第十一章 组合变形PPT课件
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工程力学第十一章 组合变形
土建工程中的混凝土或砖、石偏心受压柱，往往不 允许横截面上出现拉应力。这就是要求偏心压力只能作 用在横截面形心附近的截面核心内。
要使偏心压力作用下杆件横截面上不出现拉应力， 那么中性轴就不能与横截面相交，一般情况下充其量只能 与横截面的周边相切，而在截面的凹入部分则是与周边外 接。截面核心的边界正是利用中性轴与周边相切和外接时 偏心压力作用点的位置来确定的。
解：拉扭组合:
7kNm T
50kN FN
安全
例11-8 直径为d的实心圆轴，
·B
P 若m=Pd，指出危险点的位置， 并写出相当应力 。
x
m
解：偏拉与扭转组合
z
C P P 例11-9 图示折角CAB，ABC段直径
d=60mm，L=90mm，P=6kN，[σ]＝
BA
60MPa，试用第三强度理论校核轴 x AB的强度。
例11-6 图示圆轴.已知,F=8kN,Me=3kNm,［σ］=100MPa, 试用第三强度理论求轴的最小直径.
解：(1) 内力分析
4kNm M
3kNm T
(2)应力分析
例11-7 直径为d=0.1m的圆杆受力如图，T=7kNm，P=50kN， []=100MPa，试按第三强度理论校核此杆的强度。
至于发生弯曲与压缩组合变形的杆件，轴向压力 引起的附加弯矩与横向力产生的弯矩为同向，故只有 杆的弯曲刚度相当大（大刚度杆）且在线弹性范围内 工作时才可应用叠加原理。
A M
F FN
+ ql2/8
+
B
+
=
C 10kN
A 1.6m
1.6m
10kN
1.2m
例11-3 两根无缝钢管焊接 而成的折杆。钢管外径 D=140mm，壁厚t=10mm。求 危险截面上的最大拉应力和 B 最大压应力。
强度理论与组合变形ppt
桥梁监测和维护
通过监测桥梁的变形、裂缝等指标，及时发现 并解决潜在的安全隐患。
3
桥梁修复和加固
根据强度理论分析，针对受损或老化桥梁采取 适当的修复和加固措施。
强度理论在建筑物中的应用
建筑设计
01
考虑建筑物结构的强度、刚度和稳定性，以确保建筑物在使用
过程中的安全性。
抗震设计
02
强度理论在地震作用下用于评估建筑物的抗震性能，设计合理
02
组合变形
组合变形的定义与特点
定义
组合变形是指结构或构件在复杂受力或温度变化等作用下，由平面弯曲、拉 伸、压缩、扭转等基本变形组合而形成的变形形式。
特点
组合变形具有复杂性、多变性、综合性等特点，变形形式多种多样，影响因 素较为复杂，需要综合考虑多种因素进行分析和计算。
组合变形的影响因素
材料性质
组合变形对强度理论的影响
组合变形过程中，材料内部的应力 、应变和裂缝等状态是不断变化的 ，这些因素对强度理论的应用和验 证产生一定的影响。
VS
在复杂应力状态下，材料的强度和 稳定性受到多种因素的影响，因此 需要综合考虑各种因素来评估材料 的强度和稳定性。
强度理论与组合变形的相互作用
强度理论是组合变形的基础，它为组合变形的分析 和设计提供了重要的理论依据。
强度理论分类
根据不同的破坏特征和受力条件，强度理论可分为最大拉应 力理论、最大伸长线应变理论、最大剪切应力理论和形状改 变比能理论等。
强度理论的重要性
强度理论是工程应用中设计、制造、使用和维护各种材料的 关键依据之一，可以指导人们合理地选择材料、制定工艺和 优化结构。
强度理论能够为各种工程结构的分析、设计和优化提供理论 基础，从而提高工程结构的可靠性、安全性和经济性。
通过监测桥梁的变形、裂缝等指标，及时发现 并解决潜在的安全隐患。
3
桥梁修复和加固
根据强度理论分析，针对受损或老化桥梁采取 适当的修复和加固措施。
强度理论在建筑物中的应用
建筑设计
01
考虑建筑物结构的强度、刚度和稳定性，以确保建筑物在使用
过程中的安全性。
抗震设计
02
强度理论在地震作用下用于评估建筑物的抗震性能，设计合理
02
组合变形
组合变形的定义与特点
定义
组合变形是指结构或构件在复杂受力或温度变化等作用下，由平面弯曲、拉 伸、压缩、扭转等基本变形组合而形成的变形形式。
特点
组合变形具有复杂性、多变性、综合性等特点，变形形式多种多样，影响因 素较为复杂，需要综合考虑多种因素进行分析和计算。
组合变形的影响因素
材料性质
组合变形对强度理论的影响
组合变形过程中，材料内部的应力 、应变和裂缝等状态是不断变化的 ，这些因素对强度理论的应用和验 证产生一定的影响。
VS
在复杂应力状态下，材料的强度和 稳定性受到多种因素的影响，因此 需要综合考虑各种因素来评估材料 的强度和稳定性。
强度理论与组合变形的相互作用
强度理论是组合变形的基础，它为组合变形的分析 和设计提供了重要的理论依据。
