第三章 随机变量与概率分布

产公猪头数的期望值： E ( X ) np 10 0.5 5 产公猪头数的方差： Var( X ) np(1 p) 10 0.5 0.5 0.25
3.5 普哇松（Poisson）分布
当二项分布中 n 很大， P 很小时 , 二项分布就变成为 Poisson 分布，所以Poisson 分布实际上是二项分布的极 限分布。 若随机变量x(x=k)只取零和正整数值0，1，2，…，且其 概率分布为
P( x k )
k
k!
e
k=0，1，……
其中λ＞0；e=2.7182…是自然对数的底数，则称x服从参 数为λ的波松分布，记为x～P(λ)。
λ是Poisson分布所依赖的唯一参数。λ值愈小分布愈偏 倚，随着λ的增大，分布趋于对称。当λ=20时分布接 近于正态分布；当λ=50时，可以认为波松分布呈正态 分布。所以在实际工作中，当λ≥20时就可以用正态分 布来近似地处理波松分布的问题。
4
（总体） g 2
2 m2
m4
3
（样本）
峭度为正表示分布曲线比正态分布更尖峭，说明变量值的 次数较为密集地分布在众数的周围。 峭度为负表示分布曲线比正态分布更平坦，说明变量值的 次数分布比较均匀地分散在众数的两侧。 峭度为零，说明分布为正态的。
离散型随机变量的概率分布
二项分布（binomial distribution）
6 6 3.5
离散型随机变量的概率分布
期望的性质
1. E (a) a
(a是常量) 2. E( X Y ) E ( X ) E(Y )
3. E (aX ) aE( X )
4.
E ( XY ) E ( X ) E (Y )
（当X和Y彼此独立）
离散型随机变量的概率分布
随机变量函数的期望
随机变量取值小于或等于某特定值的概率
离散型随机变量的概率分布
概率函数
f ( x ) P( X x )
X ：随机变量，x：该随机变量的某一可能取值
f ( x) 0 ,
概率分布函数
所有x
f ( x) 1
y x
F ( x) P( X x)
f ( y)
离散型随机变量的概率分布
概率分布
概率函数(probability function) 随机变量取某一特定值的概率函数（离散型 随机变量）
概率密度函数(probability density function)
随机变量取某一特定值的密度函数（连续型 随机变量）
概率分布函数(probability distribution function)
偏度为负（负偏态）就意味着在概率密度函数左侧的尾部比 右侧的长，绝大多数的值位于平均值的右侧。 偏度为正（正偏态）就意味着在概率密度函数右侧的尾部比 左侧的长，绝大多数的值位于平均值的左侧。
偏度与峭度
峭度（kurtosis）
度量一个分布的尖峭或平坦程度的指标
2
E( X )4 3
P(a Z b) P(Z b) P(Z a)
或
P(a Z b) 1 P(Z a) P(Z b)
正态分布
例：设 Z ~ N(0, 1)，求 (1) P(Z 0.64) (2) P(Z 1.53) (3) P(-2.12 Z -0.53) (4) P(-0.54 Z 0.84)


Z服从正态分布
Z ~ N (0,1)
标准正态分布
正态分布
标准正态分布的概率密度函数
2 1 z f ( z) exp[ ] 2 2
z
0
正态分布
标准正态分布的概率计算
附表1 (p. 294)
P( Z u )
u

f ( z )dz
u

1 exp( z )dz 2 2
具有如下概率密度函数的随机变量称为正态 分布随机变量：
(x ) 1 f ( x) exp[ ] 2 2 2 x
2
= 期望 2 = 方差
（可以证明这个函数满足概率密度函数的3个条件）
X ~ N(, )
2
正态分布
正态分布概率密度函数的几何表示
f (x )
离散型随机变量的概率分布
概率分布图
离散型随机变量的概率分布
Fra Baidu bibliotek随机变量的期望(expectation)
期望也称数学期望，是一次试验中所期望的随机变量的取值，也 等于总体平均数
E( X ) xi f ( xi )
对于例1：
E ( X ) xi 1 1 (1 2 3 4 5 6)
f
x x ( x) Cn p (1
p)
n x
x n x n ! p (1 p) ( x 0,1,2,, n) x!(n x)! 二项分布的期望 E( X ) xi f ( xi ) np
二项分布的方差
Var( X ) np(1 p)
2
离散型随机变量的概率分布
离散型随机变量的概率分布
随机变量的方差(variance) - 总体方差

2
( xi ) Var( X ) N
2 2
2
E[( X ) ]
2
2
E[( X ) ] E ( X 2 X )] E ( X ) 2E ( X ) E( X )
正态分布
平均数的影响
标准差的影响
正态分布
标准正态分布(standard normal distribution) 对于 X ~ N ( , 2 ) 令 Z X 标准化
E(Z ) 1 [ E( X ) ] 1 ( ) 0


