大学物理——光的衍射汇总

m2 D1 1 m1 D2 120
即这台天文望远镜的分辨率是普通望远镜的120倍.
10-5 光栅衍射
一、光栅衍射现象
衍射光栅：由大量等间距、等宽度的平行狭缝 所组成的光学元件。
用于透射光衍射的叫透射光栅。 用于反射光衍射的叫反射光栅。
ba
光栅常数：a+b 数量级为10-5~10-6m
条纹特点：亮、细、疏
光栅公式
则它们相干加强，形成明条纹。狭缝越多，条纹 就越明亮。 多缝干涉明条纹也称为主极大明条纹
(a+b)sin = ± k k=0, 1, 2, 3 ···
单色平行光倾斜地射到光栅上
0
0
(a)
(b)
相邻两缝的入射光在入射到光栅前已有光程差
(a+b)sin0
(a+b)(sin sin0 )= ± k k=0, 1, 2, 3 ···
s1 *
D δφ
s2 *
瑞利判据：如果一个艾里斑的中心刚好落在另一个艾 里斑边缘(即衍射图象第一个最暗处)上时，认为这两 个艾里斑恰好能分辨。
恰
能
不
能
分
能
分
辨
分
辨
辨
δφ
s 1 * s2*
D
在恰能分辨时，两个艾里斑在透镜前所张的
角度δφ ，称为光学仪器的最小分辨角
m 1.22 / D
1 最小分辨角的倒数 称为光学仪器的分辨率
0
a
a sin k
( k 1,2, ) 暗纹
x
f
a sin0
atg 0
a
x f
x f 一级 暗纹坐标
a
一级暗纹条件
x0
2
f
tan 0
2 f
a
中央亮纹线宽度
0
a
中央亮纹半角宽度
x 2x 2 f 中 央 亮纹 线 宽 度
a
当缝宽a 中央亮纹线宽度x
3. 相邻两衍射条纹间距
条纹在接收
x k f / a
暗纹中心 k 1,2
屏上的位置 x ( 2k 1 ) f / 2a
明纹中心
kf
( k 1 ) f
xk a xk1
a
x xk1 xk1
f
a
其它各级明条纹的宽度为中央明条纹宽度的一半。
x (2k 1) f / 2a 明纹中心
条纹在屏幕上的位置与波长成正比，如果用白 光做光源，中央为白色明条纹，其两侧各级都为彩色 条纹。该衍射图样称为衍射光谱。
dE C K ( ) cos2 ( t r )dS
r
T
S
n
dS r
P
dE C K ( ) cos2 ( t r )dS C----比例常数
r
T
K( )----倾斜因子
K ( ) 0 K ( )最 大
, K ( ) 0 dE 0
2
惠更斯-菲涅耳原理解释了波为什么不向后传
的问题，这是惠更斯原理所无法解释的。
P点的光振动（惠更斯原理的数学表达）为：
E
dE
C
K (
r
)
cos2
(t T
r
)dS
三、 单缝衍射 单缝衍射实验装置
L1
K
L2
S
*
E屏幕
用菲涅耳半波带法解释单缝衍射现象
将衍射光束分成一组一组的平行光，每组平行光的 衍射角（与原入射方向的夹角）相同
AC a sin
( a ) a sin ( 2k 1 ) 亮纹
2
sin tg x
f
k ax 1 3
f 2
(b)当k=3时，光程差
a sin
( 2k 1 )
7
22
狭缝处波阵面可分成7个半波带。
四、圆孔夫琅和费衍射
中央是个明亮 的圆斑，外围 是一组同心的 明环和暗环。
光源
障碍物
中央明区集中了衍射光能的
光源—障碍物
—接收屏
光源
距离为有限远。
障碍物
夫琅禾费衍射
光源—障碍物 S
—接收屏 距离为无限远。光源
障碍物
接收屏 接收屏
二、惠更斯-费涅耳原理
从波阵面上各点所发出的子波都是相干波源，它们发 出的波在空间某点相遇时相互叠加,产生干涉现象。
若取时刻t=0波阵面上各点发 出的子波初相为零，则面元 dS在P点引起的光振动为：
光在传播过程中遇到障碍物，能够绕过障碍物的边缘前进这种 偏离直线传播的现象称为光的衍射现象。
10-4 光的衍射
10-5 光栅
10-6 X射线衍射
10-4 光的衍射
一、 光的衍射现象及其分类
屏幕
屏幕
阴
影
缝较大时，光是直线传播的 缝很小时，衍射现象明显
衍射系统由光源、衍射屏、接收屏组成。
衍射的分类 菲涅耳衍射
