行列式计算方法
行列式的计算法则
行列式的计算法则
行列式的计算法则如下：
1、三角形行列式的值，等于对角线元素的乘积。
计算时，一般需要多次运算来把行列式转换为上三角型或下三角型。
2、交换行列式中的两行（列），行列式变号。
3、行列式中某行（列）的公因子，可以提出放到行列式之外。
4、行列式的某行乘以a，加到另外一行，行列式不变，常用于消去某些元素。
5、若行列式中，两行（列）完全一样，则行列式为0；可以推论，如果两行（列）成比例，行列式为0。
6、行列式展开：行列式的值，等于其中某一行（列）的每个元素与其代数余子式乘积的和；但若是另一行（列）的元素与本行（列）的代数余子式乘积求和，则其和为0。
7、在求解代数余子式相关问题时，可以对行列式进行值替代。
8、克拉默法则：利用线性方程组的系数行列式求解方程。
9、齐次线性方程组：在线性方程组等式右侧的常数项全部为0时，该方程组称为齐次线性方程组，否则为非齐次线性方程组。
齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解。
当D=0时，有非零解；当D!=0时，方程组无非零解。
行列式与它的转置行列式相等。
交换行列式的两行，行列式取相反数。
行列式的某一行的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式。
行列式如果有两行元素成比例，则此行列式等于零。
若行列式的某一行每一个元素都可以由两个数相加得到，则这个行列式是对应两个行列式的和。
把行列式的某一行的各元素乘以同一数然后加到另一行对应的元素上去，行列式不变。
线性代数行列式计算方法总结
线性代数行列式计算方法总结在线性代数中，行列式是一个非常重要的概念，它在矩阵运算和线性方程组的求解中起着至关重要的作用。
本文将总结一些常见的行列式计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和运用线性代数中的行列式。
1. 代数余子式法。
代数余子式法是一种常见的计算行列式的方法。
对于一个n阶矩阵A，它的行列式可以通过以下公式来计算：det(A) = a11A11 + a12A12 + ... + a1nA1n。
其中，a11, a12, ..., a1n是矩阵A的第一行元素，A11, A12, ..., A1n分别是对应元素的代数余子式。
代数余子式的计算方法是先将对应元素所在的行和列去掉，然后计算剩下元素构成的(n-1)阶矩阵的行列式，再乘以对应元素的符号（正负交替）。
通过递归的方式，可以计算出整个矩阵的行列式。
2. 克拉默法则。
克拉默法则是一种用于求解线性方程组的方法，它也可以用来计算行列式。
对于一个n阶方阵A，如果它的行列式不为0，那么可以通过克拉默法则来求解它的逆矩阵。
逆矩阵的元素可以通过矩阵A的各个元素的代数余子式和行列式的比值来计算。
虽然克拉默法则在实际计算中并不常用，但它对于理解行列式的性质和逆矩阵的计算方法有一定的帮助。
3. 初等行变换法。
初等行变换法是一种通过对矩阵进行一系列行变换来简化行列式计算的方法。
这些行变换包括交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行加上另一行的若干倍。
通过这些行变换，可以将一个矩阵化简为上三角形矩阵或者对角矩阵，从而更容易计算它的行列式。
需要注意的是，进行行变换时要保持行列式的值不变，即每一次行变换都要乘以一个相应的系数。
4. 特征值法。
特征值法是一种通过矩阵的特征值和特征向量来计算行列式的方法。
对于一个n阶矩阵A，它的行列式可以表示为其特征值的乘积。
通过计算特征值和特征向量，可以得到矩阵A的行列式的值。
特征值法在实际计算中比较复杂，但它对于理解矩阵的性质和特征值分解有一定的帮助。
行列式的计算方法总结
行列式的计算方法总结行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵计算和向量空间的研究中起着关键作用。
本文将总结一些行列式的计算方法，帮助读者更好地掌握这一概念。
一、定义与性质行列式是一个与方阵相对应的数值。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)或|A|。
行列式有以下几个重要性质：1. 互换行列式的两行（两列）会改变行列式的符号；2. 行列式的任意两行（两列）互换，行列式的值不变；3. 行列式的某一行（某一列）元素乘以一个非零数，等于用这个非零数乘以行列式；4. 行列式有可加性，即若将某一行（某一列）的各元素分成两部分，则行列式等于这两部分行列式的和。
二、按行展开法按行展开法是计算行列式的一种常用方法。
对于一个n阶方阵A，按第i行展开，即将第i行元素与其代数余子式相乘再求和，可得行列式的值。
假设A是一个3阶方阵，可以按第1行展开计算：det(A) = a11A11 + a12A12 + a13A13其中，A11、A12、A13分别为元素a11、a12、a13对应的代数余子式，它们的计算方法是去掉对应元素所在的行列后，计算剩余矩阵的行列式。
按行展开法适用于任意阶数的方阵，但随着方阵阶数的增加，计算工作量也呈指数级增长。
因此，在实际应用中，需要在节约计算资源和时间之间进行权衡。
三、性质运算法则根据行列式的性质，可以借助一些特殊的运算法则来简化计算过程。
1. 方阵的转置：对于一个n阶方阵A，有det(A) = det(A^T)。
即方阵的转置不影响行列式的值。
2. 方阵的上下三角形式：行列式的值等于对角线上元素的乘积。
如果一个方阵的上（下）三角元素都是零，那么它的行列式值为零。
3. 方阵的倍增法则：将方阵的某一行（某一列）的所有元素乘以一个常数k，它的行列式也乘以k。
这个法则可以用来简化计算，通过线性变换将某一行（某一列）的数值变为整数。
四、克莱姆法则克莱姆法则是一种计算方程组的的方法，它利用了方阵的行列式的性质。
行列式的几种计算方法7篇
行列式的几种计算方法7篇第1篇示例：行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个方阵中的一个数值，可以帮助我们判断矩阵的性质，计算行列式的值是线性代数中的基础技能之一。
下面我们将介绍几种行列式的计算方法以及其应用。
一、直接展开法计算行列式最基本的方法就是直接展开法。
以3阶行列式为例，一个3阶方阵的行列式可以表示为：\[\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix}\]通过公式展开，可以得到：\[\begin{aligned}\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix} & = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh \\& = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)\end{aligned}\]这样就可以直接计算出行列式的值。
但是这种方法比较繁琐，不适用于高阶行列式的计算。
二、拉普拉斯展开法\[\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\end{vmatrix}\]以第一行为例，可以按照以下公式展开：\[ \text{det}(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + \cdots +a_{1n}C_{1n} \]C_{ij}表示元素a_{ij}的代数余子式，通过递归计算代数余子式，最终可以得到行列式的值。
计算行列式的方法总结
计算行列式的方法总结行列式（Determinant）是线性代数中的一个重要概念，它是一个与方阵相关的数值。
计算行列式可以帮助我们解决线性方程组、求解特征值等问题。
在数学和工程领域中，行列式经常被使用到。
本文将对计算行列式的几种常见方法进行总结和介绍。
1. 定义首先，我们需要了解行列式的定义。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作|A|或det(A)。
行列式的值是根据方阵的元素通过一定的规则计算而得，可以表示为：|A| = a11 * a22 * ... * ann + a12*a23*...*ann*a21 + ... + ann*a1n*a2n*...*an-1n- a1n*a22*...*an-1n*a21 - ... - ann*a1n*a2n*...*a(n-1)(n-1)其中，a(ij)表示方阵A的第i行第j列的元素。
