第五章_对流换热原理-3

（3）能量微分方程
∂t ∂t ∂2t ∂2t ρcpu +v = λ 2 + 2 ∂x ∂y ∂x ∂y
1 1 1 1 1 +δ =a 2 + 2 1 1 δt δt
由于δ 是一个小量， 可知： 由于δt是一个小量，则可知： 于是， 于是，边界层微分方程组可简化为 （1）连续性方程： （2）动量守恒方程： （3）能量守恒方程：
（c）5个基本量的数量级： ） 个基本量的数量级： • 主流速度： • 温度： • 壁面特征长度： • 边界层厚度： • x与L相当，即：
u∞ ~ 0(1 u ~ 0(1 v ~ 0(δ) ); );
t ~ 0(1 );
L ~ 0(1 );
δ ~ 0(δ); δt ~ 0(δ) x ~l ~ 0(1 );
边界条件：说明对流换热过程的边界特点， ④边界条件：说明对流换热过程的边界特点，边界
条件可分为二类：第一类、 条件可分为二类：第一类、第二类边界条件
边界条件： （1）第一类边界条件：已知任一瞬间对流换热过 ）第一类边界条件
程边界上的温度值 程边界上的温度值
边界条件： （2）第二类边界条件：已知任一瞬间对流换热过 ）第二类边界条件
（4） 单值性条件 ）
完整数学描述： 完整数学描述：对流换热微分方程组 + 单值性条件 单值性条件： 单值性条件：能单值反映对流换热过程特点的条件 单值性条件包括：几何、物理、时间、 单值性条件包括：几何、物理、时间、和边界条件
几何条件： ① 几何条件：说明对流换热过程中的几何形状和
大小， 平板 、 圆管 ； 竖直圆管 、 水平圆管 ； 长度 、 大小 ， 平板、 圆管； 竖直圆管、 水平圆管； 长度、 直径等
c
=
u*l
γ
（三）对流换热问题的数学描述 （1）连续性方程：
∂ ρ ∂ u ∂ v ρ ρ + + =0 ∂ τ ∂ x ∂ y
（2）动量微分方程（ Navier-Stokes方程） ）动量微分方程（ ） 在x方向上 y方向上
∂2u ∂2u ∂u ∂u ∂u ∂p ρ +u +v = Fx − + µ 2 + 2 ∂τ ∂x ∂x ∂y ∂x ∂y
0 ≤ y ≤δ ∴ y ~ 0(δ)
0(1)、0(δ)表示数量级为1和δ ，1>> δ 。 “~” —相当于
（1）连续性方程：
∂u ∂v + =0 ∂x ∂y
1 δ + =0 1 δ
（2）动量微分方程（ Navier-Stokes方程） ）动量微分方程（ ）
∂2u ∂2u ∂ u u ∂ p ∂ 在x方向上 ρu ∂ +v ∂ = − ∂ +µ ∂ 2 + ∂ 2 x x y x y
1：回顾（一）对流换热概述 将傅里叶定律应用于贴壁流体层，得：
q
x
而根据牛顿冷却公式，有：
∂t = −λ ∂y
y=0
q x = h(t w − t f )
结合上述两式，可得对流换热微分方程式：
h = − （ tw
λ
∂t − t f ) ∂y
y=0
（二）边界层（Boundary layer）理论
边界层的概念是1904年德国科学家普朗特提出的。
(b)热边界层厚度 (b)热边界层厚度
当壁面与流体之间的温差达到壁面与来流流体之间 的温差的0.99倍时， 0.99倍时 的温差的0.99倍时，即 (t w − t ) /(t w − t∞ ) ，此位置就是 边界层的外边缘， 该点到壁面之间的距离则是热 边界层的外边缘，而该点到壁面之间的距离则是热 边界层的厚度, 边界层的厚度,记为 δt(x) 对于层流流动： 对于层流流动：温度呈抛 物线分布 对于湍流流动： 对于湍流流动：温度呈幂 函数分布
∂v ∂v ∂v ∂p ∂2v ∂2v ρ（ +u +v ) = Fy − +µ( 2 + 2 ) ∂τ ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y
∂t ∂t ∂t ∂2t ∂2t ρcp +u +v = λ 2 + 2 ∂τ ∂x ∂y ∂x ∂y
t） 4个方程，4个未知量（u, v, p, t） 。 个方程， 个未知量（
2-2 无量纲形式的对流换热微分方程组
