空间向量的坐标表示'

例2
B1 E1 如图，在正方体 ABCD A1B1C1 D1 中，
A1B1 4
D1F1
，求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值。
z
D1 A1 F1 E1 B1 C1
15 1 1 BE1 DF1 0 0 1 1 , 16 4 4
D
O
解：设 c ( x , y, z )
x 3 y 2z 0 2 x 8 z 0 x2 y2 z2 1
x y z
4 21 2 21 1 21
x or y z
a1b1 a2b2 a3b3 a b cos a, b ; 2 2 2 2 2 2 | a || b | a1 a2 a3 b1 b2 b3
注意：
（1）当 cos a , b 1 时， a 与 b 同向；
a 与 b 反向； （2）当 cos a , b 1 时，
作空间直角坐标系 O xyz时，
一般使 xOy 135 (或 45 ), yOz 90
在空间直角坐标系中 ， 让右手拇指
z
指向x 轴的正方向 ， 食指指向y 轴 的正方向 ， 如果中指能指向 z 轴的
正方向 ， 则称这个坐标系为
k
i
O
j
y
右手直角坐标 。
x
三个坐标平面将整个空间分为 八个部分，被称为八个卦限。 （如图）
给定一个空间直角坐标 系和向量 a ， 且设i 、j 、k 为坐标向量 ，
由空间向量基本定理 ， 存在唯一的有序实数组 (a1 , a2 , a3 ),
使 a a1 i a2 j a3 k
有序数组(a1 , a2 , a3 ) 叫做 a 在 空间直角坐标系 O xyz 中的坐标.
z
（3）当cos a , b 0 时，a b 。
思考：当 0 cos a , b 1及1 cos a , b 0 时，向量的夹角在什么范围内？
练习一： 1.求下列两个向量的夹角的余弦：
(1) a （2， - 3，3）， b (1,0,0) (2) a （-1 ， -1 ， 1 ）， b (1,0,1)
A
x
17 17 | BE1 | , | DF1 | . 4 4 y C 15 B BE1 DF1 15 16 cos BE1 , DF1 . | BE1 | | DF1 | 17 17 17 4 4
五、课堂小结：
1.基本知识： （1）向量的长度公式与两点间的距离公式； （2）两个向量的夹角公式。 2.思想方法：用向量计算或证明几何问题 时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐
例2
B1 E1 如图，在正方体 ABCD A1B1C1 D1 中，
A1B1 D1F1 4
，求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值。
解：设正方体的棱长为1，如图建
C1
z
D1 A1
F1 E1 B1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
3 B(1,1, 0) , E1 1, ,1 , 4
C
D
O
B
y
A
x
1 D(0 , 0 , 0) , F1 0 , ，1 . 4 1 3 BE1 1, ,1 (1,1, 0) 0 , ,1 , 4 4
1 1 DF1 0 , ，1 (0 , 0 , 0) 0 , ，1 . 4 4
a
记作 a (a1 , a2 , a3 )
a3 k
k
a2 j
O j
a1 i i
x
y
在空间直角坐标系 O xyz中， 对空间任一点 A， 对应一个向量
OA ， 于是存在唯一的有序实 数组 x 、y 、z ， 是 OA x i y j z k
在单位正交基底 i 、j 、k 中与向量 OA 对应的有序实数组
z
2 D ' (0,0, 2)
C '0,4,2
B '(3, 4, 2)
4
3,0,2 A '
O 0,0,0
3
y
C (0, 4,0)
B (3, 4,0)
x A (3, 0, 0)
练习：已知正四面体V-ABC，底面边长为2， 先建立空间直角坐标系，再求出各顶点的坐标.
