可降阶的二阶微分方程
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第三节
第八章
可降为一阶的二阶微分方程的解法
一、 二、 三、
型的微分方程 型的微分方程
型的微分方程
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本节考虑二阶微分方程
y f (x, y, y)
中的如下的三种特殊类型:
一、
型的微分方程
二、
型的微分方程
三、
型的微分方程
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一、y(n) f (x) 型的微分方程
两端再积分得 y x3 3 x C2 利用 y x 0 1 , 得 C2 1, 因此所求特解为
y x3 3x 1
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三、y f ( y, y) 型的微分方程
特点：右端不含有自变量x。 令 y p ( y), 则 y d p d p dy
dx dy dx
答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.
(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.
例6 例7
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故所求通解为
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内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分
令 y p(x) , 令 y p(y) ,
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思考与练习
1. 方程
如何代换求解 ?
答: 令
或
均可.
一般说, 用前者方便些.
有时用后者方便 . 例如,
2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?
e
2
x
sin
x
C1
y
1 e2x 4
cos
x
C1x
C2
y
1 8
e
2
x
sin
x
C1 x 2
C2 x
C3
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二、 y f (x, y) 型的微分方程
特点：右端不含有变量y。
设 y p (x) ,
原方程化为一阶方程
设其通解为 p (x,C1)
则得
y (x,C1)
再一次积分, 得原方程的通解
特点：右端仅含有自变量x。 令 z y(n1) ,
因此
z f (x) dx C1
即
同理可得 y(n2)
dx C2
dx C1x C2
依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .
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例1.
解: y e2x cos x dx C1
1 2
y (x,C1) dx C2
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例2. 求解 解:
(1 x2 )y 2xy y x0 1, y x0 3
代入方程得
(1 x2 ) p 2x p 分离变量
积分得 ln p ln (1 x2 ) ln C1 , 利用 y x 0 3 , 得 C1 3,于是有 y 3(1 x2 )
故方程化为
设其通解为 p ( y,C1), 即得
分离变量后积分, 得原方程的通解
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例3. 求解 解:
代入方程得
则 y d p d p dy p d p dx dy dx dy
两端积分得 ln p ln y ln C1 , 即 p C1y,
(一阶线性齐次方程)
第八章
可降为一阶的二阶微分方程的解法
一、 二、 三、
型的微分方程 型的微分方程
型的微分方程
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本节考虑二阶微分方程
y f (x, y, y)
中的如下的三种特殊类型:
一、
型的微分方程
二、
型的微分方程
三、
型的微分方程
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一、y(n) f (x) 型的微分方程
两端再积分得 y x3 3 x C2 利用 y x 0 1 , 得 C2 1, 因此所求特解为
y x3 3x 1
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三、y f ( y, y) 型的微分方程
特点：右端不含有自变量x。 令 y p ( y), 则 y d p d p dy
dx dy dx
答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.
(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.
例6 例7
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故所求通解为
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内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分
令 y p(x) , 令 y p(y) ,
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思考与练习
1. 方程
如何代换求解 ?
答: 令
或
均可.
一般说, 用前者方便些.
有时用后者方便 . 例如,
2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?
e
2
x
sin
x
C1
y
1 e2x 4
cos
x
C1x
C2
y
1 8
e
2
x
sin
x
C1 x 2
C2 x
C3
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二、 y f (x, y) 型的微分方程
特点：右端不含有变量y。
设 y p (x) ,
原方程化为一阶方程
设其通解为 p (x,C1)
则得
y (x,C1)
再一次积分, 得原方程的通解
特点：右端仅含有自变量x。 令 z y(n1) ,
因此
z f (x) dx C1
即
同理可得 y(n2)
dx C2
dx C1x C2
依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .
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例1.
解: y e2x cos x dx C1
1 2
y (x,C1) dx C2
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例2. 求解 解:
(1 x2 )y 2xy y x0 1, y x0 3
代入方程得
(1 x2 ) p 2x p 分离变量
积分得 ln p ln (1 x2 ) ln C1 , 利用 y x 0 3 , 得 C1 3,于是有 y 3(1 x2 )
故方程化为
设其通解为 p ( y,C1), 即得
分离变量后积分, 得原方程的通解
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例3. 求解 解:
代入方程得
则 y d p d p dy p d p dx dy dx dy
两端积分得 ln p ln y ln C1 , 即 p C1y,
(一阶线性齐次方程)