为更明显地反映方程组所包含的物理规律，习惯上可把方程写 成无量纲形式。可选取对流换热过程中有关变量的特征值，然 后所有变量无量纲化，进而导出无量纲形式的对流换热微分方 程组。 引入：
x X= ; L u U= ; u∞
y Y= ; L v V= ; u∞
p P= ; 2 ρ∞ u
1 边界层定义
①速度边界层 (a) 定义
流体流过固体壁面时，由于壁面层流体分子的不滑移 特性，在流体黏性力的作用下，近壁流体流速在垂直 于壁面的方向上会从壁面处的零速度逐步变化到来流 速度。
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对于低黏度的流体，如水和空气等， 对于低黏度的流体，如水和空气等，在以较大的流 速流过固体壁面时，在壁面上流体速度发生显著变 速流过固体壁面时， 化的流体层是非常薄的 普朗特把垂直于壁面的方 非常薄的。 化的流体层是非常薄的。普朗特把垂直于壁面的方 向上流体流速发生显著变化的流体薄层定义为速度 向上流体流速发生显著变化的流体薄层定义为速度 边界层。 边界层。 t∞ u 于是，流体流过固体壁 面的流场就可人为地分 成两个不同的区域。 。
程边界上的热流密度值 程边界上的热流密度值
2：数量级分析与 边界层微分方程组的简化 数量级分析与
2-1：数量级分析 数量级分析 (a)定义：比较方程式中各项数量级的相对大小，保留 定义：比较方程式中各项数量级的相对大小， 定义 数量级较大的项，舍去数量级较小的项， 数量级较大的项，舍去数量级较小的项，实现方程式 的合理简化。 的合理简化。 (b)方法 方法： (b)方法：首先计算各相应量在有关区间的积分平均 绝对值，确定基本量的数量级， 绝对值，确定基本量的数量级，应用数量级分析边界 层微分方程组。 层微分方程组。
∂2v ∂2v ∂v ∂v ∂v ∂p ρ +u +v = Fy − + µ 2 + 2 ∂τ ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y
动量方程的左边项为惯性力项， 其中 ，动量方程的左边项为惯性力项，右边第一项 为体积力项，右边第二项为压力梯度项， 为体积力项，右边第二项为压力梯度项，最后一项为 粘滞力项
∂ θ ∂ θ 1 ∂2 θ U +V = ∂ X ∂ Y R *P ∂ 2 e r Y
R = e P = r
u∞L
γ
γ
_____雷 数 诺 ；
a
_______普 特 ； 朗 数
2-3 特征尺寸，特征流速和定性温度
对流动换热微分方程组进行无量纲化时，选定了对应 变量的特征值，然后进行无量纲化的工作，这些特征 参数是流场的代表性的数值，分别表征了流场的几何 特征、流动特征和换热特征。
∂2t ∂2t << 2 2 ∂x ∂y
∂u ∂v + =0 ∂x ∂y ∂u ∂u 1 ∂p ∂2u u +v =− +γ 2 ∂x ∂y ∂y ρ ∂x ∂t ∂t ∂2t u +v = a 2 ∂x ∂y ∂y
由流体力学知识： 由流体力学知识： 于是， 于是，
P+
ρu2
2
= co st n
dp du∞ = −ρ ∞ u dx dx
特征尺寸， 它反映了流场的几何特征， 特征尺寸 ， 它反映了流场的几何特征 ， 对于不同
的流场特征尺寸的选择是不同的。 的流场特征尺寸的选择是不同的 。 如 ， 对流体平行 流过平板选择沿流动方向上的长度尺寸； 流过平板选择沿流动方向上的长度尺寸 ； 管内流体 流动选择垂直于流动方向的管内直径； 流动选择垂直于流动方向的管内直径 ； 对于流体绕 流圆柱体流动选择流动方向上的圆柱体外直径。 流圆柱体流动选择流动方向上的圆柱体外直径。 它反映了流体流场的流动特征。 特征流速，它反映了流体流场的流动特征。不同的 流场其流动特征不同，所选择的特征流速是不同的。 流场其流动特征不同，所选择的特征流速是不同的。 流体流过平板，来流速度被选择为特征尺寸； 如，流体流过平板，来流速度被选择为特征尺寸； 流体管内流动， 流体管内流动，管子截面上的平均流速可作为特征流 流体绕流圆柱体流动， 速；流体绕流圆柱体流动，来流速度可选择为特征流 速。
