广东省广州市第一中学高中数学 函数的极值与导数课件 新人教版选修1-1

点b为函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
极小值点、极大值点统称极值点， 极大值和极小值统称为极值.
思考：极大值一定大于极小值吗？
【预习自测】
1.如图是函数y f x 的图象,试找出函数y f x
的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？
2. 如果把函数图象改为导函数 y f ' x的图象?
例１： 求函数 f x3xx3的极值
解:∵ f x3xx3
∴ f' x33x2
令 f'x33x20，得 x 1 ，或 x 1.
下面分两种情况讨论：
（1）当 f ' x 0 ，即 1x1时；
（2）当 f ' x 0 ，即 x 1 ，或 x 1 时。
当 x变化时，f' x, f x的变化情况如下表：
∴ f x 的单调增区间为 ,2和 1,
由 f ' x 0 得 2x1
f x 的单调减区间为 (2,1)
例２： 设函数 f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数 f(x)的单调区间和极值； (2)若关于 x 的方程 f(x)＝a 有三个不同的实数根，求实数 a 的取值范围． 解 (1)f′(x)＝3x2－6，令 f′(x)＝0，解得 x＝－ 2或 x＝ 2. 因为当 x＞ 2或 x＜－ 2时，f′(x)＞0； 当－ 2＜x＜ 2时，f′(x)＜0， 所以 f(x)的单调递增区间为(－∞，－ 2)，( 2，＋∞)； 单调递减区间为(－ 2， 2)． 故，当 x＝－时，f(x)有极大值 5＋4 2；
（1）求函数 f x 的解析式（2）求函数 f x 的单调区间
解：（1）f'x3ax22bx2
∵ f x 在 x2,x1取得极值,∴ f( 2)0 ,f(1 )0
即
12a 4b 2 0
3a
2b
2
0
解得 a 1 , b 1 32
∴
f x1x31x22x
32
（2） ∵ f'xx2x2， 由 f ' x 0得 x1或 x2
y
yy ff'xx
x3
x a x 1 o x 2 x 4 x 5 x 6 b
3答. CABＤ：、、、下、1数2的如导如、、列极极y果数果结大=xx在为在大12f论值(,,xx零xx值x中一34)00的的,是正定x点附附点5极函确大近近,，x一的于大数的的6x是定是极左左4值y是是函=（小侧侧点极f函值数(ffx值'，'(。(数)Byxx的点))=x<>yf30。0极=(,,,xx右右）f值()6。侧x侧的函)点的f极数f''((,xx极其值y))><=小中00点f,,那(那值xx，么么)2的是点其f(f极函。x(中x00小)数)x是是1值y极,极x=大点5f大是(值x。值函)。。
3.3.2 函数极值与导数
1．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件． 2．会用导数求函数的极大值、极小值
(其中多项式函数一般不超过三次)
知识回顾:
用“导数法” 求单调区间的步骤: ①求函数定义域
②求 f '( x ) ③令f'(x)0 解 不 等 式 f(x)的 递 增 区 间
f'(x)0 解 不 等 式 f(x)的 递 减 区 间
(C)3
(D)-3
C 3. 方程 x3-6x2+9x-4=0 的实根个数为( )
x , 1 1 1,1
1
1,
f 'x
0
0
பைடு நூலகம்
f x 单调递减 2 单调递增 2 单调递减
∴当 x 1时, f (x) 有极小值，并且极小值为 2 . 当 x 1 时, f (x) 有极大值，并且极大值为 2 .
归纳：求函数y=f(x)极值的方法是: (最好通过列表法)
解方程 f ' x 0 ，当 f ' x0 0 时：
（3）在点 a , b 附近,y f x 的导数的符号有
什么规律?
f(b)0
y
极大值f(b)
y
f(x)0 f(x)0 f(x)0
y f x
a
极小值f(a)
o
f(a)(0图一)b
x
y f x
e cd of g h x
(图二)
点a为函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值
【反馈检测】
1. 函数 f (x) 的定义域为开区间 (a, b) ,导函数 f (x) 在
(a, b)内的图像如图所示，则函数 f (x) 在开区间 (a, b)
A 内有（ ）个极小值点。
A.1
B.2 C.3
D. 4
A 2. 函数 f(x)= 1 x3-x2+7 的极大值是( ) 3
(A)7
(B)-7
（1）如果在 x 0 附近的左侧 f ' x 0 ，右侧 f ' x 0 ，
那么 f x0 是极大值；
（2）如果在 x 0 附近的左侧 f ' x 0 ，右侧 f ' x 0 ，
那么f x0 是极小值
❖ 若寻找可导函数极值点,可否
只由f(x)=0求得即可?
• 探索: x =0是否为函数f(x)=x3的极值点?
f(x)=3x2 当f(x)=0时，x =0，
而x =0不是该函数的极值点.
y f (x)x3
Ox
f(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点
x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点 f(x0) =0
注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件
变式：已知函数 fxax3bx22x在x2,x1处取得极值。
④求单调区间
如果在某个区间内恒有 f(x)0,则 f ( x)为常数.
f(b)0
y
y
f(x)0 f(x)0 f(x)0
y f x
ao
f(a)(0图一)b
问题：
x
y f x
e cd of g h x
(图二)
（1）函数 y f x 在点 a , b 的函数值与这些点
附近的函数值有什么关系?
（2）函数 y f x 在点 a , b 的导数值是多少?
当 x＝时，f(x)有极小值 5－4 2.
例２： 设函数 f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数 f(x)的单调区间和极值； (2)若关于 x 的方程 f(x)＝a 有三个不同的实数根，求实数 a 的取值范围．
(2)由(1)的分析知 y＝f(x)的大致走向如图所示，当 5－4 2＜a＜5 ＋4 2时，直线 y＝a 与 y＝f(x)的图象有三个不同的交点，即方程 f(x)＝a 有三个不同的实数根．