2. 公式法公式法是计算行列式的常见方法之一，它适用于二阶和三阶方阵。
对于二阶方阵A，其行列式计算公式为：|A| = a11*a22 - a12*a21对于三阶方阵A，其行列式计算公式为：|A| = a11*a22*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31 - a11*a23*a32 - a12*a21*a33通过这些行列式的公式，我们可以方便地计算二阶和三阶方阵的行列式。
3. 初等行变换初等行变换是通过对行进行一系列操作来变换方阵的形式从而简化行列式的计算。
我们常用的初等行变换操作有三种：交换两行、某一行乘以非零常数、某一行加上另一行的倍数。
例如，对于一个三阶方阵A，如果我们想计算其行列式但是发现有一个行是0，那么我们可以通过交换两行的操作，将该行移到最后一行。
这样，原方阵的行列式就等于新方阵的行列式。
同时，通过某一行乘以非零常数和某一行加上另一行的倍数的操作，可以将方阵变为上三角阵或下三角阵，进一步简化行列式的计算。
4. 拆线法拆线法是计算高阶方阵的行列式常用的方法，对于n阶方阵，其行列式可以通过n-1阶方阵的行列式来计算。
计算行列式的方法
计算行列式的方法
计算行列式的方法有以下几种：
1. 代数余子式展开法：根据行列式的定义，可以将行列式转化为一系列元素相乘的和的形式。
通过选择一行或一列，在该行或该列的元素上除去所在行和所在列的元素，得到的余子式再乘以该元素的代数余子式，最后将所有元素相乘再求和，即可得到行列式的值。
2. 初等行变换法：通过对行（列）进行初等行变换，将行列式转化为上三角形矩阵或者对角矩阵，再计算对角元素的乘积即可得到行列式的值。
3. 克莱姆法则：对于n阶方阵，如果其中一个行（列）向量是常数向量，那么行列式的值为零。
如果矩阵的秩(rank)小于n，则行列式的值也为零。
如果秩等于n，则行列式的值等于解向
量的唯一性解的行列式的乘积。
4. 拓展拉普拉斯定理：对于n阶方阵，如果其中一行（列）全是零元素，那么行列式的值为零。
对于非零元素的行列式，可以选择行、列中的一个固定不变，然后计算每个代数余子式的值再与该行（列）元素相乘，最后相加得到行列式的值。
行列式计算方法
行列式计算方法行列式是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
在本文中，我们将探讨行列式的计算方法，包括最简单的2阶行列式和高阶行列式的计算。
一、2阶行列式的计算2阶行列式是最简单的行列式，可以通过交叉相乘后相减的方法来计算。
设有一个2阶行列式：$\begin{vmatrix}a &b \\c & d\end{vmatrix}$计算方法为：$\begin{vmatrix}a &b \\c & d\end{vmatrix}= ad - bc$二、3阶行列式的计算3阶行列式的计算稍微复杂一些，可以使用“Sarrus法则”来计算。
设有一个3阶行列式：$\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix}$计算方法为：$\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix}= aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$三、n阶行列式的计算对于高阶行列式，可以通过辅助行列式的方法来计算。
设有一个n 阶行列式：$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}$计算方法为：$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}= a_{11}A_{11} - a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13} - \ldots + (-1)^{n+1}a_{1n}A_{1n}$其中，$A_{ij}$ 表示元素 $a_{ij}$ 的代数余子式，即将 $a_{ij}$ 所在的行和列划去后，剩余元素构成的行列式。
行列式的计算方法和技巧大总结
行列式的计算方法和技巧大总结行列式是线性代数中的一个重要概念，用于表示线性方程组的性质和解的情况。
在计算行列式时，有许多方法和技巧可以帮助我们简化计算过程。
以下是行列式计算方法和技巧的大总结。
1. 二阶矩阵行列式：对于一个2x2的矩阵A，行列式的计算方法是ad-bc，其中a、b、c和d分别为矩阵A的元素。
2. 三阶矩阵行列式：对于一个3x3的矩阵A，行列式的计算方法是a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)，其中a、b、c、d、e、f、g和h分别为矩阵A的元素。
3.行变换法：行变换是一种常用的简化计算行列式的方法。
行变换可以通过交换行、倍乘行和行加减法三种操作来实现。
当进行行变换时，行列式的值保持不变。
4.行列式的性质：行列式有以下性质：a)交换行，行列式的值相反；b)两行交换位置，行列式的值相反；c)同行相等，行列式的值为0；d)其中一行乘以一个数k，行列式的值变为原来的k倍；e)两行相加（减），行列式的值保持不变。
5.定义展开法：行列式的定义展开法可以通过选取任意一行或一列对行列式进行展开。
展开定理是一种递归的方法，它将一个复杂的行列式分解成若干个简单的行列式，从而简化计算过程。
6.三角矩阵行列式：对于一个上（下）三角矩阵，它的行列式等于对角线上的元素相乘。
这是因为在上（下）三角矩阵中，除了对角线上的元素外，其他元素都为0，因此它们的乘积为0。
7.克拉默法则：克拉默法则适用于解线性方程组时的行列式计算。
克拉默法则使用行列式来计算方程组的解。
具体来说，对于n个方程n个未知数的线性方程组，如果系数矩阵的行列式不为零，那么该方程组有唯一解，可以通过求解该方程组的克拉默行列式来得到方程组的解。
8.外积法则：在向量代数中，我们可以使用外积法则计算向量的叉乘。
对于两个三维向量a和b，它们的叉乘可以表示为a×b，它的模就是行列式的值。
具体计算方法是：ijka1a2a3b1b2b3其中，i、j和k是单位向量，a1、a2、a3和b1、b2、b3分别为向量a和向量b的坐标。
计算行列式的方法
计算行列式的方法行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵理论和线性方程组的求解中起着至关重要的作用。
在实际应用中，我们经常需要计算行列式的值，因此掌握计算行列式的方法对于理解线性代数和解决实际问题至关重要。
本文将介绍几种常用的计算行列式的方法，希望能够帮助读者更好地理解和运用行列式的概念。
首先，我们来介绍行列式的定义。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作|A|，它是一个数值，可以通过一定的方法来计算。
行列式的计算方法有很多种，其中最常用的包括代数余子式法、拉普拉斯展开法和特征值法。
下面我们将分别介绍这三种方法的具体步骤。
首先是代数余子式法。
对于一个n阶方阵A，其行列式的计算公式为：|A| = a11A11 + a12A12 + ... + a1nA1n。
其中a11, a12, ..., a1n为矩阵A的元素，A11, A12, ...,A1n为对应元素的代数余子式。
代数余子式的计算方法是，对于矩阵A的每个元素aij，去掉第i行和第j列后得到的n-1阶子矩阵的行列式记作Mij，那么元素aij的代数余子式Aij就等于(-1)^(i+j)Mij。
最后，将每个元素的代数余子式与对应的元素相乘，再相加起来，就得到了行列式的值。
其次是拉普拉斯展开法。
这种方法适用于任意阶的方阵，其计算步骤是，选择矩阵A的任意一行（或一列），将该行（或列）的每个元素与其对应的代数余子式相乘，再按照正负号交替相加，最终得到行列式的值。
这种方法的优点是可以通过逐步简化矩阵来减少计算量，但是在高阶矩阵上计算比较复杂。
最后是特征值法。
对于一个n阶方阵A，如果能够求出其n个特征值λ1, λ2, ..., λn，那么矩阵A的行列式就等于其特征值的乘积，即|A| = λ1 λ2 ... λn。
这种方法的优点是可以通过特征值分解来简化矩阵的计算，适用于特征值已知的情况。
除了以上介绍的三种方法外，还有其他一些计算行列式的方法，如三角化法、对角化法等。
