信号与系统复习资料第3章离散傅立叶变换(DFT)

平面单位圆上按等间隔角 2
2 3
4
1
/4
K=0 Re[z]
抽样得到
N
5
7
6
|z|=1 N=8
wk.baidu.com
-10-
DFS的图示说明
~
x(n)
...
-N
0
N
~
X(k)
... n
-N
0
N
k
-11-
例：周期序列 x(n) cos n 展开为DFS，求其系数。
6
解：方法1 整理x(n)有(N=12)：
x (n ) 1 e j2 1 2 π n 1 e j2 1 2 π n 1 e j2 1 2 (1 )n 1 e j2 1 2(1 1 )n
22 2
2
与DFS定义对比知：在 k112 r和 k11 1r2时：
~
~
X(k)N/26, 其X 他 (k)0 。
方法2 由定义式直接计算，得
X ~(k)11 [1ej2 1 n 2ej2 1 k 2n 1ej2 1 n 2ej2 1 k 2n ]
n 02
2
-12-

x(n) A(k)ejk0n 基频：0 2/N
k

j2kn
A(k)e N
k次谐波分量：ejk0n
k
周期序列的DFS正变换和反变换：
X (k ) D F S [x (n )] N 1 x (n )e j2 N n k N 1 x (n ) W N n k
例 ： 已 知 序 列 x ( n ) R 4 ( n ) , 将 x ( n ) 以 N 8 为 周 期 进 行 周 期 延 拓 成 x ( n ) ， 求 x ( n ) 的 D F S 。
解 法 一 ： 数 值 解
N1
X(k) x(n)WNnk
n0
7
3

x(n)W8nk
N1
x1(m)x2(nm)
m0
-22-
例 ： 已 知 序 列 x1(n)R4(n)， x2(n)(n1)R5(n) 分 别 将 序 列 以 周 期 为 6周 期 延 拓 成 周 期 序 列 x1(n)和 x2(n)， 求 两 个 周 期 序 列 的 周 期 卷 积 和 。
N1
X (k )
1
11
j 2 ( k 1) n
e 12

2 n0
1 1 1 j 2 ( k 1 1) n e 12 2 n0
A j 2 ( k 1)12
j 2 ( k 11)12

1 1 e 12
2
j 2 ( k 1)
1 e 12

NT
T0
1 f0
T0 2 f0
N
1
fs
时域离散化==>频域周期化
时域周期化==>频域离散化
N NΩ0
NT0 fs s T f0 0
-7-
§3.3 离散傅里叶级数DFS
( Discrete Fourier Series )
连续周期信号:
~xa(t) ~xa(t kT0) 基频：0 2/T0
-3-
§3.2 傅里叶变换的几种可能形式
FT Xa(j) xa(t)ej tdt xa(t)21 Xa(j)ejtd
-4-
FS
X(jk0)T 10
x(t)e T0/2
T0/2 a
jk0t
dt
~ xa(t) X(jk0)ejk0t k
令 xn xn
0
0nN1 其 它 n

N 1
对 xn作 z变 换 :Xz xnzn xnzn
n
n 0
N 1
Xk n 0xnW N n k Xzz W N k ej2 N k
jIm
X k可看作是对 x n 的一个周 期 x n 做z变换然后将z变换在z
则
D F S [ a x 1 ( n ) b x 2 ( n ) ] a X 1 ( k ) b X 2 ( k )
其中， a , b 为任意常数
-17-
2、序列的移位 D F S [ x ( n m ) ] W N m k X ( k ) e j2 N m k X ( k )
0, 其它的k
6
N=12
-2 -1 0 1 2
11 12
n -2 -1 0 1 2
11 12
k
-13-
例 ： 已 知 序 列 x (n )是 周 期 为 6 的 周 期 序 列 ， 如 图 所 示 ， 试 求 其 D F S 的 系 数 。
解：根据定义求解
N 1
X (k) x(n)WNnk
T0
T0
时域周期化，频域离散化
-5-
DTFT
X(ej)

x(n)ejn
n
x(n)21 X(ej)ej nd
时域离散化，频域周期化。
-6-
但是，前三种傅里叶变换对都不适于计算机上运算，因 为它们至少在一个域（时域或频域）中函数是连续的。我们 感兴趣的是时域及频域都是离散的情况。
N 1
证 ： D F S [x(n m )] x(n m )W N n k
n 0
令inm N1m
N1m

x(i)WNk(im)WNmk
x(i)WNki
im
im
N1
W N m k x(i)W N ki W N m kX(k)
i0
以N为周期
-15-
解法二：公式解
XkDFSxnN1x(n)ej2N kn

n0
7
j2kn
xne 8
3 j kn
e4
n0
n0
j k
j k
j k
j k 4

1

e

4 j k
1 e 4
sin k 2
sin k
n 0
N 1N l01X1(l)X2(kl)
N 1N l01X2(l)X1(kl)
HW3-1： 2
-26-
§3.5 离散傅里叶变换
在进行DFS分析时，时域、频域序列都是无限 长的周期序列
周期序列实际上只有有限个序列值有意义 长度为N的有限长序列可看成周期为N的周期序

