角平分线的性质-导学案
徐闻县和安中学数学教学导学案设计：11.3 角平分线的性质1
徐闻县和安中学 ◆八年级数学导学案 设计：林朝清 ◆◆我们的约定：我的课堂 我作主！ 第 周 星期 第 节 本学期学案累计: 6 课时 姓名：________课题：《11.3角的平分线的性质》（1）学习目标 我的目标 我实现1、经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理．2、能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题.3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。
突破：【重点】掌握角的平分线的性质定理【难点】角平分线定理的应用。
导学过程 我的课堂 我作主☆☆导学活动1☆☆自主学习 我探索 我快乐1、复习思考什么是角的平分线？怎样画一个角的平分线？2．如右图，AB ＝AD ，BC ＝DC ， 沿着A 、C 画一条射线AE ，AE 就是∠BAD的角平分线，你知道为什么吗3.根据角平分仪的制作原理，如何用尺规作角的平分线？自学课本19页后，思考为什么要用大于21MN 的长为半径画弧？4．OC 是∠AOB 的平分线，点P 是射线OC 上的任意一点，操作测量：取点P 的三个不同的位置，分别过点P 作PD ⊥OA ，PE ⊥OB,点D 、E 为垂足，测量PD 、PE 的长.将三次数据填入下表：观察测量结果,猜想线段PD 与PE 的大小关系，写出结论PD PE 第一次第二次第三次◆八年级数学导学案 设计：林朝清 设计时间 2013年9月3日O A BE D C P5、命题：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.题设：一个点在一个角的平分线上结论：这个点到这个角的两边的距离相等结合第4题图形请你写出已知和求证，并证明命题的正确性解后思考：证明一个几何命题的步骤有那些？6、用数学语言来表述角的平分线的性质定理：如右上图，∵OC 是∠AOB 的平分线，点P 是∴☆☆导学活动2☆☆合作探究 我合作 我成功1、如图所示OC 是∠AOB 的平分线,P 是OC 上任意一点,问PE=PD?为什么?2、如图：在△ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD=DF ；求证：CF=EB徐闻县和安中学 ◆八年级数学导学案 设计：林朝清 ◆◆我们的约定：我的课堂 我作主！ E D C B A ☆☆导学活动3☆☆学以致用 我尝试 我成功在Rt △ABC 中，BD 平分∠ABC ， DE ⊥AB 于E ，则 ⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？ ⑵哪条线段与DE 相等？为什么？ ⑶若AB ＝10，BC ＝8，AC ＝6，求BE ，AE 的长和△AED 的周长。
角平分线的性质导学案
12.3 角的平分线的性质导学案学习目标：1、会用尺规作已知角的平分线，知道作法的合理性；2、探索并证明角的平分线的性质定理；3、能用角的平分线的性质解决简单问题。
学习重点：探索并证明角的平分线的性质定理。
学习难点：角平分线性质定理的应用。
学习过程：一、情境导入问题：在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路。
问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？P二、自学指导让学生先阅读课本48-49页内容，思考下面的问题：1、平分角的仪器怎么使用？2、用尺规如何平分已知角？3、角平分线的性质是4、角平分线的性质怎么证明？5、证明几何命题的一般步骤是：（1）；（2）；（3）。
三、自主探究合作展示探究（一）：角平分仪平分角的道理：1、为什么角平分仪能平分一个角？（小组讨论回答）。
探究（二）如何作尺规作出一个角的平分线呢？1、分析角平分仪原理，你能利用圆规和直尺作角的平分线吗？（小组讨论）2、师生共同用尺规作角的平分线。
已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．（2）分别以M、N为圆心，大于1MN的长为半径作弧．两弧在2∠AOB内部交于点C．（3）作射线OC。
射线OC 即为所求．3、让学生回答为什么射线OC 是∠AOB 的平分线。
4、在上面作法的第二步中，去掉“大于12MN 的长”这个条件行吗？探究（三）、探究角平分线的性质：如图4，OA 是∠BAC 的平分线，点O 是射线AM 上的任意一点. 操作测量：取点O 的三个不同的位置，分别过点O 作OE ⊥AB ，OD ⊥AC,点D 、E 为垂足，测量OD 、OE 的长.将三次数据填入下表：根据测量结果，猜想线段OD 与OE 的大小关系，猜想角平分线的性质结论是： 。
让学生用学过的知识证明此结论：教师引导学生分析这个文字命题的条件和结论，并找出结论中的隐含条件，最后让学生画出图形，用符号语言写出已知和求证，图4ODOE 第一次 第二次第三次BOAM并独立完成证明过程。
角的平分线的判定(导学案)-八年级数学上册同步备课系列