行列式计算方法
行列式计算方法1. 利用行列式的定义直接计算：适用于行列式中零比较多的情形．2. 化行列式为三角形行列式——初等变换法1） 保留某行（列）不动，将其它的行（列）分别乘上常数加到这一行（列）上。
2） 将某行（列）的倍数分别加到其它各行（列） 3） 逐行（列）相加4） 加边法——在原行列式的边上增加一行一列，使行列式级数增加1，但值不变。
例1 计算行列式121212nn n n a m a a a a m a D a a a m++=+3. 利用行列式展开定理。
适用于某行（列）有较多零的行列式．4. 其他方法（一）析因子法——利用多项式的性质例：计算221123122323152319x D x −=−解：由行列式定义知D 为x 的4次多项式．又，当1x =±时，1，2行相同，有0D =，1x ∴=±为D 的根．当2x =±时，3，4行相同，有0,2D x =∴=±为D 的根． 故D 有4个一次因式，1,1,2,2x x x x +−+− 设 (1)(1)(2)(2),D a x x x x =+−+− 令0,x =则 112312231223152319D ==−， 即，1(1)2(2)12.a ⋅⋅−⋅⋅−=− 3.a ∴=−3(1)(1)(2)(2)D x x x x ∴=−+−+−（二）箭形行列式012111220000,0,1,2,3.00n n i n na b b b c a D c a a i n c a +=≠=解：把所有的第1i +列(1,2)i n = 的iic a −倍加到第1列，得：11201()ni in n i ib c D a a a a a +==−∑可转为箭形行列式的行列式：121111111)111na a a +++122)n a x x xa xx x a（第2至第n 行分别减去第1行，转为箭形行列式）（三）所有行（列）对应元素相加后相等的行列式()(1)1(1)11)(1)(1)1a b b a n b b b b bb a b a n b a b a ba nb b b a a n b b a b a+−+−==+−+−()111(1,2)00()(1)00i n b br r i n a b a b a n b a b −−=−=−+−−121231123123411341(1)2)211321132122211221nn n n n n n n n c c c n n n n n n n n n n n n −−++++−−−−−−−−−112211231*********(1)(1)11112201111111101111n n n n r r r r r r n nnnn n n n n n n n −−−−−−−−−++=−−−−11111(2,31)00(1)200i nr r i n n n n n n n −−=−−+−11211100(1)2n n nn n c c c n n−−++++−()(2)(1)3211(1)122(1)(1)(1)(1)(1)(1)()22n n n n n n nn nn n n n n n n τ−−+−+−−−−++=−−=−−−−(2)(#)(1)112122(1)(1)(1)(1)(1)22n n n n n n n n n n −−−−−++=−−=−． （四）加边法（适用于除主对角线上元素外，各行对应的元素分别相同，可转为箭形行列式的行列式——加边法是计算复杂行列式的方法，应多加体会）1）1121221212,0nnnn n n a b a a a a b a D b b b a a a b ++≠+2）121212121200,00nn n n n n a a a a a a a a D a a a a a a a ++++≠++解：1)12112122121100n n n n n nn a a a a b a a D a a b a a a a b ++=++121121100(2,31)100100n i na a ab r r i n b b −−=+−−111211111(1).00(1,21)00ni ni ini n i i iina a ab ab b b bc b c i n b b =+=+=+++∑∑ 2)21121211111222122121111010(2,31)100100n n ni nn nn nn n n n a a a a a a a a a a a a a r r i n D a a a a a a a a a a a a a a ++++−−−=+−−++−−++121211111122222212210000111101011120011020(3,42)112n n i nnnnnnn n a a a a a a a a a a a a a a a a a a c c i n a a a a a a ++−−−−−−−=−−−−−=+−−−−12(3,42)1(1,2)2i j jc c i n c c j n a +=+−= 11211211111122112200200000200002n i i ni ni n n a n a a a a a a a ==−−−−−−−−∑∑122112,1111122(2)(2)[(2)]1122n ni i nn in n ni j ji i n a a a a a a a n a n a =−==−=−=−−−−∑∑∑（五）三角型行列式——递推公式法1）95004950049000950049n D =解：1112150049594920,549nn n n n c D D D D −−−−−=−按展开即有 11254(5)n n n n D D D D −−−−=−,or 11245(4)n n n n D D D D −−−−=−于是有 2221232154(5)4(5)4n n n n n n D D D D D D −−−−−−=−==−= (6145)4,n −= 同理有 2221232145(4)5(4)5(6136)5n n n n n n n D D D D D D −−−−−−=−==−=−= 即 1111545445n n n n n n nn n D D D D D −++− −= ⇒=− −=（先将行列式表示两个低阶同型的行列式的线性关系式，再用递推关系及某些低阶（2阶，1阶）行列式的值求出D 的值）00010001002.0000001n a b ab a b ab a b D a b ab a b +++=++）解：21211221c ()()()n nn n n n n n D a b D abD D aD b D aD b D aD −−−−−−+−−=−==− 1按展开同理 211221()().n n n n n D bD a D bD a D bD −−−−−=−==− 而 2221,D a ab b D a b =++=+22221();n n n n D aD b a ab b a ab b −−∴−=++−−=22221().n n n n D bD a a ab b a ab a −−−=++−−= 由以上两式解得11(1)n n n n a b a bD a bn a a b++ −≠=− +=（六）拆项法（主对角线上，下元素相同）121)n na x a a a a x aD aaa x ++=+解：111222110000000000n n n n n x a a x aa a x aa x aa a x a a a x a D x D x a a aa x a aa a−−++++=+=+1211n n n x x x a x D −−+ 11221212323.n n n n n n n D x x x a x D x x x a x D −−−−−−−=+=+ 继续下去，可得111221*********.n n n n n n n n n D x x a x x x ax x x x ax x x ax x x x x D −−−−−=+++++ （21212D ax ax x x =++）121211221323()n n n n n n x x x a x x x x x x x x x x x x x −−+++++1212110(1)nn n n i ix x x D x x x a x =≠=+∑当时, 1）也可以用加边法做：1111010010n n naaa a a x ax D a a x x +−==+−，111101,2,000ni ii nna aa x x i n D x x =+≠==∑当时, 2）n a b b b c a bb Dc c ab cc ca=解：1101()011n n nc bb b ac b b bb b b ca b ba b b a b bD c a c D ccab c a b cab c c c a c c ac c a −−=+=+−11000()000n nb b b a bc a c D c b a b c bc b a b −−+−−−−−− 11()()n n c a b a c D −−−+− ① 000n b b b b a b c a b b c a b bD c c a b c c a bc c c a c c c a−=+ 又11111()n c a b bb a b Dc c a b c c c a−+− 11()()n n b a c a b D −−−+− ②a b a c ×−×−①（）-②()，得 ()()n n n c b D c a b b a c −=−−−()．