类比归纳专题:与三角形的高、角平分线有关的计算模型
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类比归纳专题:与三角形的高、角平分线有关的计算模型
.如图,△ABC中,点
的平分线的交点.
=80°,求∠BPC
有位同学在解答(1)后得出∠
模型4:求两外角平分线的夹角的度数【方法5】
5.(1)如图,BO平分△ABC的外角∠CBD,CO平分△ABC的外角∠BCE,则∠BOC与∠A的关系为____________;
(2)请就(1)中的结论进行证明.
参考答案与解析
1.解:(1)∵∠B =40°,∠C =60°,∴∠BAC =180°-∠B -∠C =180°-40°-60°=80°.∵AE 是角平分线,∴∠BAE =
1
2
∠BAC =1
2×80°=40°.∵AD 是高,∴∠BAD
=90°-∠B =90°-40°=50°,∴∠DAE =∠BAD -∠BAE =50°-40°=10°.
(2)∠DAE =1
2(β-α),证明如下:∵∠B
=α,∠C =β(α<β),∴∠BAC =180°-(α+β).∵AE 是角平分线,∴∠BAE =1
2∠BAC
=90°-1
2(α+β).∵AD 是高,∴∠BAD =90°
-∠B =90°-α,∴∠DAE =∠BAD -∠BAE =90°-α-⎣⎡⎦⎤90°-12(α+β)=1
2
(β-α). 2.60°
3.解:(1)∵BP ,CP 为角平分线,∴∠PBC +∠PCB =12(∠ABC +∠ACB )=
1
2(180°-∠A )=1
2×(180°-80°)=50°,
∴∠BPC =180°-(∠PBC +∠PCB )=180°-50°=130°.
(2)正确,理由如下:∵BP ,CP 为角平分线,∴∠PBC +∠PCB =1
2(∠ABC +
∠ACB )=12(180°-∠A )=90°-1
2∠A ,
∴∠BPC =180°-(∠PBC +∠PCB )=180°-⎝⎛⎭⎫90°-12∠A =90°+1
2
∠A . 4.(1)证明:∵CA 1平分∠ACD ,∴∠A 1CD =12∠ACD =1
2(∠A +∠ABC ).又
∵∠A 1CD =∠A 1+∠A 1BC ,∴∠A 1+∠A 1BC =1
2(∠A +∠ABC ).∵BA 1平分
∠ABC ,∴∠A 1BC =12∠ABC ,∴1
2
∠ABC +
∠A 1=12(∠A +∠ABC ),∴∠A 1=1
2
∠A .
(2)α2
2017 5.(1)∠BOC =90°-1
2
∠A
(2)证明:如图,∵BO ,CO 分别是△ABC
的外角∠DBC ,∠ECB 的平分线,∴∠DBC =2∠1=∠ACB +∠A ,∠ECB =2∠2=∠ABC +∠A ,∴2∠1+2∠2=2∠A +∠ABC +∠ACB =∠A +180°,∴∠1+∠2=1
2∠A +90°.又∵∠1+∠2+∠BOC =180°,∴∠BOC =180°-(∠1+∠2)=90°-1
2∠A .