
本节课将学习求解下面两种特殊类型的二阶微分方程：
y′′ = f ( x, y′型) 的微分方程 y′′ = f ( y, y′) 型的微分方程