1[()()]/[(1)]()n n n n n c b D c a b b a c c b c b D a n b a b −≠=−−−−==+−−当时，当时，（七） 数学归纳法（第一数学归纳法，第二数学归纳法）1）（用数学归纳法）证明：12121111111(1)111n n i na a D a a a a a ++==++∑证：当1n =时，111111(1)D a a a =+=+，结论成立． 假设n k =时结论成立，即1211(1)kk n i iD a a a a ==+∑ ，对1n k =+，将1k D +按最后一列拆开，得112211111011111110111101111011111111111111k k k k a a a a D a a a +++++++++1211101100111011111k k k a a a D a ++ 121k k k a a a a D ++121121211111(1)(1)kkk k k k i i i ia a a a a a a a a a a a ++==+⋅+=+∑∑所以1n k =+时结论成立，故原命题得证．2）证明：cos 10012cos cos 2cos 112cos n D n ααααα=证： 1n =时，1cos .D α=，结论成立． 假设n k ≤时，结论成立．当1n k =+时，1k D +按第1k +行展开得111cos 10012cos 2cos (1)2cos 2cos 112cos k kk k k k D D D D αααααα+++−=+−=−由归纳假设12cos cos cos(1)2cos cos cos k D k k k k αααααα+=−−=−2cos cos cos cos sin sin k k k αααααβ=−+ cos cos sin sin k k αααβ+cos(1)k α+于是1n k =+时结论亦成立，原命题得证．（八） 范德蒙行列式1）12222122221212111nnn n n n nnn nnx x x x x x D x x x x x x −−−=解：考察1n +阶范德蒙行列式12222212121111112121111()()()()()n n n i j j i nn n n n nnn nnnx x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x ≤<≤−−−−==−−−−∏显然D 就是行列式()f x 中元素1n x −的余子式.1n n M +，即,1,1n n n n n D M A ++==− （,1n n A +为代数余子式）又由()f x 的表达式（及根与系数的关系）知，()f x 中1n x −的系数为121()().n i j j i nx x x x x ≤<≤−+++−∏即， ,1121()()n n n i j j i nA x x x x x +≤<≤=−+++−∏121()()n n i j j i nD x x x x x ≤<≤∴=+++−∏2）2221212111nn n n nnx x x D x x x =解：考虑1n +级范德蒙行列式 12222212111112121111()n n n n n n n n n nn n x x x xx x x x g x x x x x x x x x −−−−=121()()()()n i j j i nx x x x x x x x ≤<≤=−−−−∏ 显然n D 就是行列式()g x 中元素的余子式2,1n M +，即32,12,1(1)n n n n D M A +++−，由()f x 的表达式知，x 的系数为23121211()()n n n i j j i nx x x x x x x x x x x −≤<≤−+++−∏即2,123121211()()()n n n n i j j i nA f x x x x x x x x x x x x x +−≤<≤−++++−∏2312121(1)()()n n n n n i j j i nD x x x x x x x x x x x ≤<≤∴=−+++−∏。
行列式怎么计算
行列式怎么计算
1、利用行列式定义直接计算：行列式是由排成n阶方阵形式的n²个数aij（i,j=1,2,...n）确定的一个数，其值为n项之和。
2、利用行列式的性质计算。
3、化为三角形行列式计算：若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
1行列式
行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或|A|。
无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。
行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。
或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。
2行列式的性质
①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。
②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。
③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。
④行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。
⑤把行列式A 的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，
结果仍然是A。
行列式的运算法则公式
行列式的运算法则公式
行列式的运算法则公式如下：
1.一个行列式，如果交换它的两行（或两列），则行列式的值变为相反数。
2.一个行列式，如果某一行（或某一列）的元素全为0，则行列式的值为0。
3.一个行列式，如果它的某一行（或某一列）的元素可以表示为其他行（或其他列）对应元素的线性组合，则该行列式的值为0。
4.一个行列式，如果它的某一行（或某一列）的元素都乘以一个数k，那么该行列式的值也将乘以k。
5.一个行列式，如果它的两行（或两列）完全相同，则该行列式的值为0。
6.一个行列式，如果它的某一行（或某一列）的元素都乘以一个数k，并加到另一行（或另一列）对应元素上，得到的新行列式与原行列式的值相等。
行列式还有其他一些拓展的性质和定理，如：
1.行列式的性质可以推广到n阶行列式，其中元素不再是数值，
而是其他类型，如多项式或函数，得到的结果也是相应的类型。
2.行列式的值和行列式元素的排列有关，可以用排列的符号进行
表示，即行列式的值等于符号乘以对应排列的元素积之和。
3.行列式的值可以通过代数余子式和余子式的行列式之和来计算。
4.行列式的展开可以按照行或列进行，分别得到代数余子式。
5.行列式的值和矩阵的特征值有关，特别是方阵的特征值可以通
过行列式的值来确定。
行列式计算方法法则
行列式计算方法法则
1、利用行列式定义直接计算：行列式是由排成n阶方阵形式的n²个数aij（i,j=1,2,...n）确定的一个数，其值为n项之和。
2、利用行列式的性质计算。
3、化为三角形行列式计算：若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
1行列式
