人教版数学七年级下册---思想和方法

数学思想和方法

四川王小龙

许多数学思想方法都与一元一次不等式（组）知识有着紧密的联系，下面就其中的两种数学思想方法作具体地介绍.

一、分类讨论思想

分类讨论既是一种思想，又是解决问题的思维方法，运用它可使问题的解答更严谨，克服思维的片面性，防止漏解或结论不严密．分类讨论的一般步骤是首先根据题目要求确定分类对象；其次针对对象进行合理分类；最后对分类合并、归纳，作出综合性结论.

例1已知不等式组无解，则a的取值范围是_________.

解析：解不等式3+2x≥1，得x≥﹣1.

解不等式x﹣a<0，得x

本题需对a与﹣1的大小进行分类讨论，对于a与﹣1的大小可以通过数轴来确定，a 在数轴上的位置有如下三种情况：

容易看出，在a满足情况（1）与（2）时，原不等式组无解，所以a≤﹣1.

跟踪训练1已知不等式组.写出k取不同范围值的情况下，不等式组的解.

二、数学建模思想

数学建模旨在拓展学生的思维空间，使学生在进行数学知识和实际生活双向构建的过程中，体会到数学的价值，享受学习数学的乐趣.数学建模是对日常生活中的实际问题进行抽象，建立数学模型，然后求解数学模型的过程.

例2为了保护环境，某企业决定用不高于105万元的资金，购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如下表：

（1）该企业有几种购买方案？

（2）若该企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案？

解析：构建不等式模型是解决本题的关键，同时还要注意题目中的关键词“不高于”和隐含的“保证将每月的污水处理掉”.

（1）设购买A型污水处理设备x台，则购买B型污水处理设备（10﹣x）台，根据题意，得12x+10（10﹣x）≤105.

解这个不等式,得x≤2.5.

因为x取非负整数，所以x=0，1，2．

所以有三种购买方案：①购买A型0台，B型10台；②购买A型1台，B型9台；③

购买A型2台，B型8台.

（2）由于不管哪种方案，都要以处理掉2040吨污水为前提，

所以240x＋200（10－x）≥2040.

解得x≥1，所以x=1，2.

当x=1时，购买资金为12×1＋10×9＝102（万元）；

当x=2时，购买资金为12×2＋10×8＝104（万元）.

所以应选择的方案为：②购买A型1台，B型９台.

跟踪训练2某服装店欲购甲、乙两种新款运动服，甲款每套进价350元，乙款每套进价200元，该店计划用不低于7600元且不高于8000元的资金订购30套甲、乙两款运动服．（1）该店订购这两款运动服，共有哪几种方案？

（2）若该店以甲款每套400元，乙款每套300元的价格全部出售，哪种方案获利最大？

答案

1.解:当k<2时，解集为﹣1

2.解：（1）方案一：甲款11套，乙款19套；方案二：甲款12套，乙款18套；方案三：甲款13套，乙款17套；

（2）方案一获利最大．