强度理论分类
根据不同的破坏特征和受力条件，强度理论可分为最大拉应 力理论、最大伸长线应变理论、最大剪切应力理论和形状改 变比能理论等。
强度理论的重要性
强度理论是工程应用中设计、制造、使用和维护各种材料的 关键依据之一，可以指导人们合理地选择材料、制定工艺和 优化结构。
强度理论能够为各种工程结构的分析、设计和优化提供理论 基础，从而提高工程结构的可靠性、安全性和经济性。
第11章 组合变形
120 MPa , 校核梁的强度。
z
z
30kN
y
A
C
D
x
h
B
30kN
b
y 100mm 100mm 100mm
A
B
C
Dx
+
My
1kNm 2kNm
Mz
1kNm
AB
2kNm
C
x D
解:(1)画内力图，确定 危险截面:
M By 2kNm, M Bz 1kNm
M Cy 1kNm, M Cz 2kNm
[例11-3-1] 最大吊重为 P=20kN的简易吊车，如图所
示择D，工A字B梁为型工号字。A3钢梁，许用X应A Y力A [σ]＝10T0MPa，Ty 试选
A
Tx C
B
F
A
30° C B
FN
2m
1m F
_ 52kN
20kN·m
解：(1)选工字梁为研究对
象受力如图所示：
M
-
MA 0 : T 2sin 30 3F 0
F=1400kN ， 机 架 用 铸 铁 作 成 ， 许 用
拉 应 力 [σt]=35MPa ， 许 用 压 应 力 [σc]=140MPa， 试 校核该 压力机立 柱部分的强度。立柱截面的几何性质
如 下 ： yc=200mm ， h=700mm ， A=1.8×105mm2，Iz=8.0×109mm4。 解：由图可见，载荷F 偏离立柱轴线，
h 2b 118.8mm
⑤、校核刚度
wmax
w2 y m ax
w2 z max
5L4 384E
(
qy Iz
)2
(
qz Iy
第十一章 弯曲问题的进一步研究与组合变形
max
M z ,max Wz M y ,max Wy
19.3 103 5.18 103 6 402 10 48.3 106
155 106 Pa 155MPa
故此梁满足正应力强度条件
讨论：若F力的作用线与y轴重合，即＝0，则梁的最大正应力为 M max 20 103 6 max 49.8 10 Pa 49.8MPa 远小于155MPa 6 Wz 402 10
对称轴
FA
问题：当梁不具有纵向对称平面，或梁虽具有纵向对称平面，但 外力的作用面与该纵向对称平面间有一夹角，则该梁发生什么变 形呢？
F
F F
z
C
F
C
z
C
z
y
y
y
斜弯曲
斜弯曲
平面弯曲与扭转
工程中的许多受力构件往往同时发生两种或两种以上的基本变形， e 称为组合变形。 F
Me
F
（轴向压缩 和弯曲） 偏心压缩
a
z
C
wz
wy b
y
z
z
C
a
F
w
y
F
y
F
讨论： （1）若梁的截面是正方形，由于Iy=Iz，所以b =，故梁不会 发生斜弯曲，而发生平面弯曲。正多边形也是如此。 （2）若梁的截面是圆形，由于Iy=Iz，所以b =，故梁不会发 生斜弯曲，而发生平面弯曲。
例11-2 外力F通过截面形心，且与y方向的 夹角＝15°，材料许用应力[170MPa, 试校核此梁的强度。 解： 梁跨中截面上的弯矩最 2m 大，故为危险截面，该截面 上的弯矩值为 M Fl 1 20 4 20kN.m
例11-1 悬臂梁的横截面分别采用如图所示三种截面，在自由 端受集中力F作用，F力均通过这些截面的形心C。试指出这三 种截面梁各产生何种变形形式。
M z ,max Wz M y ,max Wy
19.3 103 5.18 103 6 402 10 48.3 106
155 106 Pa 155MPa
故此梁满足正应力强度条件
讨论：若F力的作用线与y轴重合，即＝0，则梁的最大正应力为 M max 20 103 6 max 49.8 10 Pa 49.8MPa 远小于155MPa 6 Wz 402 10
对称轴
FA
问题：当梁不具有纵向对称平面，或梁虽具有纵向对称平面，但 外力的作用面与该纵向对称平面间有一夹角，则该梁发生什么变 形呢？
F
F F
z
C
F
C
z
C
z
y
y
y
斜弯曲
斜弯曲
平面弯曲与扭转
工程中的许多受力构件往往同时发生两种或两种以上的基本变形， e 称为组合变形。 F
Me
F
（轴向压缩 和弯曲） 偏心压缩
a
z
C
wz
wy b
y
z
z
C
a
F
w
y
F
y
F
讨论： （1）若梁的截面是正方形，由于Iy=Iz，所以b =，故梁不会 发生斜弯曲，而发生平面弯曲。正多边形也是如此。 （2）若梁的截面是圆形，由于Iy=Iz，所以b =，故梁不会发 生斜弯曲，而发生平面弯曲。