行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或|A|。
无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。
行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。
或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。
2行列式的性质
①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。
②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。
③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。
④行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。
⑤把行列式A 的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。
谈谈行列式的计算方法
谈谈行列式的计算方法行列式是线性代数中的一个重要概念，常用于解线性方程组、计算逆矩阵以及求多项式的根等问题。
本文将详细介绍行列式的计算方法。
一、行列式的定义与性质：行列式是一个数，可以用于判断矩阵是否可逆、求解线性方程组的唯一解以及计算矩阵的逆等问题。
设A为一个n阶方阵，其行列式记作，A，或det(A)。
1.一阶行列式：对于一个1×1的矩阵[a]，其行列式定义为，a，=a。
2.二阶行列式：对于一个2×2的矩阵[a b; c d]，其行列式定义为，A，=ad-bc。
3.三阶行列式：对于一个3×3的矩阵[a₁b₁c₁;a₂b₂c₂;a₃b₃c₃]，其行列式定义为，A，=a₁b₂c₃+b₁c₂a₃+c₁a₂b₃-c₁b₂a₃-a₁c₂b₃-b₁a₂c₃。
性质：-行列式与其转置矩阵行列式相同：，A，=，A^T。
-交换矩阵的两行（列）行列式改变符号，交换三行（列）行列式不变。
-一行（列）中有等于零的元素，行列式等于零。
二、行列式的计算方法：1.根据定义计算：根据行列式的定义，可以直接按照计算规则进行计算，但随着阶数的增加，计算量会呈指数级增长，因此不适用于高阶行列式的计算。
2.代数余子式法（拉普拉斯展开）：利用代数余子式法可以将计算一个行列式的问题转化为计算多个较小行列式的和的问题。
对于一个n阶矩阵A，定义它的第i行第j列元素为aᵢⱼ，那么对于任意一个aᵢⱼ，可以定义它的代数余子式M(i,j)为将行i和列j从A中删去后的(n-1)阶行列式，即A的余子矩阵的行列式。
代数余子式M(i,j)用(-1)^(i+j)乘以A的代数余子式C(i,j)得到。
通过拉普拉斯展开定理，行列式等于它的任意一行（列）元素与其对应的代数余子式乘积的和，即：A，=a₁ⱼM(1,j)+a₂ⱼM(2,j)+...+aⱼⱼM(n,j)（其中j为任意列号）3.三角行列式法：对于三角矩阵（上三角或下三角），行列式等于对角线上元素的乘积，即a₁₁a₂₂...aⱼⱼ。
行列式的计算方法和解析论文
行列式的计算方法和解析论文行列式是线性代数中重要的概念，其在矩阵理论、向量空间等方面有广泛的应用。
行列式的计算方法包括拉普拉斯展开、按行（列）展开、递推法等。
行列式的计算方法在不同的场景下有不同的适用性，下面将详细介绍行列式的计算方法及其应用，并从一篇经典的解析论文中探讨行列式在数学研究中的作用。
一、行列式的计算方法1.拉普拉斯展开法：拉普拉斯展开法是求行列式的一种常用的计算方法。
假设A是一个n阶方阵，其中元素用a_ij表示，对于任意一个a_ij，可以通过展开该元素所在的行和列的其他元素来计算行列式的值。
拉普拉斯展开法的基本原理是递归地求解子行列式的值，直到得到一个1阶行列式。
例如，对于一个3阶行列式A=，a_11a_12a_13a_21a_22a_2a_31a_32a_3可以通过拉普拉斯展开法按第一行展开来计算行列式的值：A，=a_11*，A_11，-a_12*，A_12，+a_13*，A_1=a_11*(a_22*a_33-a_23*a_32)-a_12*(a_21*a_33-a_23*a_31)+a_13*(a_21*a_32-a_22*a_31)其中，A_11，表示去掉第一行第一列元素的2阶子行列式，以此类推。
2.按行（列）展开法：按行（列）展开法是求行列式的另一种计算方法。
通过选择其中一行（列），将行列式扩展为若干个较小阶的子行列式，最终递归地计算行列式的值。
按行展开和按列展开所得到的计算表达式相同，只是展开的方式不同而已。
例如，对于一个3阶行列式A=，a_11a_12a_13a_21a_22a_2a_31a_32a_3可以通过按第一行展开来计算行列式的值：A，=a_11*，A_11，-a_12*，A_12，+a_13*，A_1=a_11*(-1)^(1+1)*(a_22*a_33-a_23*a_32)-a_12*(-1)^(1+2)*(a_21*a_33-a_23*a_31)+a_13*(-1)^(1+3)*(a_21*a_32-a_22*a_31)其中，(-1)^(i+j)是代数余子式。
行列式的计算方法
行列式的计算方法1 引言行列式的计算是《线性代数》和《高等代数》的一个重要内容．同时也是工程应用中具有很高价值的数学工具，本文针对几种常见的类型给出了计算行列式的几种典型的方法．2 一般行列式的计算方法2.1 三角化法利用行列式的性质把原来的行列式化为上(下)三角行列式，那么，上(下)三角行列式的值就是对角线各项的积．例 1 计算行列式12311212332125113311231 ------=n n n n n nn n n n D对这个行列式的计算可以用三角化方法将第1行乘以(-1)加到第2,3,n 行，得0001002000200010001231 ---=n n n n D再将其第1,2,1, -n n 列通过相邻两列互换依次调为第n ,,2,1 列，则得102001321)1(2)1(--=-n n D n n=)!1()1(2)1(---n n n2.2 加边法有时为了便于计算行列式，特意把行列式加边升阶进行计算，这种方法称之为升阶法．它的一般方法是：nn n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a D 321333323122322211131211==nnn n n n na a ab a a a b a a a b 212222121121110001(n b b b ,,21任意数)例如下面的例题： 例2 计算行列式nn a a a a D ++++=11111111111111111111321现将行列式n D 加边升阶，得na a a D +++=111011101110111121第1行乘以(-1)加到第1,3,2+n 行，得na a a D10001001001111121----=第2列乘以11a 加到第1列，第3列乘以21a 加到第1列，依次下去直到第1+n 列乘以n a 1加到第1列，得)11(00011111121211∑∑==+=+=ni in nni ia a a a a a a a D2.3 降阶法利用按一行(列)展开定理或Laplace 展开定理将n 阶行列式降为阶较小且容易计算的行列式来计算行列式的方法称为降阶法． 例 3 计算nD 222232222222221=解 首先我们应考虑D 能不能化为上(下)三角形式,若将第一行乘以(-2)加到第n ,3,2 行，数字反而复杂了，要使行列式出现更多的“0”，将D 的第一行乘以(-1)加到第第n ,3,2 行，得2001010100012221-=n D这样仍然不是上（下）三角行列式，我们注意到，第二行除了第一项是1，后面的项全是0，这样我们按第二行展开，降阶得到：201222)1(21--=+n D)!2(2--=n2.4 对于所谓二条线的行列式，可直接展开降阶，再利用三角或次三角行列式的结果直接计算. 例4 计算行列式nnn n n a b b a b a b a D 112211--=解 按第1列展开，得11221111221)1(--+---+=n n n n nn n n b a b ab b a b a b a a Dn n n b b b a a a 21121)1(+-+=2.5 递推法通过降阶等途径，建立所求n 阶行列式n D 和比它低阶的但是结构相同的行列式之间的关系，并求得n D 的方法叫递推法．