平行四边形的对角线性质

（来自《典中点》）
知识点 2 平行四边形的面积
知2－讲
1.面积公式：平行四边形的面积＝底×高(底为平行四
边
形的任意一条边，高为这条边与其对边间的距离)；
2.等底等高的平行四边形的面积相等．
要点精析：
(1)求面积时，底和高一定要对应，必须是底边上的高；
(2)等底等高的平行四边形与三角形面积间的关系：三
11.
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
本例易受全等三角形思维定式的影响．欲证的 两线段相等且又属于不同的三角形，习惯上就联想 到证这两个三角形全等，这样虽然能达到证明的目 的，却忽视了平行四边形的特有的性质，易走弯路. 因此在解决平行四边形的有关问题中，应注意运用 平行四边形的性质．
（来自《点拨》）
知1－练
第18章 平行四边形
18.1 平行四边形的性质
第2课时 平行四边形的 对角线性质
1 课堂讲解 平行四边形的性质——对角线互相平分
平行四边形的面积
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
复
习
回
顾
1. 平行四边形的定义是什么？ 2. 平行四边形的边、角有哪些性质？
知1－导
知识点 1 平行四边形的性质——对角线互相平分
（来自《点拨》）
知2－讲
导引：求 ABCD的周长，已知一条边AD＝6，只需求出 AD的邻边AB或CD的长即可． ∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝6，BE＝2， ∴AD＝BC＝6，∴EC＝BC－BE＝6－2＝4， ∵ AD∥BC，∠ADE＝∠DEC. ∵DE平分∠ADC，∠ADE＝∠EDC. ∴∠EDC＝∠DEC. ∴DC＝EC＝4. ∴ ABCD的周长是2×(4＋6)＝20.
∴OA＝OC，OB＝OD.
拓展：
(1)平行四边形的两条对角线把它分割成四个面积相等的
三
角形；
数学表达式：
如图，∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD
相交于点O，∴S△ABO＝S△BCO＝S△CDO＝S△ADO.
知1－讲
(2)若一条直线过平行四边形两条对角线的交点，则 该
直线平分平行四边形的周长和面积． 数学表达式：如图，∵直线EF过平 行四边形ABCD两对角线的交点O，
（来自《点拨》）
知2－讲
例6〈本溪〉如图，在 ABCD中，AB＝4，BC＝6， ∠B＝30°，则此平行四边形的面积是( B ) A．6 B．12 C．18 D．24
（来自《点拨》）
知2－讲
导引： 过点A作AE⊥BC于E，根据含30°角的直角三角 形 的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边 等 于斜边的一半可求出AE的长，利用平行四边形 的面 积公式即可求出其面积． 如图，12 过点A作12AE⊥BC于E， ∵在直角三角形ABE中， ∠B＝30°，
3 (中考·常州)如图，已知 ABCD的对角线AC， BD相交于点O，则下列说法一定正确的是( )
A．AO＝OD B．AO⊥OD C．AO＝OC D．AO⊥AB
（来自《典中点》）
知1－练
4 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围 是( )
ABCD是一个中心对称图形，对角线的交
点O就是对称中心，有 OA = OC, OB = OD.
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由此可得：
平行四边形的性质定理3 平行四边形的对角
线互相平分.
（来自《教材》）
对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分．
知1－讲
数学表达式：如图，∵四边形ABCD是
平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，
角
（来自《点拨》）
形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．
知2－讲
拓展：
(1)两等底平行四边形(三角形)面积的比等于它们
高
的比；
(2)两等高平行四边形(三角形)面积的比等于它们
底
的比．
3.根据平行四边形的两组对边相等，可知平行四
边
（来自《点拨》）
形的周长等于两邻边和的2倍．
知2－讲
例5 〈福州〉如图，在 ABCD中，DE平分∠ADC， AD＝6，BE＝2，则 ABCD的周长是___2_0____．
知1－讲
（来自《教材》）
知1－讲
例3 如图，已知 ABCD的周长是60，对角线AC，BD 相交于点O.若△AOB的周长比△BOC的周长长8， 求这个平行四边形各边的长．
导引： 由平行四边形对边相等知，
2AB＋2BC＝60，所以AB ＋BC＝30.又由△AOB的周 长比△BOC的周长长8，知 AB－BC＝8，联立以上两 式，即可求出各边长．
（来自《教材》）
知1－讲
例2 如图， ABCD的对角线AC和BD相交于点O， EF过点O且与边AB、CD分别相交于点E和点 F. 求证：OE=OF.
分析：要证明OE= OF，只要证明它们所在的两个三 角形全等即可.
（来自《教材》）
解： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD(平行四边形的对角线互相平分). 又∵AB // DC , ∴∠EBO =∠FDO. 又∵∠BOE =∠DOF, ∴△BEO≌△DFO. ∴OE = OF.
（来自《点拨》）
知1－讲
解： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC. ∵AB＋BC＋CD＋DA＝60， OA＋AB＋OB－(OB＋BC＋OC)＝8， ∴AB＋BC＝30，AB－BC＝8. ∴AB＝CD＝19，BC＝AD＝11， 即这个平行四边形各边长分别为19，11，19，
A．2 cm＜OA＜5 cm B．2 cm＜OA＜8 cm C．1 cm＜OA＜4 cm D．3 cm＜OA＜8 cm
（来自《典中点》）
知1－练
5 (中考·河南)如图，已知 ABCD的对角线AC与BD 相交于点O，AB⊥AC. 若AB＝4，AC＝6，则BD 的长是( )
A．8 B．9 C．10 D．11
1 ∴＝AE(2 ＋ABA＋B＋BCB＋F＝CDF＋C＋DAC)D，＋12 SDYEA B C D . S四边形ABFE＝S四边形FCDE＝
（来自《点拨》）
知1－讲
例1 如图， ABCD的对角线AC和BD相交于点O， △AOB的周长为15，AB = 6，那么对角线AC 与BD的和是多少？
证明：在 ABCD中， ∵AB = 6, AO +BO +AB = 15, ∴AO+BO =15-6 =9. 又∵AO =OC, BO =OD (平行四边形的对角线互相平分)， ∴AC+BD=2AO+2BO= 2(AO+ BO) =2×9=18.