例11-2 外力F通过截面形心，且与y方向的 夹角＝15°，材料许用应力[170MPa, 试校核此梁的强度。 解： 梁跨中截面上的弯矩最 2m 大，故为危险截面，该截面 上的弯矩值为 M Fl 1 20 4 20kN.m
例11-1 悬臂梁的横截面分别采用如图所示三种截面，在自由 端受集中力F作用，F力均通过这些截面的形心C。试指出这三 种截面梁各产生何种变形形式。
哈尔滨工程大学力学基础课件第11章
2
Ni2li U U i i 1 i 1 2 EA i
m m
(11-3)
2.圆轴扭转
M
M
A
j
M
l
o
(a)
j
B
j
对于圆轴的扭转，当外力偶矩由零开始 逐渐增加至最终值M时，扭转角也由零逐渐 增至最终值。在线弹性范围内，M与 的关 系也是一条斜直线，如图所示。 1 (b) W M
O
解：
由图b可以看出，截面mn上 的扭矩和弯矩分别为
A
P
dj
R
j
m n
(b)
M n PR(1 cos j )
M PR sin j
p
A
j
m
dj
R
例3:图示半圆形等截面曲杆位于 水平面内，在A点受铅垂力P的 作用，求A点的垂直位移。
变形能为: 2
dU
M n Rdj M 2 Rdj 2GI p 2 EI P 2 R 3 (1 cos j ) 2 dj P 2 R 3 sin j dj 2GI p 2 EI
3P R P R 4GI p 4 EI
2 3 2 3
dj
j
m n
(b)
由此求得:
A
3PR PR 2GI p 2 EI
3 3
11.2 莫尔定理
莫尔定理是一种能够求 解在复杂载荷作用下的结构 任一处广义位移的有效工具。 现在以梁为例，利用变 形能的概念和特性来导出莫 尔定理。 假设梁在外力1 ,2 …… 作用下发生弯曲变形，如图a 所示。今要确定在上述外力 作用下，梁上任意一点C的 挠度 。
p
A
p
o
p
(a)
Ni2li U U i i 1 i 1 2 EA i
m m
(11-3)
2.圆轴扭转
M
M
A
j
M
l
o
(a)
j
B
j
对于圆轴的扭转，当外力偶矩由零开始 逐渐增加至最终值M时，扭转角也由零逐渐 增至最终值。在线弹性范围内，M与 的关 系也是一条斜直线，如图所示。 1 (b) W M
O
解：
由图b可以看出，截面mn上 的扭矩和弯矩分别为
A
P
dj
R
j
m n
(b)
M n PR(1 cos j )
M PR sin j
p
A
j
m
dj
R
例3:图示半圆形等截面曲杆位于 水平面内，在A点受铅垂力P的 作用，求A点的垂直位移。
变形能为: 2
dU
M n Rdj M 2 Rdj 2GI p 2 EI P 2 R 3 (1 cos j ) 2 dj P 2 R 3 sin j dj 2GI p 2 EI
3P R P R 4GI p 4 EI
2 3 2 3
dj
j
m n
(b)
由此求得:
A
3PR PR 2GI p 2 EI
3 3
11.2 莫尔定理
莫尔定理是一种能够求 解在复杂载荷作用下的结构 任一处广义位移的有效工具。 现在以梁为例，利用变 形能的概念和特性来导出莫 尔定理。 假设梁在外力1 ,2 …… 作用下发生弯曲变形，如图a 所示。今要确定在上述外力 作用下，梁上任意一点C的 挠度 。
p
A
p
o
p
(a)
综合篇 单元十一 组合变形 PPT
由弯曲引起的弯曲正应力的最大值为：
w
M Wz
6000000 0.1125 3
MPa
30.72MPa
应力叠加后，截面上的最大拉应力为：
b max 1.22 30.72MPa 31.94MPa [ b ]
截面上的最大压应力为：
c max | 1.22 30.72 | MPa 29.5MPa [ c ]
单元十一 组合变形
课题一 组合变形的概念
4
单元十一 组合变形
课题一 组合变形的概念
在工程实际中，有些杆件在外力作用下，往往同时发生 两种或两种以上的基本变形，称为组合变形。
例如，塔器（左下图），除了受到自重作用，产生轴向 压缩变形外，同时还受到水平方向风力的作用，产生弯 曲变形；机器中的转轴，在齿轮啮合力的作用下（右下 图），将同时产生扭转与弯曲的组合变形。
立柱的强度足够。
16
单元十一 组合变形
课题三 圆轴弯曲与扭转组合变形 的强度计算
17
单元十一 组合变形 课题二 弯曲与拉伸（压缩）组合变形的强度计算 设有一圆轴AB，如下图a所示，右端固定，左端自由且受有 力F作用。
18
单元十一 组合变形 课题三 圆轴弯曲与扭转组合变形的强度计算
一、外力分析 将AB轴简化为悬臂梁，将力F向AB轴线平移，可得一横向力F和 一附加力偶，如上图b所示。力F使杆件产生弯曲变形，而力偶 则使杆件产生扭转变形，故AB轴为弯曲与扭转的组合变形。 二、内力分析 为了确定杆件的危险截面，作出轴AB的扭矩图和弯矩图，如上 图d、c所示。从内力图可知固定端左侧截面上的内力最大，故 该截面为危险截面。