e 2
4 cjok s
e 8
e 2
kj k 8e 8
e
2

cos j
e
4 k
8

k

8




e
j3 k 8
sin sin

2
k k
8
-16-
§3.4 离散傅里叶级数的性质
1、线性：
若 X 1 ( k ) D F S [ x 1 ( n ) ] X 2 ( k ) D F S [ x 2 ( n ) ]
n0
5
x(n)W6nk
n0
j2k
j22k
1412e 6 10e 6
j23k
j24k
j25k
8e 6 6e 6 10e 6
X (0 ) 6 0X (1 ) 9 j33X (2 ) 3 j3
X (3 ) 0 X (4 ) 3 j-13 4- X (5 ) 9 j33
1 2
1 e 12
j 2 ( k 11)
1 e 12
B
Ak
6, 6,
1k 21 k 6 101
…11…22…rr…
10 0
11 0
B 0, 0其 0它 的…k… x(n) Xc(oks)6 n 6 0 ……
0 0
6 6, k 112r 6X~(k) 6, k 1112r
x2 m … 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0 … 10
x2 1m … 0 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 … 8 x2 2m … 1 0 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 … 6 x2 3m … 2 1 0 5 4 3 2 1 0 5 4 3 … 10
W
n 8
k
n0
n0
j2 k j2 2 k j2 3 k
1 e8 e8 e8
X (0 ) 4X ( 1 ) 1 j 2 1X (2 ) 0X (3 ) 1 j 2 1
X (4 ) 0X (5 ) 1 j 2 1X (6 ) 0X (7 ) 1 j 2 1
n 0
n 0
x ( n ) I D F S [ X ( k ) ] N 1 N k 0 1 X ( k ) e j2 N n k N 1 N k 0 1 X ( k ) W N n k
其中：
WN
j 2
e N
-9-
X k 与 z 变 换 的 关 系 ：
若 Y ( k ) X 1 ( k )X 2 ( k )
N 1
则 y(n ) ID F S [Y (k)] x 1 (m )x 2 (n m )
m 0 N1
x2(m)x1(nm)
m0
式中的卷积称为周期卷积
讨论: 周期卷积与线性卷积的区别在于：周期卷积求和 只在一周期内进行。(注意周期信号的线性卷积不存在)
x2 4m … 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0 5 4 … 14
x2 5m … 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0 5 … 12
-25-
同样，利用对称性
若 y (n ) x 1 (n )x 2 (n )
则
N 1
Y(k)D F S[y(n)] y(n)W N nk
~xa(t) A(k)ejk0t k次谐波分量：ejk0t
k
周期序列 ~ x(n)~ x(nrN )
N为周期( 的 r 为周整期数序 , 列 N 为：周期)

x(n) A(k)ejk0n ?
基频：0 2/N
k次谐波分量：ejk0n
k
-8-
N为周期的周期序列：
-18-
3、调制特性
D F S [ W N n l x ( n ) ] X ( k l )
N 1
证 ： D F S [W N lnx(n )] W N lnx(n )W N n k
n 0 N1
x(n)WN(lk)n
n0
X(kl)
-19-
4、对偶性
DF[~ xS(n)]X ~(k) DF[SX ~(n)]N~ x(k)
证：


X~
(k )

N 1
~x (n)e
j 2
N
nk

~x (n)

n0
1
N
1
X~
(
k
)e
j
2
N
nk
N k0
N~ x(n)N1X ~(k)ej2N nk
k0
令 n=k
N~ x(k)N1X ~(n)ej2N k n
n0
-20-
5、周期卷积和
x (n ) x (n )R N (n )

x(n) x(nrN)
r
x (n ) 的 主 值 序 列 x(n)的 周 期 延 拓
第三章 离散傅里叶变换
-1-
主要内容
离散傅里叶级数（DFS） 离散傅里叶变换（DFT）
-2- 反回
§3.1 引言
傅里叶变换的几种形式：
时间函数 频率函数
变换
连续非周期 连续非周期 傅里叶变换FT
连续周期 离散非周期 傅里叶级数 FS
离散非周期 连续周期
序列的傅里叶变换DTFT
离散有限长 离散有限长 离散傅里叶变换 DFT
解 ： y(n) x1(m )x2(nm )
m 0 5
x1(m)x2(nm)
m0
-23-
-24-
m
…-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 …
x1 m x2 m
…1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 11…
… 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 … y(n)
-21-
证 ： y ( n ) I D F S [ X 1 ( k ) X 2 ( k ) ]
N 1N k01X1(k)X2(k)WN kn
N 1N k 0 1[m N 0 1x1(m )W N m k]X 2(k)W N kn
m N 0 1x1(m )[N 1N k 0 1X2(k)W N (nm )k]
列的一个周期（主值序列） 周期为N的周期序列可看成长度为N的有限长序
列以N为周期的周期延拓。 借助DFS变换对，取时域、频域的主值序列可
以得到一个新的变换—DFT，即有限长序列的 离散傅里叶变换
-27-
长 度 为 N的 有 限 长 序 列 x(n) 周 期 为 N的 周 期 序 列 x(n)