10-1 组合分析 离散数学 教学课件

A
r r(n r)!
ABC, BCA, CAB 在环上只能算一种排列。 B
C
实例5
排列 26个字母，使得a与b之间恰有7个字 母，求方法数.
解：固定a 和 b 中间选7个字母，有 2P274 种方法 1 2 34 56 7
a
b
将它看作大字母与其余 17的全排列, 有 18！种，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
第10章 组合分析初步
10.1 加法法则和乘法法则 10.2 基本排列组合的计数方法 10.3 递推方程的求解与应用
乘法法则
事件 A有 m 种产生方式，事件 B 有 n 种产 生方式，则“事件 A 与 B”有 mn 种产生方 式.
使用条件：事件A与B产生方式相互独立 适用问题：分步选取. 方式是连续的步骤，各步相
互独立，分别计数，然后相乘. 当A和B是不同的两个事件集合时，乘法法则也可
以表示为
|A∩B|=|A|·|B|
乘法法的推广
事件 A1 有 n1 种产生方式，事件 A2有 n2种产生 方式，…, 事件 Ak 有 nk 种产生的方式，则“事 件A1 与A2与…Ak” 有 n1·n2·…·nk 种产生的方式.
N 2P274 18!
实例6
(1) 10个男孩，5个女孩站成一排，若没女孩相邻，
有多少种方法？
解:
123456
7 8 9 10
共有10个男孩，所以不同的排列有 P1100
共有11个位置由5个女孩选择排列，共有
P151
所以总共有 P1100P151
(2) 如果站成一个圆圈, 有多少种方法？
共有10个男孩，不同的排列有 P1100
使用条件：各事件 Ai的产生方式相互独立 当A1、A2、…Ak” 是不同的多个事件集合时，乘
法法则也可以表示为
|A1∩ A2 ∩ … ∩ Ak |=|A1|·|A2|·…·|Ak|
应用实例
例1 设A, B, C是3个城市，从 A 到 B 有3条道路，
从 B 到C 有2条道路，从 A 直接到 C 有4条道路，
排列组合的分类
例3：从5种不同的球中每次取3个不同的球， 问有多少种方法？
C53 不允许重复的无序选取—集合的组合
例4：从5种不同的球(每种球至少有3个)， 每次取3个球，问有多少种方法？
C73 允许重复的无序选取—多重集的组合
排列组合的分类
选取问题：设 n 元集合 S，从 S 中选取 r 个元素. 根据是否有序，是否允许重复可将该问题分为四 个子类型
10.2 基本排列组合的计数方法
例1：从{1,2,…,9} 中选取数字构成4位数， 若要求每个数字不相同，问有多少种方法？
9×8×7×6 = P94 不允许重复的有序选取----集合的排列
例2：从{1,2,…,9} 中选取数字构成4位数， 问有多少种方法？
9×9×9×9 = 94 允许重复的有序选取----多重集的排列
共有10个位置由5个女孩选择，共有 P150
所Fra Baidu bibliotek总共有
1 10
P1100 P150
实例7
9本不同的书，其中4本红皮，5本白皮. (1) 9本书的排列方式数有多少？ (2) 若白皮书必须放在一起，那么有 多少方法？
解： (1) 9! (2) 5！5！
(3) 若白皮书必须放在一起，红皮书 (3) 5! 4! 2!
解: 1000! = 1000 999 998 … 21
解题方法： 25=10
将上面的每个因子分解，若分解式中共有 i 个5, j 个2， 那么 min{ i, j } 就是 0 的个数.
1~1000 中有
至少500 个是2 的倍数，j > 500; 200 个是 5 的倍数， 40 个是 25 的倍数（多加 40个5）， 8 个是 125 的倍数（再多加8个5）， 1 个是 625 的倍数（再多加1个5）
应用实例
例2 求 1400 的不同的正因子个数。 解：1400的素因子分解是
1400 = 14×100 = 23×52×7
因此，1400的任何正因子都具有下述形式：
2i ×5j ×7k
其中 0 i 3, 0 j 2, 0 k 1
根据乘法法则，1400的正因子数是i,j,k的选法数：
N = (3+1)(2+1)(1+1) = 24
有序 无序
不重复
集合排列 P (n, r) 集合组合 C (n, r)
重复
多重集排列 多重集组合
集合的排列
从 n 元集 S 中有序、不重复选取的 r 个元素称
为S 的一个r 排列，
S
的所有
r
排列的数目记作
P
r n
P nr n(n1)...(nr1)(n n!r)!nr
0
nr
S 的 r- 环排列数 = Pnr n!
问：
B
A
C
(1)从 A 到 C 有多少种不同的方式？
AC 共有 32+4 = 10 种方式 (2)从 A 到 C，最后又回到A有多少种不同的方式？
其中经过B的有多少种方式？
从 A C A 共有 10 10=100 种方式
其中不经过B的共有 4 4=16 种方式
则经过B的共有 100-16=84 各方式。
C
3 5
基本计数公式的应用
例8 从1~300中任取3个数使得其和能被3整除，问 有多少种方法？
解：把1~300分成A、B、C三个集合， 令
A = {x|x≡1(mod 3)} = {1, 4, …, 298}，|A|=100
B = {x|x≡2(mod 3)} = {2, 5, …, 299}，|B|=100
也必须放在一起，那么有多少方法？ (4) 若白皮书和红皮书必须相间，有 (4) 5！4！
多少方法？
集合的组合
从 n 元集 S 中无序、不重复选取的 r 个元素称
为S 的一个r 组合，
S 的所有 r 组合的数目记作
C
r n
Cnr
Pnr r!
n! r!(nr)!
nr
0
nr
例3：从5种不同的球中每次取3个不同的球，问 有多少种方法？
C = {x|x≡0(mod 3)} = {3, 6, …, 300}，|C|=100
将方法分类：
(1) 三个均取自同个一集合(A, B, C之一):
(2)
A,
B,
C三个集合各取1个：
C1 100
C3 100
N 3C1300 (C1100)3 1485100
基本计数公式的应用
例9 求1000！的末尾有多少个0？