Var ( Z ) 12 [Var ( X ) Var ( )] 12 ( 2 0) 1
设H(X)是随机变量X的某个函数
E[H ( X )] H ( xi ) f ( xi )
例： H ( X ) X 2
E( X )
2
2 xi
f ( xi )
对于例1：
2 2 2 2 2 2 1 1 E( X ) (1 2 3 4 5 6 ) 6 6 15.167 2 2 xi
例1：掷一次骰子所得点数的概率函数
1 f ( x) , 6
概率分布列
x f (x)
x 1, 2, 3, 4, 5, 6
1 2 3 4 5 6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
离散型随机变量的概率分布
例2：掷二次骰子所得点数之和的概率分布
f ( x) P( x1 x2 x)
正态曲线

x
曲线下某区间的面积即为随机变量在该区间取值的概率
正态分布
正态分布的特点
只有一个峰，峰值在x = 处 曲线关于x = 对称，因而平均数=众数=中 位数 x轴为曲线向左、右延伸的渐进线 由两个参数决定： 平均数 和 标准差 • 决定曲线在x 轴上的位置 • 决定曲线的形状
假设：1. 在相同条件下进行了n次试验 2. 每次试验只有两种可能结果（1或0） 3. 结果为1的概率为p，为0的概率为1-p 4. 各次试验彼此间是独立的 在n次试验中，结果为1的次数（X = 0，1，2， ，n）服从二项分布，表示为
X ~ B(n, p)
离散型随机变量的概率分布
二项分布的概率函数
x f(x) x f(x) 2 3 4 5 6 7 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 8 9 10 11 12 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
7
21 6 F (7 ) f ( x ) f (7) P( x1 x2 7) 36 36 x2
例3：一头母猪一窝产了10头仔猪，分别求其
中有2头公猪和6头公猪的概率。
2 f (2) C10 0.52 (1 0.5)102 2 8 10 ! 0.5 0.5 2!(10 2)! 0.0439
6 f (6) C10 0.56 (1 0.5)106 6 4 10 ! 0.5 0.5 6!(10 6)! 0.2051
95.5%
正态分布
对于给定的两尾概率求标准正态分布在 x轴上的分位点
附表2 （p. 297）
1 P(u Z u)
/2
/2
正态分布
对于给定的一尾概率求标准正态分布在 x轴上的分位点
1 P( Z u )

1 P(u Z u) 2
2
正态分布
(1) P( Z u) 或 P(Z -u) (u > 0)
P(Z u) P(Z u)
直接查表
正态分布
(2) P( Z -u) 或 P(Z u)
P(Z u) P(Z u) 1 P(Z u)
查表
正态分布
(3) P( a Z b)
正态分布
几个特殊的一般正态分布概率
P( - X + ) = 68.26% P( - 2 X + 2 ) = 95.45% P( - 3 X + 3 ) = 99.73% P( - 1.96 X + 1.96 ) = 95%
P( - 2.58 X + 2.58 ) = 99%
连续型随机变量的概率分布
概率密度函数
满足以下条件的函数f (x)称为连续性随机变 量X的概率密度函数:
f ( x) 0
(x是X的任一可能取值)

X的取值范围
f ( x)dx f ( x)dx 1
b a
P(a X b) f ( x)dx
连续型随机变量的概率分布
第三章 随机变量和概率分布 概率分布 正态分布 二项分布
随机变量及其种类
随机变量（random variable）
在一定范围内随机取值的变量 以一定的概率分布取值的变量
分类
离散型(discrete)随机变量：只取有限个可能值（通 常为整数） • 例：发病个体数，产仔数 连续型(continuous)随机变量：在一定范围内可取 无限个可能值（实数） • 例：产奶量，体长，日增重
正态分布
几个特殊的标准正态分布概率
P( -1 Z 1) = 68.26% P( -2 Z 2) = 95.45% P( -3 Z 3) = 99.73% P( -1.96 Z 1.96) = 95%
P( -2.58 Z 2.58) = 99%
正态分布
99.7% 68.3%
概率分布函数
F ( x) P( X x)
x
f ( y)dy
期望
E( X ) xf ( x)dx


方差
Var( X ) E( X )
2 2
x f ( x)dx
2
2
连续型随机变量的概率分布
正态分布（normal distribution）
2 2 2 2
2 2 2 2 对于例1： E( X ) 15.167 3.5 2.917
离散型随机变量的概率分布
方差的性质
1. Var(a) = 0 （a是常量） 2. Var(aX ) = a2Var(X ) 3. Var(X ± Y ) = Var(X ) + Var(Y ) (X和Y彼此独立） / Var(X )Var(Y ) 4. Var(XY ) =
正态分布
99.7% 95.5%
68.3%
-3 -2 -
+ +2 +3 x
偏度与峭度
偏度和峭度可以用来辅助判断样本数据服从正态分布的程度
偏度（skewness）
度量一个分布的对称性的指标
1
E ( X )3

3
（总体） g1
m3 m2 m2
（样本）
用2 查附表2，可得一尾概率为 时的分位点u
正态分布
一般正态分布的概率计算
转换为标准正态分布计算
X ~ N( , 2)
P( X x) P( X x x



) P( Z

)
例： 设 X ~ N(30, 102)，求P(X 40)
40 30 P( X 40) P(Z ) P(Z 1) 0.8413 10