当n D 与1-n D 是同型的行列式，可考虑用递推法．例 5 计算n 级行列式 2112000002100012100012------=n D 对于形如这样的三角或次三角行列式，按第1行(列)或第n 行(列)展开得到两项的递推关系式，再利用变形递推的技巧求解．解 按第1行展开，得210120000012000011)1)(1(2211-------+=+-n n D D212---=n n D D 直接递推不易得到结果，变形得1221121232211=---=-==-=-=------D D D D D D D D n n n n n n于是 1)1(2)1(21121+=-+=-+==+=+=--n n n D D D D n n n例6 计算n 2级行列式nnn n n n nnn d c d c d c b a b a b a D 111111112----=对于形如这样的所谓两条线行列式,可直接展开得到递推公式． 解 按第1行展开，得)1(1111111121111111112nn n n n nn n n n n nn c d c d c b a b a b d c d c b a b a a D ----+-----+=1111111111111111---------=n n n n nn n n n n nn d c d c b a b a c b d c d c b a b a d a)1(2)(--=n n n n n D c b d a)1(22)(--=n n n n n n D c b d a D)2(21111))((-------=n n n n n n n n n D c b d a c b d a)())((11111111c b d a c b d a c b d a n n n n n n n n ---=----2.6 连加法 例 7 计算mx x x x m x x x x m x D n n n n ---=212121这种行列式的特点是：各行元素之和都相等.先把第2列到第n 列元素同时加到第1列，并提出公因式，得mx x x m x x x m x D n n n ni i n ---=∑=2221111)(然后将第1行乘以(-1)加到第n ,3,2行，得mm x x m x D n ni i n ---=∑=001)(21)()(11m x m ni i n --=∑=-2.7 乘积法根据拉普拉斯定理,所得行列式乘法运算规则如下：nnn nnn n n nn n n c c c c b b b b a a a a 111111111111=⋅ (其中tj ni it ij b a c ∑==1)两个行列式的乘积可以像矩阵的乘法一样来计算,假若两个行列式的阶数不同，只要把它们的阶数化为相同就可以应用上面的公式了．这种方法的关键是寻找有特殊结构的已知行列式去乘原行列式，从而简化原行列式的计算,这也是较为常用的方法．例 8 计算行列式 ab c db a dc cd a bd c b aD =解 取行列式 1111111111111111------=H显然 0≠H ,由行列式的乘法规则：=DH ⋅ab c d ba d c c d a bd c b a 1111111111111111------ H d c b a d c b a d c b a d c b a d c b a ))()()()((+---+--++--++++=等式两边消去,H 得=D ))()()()((d c b a d c b a d c b a d c b a d c b a +---+--++--++++2.8 对称法这是解决具有对称关系的数学问题的常用方法． 例 9 计算n 阶行列式βαβααββααββα++++=1010001000 n D解 按第1行展开，得21)(---+=n n n D D D αββα即 )(211----=-n n n n D D D D αβα由此递推，即得 nn n D D βα=--1因为n D 中αβ与对称，又有 nn n D D αβ=--1当 βα≠ 时，从上两式中消去1-n D ，得 11n n n D αβαβ++-=-当 βα= 时，1-+=n nn D D ββ)(21--++=n n n D ββββ 222-+=n n D ββ11)1(D n n n-+-=ββ )()1(1βαββ++-=-n n nnn β)1(+= 2.9 数学归纳法当n D 与1-n D 是同型的行列式，可考虑用数学归纳法． 例 10 计算n 级行列式ααααcos 2100cos 210001cos 210001cos =n D解 当2=n 时，ααcos 211cos 2=D αα2cos 1cos 22=-=结论成立，假设对级数小于n 的行列式结论成立，则n D 按第n 行展开，得21cos 2---=n n n D D D α由假设αααααααsin )1sin(cos )1cos(])1cos[()2cos(2-+-=--=-=-n n n n D n代入前一式，得]sin )1sin(cos )1[cos()1cos(cos 2αααααα-+---=n n n D nαααααn n n cos sin )1sin(cos )1cos(=---=故对一切自然数n ，结论成立．2.10 拆项法这是计算行列式常用的方法．一般地，当行列式的一列(行)或一列(行)以上的元素能有规律地表示为两项或多项和的形式，就可以考虑用拆为和的方法来进行计算．例 11 在平面上，以点),(),(),(233332332232222221311211x x x x M x x x x M x x x x M ------，，为顶点的三角形面积D S =，其中11121323233322222321212131x x x x x x x x x x x x D ------= )1()1()1()1()1()1(11121323222121332211------=x x x x x x x x x x x x )1()1()1()1()1()1()1()1()1(21323222121332211332211------+--+--+--=x x x x x x x x x x x x x x x x x x解 第1行拆为)1()1()1(11111121111)1)(1)(1(21332211321321232221321321------+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x D32112132332121))()()(1)(1)(1(21x x x x x x x x x x x x +-------=232221321111x x x x x x )]1)(1)(1([))()((21321321121323----⋅---=x x x x x x x x x x x x 3 分块矩阵行列式的计算方法我们学习了矩阵的分块，知道一个矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡B A 00通过分块若能转化成对角矩阵或上（下）三角矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡B C A 0，那么行列式B A B C A B A ⋅==000，其中B A ，分别是r s ，阶可逆矩阵，C 是s r ⨯阶矩阵，0是n s ⨯阶矩阵．可以看出，这样可以把r s +阶行列式的计算问题通过矩阵分块转化为较低阶的s 阶和r 阶行列式计算问题，下面先根据上面的途径给出计算公式．设矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=B C D A b b c c b b c c d d a a d d a a G rr r rsr r s sr s ss s r s 1111111111111111其中B A ，分别是s 阶和r 阶的可逆矩阵，C 是s r ⨯阶矩阵，D 是r s ⨯阶矩阵，则有下面公式成立． C DB A B BCD A G 1--⋅==或C DA B A BCD A G 1--⋅==下面推导公式，事实上，当0≠A 时，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡---D BCA D A B C D A E CA E 1100 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡---B C C DB A B C D A E DB E 0011 上面两式两边同取行列式即可得出上面的公式．