解 (1)设λ0＝589.3 nm，φ0＝28°8′，k0＝2，λ为 未知波长，φ＝13°30′，k＝1，则按题意可列出如 下光栅方程：
d sin0 20
d sin
20
sin sin 0
584.9
(nm)
(2)由光栅方程 最大值由条件
d sin k可以看出， | sin |决1 定，即 kmax
二、光栅的衍射规律
衍射条纹的形成:
1）各单缝分别同时产生单缝衍射 注意：每一个单缝衍射的图
I
样和位置都是一样的。
2）各单缝衍射的平行
sin
光产生多光干涉。
显然干涉条纹要受到
衍射光的影响。
sin
3）光栅衍射条纹是单缝衍
射与多缝干涉的总效果。
sin
各单缝衍射的平行光产生什么样的多光干涉？
从不同单缝射出的平行光依 次相差相同的光程BC或相同 的相位差
(a) sin
a
a
0
2
a
2
0.5m 0.5103 m
2 10 3 rad
(b) x0 f0 2 10 3 m 2mm
(c)
x21
f ( 2
a
) 1 (2 103
a
1103)m 1mm
例、一束波长为 =5000Å的平行光垂直照射在一个
单缝上。 a=0.5mm，f=1m (3) 如果在屏幕上离中央亮 纹中心为x=3.5mm处的P点为一亮纹，试求(a)该P处 亮纹的级数；(b)从P处看，对该光波而言，狭缝处的 波阵面可分割成几个半波带？
衍射角不同，
最大光程差也 a
不同，P点位置 不同，光的强 度分布取决于 最大光程差
A
(1)
C
(2)
(1)
(2)
(1)
B (2)
P0 x
P
f
菲涅耳半波带法
A
A1 A2 A3
B
C
相邻平面间的距离是 入射单色光的半波长
任何两个相邻波带上对应 点所发出的光线到达BC 平面的光程差均为半波长
（即位相差为） ，在P
k=2
k=4
k=6
k=-5 k=-3
k=-1 k=1
k=3
k=5
若ab a
k k
3 1
6 2
9 3
缺级：k
= 3,6,9,...
三、光栅光谱
白光投射在光栅上，在屏上除零级主极大明 条纹由各种波长混合仍为白光外，其两侧将形成 由紫到红对称排列的彩色光带，即光栅光谱。
k 1
k2
k3
例10-13 以波长589.3 nm的钠黄光垂直入射到光栅 上，测得第二级谱线的偏角为28°8′，用另一未知波 长的单色光入射时，它的第一级谱线的偏角为 13°30′.(1)试求未知波长；(2)未知波长的谱线最多能 观测到第几级？
BC (a b)sin d sin
2 BC
即光栅衍射是N个相位依次 相差 的光振动的叠加
ddd
ababab
BBB CCC
1、光栅公式
任意相邻两缝对应点在衍射角为 方向的两衍射光
到达P点的光程差为(a+b)sin
光栅衍射明条纹位置满足：
(a+b)sin = ± k
k=0, 1, 2, 3 ···
2、暗纹条件 暗条纹是由各缝射出的衍射光因干涉相消形成的。
N (a b)sin m
m 1,2, , N 1, N 1
N —光栅缝总数
在两个相邻主极大之间， 分布着N-1条暗条纹和N-2条次级明条纹。
3、缺级现象
缺级 由于单缝衍射的 影响，在应该出现亮纹的 地方，不再出现亮纹
缺极时衍射角同时满足：
k
d si的n d，对波
长为584.9 nm的谱线，该条件给出
kmax
d
20 sin0
4.3
所以最多能观测到第四级谱线.
10-6 X射线的衍射
1895年伦琴发现X 射线。 X 射线是波长很短的电磁波。
X 射线的波长： 0.01 ~ 10nm
X射线管
阴极
阳极 （对阴极）
4
5
10 ~10 V
干涉加强条件（布喇格公式）：
2d sin k k 1,2
2d sin k k 1,2
符合上述条件时，各层晶面的反射线干涉后 将相互加强。 讨论：
1. 如果晶格常数已知，可以用来测定X射线的 波长，进行伦琴射线的光谱分析。
2. 如果X 射线的波长已知，可以用来测定晶体 的晶格常数，进行晶体的结构分析。
点会聚时将一一抵消。
AB面分成奇数个半波带，出现亮纹
AC a sin 3
2
A . .. .C A1 . a A 2.φ
.