12.3.2角的平分线的判定导学案一、学习目标：1.理解角平分线的判定定理.2.掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题.3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上.重点：角的平分线的判定定理的证明及应用.难点：角的平分线的判定.二、学习过程：课前自测角平分线的性质定理：文字语言：__________________________________________________.几何符号：________________________________________________________________________合作探究思考：我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？（先独立思考，然后在组内交流分享，通过观察动画演示，确定猜想）猜想：__________________________________________________.把猜想转化成具体数学问题，认真填写一下已知和求证：已知:__________________________________________________________.求证:________________________________________________.※角的平分线的判定：文字语言：________________________________________________.几何语言：____________________________________________________________________思考：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米.这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1:20000)？【针对练习】如图，在直线MN 上求作一点P ，使点P 到射线OA 和OB 的距离相等.典例解析例1.如图，△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P .求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等.例2.如图，在△AB C 中，点O 是△ABC 内一点，且点O 到△ABC 三边的距离相等．若∠A ＝40°，则∠BOC 的度数为()A ．110°B ．120°C ．130°D ．140°例3.如图，PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 与∠NCA 的平分线,它们交于点P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F .求证:BP 为∠MBN 的平分线.【针对练习】如图，△ABC 的∠ABC 的外角的平分线BD 与∠ACB 的外角的平分线CE 相交于点P .求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 所在直线的距离相等.例4.如图，∠B =∠C =90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证:(1)AM 平分∠DAB ;(2)AD =AB +CD.达标检测1.如图，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，PD =6cm ，当PE =____cm 时，点P 在∠AOB 的平分线上.2.如图,已知P A ⊥ON 于A,PB ⊥OM 于B,且PA =PB,∠MON =50°,∠OPC =30°，则∠PCA=______.3.如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有____处.4.如图所示，已知△ABC 的周长是10，OC 、OB 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD 上BC 于D ，且OD =1，则△ABC 的面积是_______.5.如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在绿地中建一小亭供人小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭的中心位置.6.如图，有一块三角形的闲地，其三边长分别为30m 、40m 、50m ，现要把它分成面积比为3:4:5的三部分，分别种植不同的花，请你设计一种方案，并简要说明理由.7.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=D C．求证:AD是∠BAC的平分线.。
12.3.1角的平分线的性质(1)导学案62015
O AB E D CP D 201408014 12.3.1角的平分线的性质（1）导学案编写者：林茂 编写时间：2014年9月8日 班级： 姓名： 组名： 【学习目标】1、经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理．2、能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题.3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。
学习重点：掌握角的平分线的性质定理 学习难点: 角平分线定理的应用。
