高中数学递推数列通项的常用求法

递推数列通项的常用求法

数列是高中代数的重点内容之一，也是高考考查的重点，而递推数列的通项公式又是数列这一章的一个重点，也是难点，很多同学在这方面都存在着很大的问题。

下面就常见的几种递推数列，谈谈此类数列的通项公式的求法。 类型1 递推关系式形如 )(1n f a a n n +=+或)(1n f a a n n ⋅=+ (其中)(n f 不是常量函数) 例1 设数列{}n a 中21=a ，11++=+n a a n n ，求通项n a . （2008.四川.文16） 解：根据题意得 11+=-+n a a n n

令 ,3,2,1=n ，得 1112+=-a a 1223+=-a a 1334+=-a a

······

1)1(1+-=--n a a n n （2≥n ）

（注：此处只能到1-n 项） 等式两边同时相加得

)1()1321(1-+-++++=-n n a a n =

)1(2)1)(11(-+--+n n n =2

2

2-+n n 所以 2

2

2++=n n a n （检验当1=n 时也成立） *)(N n ∈

练习1 在数列{}n a 中21=a ，)1

1ln(1n a a n n ++=+*)(N n ∈，求n a . （2008.江西.5）

2 已知数列{}n a 中11=a ，113

1

++=-n n n a a *)(N n ∈，求n a .

（2008.天津.理15改编）

例2．设{}n a 是首项为1的正项数列,且0)1(12

2

1=+-+++n n n n a a na a n ),3,2,1( =n ，

求n a . (2000.全国.15)

解：根据题意 0)1(12

21=+-+++n n n n a a na a n 化简得n n na a n =++1)1(.

即

1

1+=

+n n

a a n n (且0>n a ) 令 ,3,2,1=n ，得：2112=a a 3223=a a 4334=a a ·

····· n

n a a n n 1

1-=- 等式两边同时相乘得： 即

n

n a a a a a a a a n n 1

4332211342312-⋅

⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅- （2≥n ）

即

n

a a n 1

1= (且11=a ) 即 n

a n 1

=

（检验当1=n 时也成立） *)(N n ∈ 点评：在运用累加法和累乘法时，要看清项数，计算时项数易出错。

练习3 已知数列{}n a 满足11=a ，1321)1(32--++++=n n a n a a a a )2(≥n ，

求n a . （2004.全国Ⅱ.理15） 类型2 递推关系式形如 q pa a n n +=+1（q p ,为常数）

（1）R q p ∈=,1⇒转化为成等差数列q a a n n +=+1，即q a a n n =-+1. （2）0,0=≠q p ⇒转化为成等比数列n n pa a =+1，即p a a n

n =+1

. （3）0,0,1≠≠≠q p p .

其中（1）（2）两种在此不再介绍，下面就（3）来探讨一下：

例3．已知数列{}n a 中，若11=a ，321+=+n n a a )1(≥n ，求数列{}n a 的通项公式. (2006.重庆.理14) 解：根据题意由 321+=+n n a a 得 )3(231+=++n n a a 故 }3{+n a 是以431=+a 为首项，2为公比的等比数列. 所以

1243-⨯=+n n a

即 321-=+n n a *)(N n ∈

点评：根据题设特征恰当地构造辅助数列,利用基本数列可简捷地求出通项公式。那么本题的关键是如何想到同加适当的常数“3” 构造等比数列，我们可以通过设参数的方法逼出常数。

解： （设参数） m a m a n n ++=++321

（提系数） )2

3(21m

a m a n n ++

=++ （令相等） 2

3m

m +=

（得参数） 3=m

练习4 已知数列{}n a 中，21=a ，)2)(12(1+-=+n n a a ， ,3,2,1=n ，求n a .

（2007.全国Ⅰ.理22）

5 设数列{}n a 满足a a =1，c ca a n n -+=+11，*)(N n ∈，其中a ，c 为实数，且0≠c ，求数列}{n a 的通项公式. （2008.安徽.文21） 类型3 递推关系式形如 n n n q pa a +=+1（q p ,为常数）

例4．在数列{}n a 中11=a ，n n n a a 221+=+*)(N n ∈，求数列{}n a 的通项公式.

(2008全国Ⅰ.文19改编)

解法一：根据题意在n n n a a 221+=+的两边除以n 2 得

12221+=+n n n n a a 则 12

22211+=++n n

n n a a 令 n n

n a b 2

=

则 1221+=+n n b b 即 2

1

1=

-+n n b b （问题便转化为类型2） 解得 2

n b n =

所以 12-⋅=n n n a *)(N n ∈

点评：此类问题的一般解法是构造辅助数列即两边同除以1+n q (或n q )，再化为

q pa a n n +=+1来求解。通过变形，构造辅助数列,转化为基本数列的问题，是我们求解陌生的递推关系式的常用方法。

解法二：11=a =1121-⨯ 42=a =1222-⨯ 123=a =1323-⨯ 猜想数列{}n a 的通项公式为12-⋅=n n n a 以下用数学归纳法证明 ①当1=n 时，11=a ，等式成立.

②假设当k n =(2≥k )时等式成立，即12-⋅=k k k a 那么k k k a a 221+=+=k k k 2221+⋅-=k k k 22+=1)1(2)1(-++k k 当1+=k n 时等式也成立，根据①和②可知 对任何*N n ∈，等式12-⋅=n n n a 都成立.

点评：数学归纳法是证明有关自然数n 的命题的一种方法，应用非常广泛，它是