(b)边界层的厚度 (b)边界层的厚度 当速度变化达到 u u∞ = 0.99 时的空间位置为速 度边界层的外边缘，那么从这一点到壁面的距离就 度边界层的外边缘， 是边界层的厚度 δ(x) δ(x)很小：空气外掠平板， u∞=10m/s 时： δx=100mm =1.8m ; δx=200mm = 2.5m m m ②热（温度）边界层 (a) 定义 当流体流过平板而平板的温度tw与来流流体的温度t∞ 不相等时，在壁面上方也能形成温度发生显著变化的 薄层，常称为热边界层。
t −tw ϑ= t f −tw
∂ U ∂ V + =0 ∂ X ∂ Y
则边界层的控制微分方程组可写为： 则边界层的控制微分方程组可写为： （1）连续性方程：
动量守恒方程： 能量守恒方程： 其中， 其中，
∂ U ∂ U dP 1 ∂2U U +V =− + ∂ X ∂ Y dX R ∂ 2 e Y
2 2 1 1 1 1 2 1 1 +δ =1+δ 2 + 1 δ δ2 1

y方向上
∂2v ∂2v ∂v ∂v ∂p ρu +v = − +µ 2 + 2 ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y δ =δ +δ 2δ 2 + δ 2 δ 2 1 1 +δ 2 1 δ δ 1
δt 0
δ
tw x
其一是边界层流动区， 其一是边界层流动区 ， 这里流体的黏性力与流体的 惯性力共同作用，引起流体速度发生显著变化； 惯性力共同作用，引起流体速度发生显著变化； 其二是势流区，这里流体粘性力的作用非常微弱， 其二是势流区 ， 这里流体粘性力的作用非常微弱 ， 可视为无粘性的理想流体流动，也就是势流流动。 可视为无粘性的理想流体流动，也就是势流流动。
则动量方程可改写为： 则动量方程可改写为： =const， 若u∞=const，则可得
∂u ∂u du∞ ∂2u u +v =u∞ +γ 2 ∂x ∂y dx ∂y
∂ u ∂ u ∂2u u +v =γ ∂ x ∂ y ∂ 2 y
可见此时边界层的动量方程和能量方程有完全一致的 表达式， 表达式，这意味着边界层中动量传递与能量传递的规 律相似。 律相似。
物理条件：说明对流换热过程物理特征， ②物理条件：说明对流换热过程物理特征，如：物
的数值， 性参数 λ 、 ρ 、 c 和 η 的数值 ， 是否随温度 和压 力变化；有无内热源、 力变化；有无内热源、大小和分布 说明在时间上对流换热过程的特点， ③时间条件：说明在时间上对流换热过程的特点， 稳态对流换热过程不需要时间条件 — 与时间无关
湍流换热比层流换热强！ 湍流换热比层流换热强！
湍流边界层贴壁处 温度梯度明显大
边界层理论小结
• 粘性流体在固体表面流动时，流场可划分为主流区和边界层区。 在边界层内存在较大的速度梯度，而主流区内的速度梯度则几 乎等于零； • 边界层厚度δ与壁面尺寸L相比是一个很小的量； • 边界层内流动分为层流和湍流，划分判据为Rec， Re 对于平板，一般情况下Rec < 5×105时为层流；对于圆管内流 动， Rec < 2300时为层流。湍流边界层内紧靠壁面处仍有极薄 层保持层流状态，为层流底层； • 主流区内的流动可视为理想流体流动，边界层内的流动要用粘 性流体的边界层微分方程组描述；
（3）能量微分方程
∂2t ∂ t ∂ t ∂ t ∂2t = λ 2 + 2 + µ c +u +v ρ p Φ ∂ τ ∂ x ∂ y ∂ y ∂ x
于是，对于常物性、无内热源、二维、不可压缩牛顿流体， 于是，对于常物性、无内热源、二维、不可压缩牛顿流体，得 层流流动对流换热微分方程组 ∂u ∂v + =0 ∂y ∂x ∂y ∂u ∂u ∂u ∂p ∂2u ∂2u ρ（ +u +v ) = F − +µ( 2 + 2 ) x ∂τ ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y