【学习过程】一、自主学习 1、复习思考什么是角的平分线？怎样画一个角的平分线？2．如右图，AB ＝AD ，BC ＝DC ， 沿着A 、C 画一条射线AE ，AE 就是∠BAD 的角平分线，你知道为什么吗3.根据角平分仪的制作原理，如何用尺规作角的平分线？自学课本48页后，思考为什么要用大于MN 的长为半径画弧？4．OC 是∠AOB 的平分线，点P 是射线OC 上的任意一点，操作测量：取点P 的三个不同的位置，分别过点P 作PD ⊥OA ，PE ⊥OB,点D 、E 为垂足，测量PD 、与PE 的大小关系，写出结论5、命题：角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 题设：一个点在一个角的平分线上 结论：这个点到这个角的两边的距离相等 结合第4题图形请你写出已知和求证，并证明命题的正确性 解后思考：证明一个几何命题的步骤有那些？6、用数学语言来表述角的平分线的性质定理：如右上图，∵∴二、合作探究1、如图所示OC 是∠AOB 的平分线,P 是OC 上任意一点,问PE=PD?为什么?2、如图：在△ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD=DF ； 求证：CF=EB三、学以致用 在Rt △ABC 中，BD 平分∠ABC ， DE⊥AB 于E ，则⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？ ⑵哪条线段与DE 相等？为什么？⑶若AB ＝10，BC ＝8，AC ＝6，求BE ，AE 的长和△AED 的周长。
角平分线的性质
隆回县雨山中学八年级下数学导学案第7课时 角的平分线的性质（1）班级_______姓名 _____ 主备人 徐娟学习目标：1、通过探究理解角平分线的性质并会运用2、掌握尺规作图作角平分线 学习重点：角平分线的性质及尺规作图一、预习导学：（阅读课文P22-24的内容）1．角的平分线性质定理和判定定理：2.如图，已知AB ＝AD ，BC ＝DC ，求证：AC 是∠DAB 的平分线二、合作探究、展示点评1、 如图，已知∠BAC ，用尺规作图的方法作出∠BAC 的角平分线AD ， 写出作法，并说明这种作法的依据。
2、OC 是∠AOB 的平分线，点P 是射线OC 上的任意一点， 操作测量：取点P 的三个不同的位置，分别过点P 作PD ⊥OA ，PE ⊥OB,点D 、E 为垂足，测量PD 、PE 的长.将三次数据填入下表：观察测量结果,猜想线段已知：如图AD 平分∠BAC ，P 为AD 上的一点，PM ⊥AB ，PN ⊥AC 求证：证明：4、 反过来，如图，若P 为∠BAC 内的一点，且点P 到边AB 、AC 的距离相等，即PM=PN ，你认为经过点P 的射线AD 平分∠BAC 吗？为什么？ABCA BN MP D ABC5、 小结：通过以上探索和证明，我们得出了角平分线的性质是：（1） ； （2） 。
仔细比较分析，以上两条定理有什么关系： 一般情况下，我们要证明一个几何中的命题时，会按照类似的步骤进行，即：（1） ；（2） ；（3） 。
三、新知应用：（1）如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，且D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， 求证：BE=CF（2）如图：△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P 。
求证：点P 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等。
探究：点P 在∠A 的平分线上吗？为什么？四．课堂小结： 五．当堂测评1、在△ABC 中∠C=90°，∠A 的平分线交BC 于D ，BC=14CM ， BD ：DC ：=4：3，则点D 到AB 的距离为___________。
吉林省白城市通榆县八年级数学上册 12.3.1 角的平分线的性质导学案(新版)新人教版
课题： 角的平分线的性质知识目标：1、会作角的平分线, 能熟练的说出角的平分线的性质；2、能运用角平分线的性质证明两条线段相等. 一、学前准备：〔预习案〕1、角平分线的定义？2、如图，∵ OC 是∠AOB 的平分线 ∴ ∠AOC= =21二、自主学习：〔探究案〕 探究一：〔用尺规作角的平分线〕：∠AOB.求作：∠AOB 的平分线OC. 想一想：为什么OC 是角平分线呢？如图,任意作一个角∠AOB, 作出∠AOB 的平分线OC,在OC 上任取一点P, 过点P 画出OA 、OB 的垂线,分别记垂足为D 、E, 测量PD 、PE 并作比拟，你得到什么结论？在OC 上再取几个点试一试.通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？AOBC你能总结出角平分线的性质，并用几何语言来描述. 练习：1、以下两图中，能表示角的平分线上的一点P 到角的边上的距离的是〔 〕A B2、如图，OC 平分∠AOB ，CD ⊥AO 于D ，CE ⊥OB 于E ，假设CD=3，那么CE=________.2题 3题3、如图：点P 为∠AOB 的角平分线上的一点，它到OA 的距离为2cm ，那么它到OB 的距离是__________________。