（2）内力分析。画出立柱的轴力图及弯矩图。轴力为FN=F=15kN
弯矩为： M F • e 6kN • m
项目组合变形概述.ppt
工程力学
项目十 组合变形
项目十 组合变形
工程力学
项目十 组合变形
2
项目十 组合变形
课题10.1 组合变形的概念 课题10.2 斜弯曲 课题10.3 拉伸（压缩）与弯曲组合变形 课题10.4 偏心压缩与偏心拉伸 课题10.5 截面核心
课题10.6 弯曲与扭转组合变形
工程力学
项目十 组合变形
课题10.1 组合变形的概念
绞车轴的弯矩图和扭矩图如
图c、d所示。
工程力学
项目十 组合变形
由图可见危险截面在轴的中点C
处，此截面的弯矩和扭矩分别为：
M1Ql1Q0.80.2QNm 44
T 1QD1Q0.360.18QNm
2
2
（3）强度分析
eq 3
M 2 T 2
W
( 0 .2Q )2 ( 0 .18 Q )2
0 .03 3
工程力学
项目十 组合变形
工程力学
项目十 组合变形
工程力学
项目十 组合变形
工程力学
项目十 组合变形
工程力学
项目十 组合变形
解决组合变形问题的基本步骤：
1、外力分析：
将外载荷进行简化（平移、分解），得到与原载荷等 效的几组载荷，使构件在每一组载荷的作用下，只产生 一种基本变形，以判别组合变形的类型。 2、内力分析：
Pz
y
z
y Mz M=PL
My
z
工程力学
项目十 组合变形
例 某齿轮轴，n=265r/min、NK=10kW、D1=396mm，
D2=168mm， =20o ， d=50mm，[]= 50MPa。校核轴的强度。
（1）外力分析：
取一空间坐标系Oxyz,将啮合力P1、P2分解为切向力P1z 、 P2y和径 向力 P1y 、 P2z ，它们分别平行于y轴和z轴。再将两个切向力分别向齿轮 中心平移，亦即将P1z、P2y平行移至轴上，同时加一附加力偶。
项目十 组合变形
项目十 组合变形
工程力学
项目十 组合变形
2
项目十 组合变形
课题10.1 组合变形的概念 课题10.2 斜弯曲 课题10.3 拉伸（压缩）与弯曲组合变形 课题10.4 偏心压缩与偏心拉伸 课题10.5 截面核心
课题10.6 弯曲与扭转组合变形
工程力学
项目十 组合变形
课题10.1 组合变形的概念
绞车轴的弯矩图和扭矩图如
图c、d所示。
工程力学
项目十 组合变形
由图可见危险截面在轴的中点C
处，此截面的弯矩和扭矩分别为：
M1Ql1Q0.80.2QNm 44
T 1QD1Q0.360.18QNm
2
2
（3）强度分析
eq 3
M 2 T 2
W
( 0 .2Q )2 ( 0 .18 Q )2
0 .03 3
工程力学
项目十 组合变形
工程力学
项目十 组合变形
工程力学
项目十 组合变形
工程力学
项目十 组合变形
工程力学
项目十 组合变形
解决组合变形问题的基本步骤：
1、外力分析：
将外载荷进行简化（平移、分解），得到与原载荷等 效的几组载荷，使构件在每一组载荷的作用下，只产生 一种基本变形，以判别组合变形的类型。 2、内力分析：
Pz
y
z
y Mz M=PL
My
z
工程力学
项目十 组合变形
例 某齿轮轴，n=265r/min、NK=10kW、D1=396mm，
D2=168mm， =20o ， d=50mm，[]= 50MPa。校核轴的强度。
（1）外力分析：
取一空间坐标系Oxyz,将啮合力P1、P2分解为切向力P1z 、 P2y和径 向力 P1y 、 P2z ，它们分别平行于y轴和z轴。再将两个切向力分别向齿轮 中心平移，亦即将P1z、P2y平行移至轴上，同时加一附加力偶。
工程力学 第11章组合变形
第三节
偏心压缩
三.截面核心的概念 ——若外力作用在截面形心附近的某一个区域，使 得杆件整个截面上全为压应力而无拉应力，这个 外力作用的区域称为截面核心。
第三节
偏心压缩
例2. 起重机支架的轴线通过基础的中心。 起重机自重180kN，其作用线通过基础 底面QZ轴，且有偏心距e=0.6m.已知基 础混凝土的容重等于22kN/m3，若矩形 基础的短边长3m。 试计算：（1）其长边的尺寸为 多少时使基础底面不产生拉应力？ （2）在所选的值之下，基础底面上的 最大压应力为多少？
Mzy M cosy Iz Iz
Myz Iy
M sin z Iy
（4）应力叠加——危险点应力
Mz y Myz cos sin M ( y z) IZ Iy IZ Iy
第二节
危险点的应力为：
max
斜弯曲
工程力学
第十一章 组合变形
主要内容
第一节 组合变形的概念 第二节 斜弯曲 第三节 偏心压缩
第一节
组合变形的概念
牛腿柱
第一节
组合变形的概念
F F F
试分析受压立柱的变形形式
压缩-弯曲变形
压缩变形
压缩-弯曲变形