B
φ
x
P
f
AB面分成偶数个半波带，出现暗纹
AC a sin 4
2
A. A1 .
.
.
.
.C
a A 2.
A 3.φ
.
B
φ
x
P f
结论：分成偶数半波带为暗纹。 分成奇数半波带为明纹。
0
3 5 sin
2a 2a
2a 2a
当 角增加时，半波带数增加，未被抵消的半
波带面积减少，所以光强变小；
另外，当： K ( ) I
2. 中央亮纹宽度 中央两侧第一暗条纹之间的区域，称做零极
（或中央）明条纹，它满足条件：
I a sin
a
a
5 3
0
3 5 sin
2a 2a
2a 2a
晶面对入射成分中波长为0.13nm和0.098nm的X射 线产生强反射.
m
D
光学仪器的透光孔径
例10-12 试比较物镜直径为5.0 cm的普通望远镜和直 径为6.0 m的反射式天文望远镜的分辨率.
解 设可见光的平均波长为λ，根据(10-32)式，物镜 直径为D1＝5.0 cm和D2＝6.0 m的望远镜对可见光的 最小分辨角分别为
m1 1 1.22 / D1 m2 2 1.22 / D2
由微分式x k f / a 看出缝越窄（ a 越小），条纹
分散的越开，衍射现象越明显；反之，条纹向中央靠拢。
当缝宽比波长大很多时，形成单一的明条纹，这就是 透镜所形成线光源的象。显示了光的直线传播的性质。
当 a大于，又不大很多时会出现明显的衍射现象。
例、一束波长为 =5000Å的平行光垂直照射在一个单 缝上。(1)已知单缝衍射的第一暗纹的衍射角1=300，
k a sin ( 2k 1 ) 2
0
( k 1,2, ) 暗纹 ( k 1,2, ) 明纹
中央明纹
正、负号表示衍射条纹对称分布于中央明纹的两侧
对于任意衍射角，单缝不能分成整数个半波带， 在屏幕上光强介于最明与最暗之间。
讨论
I
1. 光强分布
当 增加时,为什么光强的
极大值迅速衰减？
5 3
接收屏
艾里斑的半角宽，理论计算得：
sin 1.22 / D
式中
为圆孔的直径，若 为透镜 的焦距，则
爱里斑的半径为：
r0 f 1.22 f / D
五、光学仪器的分辨率
点光源经过光学仪器的小圆孔后，由于衍射的影响， 所成的象不是一个点而是一个明暗相间的圆形光斑。
中央最亮的亮斑称为艾里斑。 艾里斑
+
X 射线衍射---劳厄实验
铅
X
屏
射
底
线
ห้องสมุดไป่ตู้
片
管
晶体
晶体可看作三维
劳
立体光栅。
厄 斑
根据劳厄斑点的分
点
布可算出晶面间距，掌
握晶体点阵结构。
布喇格父子(W.H.Bragg, W.L.Bragg)对伦琴射线衍射 的研究：
O. d A . φ. .B
C
d
晶格常数
(晶面间距)
掠射角
光程差 :
AC BC 2d sin
单缝衍射 a sin =k'
极小条件 k'=0,±1, ±2,···
即： k =(a+b) /a·k'
缝间光束干 (a+b)sin =k
涉极大条件 k=0,±1, ±2, ···
k 就是所缺的级次
缺
单缝衍射 第一级极 小值位置
光栅衍射 第三级极 大值位置
级
缺级
k=-6 k=-4
k=-2 k=0
例10-14 已知晶格常数d＝0.275nm，入射的X射线 含有从0.095～0.13nm的各种波长，X射线对晶面的 掠射角φ＝45°.问晶面能否产生强反射.
解 由强反射条件 2d sin k 得
2d sin 2 0.275
2 2 0.39
k
k
k
取k＝1，λ1＝0.390nm；k＝2，λ2＝0.185nm； k ＝3，λ3＝0.13nm；k＝4，λ4＝0.098nm； k＝5， λ5＝0.078nm
求该单缝的宽度a=?
解： (1) a sin k (k 1,2,3 ) 第a 一级暗纹k0=.15,12=3001.0m sin 1
例、一束波长为 =5000Å的平行光垂直照射在一个
单缝上。(2)如果所用的单缝的宽度a=0.5mm，缝后 紧挨着的薄透镜焦距f=1m，求：(a)中央明条纹的角 宽度；(b)中央亮纹的线宽度；(c) 第一级与第二级暗 纹的距离；