4、如图，在Rt △ABC 中，BD 是∠A BC 的平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE 与DC 相等吗？为什么？5、如图，点E 是∠BAC 平分线上一点，EB ⊥AB ，EC ⊥AC ，B,C 是垂足求证：AB =ACBA EAOC DEAPNAPM试一试：如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD=CD ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，∠B 与∠C 相等吗？为什么？课堂小结:通过这节课的学习，你有哪些收获？姓名：_____________ 分数：____________测试案BAE CD知识反应：〔你还有哪些问题没能解决？〕1、如图，BD是∠ABC的平分线，P是BD上一点，PE⊥BA于点E，PE = 4cm，那么点P到边BC的距离为〔〕A. 2cmB. 4cmC. 6cmD. 8cm2、如图，DA⊥A B于点A, DC⊥BC于点C，根据角平分线的性质填空.〔1〕假设∠1=∠2，那么______=______；〔2〕假设∠3=∠4，那么______=______.3、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，点P是对角线AC上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，求证：PE=PF.。
角平分线的性质导学案
1.4 角平分线的性质与判定导学案（一）【导学目标】1、掌握角平分线的性质定理及判定定理；2、理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
【导学重点】掌握角平分线的性质定理及判定定理；【导学难点】掌握角平分线的性质定理及判定定理；【强基导学】1、判定三角形全等的方法有哪些？判定直角三角形全等的方法呢？2、斜边、直角边定理的内容是什么？3、什么是角平分线？4、点到直线的距离的定义，完成任务1：【自主探学】阅读教材P22【任务1】如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA ，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，试问PD与PE相等吗？请写出证明过程。
【归纳】角平分线的性质定理：角平分线上的点到。
几何语言描述角平分线的性质定理：∵∴，完成任务2：【带问自学】阅读教材P23【任务2】如图，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E. 若PD= PE，那么点P在∠AOB的平分线上吗？请说明理由。
【归纳】角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点 。
用几何语言描述角平分线的判定定理：∵∴【互动帮学】例1 如图，∠BAD =∠BCD = 90°，∠1=∠2. （1）求证：点B 在∠ADC 的平分线上； （2）求证：BD 是∠ABC 的平分线.【知识梳理】1、角平分线的性质定理是 。
2、角平分线的判定定理是 。
【达标评学】1． 如图，在△ABC 中，∠B =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，BC =10cm ，CD =6cm ，则点D 到AC 的 距离是： 。
2、如图，在Rt △ABC 中，AC =4，BC =3，AB =5， 点D 是三角形内角平分线的交点，则点D 到AB 的 距离是： 。
A3、如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE⊥AB于E，且DC＝DE，∠CBD:∠A＝2:1，则∠A的度数为。
【布置作业】教材P26A组1、2题BEADC第3题图。
角平分线的性质和判定定理
角平分线的性质及判定定理导学案课前准备:1.我们学过哪些与“角的平分线”有关的结论:2.什么是“点到直线的距离”：3.我们学过的证明线段和角相等的方法有哪些: 学习目标：1.通过经历自主证明角平分线的性质和判定定理的过程，理解并掌握定理，会用符号语言描述定理；2.通过例题和针对练习，进一步理解定理，会解决与定理有关的问题，发展推理能力，体会演绎思想；3.掌握角平分线应用中常见辅助线的作法，体会建模思想。
一、交流与发现活动①：搭档合作,自主证明角平分线的性质定理（1分钟）活动②：针对练习1.见PPT.2.如图，在⊿ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，BC=15， CD：BD=1：2，AB=20，求S⊿ABD面积。
二、交流与发现活动①：搭档合作,共同证明角平分线的判定定理（1分钟）活动②：针对练习1.见PPT.2.已知，如图，BN、CP是⊿ABC的两条角平分线，交点为点O，求证：。
证明：三、学以致用例、已知，如上图，AM、BN，CP是⊿ABC的三条角平分线。
探究性结论1：探究性结论2：针对练习（思维延伸）：1.已知：如图，⊿ABC两个相邻外角的平分线BD、CE相交于点P，求证：点P在∠A的平分线上。
探究性结论3：2.加油站位置在哪儿？课堂小结：我学到了①、②、③、④、┅┅拓展提升：一图二问1.如图，在Rt ⊿ ABC中，∠ C为直角， BD平分∠ ABC，且AC=8， BC=6，AB=10，求CD的长。
（温馨提示：等面积求高）2.如上图，在Rt ⊿ ABC中，∠ C为直角， BD平分∠ ABC，DE ⊥ AB于点E，而且AC=8，BC=6，AB=10，求⊿ADE的周长。
角平分线导学案