第一节
组合变形的概念
一.组合变形的概念 1.组合变形——由两种或两种以上的基本变形组合 而成的变形称为组合变形 。 2.组合变形杆件的强度计算方法——叠加原理。 二.叠加原理解题步骤： （1）分解：将作用于组合变形杆件上的外力分解或简化 为基本变形的受力方式； （2）叠加：对各基本变形进行应力计算后，将各基本变形 同一点处的应力进行叠加，以确定组合变形时各点的应力； （3）强度条件：分析确定危险点的应力，建立强度条件。
材料力学：第11章：组合变形
2
≤[σ]
2
M + 0.75T W
3
≤[σ]
πd
32
例：图示悬臂梁的横截面为等边三角形， 图示悬臂梁的横截面为等边三角形， C为形心，梁上作用有均布载荷ｑ，其作用方 为形心，梁上作用有均布载荷ｑ，其作用方 为形心 ｑ， 向及位置如图所示，该梁变形有四种答案： 向及位置如图所示，该梁变形有四种答案： A）平面弯曲； （√ ）平面弯曲； （C）纯弯曲； ）纯弯曲； （B）斜弯曲； ）斜弯曲； （D）弯扭结合。 ）弯扭结合。
Mz y My σ′=− =− sin ϕ Iz Iz
σ ′′ = −
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
My z Iy
Mz =− cos ϕ Iy
Py
Mz
Pz
My
y z σ = σ ′ + σ ′′ = − M sin ϕ + cos ϕ I Iy z
下面确定中性轴的位置： 下面确定中性轴的位置： 设中性轴上某一点的坐标为 y0 、 z0，则
α
ϕ
中性轴
ϕ
中性轴
二、位移计算 斜弯曲概念 为了计算梁在斜弯曲时的挠度， 为了计算梁在斜弯曲时的挠度，仍应用叠加法
fy = Py l
3
3EI Z
Pl3 = sin ϕ 3EI Z
Pl3 Pz l 3 fz = = cosϕ 3EI y 3EI y
ϕ
f =
2 fy
+f
2 z
tg β =
fy fz
=
Iy Iz
tg ϕ
tg β = tgα
α
β =α
ϕ
中性轴 总挠度f与中 总挠度 与中 性轴垂直
第11章 组合变形
z
c ,max
(2)若 [ t ] [ c ] [ ] ,
则
FN M max [ c ] A Wz
25
max Max { t ,max , c ,max } [ ]
[例11-3-1] 最大吊重为 P=20kN的简易吊车，如图所 示，AB为工字A3钢梁，许用应力[σ]＝100MPa，试选 T Y Ty A 择工字梁型号。 XA D
= +
Fz
z
叠加原理
x
y
Fy
z
在线弹性范围
小变形条件下
x y
8
二、内力分析
m m x L
xy平面弯曲
y z
Mz
z
x x
Fy
m y
z
m Fz m x L
xz平面弯曲
y
z
x
My
x
m y
9
二、内力分析
m A m x L m A L 危险截面：杆件根部A截面
10
z x y
FL
弯矩：Mz Fy x
xy平面弯矩图
M
A
A
A
=
B
压弯组合 B 轴向拉压
+
B 平面弯曲
32
F F1
内力分析
M
F
A
A
M A
A
B 轴向拉压
B FN(轴力)
B 平面弯曲
B
33) M(弯矩
应力分析
FN
z
M
z
y
FN ( y, z) A
y
z
y
+
z
y
M σ(y, z) y Iz
c ,max
(2)若 [ t ] [ c ] [ ] ,
则
FN M max [ c ] A Wz
25
max Max { t ,max , c ,max } [ ]
[例11-3-1] 最大吊重为 P=20kN的简易吊车，如图所 示，AB为工字A3钢梁，许用应力[σ]＝100MPa，试选 T Y Ty A 择工字梁型号。 XA D
= +
Fz
z
叠加原理
x
y
Fy
z
在线弹性范围
小变形条件下
x y
8
二、内力分析
m m x L
xy平面弯曲
y z
Mz
z
x x
Fy
m y
z
m Fz m x L
xz平面弯曲
y
z
x
My
x
m y
9
二、内力分析
m A m x L m A L 危险截面：杆件根部A截面
10
z x y
FL
弯矩：Mz Fy x
xy平面弯矩图
M
A
A
A
=
B
压弯组合 B 轴向拉压
+
B 平面弯曲
32
F F1
内力分析
M
F
A
A
M A
A
B 轴向拉压
B FN(轴力)
B 平面弯曲
B
33) M(弯矩
应力分析
FN
z
M
z
y
FN ( y, z) A
y
z
y
+
z
y
M σ(y, z) y Iz
组合变形习题PPT课件
一个袋子中有5个红球和5个白球，从中随 机抽取5个球，求取出5个球中颜色相同的 概率。
高难度习题解析
总结词
这些习题难度较大，需要学 生具备较强的逻辑思维和分 析能力。
题目1
