第37讲专项研究类型①与圆的基本性质有关的计算与证明

【例2】下列命题准确的有

O

第37讲专项研究类型①与圆的基本性质相关的计算与证明

【重点】圆的相关性质和计算 【难点】圆的相关性质和计算 【知识梳理】

§1圆的相关概念

1•圆：平面上到 ________ 的距离等于_

_ _____ 为半径. ___________ 确定圆的位置,

2•弧：圆上任意两点间的部分叫做 _ 称为劣弧.

3. ______________________________ 弦：连接圆上任意两点的线段叫做 __ ,经过圆心的弦叫做

__________________________________________ O

4. __________________________ 能够重合的两个圆叫做 — _ ,同圆或等圆的 ,在同圆或等圆

中，能够互相重合的 两条弧叫做

§n 圆的相关性质:

1圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心. 2•垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.

推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.

垂径定理和推论能够结合起来表述为：对于一个圆和一条直线说，如果具备下列五个条件中的任何 两个，那么也具备其他三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对 的优弧.

3.点与圆的位置关系：设圆的半径为 r,点到圆心的距离为 d ,

(1 )点在圆外，即 d_r ； (2)点在圆上，即 d ________ r ； (3)点在圆内，即 d ____ r.

【典型例题及针对训练】

【例11 1.有下列四个命题：①直径是弦；②过圆心的线段是直径；③等弧一定是同圆中的弧; ④半径相等的两个半圆是等弧.其中准确的有(

A . 4 个 B

变式训练：

1 .有4个命题： 圆心的弦 ④一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧，其中真命题是

考点2垂径定理的理解

_的所有点组成的图形叫做圆，其中， ______ 确定圆的大小。

,简称弧，大于 _______ 的弧称为优弧，小于半圆的弧

为圆心,

2.若圆的半径是 ( )

A.点P 在O 0外

5cm,圆心的坐标是(

B. 点P 在O 0内

0, 0),点P 的坐标是( 4, 2),则点P 与O O 的位置关系是

C. 点P 在O 0上

D.

点P 在OO 外或O 0上

3. O 0的半径为 5cm 一点P 到圆的最小距离与最大距离之比为

2: 3,贝y OP 长为

①直径相等的两个圆是等圆 ②长度相等的两条弧是等弧③圆中最大的弦是通过

2.矩形 ABCD 中 , AB= 8 , BC =3>/5,点 P 在边AB 上,且

BP = 3AP,如果圆P 是以点P 为圆心,

PD 为半径的圆，那么下列判断准确的是(

(A)点B 、C 均在圆P 外；

(B

)

).

点B 在圆P 外、 (D) 点B 、C 均在圆 点C 在圆P 内;

P 内.

过弦的中点的直径平分弦所对弧； 过弦所对的两条弧的中点的直线必过圆心；

垂直于弦的直线平分这条弦 ，并且平分弦所对的两条弧； 平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧; 经过弦的中点的直径一定垂直于弦； 弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧。 考点3垂径定理的基本使用(基本计算题型)

【例3】如图，已知在O 0中，AB CD 两弦互相垂直于 E , AB 被分成4cm 和10cm 两段，求: (1)求圆心

0到CD 的距离；(2)若O 0的半径为8cm,求CD 的长。

1

【例4】如图，等腰△ ABC 内接于半径为 5cm 的O 0, AB= AC, tanB = — o 求:

3

(1) BC 的长； (2) AB 边上高的长。

变式训练：

1.有下列四个命题：①直径是弦；②过圆心的线段是直径；③等弧一定是同圆中的弧；④半径相 等的

两个半圆是等弧•其中准确的有(

A . 4 个 B

3. O 0的半径为 4 .有4个命题：

圆心的弦 ④一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧，其中真命题是

【提升训练】

2.若圆的半径是 ( )

A.点P 在O 0外

5cm,圆心的坐标是(

B. 点P 在O 0内

0, 0),点P 的坐标是( 4, 2),则点P 与O O 的位置关系是

C. 点P 在O 0上

D.

点P 在OO 外或O 0上

5cm 一点P 到圆的最小距离与最大距离之比为 ①直径相等的两个圆是等圆

②长度相等的两条弧是等弧③圆中最大的弦是通过

5 .矩形 ABCD 中, AB= 8, BC =3j 5，点 P 在边AB 上，且 BP = 3AP,如果圆P 是以点P 为圆心,

PD 为半径的圆，那么下列判断准确的是(

(A)点B 、C 均在圆P 外；

(B)

(C)点B 在圆P 内、点C 在圆P 外；

(1) BC 的长；

(2) AB 边上高的长。 (D) ).

点B 在圆P 外、 点B 、C 均在圆 点C 在圆P 内;

P 内.

2: 3，贝y OP 长为

考点4垂径定理的使用（综合推理与计算题型）

【例5】如图，点C 、D 分别在扇形AOB 的半径OA OB 的延长线上，CD 平行于AB 并与弧AB 相 交于点M N. （1）求证：CM=DN

1

(2)若 OA= 3, AC= 2, tan Z C =—,求弦 MN 的长.

2

经过A B C (1 , 0)三点.

的坐标;

的面积？如果存有，请求出点 E 的坐标；如果不存有，请说明理由.

【课后测试】

1、 把一小球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知

的半径为 _________ 厘米.

2、 如图所示，若O O 的半径为13cm,点P 是弦AB 上一动点，且到圆心的最短距离为

5 cm,则弦AB

的长为 _______ cm .

3、 如图，在半径为 5的圆O 中，AB CD 是互相垂直的两条弦，

为 ___________ .

【例8】已知：直线y = —X +3交x 轴于点A ,交y 轴于点B,

抛物线 y=ax 2

+bx+c

(1) 求抛物线的解析式；

若点D 的坐标为（一1, 0）,在直线y=_x+3上有一点

P,使 AABO 与从DP 相似，求出点 P

(3) 在（2）的条件下，在 x 轴下方的抛物线上，是否存有点

E ,使 从DE 的面积等于四边形 APCE

EF=CD=16 厘米，则球

垂足为 P,且AB=CD=8贝U OP 的长