初二数学导学案：10.5角平分线学习目标：1、能够证明角平分线的性质定理、判定定理。
2、能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题学习重点：角平分线的性质定理、判定定理的理解和掌握学习难点：利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题学习过程：一、前置自学1.角平分线的定义： 。
2.点到直线的距离定义： 。
3.线段的垂直平分线的定义 ；性质 。
4、自学课本125-126（学生在上学期曾经探索并认识了这一结论，这里应先让学生回忆折纸探索的过程，然后自主思考证明的思路和方法，并尝试写出证明过程）二、展示交流（10分钟时间将以上自学问题组内交流，并将疑惑指出来）活动一：角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 这个命题的条件是： ，结论是： 。
已知：如图，点P 是∠AOB 的平分线上一点，PE ⊥OA PD ⊥OB.求证：PD=PE活动二：角平分线性质定理的逆命题是否成立。
能否证明？已知：在∠AOB 内部有一点P ，且PD 上OB ，PE⊥O A ，D 、E 为垂足且PD=PE ， 求证：点P 在∠AOB 的角平分线上．归纳：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在 上.三、合作探究（8分钟先独立思考，再在组内交流思路，最后进行课堂展示）在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为 E ，F ，且 DE = DF ，求 DE 的长.´O E DA B P O EDA BP四、课堂小结（2分钟时间谈谈本节课的收获）五、达标检测（10分钟时间独立完成）1．∠AOB的平分线上一点M ，M到OA的距离为1.5cm，则M到OB的距离为。
2.如图（1）所示，∠AOB=60°，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E ，且PD＝PE则角∠DOP=3. 如图（2）所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3cm，BD=5cm，则BC= cm。
角的平分线的性质(一)
范县陈庄乡中学·导学案年级：八年级学科：数学执笔：刘宇审核人:王章立授课人：授课时间：导学案编号：7 班级：学生姓名：小组：教师复备或学生笔记栏课题：《角的平分线的性质（一）》课型：自学展示课时：2 教法、学法指导：一、教师巡查点拨（一查）高度关注各小组每一个学生的学习状态；尊重个体差异，分层学习，分层达标；对学困生适时点拨，进行学法指导。
二、教师参与跟踪调查，并做好必要的问题记录。
三、调查激励（二查）激励学生勇于展示，记录各小组暴露出来的问题和小组备展的内容，确定大展示内容、时间。
四、教师引领教师适时追问、点拨、启发、引导，让学生“跳一跳能摘到桃子”。
五，教师测评（三查）【学习目标】1、通过探究理解角平分线的性质并会运用2、掌握尺规作图作角的平分线【重点难点预设】利用尺规作已知角的平分线．【知识链接】角的定义以及角的平分线的定义【学习过程】（一）学生独学：（仔细思考，相信自己。
加油！）1.什么是角的平分线？怎样画一个角的平分线？（使用量角器）2.右图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？3：熟悉角的平分线的性质：角的平分线的点到角的两边的距离相等（课本20页）（二）对学群学：1、（如图）已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线OC问题：讨论其作法得出准确的步骤并总结尺规作图的定义2.通过讨论理解角的平分线的性质的证明过程（三）班内小展示已知：如下图，OC平分∠AOB，点P在OC，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E求证: PD=PE证明：∵OC平分∠ AOB （已知）∴（角平分线的定义）∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知）∴（垂直的定义）教师复备或学生笔记栏在△PDO 和△PEO 中∠PDO= ∠PEO （已证） ∠AOC= ∠BOC （已证）（ ） ∴ △PDO ≌ △PEO （ ）∴ （全等三角形的对应边相等）1,填空并总结角的平分线的性质，然后向组员展示2,讨论能否得出结论“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的 平分线上”（结合课本21页例题）（四）班内大展示对学群学部分第一题的作法： （1）（2）（3）（五）整理学案，达标测评：1、作下列角的平分线(要求使用尺规作图)2、如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD ＝CD ， DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F,求证EB ＝FC 。
新人教版八年数学上导学案(12.3角的平分线的性质2)
P N M
C B
A
班 姓名 成绩： 优 良 差
【学习目标】
1、会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．