一个袋子中有10个不同颜色 的球，从中随机抽取3个球， 求取出3个球中颜色种类最 多的概率。
题目2
题目3
一个班级有20名学生，从中 选出5名学生代表，要求男 女比例相等且来自不同宿舍， 问共有多少种不同的选法。
04
组合变形的注意事项
力的作用点与方向
力的作用点
力的作用点是确定物体运动状态的依据，在分析受力时，必须明确力的作用点。
力的方向
在分析受力时，要明确力的方向，特别是对于作用在刚体上的力，其方向通常由 箭头的指向表示。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
力的大小与单位
力的大小
在分析受力时，要明确力的大小，通常用实线段表示力的大小，并在其旁边标注相应的 数值。
组合变形的实例解析
平面力系的组合变形
总结词
平面力系中，力的方向和作用点对确定刚体运动 状态十分重要。
总结词
平面力系中，力的合成与分解是解决复杂问题的 关键。
详细描述
在平面力系中，力的方向和作用点发生变化时， 刚体的运动状态也会随之改变。例如，当一个水 平推力作用在静止的木箱上时，木箱会沿推力方 向移动；而当这个推力作用点改变时，木箱的运 动轨迹也会发生变化。
组合变形的分类
线性组合变形
将多个简单形按照线性关系组合在一起，形成新 的复杂形。
对称组合变形
将多个简单形按照对称关系组合在一起，形成新 的复杂形。
非线性组合变形
将多个简单形按照非线性关系组合在一起，形成 新的复杂形。
第十一章组合变形CombinedDeformation
R
x
x
P
P y
z My
zMz
Py
My
二、应力分析：
x z Mz P y
P
MZ
My
My
xP
P A
xMz
Mz y Iz
xMy
Myz Iy
x
P A
Mz y Iz
Myz Iy
三、中性轴方程
x
P A
M z y0 Iz
M y z0 Iy
0
对于偏心拉压问 题
P PyP y0 PzP z0
max 162.8106
x 36.8mm
例 圆杆直径为d = 0.1m,T = 7kNm, P = 50kN [ ]=100MPa,按第三强度理论校核强度
解：拉扭组合,危险点应力状态如图
T P
A T
A
P
P A
4 50
0.12
103
6.37MPa
T Wn
Mz y M y sinj
Iz
Iz
合应力
M( z cosj y sinj )
Iy
Iz
m
x
z
x
m Pz
Py
y
LP
Pz
zj
Py LP
y
（3）中性轴方程 M ( z0 cosj y0 sinj ) 0
中性轴
Iy
Iz
tg y0 Iz ctgj
Pz P cosj
2.分别研究两个平面弯曲
第十一组合变形-
My2 Mz2 Mn2 W
4 1 2 1 22 2 32 3 12
2 32
xB1 B1
M2 0.75Mn2 W
My2Mz20.75Mn2 W
* 4
My2Mz20.75Mn2 W
弯扭组合问题的求解步骤： ①、外力分析：外力向形心简化并分解 ②、内力分析：每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定
？
y yc z
解：内力分析如图 坐标如图，挖孔处的形心
20
20 100
2 01 020
zc1
5mm 01 0 02 010
N M
Iyc
1 01
03 0 1 01
05 02
12
[10203 1020252] 12
7.27105mm4
M 5P 1 3 050 N0m
f
fy2fz2
(PyL3)2(PzL3)2 3EzI 3EyI
f fy
tg fy Iy tg
fz Iz
当I y = I z时，即发生平面弯曲。
例 11-2-2、矩形截面木檩条如图，跨长L=3m,受集度为
q=800N/m的均布力作用， []=12MPa，容许挠度为：L/200 ， E=9GPa，试选择截面尺寸并校核刚度。
A
L
B
maxW Mzz
My Wy
§11－3 弯曲与扭转
P2
P1
80° Z
A 150
B 200
C 100
x Dy
P1
A 150
B 200
P1
Mx
A 150
B 200
P2
80° Z 建立图示杆件的强度条件
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4 32
N A
M W
M W
偏心拉伸或压缩：
N P A cd
My Pa Wy d c2
6
Mz Pb Wz cd 2
6
任 意 横 截 面 上 的 内 力 ： NP, MyPa, Mz Pb
N AM Iy yzM IzzycP dd Pa c3 zP cd b3 y
12 12
ct N AW M yyW M zz cP ddPca2cP db2
66
11.4 扭转与弯曲的组合变形
A截面为危险截面：