二、向量的直角坐标运算
标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或
证明。
思考题：
已知A（0,2,3)、B（ 2,1,6), C (1,1,5), 用向量 方法求ABC 的面积S。
| a | a a a a2 a3
2 2 1 2
2
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。
a的单位向量 a0是 __________ __
终点坐标减 在空间直角坐标系中，已知 A( x1起点坐标 , y1 , z1 ) 、
B( x2 , y2 , z2 )，则
（2）空间两点间的距离公式
i 、j作为基底 ， 任作一个向量 a， y 由平面向量基本定理知 ， 有且只有一对实数 x 、y
使得a xi y j 我们把( x, y ) 叫做
向量a 的坐标
a
yj
j
O
i
xi
x
如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直 ， 且 长都 为 1， 则这个基底 叫做单位正交基底 ， z
常常用i , j , k来表示。
d A, B (1 3)2 (0 3)2 (5 1)2 29 .
例1
已知 A(3 , 3 ,1)、 B(1, 0 , 5) ，求：
（2）到 A 、B 两点距离相等的点 P ( x , y , z ) 的 坐标 x , y , z 满足的条件。 解：点 P ( x , y , z )到 A 、B 的距离相等，则
a b a1b1 / b a b( R) ; a1 b1 , a2 b2 , a3 b3.( R)
a b
a b 0
a1b1 a2b2 ;a3b3 0
三、距离与夹角
1.距离公式
（1）向量的长度（模）公式
( x 3)2 ( y 3)2 ( z 1)2 ( x 1)2 ( y 0)2 ( z 5)2 ,
化简整理，得 4 x 6 y 8z 7 0
即到 A 、B 两点距离相等的点的坐标 ( x , y , z ) 满
足的条件是 4 x 6 y 8z 7 0
( x, y, z )， 叫做点A 在此空间
直角坐标系中的坐标 ，
z
记作 A( x, y, z ) .
其中 x 叫做点 A 的横坐标
zk
k
A ( x, y , z )
y 叫做点 A 的纵坐标
yj
O j
z 叫做点 A 的竖坐标
xi
x
i
y
例1、在长方体OABC DABC 中， OA 3， OC 4， OD 2,写出所有顶点的坐标.
2.求下列两点间的距离：
1 cos a, b 2
cos a, b
6 3
(1) A(1,1, 0) , B(1,1,1) ;
(2) C (3 ,1, 5) , D(0 , 2 , 3) .
| AB | 1 | CD | 22
3、 已 知 向 量 a (1,3,2), b ( 2,0,8), 求单位向量 c， 使c与a、 b都 垂 直 。
设a (a1, a2 , a3 ),b (b1 , b2 , b3 )则
a b (a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ;
a b (a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ;
a (a1 , a2 , a3 ),( R) ;
空间向量运算的坐标 表示
一、空间向量
• 定义：既有大小又有方向的量。 • 模、零向量、单位向量、相等的向量、 一个向量的负向量、向量的夹角等概念， 空间向量的和、差、数乘、数量积等运 算的定义及其运算律都与平面向量的相 应概念、运算及其运算律具有相同的意 义。
分别取与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位 向量
A 坐标 x , y , z 满足的条件。 （3）A、B、C(x,y,9)共线，求x、y。
M
B
解：设 M ( x , y , z ) 是 AB 的中点，则
3 ∴点 M的坐标是 2 , , 3 . 2
1 1 3 O OM (OA OB ) (3 , 3 ,1) 1, 0 , 5 2 , , 3 , 2 2 2
AB
( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )2
2 2 2
| AB | AB AB
d A, B ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 )
2.两个向量夹角公式
4 21 2 21 1 21
4 2 1 4 2 1 c( , , ) or c ( , , ) 21 21 21 21 21 21
定比分点公式
例2
已知 A(3 , 3 ,1)、 B(1, 0 , 5) ，求：
（1）线段 AB 的中点坐标和长度； （2）到 A 、B 两点距离相等的点 P ( x , y , z ) 的
以点O 为原点 ， 分别以i 、 j 、k 的方向 为正方向建立三条数轴 ： x 轴、y 轴、 k z 轴， 它们都叫做坐标轴 。