2、能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．
3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。
教学重点：角平分线的性质及其应用
教学难点: 灵活应用两个性质解决问题。
预习案1、复习思考
（1）、画出三角形三个内角的平分线
你发现了什么特点吗？
（2）、如图，△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P ， 求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等。
3、要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路
距离相等且离公路，铁路的交叉处５00米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
二、合作探究
1、比较角平分线的性质与判定
2、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，求证∠1＝∠2
训练案
1、已知△ABC中，∠A=60°，∠ABC,∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC的度数
为
2、下列说法错误的是（）
A、到已知角两边距离相等的点都在同一条直线上
B、一条直线上有一点到已知角的两边的距离相等，则这条直线平分已知角
C、到已知角两边距离相等的点与角的顶点的连线平分已知角
D、已知角内有两点各自到两边的距离相等，经过这两点的直线平分已知角
3、到三角形三条边的距离相等的点是（）
A、三条中线的交点
B、三条高线的交点
C、三条边的垂直平分线的交点
D、三条角平分线的交点。
《作角平分线》 导学案
《作角平分线》导学案一、学习目标1、理解角平分线的定义和性质。
2、掌握用尺规作角平分线的方法。
3、能够运用角平分线的性质解决简单的几何问题。
二、学习重难点1、重点（1）角平分线的性质。
（2）用尺规作角平分线。
2、难点（1）角平分线性质的证明。
（2）运用角平分线的性质进行推理和计算。
三、知识回顾1、什么是角？角由什么组成？2、我们已经学过的与角相关的知识有哪些？四、新课导入在生活中，我们经常会遇到需要将一个角平均分成两份的情况。
比如，在制作风筝时，为了使风筝的左右两边对称，就需要将某个角平分。
那么，如何准确地作出一个角的平分线呢？这就是我们今天要学习的内容。
五、探究活动（一）角平分线的定义1、观察下面的角，思考什么是角平分线？2、给出角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。
（二）角平分线的性质1、我们已经知道了角平分线的定义，那么角平分线有什么性质呢？2、动手操作：（1）在纸上任意画一个角∠AOB，用折纸的方法作出∠AOB 的平分线 OC。
（2）在 OC 上任取一点 P，分别过点 P 作 PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E。
（3）测量 PD 和 PE 的长度，你发现了什么？3、猜想：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
4、证明猜想：已知：OC 是∠AOB 的平分线，点 P 是 OC 上一点，PD⊥OA 于点D，PE⊥OB 于点 E。
求证：PD ＝ PE。
证明：∵OC 是∠AOB 的平分线∴∠AOC ＝∠BOC∵PD⊥OA，PE⊥OB∴∠PDO ＝∠PEO ＝ 90°在△PDO 和△PEO 中∠AOC ＝∠BOC∠PDO ＝∠PEOOP ＝ OP∴△PDO ≌△PEO（AAS）∴PD ＝ PE5、得出角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
（三）用尺规作角平分线1、思考：如何用尺规作一个角的平分线？2、以已知角∠AOB 为例，步骤如下：（1）以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OA、OB 于点 M、N。
人教版八年级数学上册第十二章《角的平分线的性质》第1-3课时学习任务单(公开课导学案)及作业设计
人教版八年级数学上册第十二章《角的平分线的性质》学习任务单及作业设计（共3课时）第一课时【学习目标】1.探究作角平分线的方法，掌握角平分线的尺规作图方法并加以证明.2.探究角平分线的性质并加以证明．【课前学习任务】1.准备直尺，圆规，三角形纸片，剪刀等工具．2.回顾自初中以来的各种基本尺规作图及其步骤．3.熟悉近期学过的全等三角形的性质和判定．【课上学习任务】学习任务一：掌握角平分线的尺规作图方法及其证明学习任务二：探究角的平分线的性质画图，猜想，证明角的平分线的性质：符号语言书写：学习任务三：定理的运用例题：如图，点P 是∠AOB 平分线OC 上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，求点P到边OA 的距离．【学习资源】阅读课本第48 至49 页相关内容，并在教科书上圈画出本节课的主要知识点．【作业设计】1. 用三角尺可按下面方法画角平分线，在已知的∠AOB 的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N 作OA，OB 的垂线，交点为P，画射线OP，则OP 平分∠AOB，为什么？