M Pl T Pa
k1
M W
T
Wt
k2
1
3 2
2
2
2
2 0
r313 2 42
WM 2
4WTt
2
M , 32
Wt 16
M, T
W
Wt
r42 1(12 )2 (23 )2 (31 )2
解：(1)
Pa
t
c
NM AW
P a2 2
4
a
a 2
2
8P
6
a2 4P a2
例：图示偏心受压杆。试求该 杆中不出现拉应力时的最大偏心 距。 解： N P , M P e
t
N A
M W
P bh
Pe hb 2
0
6 e b
6
例：偏心拉伸杆， 弹性模量为E，尺寸 、受力如图所示。求 ：
（1）最大拉应力 和最大压应力的位置 和数值；
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
Thank You
在别人的演说中思考，在自己的故事里成长
解：(1) 最大拉应力发生在后背面上各点处
t
100103
5000
100200106 0.20.12
20M Pa
6
例：空心圆轴的外径D=200mm，内径d=160mm 。在端部有集中力P =60kN ，作用点为切于圆周 的A点。[σ]=80MPa，试用第三强度理论校核轴 的强度。
直径为20mm的圆截面水平直角折杆，受 垂直力P=0.2kN，已知［σ］=170MPa。试用 第三强度理论确定ａ的许可值。
第11章 组合变形
11.1 组合变形的概念 前面几章研究了构件的基本变形：
轴向拉（压）、扭转、平面弯曲。 由两种或两种以上基本变形组合的情况称 为组合变形。 所有由基本变形组合产生的杆件内力称为 复合抗力。
在复合抗力的计算中，通常都是由力作用 的独立性原理出发的。在线弹性范围内，可以 假设作用在体系上的诸载荷中的任一个所引起
M yP z(lx)Pcos(lx)M cos M zP y(lx)Psin(lx)M sin
Mz yMysin My zMzcos
Iz
Iz
Iy
Iy
Py Mz
Pz My
MIyz sinIzycos
11.3 拉伸(压缩)与弯曲的组合变形
例：一折杆由两根圆杆焊接而成，已知圆 杆直径d=100mm，试求圆杆的最大拉应力σt和 最大压应力 σc 。
（C）纯弯曲； （D）弯扭结合。
例：图示Z形截面杆，在自由端作用一集中 力P，该杆的变形设有四种答案：
（A）平面弯曲变形； （√B）斜弯曲变形；
（C）弯扭组合变形； （D）压弯组合变形。
例：具有切槽的正方形木杆， 受力如图。求：
（1）m-m截面上的最大拉应 力σt 和最大压应力σc；
（2）此σt是截面削弱前的σt 值的几倍？
的变形对其它载荷作用的影响可忽略不计。
实验表明，在小变形情况下，这个原理 是足够精确的。因此，可先分别计算每一种基 本变形情况下的应力和变形，然后采用叠加原 理计算所有载荷对弹性体系所引起的总应力和 总变形。
11.2 斜弯曲
一、应力计算
Py Psin Pz Pcos
Py Psin Pz Pcos
解： X A 3 kN
YA 4 kN
任 意 横 截 面 x上 的 内 力 :
N X A 3kN Q YA 4kN M(x) YA x 4 x
1 1 截 面 上 危 险 截 面 ， 其 上 ： N 3 k N ， M 8 k N m
c t N AW M3d 10 238d 10 33 8 81 1..9 1M Pa
（2）AB长度的改 变量。
解：(1)
P h NP , M y2,
P b M z2
最大拉应力发生在AB线上各点
最大压应力发生在CD线上各点
t N My Mz c A Wy Wz
Ph Pb
P 2 2 bh bh2 hb2
7P 6
6
bh 5P
bh
例：求图示杆在P=100kN作用下的σt数值， 并指明所在位置。
2 32 M2 0.75T2
W
圆截面杆弯扭组合变形时的相当应力：
r 3
M 2 T 2 [ ]
W
r 4
M 2 0 .7 5 T 2 [ ]
W
d3 W
32
例：图示悬臂梁的横截面为等边三角形， C为形心，梁上作用有均布载荷ｑ，其作用方 向及位置如图所示，该梁变形有四种答案：
（√A）平面弯曲； （B）斜弯曲；
Thinking In Other People‘S Speeches，Growing Up In Your Own Story
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
N A
M W
M W
偏心拉伸或压缩：
N P A cd
My Pa Wy d c2
6
Mz Pb Wz cd 2
6
任 意 横 截 面 上 的 内 力 ： NP, MyPa, Mz Pb
N AM Iy yzM IzzycP dd Pa c3 zP cd b3 y
12 12