例 12 计算 8710650143102101=D这道题的常规解法是将其化为上三角行列式进行计算，若用前面介绍的公式则可以直接得出结果．令 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=8765B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001C ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321D 则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001'A ，由公式(1) 知原行列式D CA B A BCD A 1--⋅==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=43211001100187651001 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=432187651 4444==0这个题还有个特点，那就是C A =，如果我们把公式变形，即D CA B A BCD A 1--⋅=D ACA AB D CA B A 11)(---=-=当C A =时，D ACA AB 1--CD AB D CAA AB -=-=-1，所以当C A =时，我们有CD AB BCD A -=，这样例题就可以直接写出答案了．参考文献:[1] 北京大学数学系，高等代数[M] (第三版)．北京：高等教育出版社，2003，9．[2] 张禾瑞，高等代数[M] (第四版)．北京：高等教育出版社，1997．[3] 丘维生，高等代数[M]．北京:高等教育出版社，1996，12．[4] 杨子胥，高等代数[M]．山东：山东科学技术出版社，2001，9．[5] 王萼芳，高等代数题解[M]．北京：北京大学出版社，1983，10．[6] Gelfand I M, Kapranov M M and Celvinskij A V. Discriminaants, redultants,and multidimensional determinants[M].Mathematics: Theory&Applications,Birkhauser Verlag,1994.[7] 徐仲，陆全等．高等代数导教·导学·导考.西安:：西北工业大学出版社,2004．[8] 陈黎钦．福建：福建商业高等专科学校学报，2007年2月第1期．11。
行列式的计算方法-计算行列式的格式
行列式的计算方法-计算行列式的格式行列式的计算方法计算行列式的格式行列式是线性代数中的一个重要概念，在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
准确计算行列式的值对于解决许多问题至关重要。
而在计算行列式时，遵循正确的格式和方法可以避免错误并提高计算效率。
一、二阶行列式的计算格式二阶行列式是最简单的行列式形式，其计算格式相对直观。
对于二阶行列式\（＼begin{vmatrix}a_{11} ＆ a_{12} ＼＼ a_{21} ＆ a_{22}＼end{vmatrix}＼），其值为\（a_{11}a_{22} a_{12}a_{21}＼）。
例如，计算二阶行列式\（＼begin{vmatrix}3 ＆ 2 ＼＼ 1 ＆4\end{vmatrix}＼），按照格式计算为：＼＼begin{align}＆3×4 2×1\＼＝＆12 2\＼＝＆10＼end{align}＼二、三阶行列式的计算格式三阶行列式的计算相对复杂一些。
对于三阶行列式\（＼begin{vmatrix}a_{11} ＆ a_{12} ＆ a_{13} ＼＼ a_{21} ＆ a_{22} ＆a_{23} ＼＼ a_{31} ＆ a_{32} ＆ a_{33}＼end{vmatrix}＼），可以按照以下格式进行计算：＼＼begin{align}＆a_{11}a_{22}a_{33} ＋ a_{12}a_{23}a_{31} ＋a_{13}a_{21}a_{32} a_{13}a_{22}a_{31} a_{12}a_{21}a_{33}a_{11}a_{23}a_{32}＼end{align}＼例如，计算三阶行列式\（＼begin{vmatrix}1 ＆ 2 ＆ 3 ＼＼ 4 ＆ 5 ＆6 ＼＼ 7 ＆ 8 ＆ 9\end{vmatrix}＼）：＼＼begin{align}＆1×5×9 ＋ 2×6×7 ＋ 3×4×8 3×5×7 2×4×9 1×6×8\＼＝＆45 ＋ 84 ＋ 96 105 72 48\＼＝＆0＼end{align}＼三、n 阶行列式的按行（列）展开法对于 n 阶行列式，按行（列）展开法是一种常用的计算方法。
各种行列式的计算方法
各种行列式的计算方法宝子们，今天咱们来唠唠行列式的计算方法呀。
一、定义法。
这就像是最基础的招式啦。
按照行列式的定义，把所有可能的排列组合算出来。
不过呢，这个方法可有点费时间，就像你要一个一个数小珠子一样，要是行列式的阶数大一点，那可就累得够呛。
比如说二阶行列式，按照定义算起来还比较轻松，就是主对角线元素相乘减去副对角线元素相乘。
但是三阶或者更高阶的，那可就复杂得多喽。
二、三角形行列式法。
这个方法可就比较巧妙啦。
我们想办法把行列式通过行变换或者列变换变成上三角或者下三角行列式。
为啥呢？因为三角形行列式的值就等于主对角线元素的乘积呀，多方便。
就像把一堆乱乱的东西整理得整整齐齐的，然后一下子就能算出结果。
比如说给你一个行列式，你就观察一下，哪行或者哪列加上或者减去其他行或者列的倍数，能让它慢慢变成三角形的样子。
三、按行（列）展开法。
这个方法就像是拆积木一样。
你可以按照行列式的某一行或者某一列展开。
比如说按第一行展开，那这个行列式的值就等于这一行的每个元素乘以它对应的代数余子式然后相加。
代数余子式呢，就像是这个元素的小跟班，有自己的计算方法。
这个方法在行列式里有很多零元素的时候特别好用，就像走捷径一样，直接找那些简单的部分来计算。
四、行列式的性质法。
行列式有好多有趣的性质呢。
比如说两行（列）交换，行列式的值就变成原来的相反数；某一行（列）乘以一个数加到另一行（列），行列式的值不变。
我们就可以利用这些性质，把行列式变得简单一些再去计算。
就像给行列式做个小整容，让它变得更可爱（好计算）。
宝子们，行列式的计算方法就这么些啦，多做做练习，就会发现其实也没有那么难啦。
加油哦！。
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定理1 一个n阶行列式中等于零的元素个数如果比 n×n－n多，则此行列式等于零. 证明：由行列式定义，该行列式展开后都是n个 元素相乘，而n阶行列式共有n×n个元素.若等 于零的元素个数大于n×n－n，那么非零元素 个数就小于n个.因此该行列式的每项都至少含 一个零元素，所以每项必等于零，故此行列式 等于零.
（法二）求出非零元素乘积 a1 j a2 j ...anj 的列下标
1 2 n
j1 , j2 ,..., jn
的所有n元排列，即可求出行列式的所有非零项.
2 化三角形法 :把已知行列式通过行列式的性质化为下 列三角形行列式中的某一种形式，则其值就可求出.
1
0 ... 0 0 2 ... 0 ... ... ... ... 0 0 0 0 ... n ... 1 0 ... 0
C1 D2 D1 D D1 , C2 2
,其中
和
为特征方程
x 2 ax b 0 的两根。
4. 用升阶法计算行列式 升阶法指的是在原行列式中再添加一行一列， 使原来的n阶成n+1阶，且往往让n+1阶行列式的 值与原n阶行列式的值相等.一般来说,阶数高的 比阶数低的计算更复杂些.但如果合理地选择所 添加的行，列元素，使新的行列式更便于“消零” 的话，则升阶后有利于计算行列式的值. 凡可利用升阶法计算的行列式具有的特点是： 除主对角线上的元素外，其余元素都相同，或任 两行（列）对应元素成比例.升阶时，新行（列） 由哪些元素组成？添加在哪个位置？要根据原行 列式的特点作适当的选择.
E CA 1 0 A B E A 1 B A 0 1 E E 0 D CA B C D 0 E 0 E A 1 B 1 ， 1 CA E 0 E
1 . P D A BD C 则
5.
