变异系数、偏度、峰度的认识及应用

变异系数、偏度、峰度的认识及应用

一、变异系数

1、名词解释：

变异系数又称“标准差率”，是衡量资料中各观测值变异程度的另一个统计量。当进行两个或多个资料变异程度的比较时，如果度量单位与平均数相同，可以直接利用标准差来比较。如果单位和（或）平均数不同时，比较其变异程度就不能采用标准差，而需采用标准差与平均数的比值（相对值）来比较。简单来说就是：在表示离散程度上，标准差并不是全能的，当度量单位或平均数不同时，只能用变异系数了，它也是表示离散程度，是标准差与平均数的比值称为变异系数，记为C·V。变异系数可以消除单位和（或）平均数不同对两个或多个资料变异程度比较的影响。

2、计算公式

变异系数C.V =（标准偏差SD÷平均值MN ）× 100%

3、应用：

例题：已知某良种猪场长白成年母猪平均体重为190kg，标准差为10.5kg，而大约克成年母猪平均体重为196kg，标准差为8.5kg，试问两个品种的成年母猪，那一个体重变异程度大。

此例观测值虽然都是体重，单位相同，但它们的平均数不相同，只能用变异系数来比较其变异程度的大小。

由于，长白成年母猪体重的变异系数：C.V = 10.5 / 190 * 100% =

5.53%

大约克成年母猪体重的变异系数：C.V = 8.5 / 196 * 100% = 4.34%

所以，长白成年母猪体重的变异程度大于大约克成年母猪。

二、偏度

1、名词解释：

偏度以bs表示，xi是样本测定值，是样本n次测定值的平均值。表征概率分布密度曲线相对于平均值不对称程度的特征数。

2、偏度与与正态分布的关系：

正态分布的偏度为0，两侧尾部长度对称。bs<0称分布具有负偏离，也称左偏态，此时数据位于均值左边的比位于右边的少，直观表现为左边的尾部相对于与右边的尾部要长，因为有少数变量值很小，使曲线左侧尾部拖得很长；bs>0称分布具有正偏离，也称右偏态，此时数据位于均值右边的比位于左边的少，直观表现为右边的尾部相对于与左边的尾部要长，因为有少数变量值很大，使曲线右侧尾部拖得很长；而bs接近0则可认为分布是对称的。若知道分布有可能在偏度上偏离正态分布时，可用偏离来检验分布的正态性。右偏时一般算术平均数>中位数>众数，左偏时相反，即众数>中位数>平均数。正态分布三者相等。

3、计算方法：

其中i X 是第i 个样本，sd 是样本标准差，1g 是总体偏度的有偏估计。

三、峰度

1、名词解释：

峰度，又称峰态系数。表征概率密度分布曲线在平均值处峰值高低的特征数。直观看来，峰度反映了尾部的厚度。

2、特点：

峰度以k b 表示，i Y 是样本测定值，bar Y 是样本n 次测定值的平均值，s

为样本标准差。正态分布的峰度为3。

3k b <称分布具有不足的峰度，3k b >称分布具有过度的峰度。若知道分布有可能在峰度上偏离正态

分布时，可用峰度来检验分布的正态性。

3、计算方法：

随机变量的峰度计算方法为：随机变量的四阶中心矩与方差平方的比值。

某单位引体向上测试总体分布情况分析

一、测试成绩

X（单位：个）：

i

三月份测试成绩：

8、8、10、7、11、14、6、5、7、7、9、10、12、4、6、8、7、11、8、

9、10、12、9、8、6、5、8、9、5、8、8、10、8、11

五月份测试成绩：

4、10、9、4、11、6、8、9、7、11、12、7、9、6、10、8、9、7、8、14、12、9、8、7、8、9、

5、7、8、10、8、5、

6、8、14

二、数据分析：

三月份：

样本容量：35

n=

样本方差：13.34602

五月份：

样本容量：35

m=

样本方差：14.14776

三、图像：

如上图所示，其中横轴为引体向上的个数，纵轴为达到相同个数的频数。

由上图可以发现，三月份我单位成员引体向上测试总体分布情况服从28.352941,13.34602σμ==的正态分布；五月份我单位成员引体向上测试总体分布情况服从28.371429,14.14776σμ==的正态分布。

四、假设检验：

现给定显著性水平0.05α=，进行假设检验。 提出原假设：00:H μμ= ()0,1N 2113.34602s =,2214.14776s =. )2212

s =所以统计量的值