ct N AW M yyW M zz cP ddPca2cP db2
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11.4 扭转与弯曲的组合变形
A截面为危险截面：
M Pl T Pa
k1
M W
T
Wt
k2
1
3 2
2
2
2
2 0
r313 2 42
WM 2
4WTt
2
M , 32
Wt 16
M, T
W
Wt
r42 1(12 )2 (23 )2 (31 )2
解：(1)
Pa
t
c
NM AW
P a2 2
4
a
a 2
2
8P
6
a2 4P a2
例：图示偏心受压杆。试求该 杆中不出现拉应力时的最大偏心 距。 解： N P , M P e
t
N A
M W
P bh
Pe hb 2
0
6 e b
6
例：偏心拉伸杆， 弹性模量为E，尺寸 、受力如图所示。求 ：
（1）最大拉应力 和最大压应力的位置 和数值；
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
Thank You
在别人的演说中思考，在自己的故事里成长
解：(1) 最大拉应力发生在后背面上各点处
t
100103
5000
100200106 0.20.12
20M Pa
6
例：空心圆轴的外径D=200mm，内径d=160mm 。在端部有集中力P =60kN ，作用点为切于圆周 的A点。[σ]=80MPa，试用第三强度理论校核轴 的强度。
直径为20mm的圆截面水平直角折杆，受 垂直力P=0.2kN，已知［σ］=170MPa。试用 第三强度理论确定ａ的许可值。
第11章 组合变形
11.1 组合变形的概念 前面几章研究了构件的基本变形：
轴向拉（压）、扭转、平面弯曲。 由两种或两种以上基本变形组合的情况称 为组合变形。 所有由基本变形组合产生的杆件内力称为 复合抗力。
在复合抗力的计算中，通常都是由力作用 的独立性原理出发的。在线弹性范围内，可以 假设作用在体系上的诸载荷中的任一个所引起
M yP z(lx)Pcos(lx)M cos M zP y(lx)Psin(lx)M sin
Mz yMysin My zMzcos
Iz
Iz
Iy
Iy
Py Mz
Pz My
MIyz sinIzycos
11.3 拉伸(压缩)与弯曲的组合变形
例：一折杆由两根圆杆焊接而成，已知圆 杆直径d=100mm，试求圆杆的最大拉应力σt和 最大压应力 σc 。
（C）纯弯曲； （D）弯扭结合。
例：图示Z形截面杆，在自由端作用一集中 力P，该杆的变形设有四种答案：
（A）平面弯曲变形； （√B）斜弯曲变形；
（C）弯扭组合变形； （D）压弯组合变形。
例：具有切槽的正方形木杆， 受力如图。求：
（1）m-m截面上的最大拉应 力σt 和最大压应力σc；
（2）此σt是截面削弱前的σt 值的几倍？
的变形对其它载荷作用的影响可忽略不计。
实验表明，在小变形情况下，这个原理 是足够精确的。因此，可先分别计算每一种基 本变形情况下的应力和变形，然后采用叠加原 理计算所有载荷对弹性体系所引起的总应力和 总变形。
11.2 斜弯曲
一、应力计算
Py Psin Pz Pcos
Py Psin Pz Pcos
解： X A 3 kN
YA 4 kN
任 意 横 截 面 x上 的 内 力 :
N X A 3kN Q YA 4kN M(x) YA x 4 x
1 1 截 面 上 危 险 截 面 ， 其 上 ： N 3 k N ， M 8 k N m
c t N AW M3d 10 238d 10 33 8 81 1..9 1M Pa
（2）AB长度的改 变量。
解：(1)
P h NP , M y2,
P b M z2
最大拉应力发生在AB线上各点
最大压应力发生在CD线上各点
t N My Mz c A Wy Wz
Ph Pb
P 2 2 bh bh2 hb2
7P 6
6
bh 5P
bh
例：求图示杆在P=100kN作用下的σt数值， 并指明所在位置。
2 32 M2 0.75T2
W
圆截面杆弯扭组合变形时的相当应力：
r 3
M 2 T 2 [ ]
W
r 4
M 2 0 .7 5 T 2 [ ]
W
d3 W
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例：图示悬臂梁的横截面为等边三角形， C为形心，梁上作用有均布载荷ｑ，其作用方 向及位置如图所示，该梁变形有四种答案：
（√A）平面弯曲； （B）斜弯曲；
Thinking In Other People‘S Speeches，Growing Up In Your Own Story
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日