用降阶定理计算行列式 ,将行列式与矩阵联系在 一起，用行列式的降阶定理计算n阶行列式，以 使方法简单化. 设
A B P ,其中A为年n阶，D为m阶方阵。 C D
P A D CA 1 B
定理2
（1）若A可逆，则
（2）若D可逆， 证明： （1）若A可逆，由分块矩阵的乘法，有
则 D1 D x Aij
i , j 1
其中 Aij 是元素 aij 的代数余子式.
a1
x a2 x
... ...
x x
例2
计算行列式
Dn
x ... x
... ... ... ... a n
a1 x 0 ... 0 0 ... 0 0 ...
解：把Dn 的所有元素都加上-x，得 D
.
三、行列式的计算方法
利用行列式的定义来计算 对于含零元素较多的行列式可用定义来计算. 因为行列式的项中有一个因数为零时，该项的值 就为零，故只须求出所有非零项即可. 1
（法一）求出位于不同行，不同列的非零元素乘积的 所有项. 当行列式中含大量零元素，尤其是行列式的非零 元素乘积项只有一项时，用此法计算非常简便.
例1.计算行列式
0 0 Dn ... 0 0 0 1 0 ... 0. 0 0 1 1 0 1 1 1 ... ... ... ... 0 1 0 ... 0 0 ... ... ... 0 ... 1 1 0 ... 0 ... 0 ... ... 1 0 1 1 1 1
将按第1列展开得： Dn Dn1 Dn2 ① 此行列式序列是斐波那契 数列，开始项为1,2，以后各项均为前两项之和. Dn Dn1 Dn2 0 (n 3,4,5...) ①式变形为， 设 F ( x) D1 x D2 x 2 D3 x3 ... Dn x n ... ② 解：D
1
...
1
0
...
0
=
0 2 ... ... ... ... ... 0
=
2 ... 0 ... ... ... ... ... n
... ... n
... 1 0 ... 0
=
12 ...n
0
0
0 ... 2 ... ... ...
=
... 2 ... ... ...
=
x x1 1 ( 2 ) 1 ( x2 x1 ) 1 x2 x 1 x1 x
=
1 [ x2 . (1) n x2n x n x1 . (1) x1n x n ] 1 = ( x2 x1 ) n0 n 0
n 1 (1) n ( x2 x1n1 ) n x x2 x1 n 1
... 1 ...
=
0 ... 2 ... ... ...
= (1)
n ( n 1) 2
12 ...n
n
0
...
n
0
...
n
...
(1)箭形行列式;(2)可化为箭形行列式的行式
(3)行（列）的和相等的行列式 这几种类型的行列式均可化为三角形行列式. 3. 用递推法计算行列式 :利用行列式的性质,把某一行列 式表示为具有相同结构的较低阶行列式的关系式(称 为递推关系式），根据所得递推关系式及低阶某初始 行列式的值便可递推求得所需的结果. 文章给出了一类可化为 Dn aDn1 bDn2 的递归行列式. 的计算方法。 当b等于0 时，易得 Dn a n1 D1 当b不等于0时， Dn C1 n1 C2 n1
a11 a12 ... a1n
a11 x a12 x ... a1n x
1 5 n1 1 5 n1 [( ) ( ) ] 2 2 5
D
n
a 21 ... a n1
a 22 ... an2
... a 2 n ... ... ... a nn
D1
a 21 x a 22 x ... a 2 n x ... ... ... ... a n1 x a n 2 x ... a nn x
⑤
比较②式与⑤式的系数，得
n 1 (1) n ( x2 x1n1 ) (1) n 1 5 n1 1 5 n1 Dn [( ) ( ) ] x2 x1 2 2 5
=
1
7. 用换元法计算行列式:此法应用于当以同一个数 改变行列式的所有元素时，其各元素的代数余 子式容易计算的情形，它基于下面的定理. 定理4 设
n n 1 n 1 ... D2 n ... n n 1 1 2 3 4 ... n2 ...
二、行列式的定义及性质
a11 a 21 ... a n1
a12 a 22 ... an2
... ...
a1n ...
1
定义：n阶行列式
Dn a ij
... a 2 n ... a nn
( 1) ( j j
j1 j 2 ... j n
1 2
... j n )
a1 j a2 j ...anj
关键词：n阶行列式；递推关系式；升阶；幂级数变
换；换元
一、引言
行列式的计算是高等代数的重要内容之一, 也是学习中的一个难点.对于阶数较低的行列 式,一般可直接利用行列式的定义和性质计算 出结果.对于一般的n阶行列式,特别是当n较大 时，直接用定义计算行列式往往是困难和繁琐 的，因此研究行列式的计算方法则显得十分必 要.通常需灵活运用一些计算技巧和方法，使 计算大大简化，从而得出结果.本文介绍了几 种计算方法，只要将各种方法综合地应用起来， 就可以基本上解决n阶行列式的计算问题.
1 2
n
其中 ( j1 j2 ... jn ) 为排列
j1 j2 ... jn
的逆序数.
2
(1) (2) (3) (4)
性质 行列互换，行列式不变. 数k乘行列式的一行相当于数k乘此行列式. 若行列式中有两行相同，那么行列式为零. 若行列式中两行成比例，那么行列式为零.
(5) 若行列式中某行（列）的每一个元素均为两数之 和，则这个行列式等于两个行列式的和，这两个行列 式分别以这两组数作为该行（列）元素，其余各行 （列）与原行列式相同. (6) 把行列式中一行的倍数加到另一行，行列式不变. (7) 对换行列式中两行的位置，行列式反号.
1
1, D2
1
1
1 1
2
用-x乘②式得: 2 ( x ) 用 乘②式得: ②+③+④，得:
③ ④ x 2 F ( x) D1 x 3 D2 x 4 D3 x 5 ... Dn x n2 ...
xF( x) D1 x 2 D2 x 3 D3 x 4 ... Dn x n1 ...
由于
P
所以两边取行列式，
A B C D
A D CA 1 B
，同理可证（2）。
定理3 设A与D分别为n阶与m阶可逆阵，B与C分
别为n×m阵与m×n阵，则
A B P 证明：设 ,由定Байду номын сангаас2 C D A B P A D CA 1 B D C D
D 故，D CA B A A BD 1C
关于行列式计算方法的研究
摘要：本文探讨了行列式的计算方法问题，介绍了
计算n阶行列式的几种行之有效的方法. 除比较常用的定义 法，化三角形法，升阶法，数学归纳法等法外，还介绍了 利用降阶定理，幂级数变换，换元等技巧性较高的计算方 法.只要灵活地运用这些计算技巧和方法，就可以基本上 解决n阶行列式的计算问题.
1 1 1 1 x (ai x)( ... ) i 1 x a1 x a2 x an x
n
n
i 1
8. 用拉普拉斯定理计算行列式