怎样利用割补法解立体几何中的问题

卫福山（上海市松江二中）
一、引言
二、用割补法解决立体几何中的几类问题 1、用割补法求体积
2、用补形法求二面角
3、用补形法求异面直线所成角
如图：△ABC中，AB=8、BC=10、AC=6，DB⊥平面ABC， 且AE∥FC∥BD，BD=3，FC=4，AE=5. 求：此几何体的体积？
分析：
用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱。
A1 C1
B1
A2
B2
C2
在△AC1B2中，有余弦定理得： 2 AC1 C1B2 AB2 48 0 2 2 cos AC1B2 2 AC1 C1B2 65 ∴ AC1和B1C所成的角为∠AC1B2的补角. 其值为： arccos 48 65
练习：
1、在四面体 ABCD 中，AB=AC=DB=DC=10，BC=AD=12， 求：四面体 ABCD 的体积. 2、如图：正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3. 求：侧面 PAB 与 PCD 所成的二面角的大小. 3、如图：在正方体 AC1 中，E 为 B1C1 的中点， 求：异面直线 A1C 和 BE 所成的角的大小. p A A
∴所求二面角即为正方体的对角面 PDCB1与侧面 ABB1P所成角 即：∠CB1B=
4
例5. 如图：在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，∠ACB=90。， BC=5，AC=9，CC1=12 求：CB1与 AC1所成的角的大小
A C B
如图,补一个相同的直三棱柱, 连结Biblioteka Baidu1B2，AB2，则CB1∥C1B2 ∴ ∠AC1B2（或其补角）就是 AC1和 CB1所成的角。 可得：AC1=15，C1B2=13，AB2=√682
小结
割补法是重要的数学方法之一. 在立体几何中利用补形的方法可以既 简单又巧妙地解决很多问题.
注意！
复杂的几何体都是由简单几何体 组成，在求体积时，注意利用分割的 思想。另外，应注意改变对几何体的 观察角度，以得到最佳求积法.
例3. 如图：已知在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中,棱长为 a , M、N 分别为 AA1、CC1 的中点, 求：四棱锥 A－MB1ND 的体积
1
D1
B1 A B B C A B
E
C1 D C
D
C
D
（第1题）
（第2题）
（第3题）
1、在四面体 ABCD 中，AB=AC=DB=DC=10， BC=AD=12， 求：四面体 ABCD 的体积.
A
取 BC 的中点 E，
则 AE⊥BC，DE⊥BC.
D E B
C
V四面体 = VB－ADE + VC－ADE
A1 D1 E A B C1 D
B1
E1
F
C
解:
如图，补一个正方体，取 C1F 的中点 E1，则 BE∥CE1 ∴∠A1CE1（或其补角）为 A1C与 BE 所成的角. 13 可得：A1C 3a CE1 5 a A1E1 2 a 2 在△A1CE1中，有余弦定理得： 2 2 CE1 A1C2 A1E1 15 0 cosA1CE1 2 CE1 A1C 15 15 ∴ A1C和 BE 所成的角即为∠A1CE1，其值为 arccos 15
N D A B C
F M
∴ V几何体=V三棱柱+V四棱锥
例1. 如图: 斜三棱柱的一个侧面 ABB1A1的面积为 S， 侧棱 CC1 到这个侧面的距离为 h . 求：斜三棱柱的体积.
A1 C1 C1 B1 A1 A O C
O
B1
B
C
B
A
如图所示：将左图补成一个斜四棱柱（平行六面体） 1 则 V四棱柱＝ S×h ∴ V三棱柱 ＝ 2 ×h
∴V四棱锥=2VA－ DMN
思考：
如图：在正方体AC1中，棱长为 a ，有一截面，其中 M、N 分别为 AD、CD 的中点， 求：截面分正方体所成大小两部分的体积之比。
A B
M
D
C
N
A1 B1 C1
D1
C1
D1 D A1 B1
C1
A1
D
C B
A
B
s
例2.如图：在棱长为 a 的正方体ABCD--A1B1C1D1中取 点A1、C1、B、D，依次连结成一个多面体， 求：此多面体的体积.
A1
D1 C1
B1
A
D
B
C
解一：
正方体的棱长为 a ，此多面体为正四面体，其棱长为 √2 a
h
( 2a)2 ( 3 3
2a)2 2 3
3a
A1
V正四面体 1 S h 3 1 3 ( 2a)2 2 3a 3 4 3 1 a3 B 3
例4. 过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA⊥平面ABCD， 如果AB=PA。 求：平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面角的大小.
P B1
P
A
D B C
A
D C
B
如图所示、将左图补成一个正方体. 解： ∴平面 ABP 即为平面 ABB1P 所在平面 ∴平面 PDC 即为平面 PDCB1 所在平面
A D C N M D1 C1 B1 B N A1 A C M D1 C1 D
B
A1
B1
解(简):
∴VA－DMN
VA－DMN=VM － ADN 1 a a a2 底面积： SADN 2 2 4 高：为点 M 到平面 ADN的距离 h=a 1 a 2 a 1 a 3 ∴V四棱锥=2VA－ DMN= 1 a 3 6 3 4 12
C1 0
D E
例2.如图：在棱长为 a 的正方体ABCD--A1B1C1D1中取 点A1、C1、B、D，依次连结成一个多面体， 求：此多面体的体积. 解二：用分割法
A1 D1 C1
B1
V正四面体 V正方体 4V三棱锥
D
A B
a3 4 1 a3 6 1 a3 3
C
例3. 如图：已知在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中,棱长为 a , M、N 分别为 CC1 、 AA1的中点, 求：四棱锥 A－MB1ND 的体积
A B N A1 B1 C M D1 C1 B1 D B N A1 A C M D1 C1 D
分析： 分割：
四棱锥 A－MB1ND的底面为菱形， 高：A到底面的距离为多少？ 连接 MN，把四棱锥分割成两个三棱锥 ∵MB1ND为菱形， ∴SΔB1MN=SΔDMN ∵高相等 ∴VA－B1MN= VA－DMN
E
F A C
E
F A C
∴V几何体=
1 V三棱柱 2
D B
D B
如图：△ABC中，AB=8、BC=10、AC=6，DB⊥平面ABC， 且AE∥FC∥BD，BD=3，FC=4，AE=5。 求：此几何体的体积？
分析：
如图：取 CM=AN=BD , 连结 DM , MN , DN.
E
用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱 和一个四棱锥.
1 S ADE BE 1 SADE EC 3 3 1 SADE BC 3
48 7
2、如图：正四棱锥的底面边长为 2，侧棱长为 3。 求：侧面 PAB 与 PCD 所成的二面角.
p
B1 A1 N
p
M
D1
C1
A B C
D B
A
D C
3、如图：在正方体 AC1 中，E 为 B1C1 的中点， 求：异面直线 A1C 和 BE 所成的角.