2. 如图所示，在△ABC 中：（1）下列操作中，作∠ABC 的平分线的正确顺序是（将序号按正确的顺序写在横线上）．①分别以点M，N 为圆心，大于1/2MN 的长为半径作圆弧，在∠ABC 内，两弧交于点P；②以点B 为圆心，适当长为半径作圆弧，交AB 于点M，交BC 于N 点；③画射线BP，交AC 于点D．（2）能说明∠ABD＝∠CBD 的依据是（填序号）．①SSS．②ASA．③AAS．④角平分线上的点到角两边的距离相等．（3）若AB＝18，BC＝12，S△ABC＝120，过点D 作DE⊥AB 于点E，求DE 的长．【参考答案】1．由Rt△OMP≌Rt△ONP(HL)，得∠MOP=∠NOP，即OP 平分∠AOB．2．解：(1)②①③；(2)由△MBP≌△NBP(SSS)，得∠ABD=∠CBD；(3) 过点D 作DF⊥BC 于点F，由角平分线的性质，得DE=DF．解得DE=8．第二课时【学习目标】运用角平分线的性质的解决问题，进一步培养自己逻辑推理的能力.【课前学习任务】1.准备直尺，铅笔，圆规等工具．2.熟悉角的平分线的性质第一课时中提到的尺规作图与证明，掌握角的平分线的性质的定理内容与书写．3.熟悉近期学过的全等三角形的性质和判定．【课上学习任务】学习任务一：例1：如图，△ABC 中，∠B =∠C，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F．求证：EB=FC．学习任务二：例2：如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于 P．求证：点P到三边 AB，BC，CA 的距离相等．例3：如图，△ABC的∠ABC 外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P．求证：点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离相等．学习任务三：例4：如图，已知 AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB，交 AB 的延长线于点 E，DF⊥AC，交 AC的延长线于点 F．求证：DE＝DF．学习任务四：练习．如图，OP 平分∠AOB，点D，E分别在 OA，OB上，且PD＝PE，图中与∠PDA 相等的角是，并证明你的结论．学习任务五：小结：【学习资源】阅读课本第 49 至 50 页相关内容，并在教科书上圈画出本节课的主要知识点．【作业设计】1．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线．求证：S△ABD:S△ACD＝AB:AC．2．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M，N．试说明：PM＝PN．【参考答案】第三课时【学习目标】1.学习并使用新的定理——角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上（交换角的平分线的性质定理的条件和结论，并附加条件）．2.掌握新的定理的内容、证明，注意其与角的平分线的性质的区别和联系，并会进行推理与书写．【课前学习任务】1.准备直尺，铅笔，圆规等工具．2.熟悉角的平分线的性质，关注其条件和结论.3.回顾分析与书写方法，常见辅助线的作法．4.熟悉近期学过的全等三角形的性质和判定．【课上学习任务】学习任务一：交换角的平分线的性质中的题设和结论，你能得到什么新命题？这个新命题正确吗？结论：书写：学习任务二：例1：如图所示，AM⊥BM于M，AN⊥BN 于 N，AM＝AN，求证：∠BAM＝∠BAN （要求不用全等的知识证明）．学习任务三：例2：（教材58页习题12.3 第3题）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为 D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，连AO，求证：∠1＝∠2．学习任务四：例3：如图，在△ABC 中，∠C＝36°，∠ABC＝110°，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝DF．求∠ADB 的度数．学习任务五：例4：如图，D，E，F分别是△ABC的三条边上的点，BE＝CF，△DBE和△DCF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．学习任务六：例5：如图，OP 为∠AOB 内一条射线，C，D分别为OA，OB上两点，且∠PCO+∠PDO＝180°，PC＝PD．求证：OP平分∠A0B．学习任务七：小结：【学习资源】阅读课本第 49 至 50 页相关内容，并在教科书上圈画出本节课的主要知识点．【作业设计】1．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线 OB，另一把直尺压住射线 OA 并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线 OP 就是∠BOA 的角平分线．”他这样做的依据是（）．A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确2．如图所示，在△ABC中，D 是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，且BE＝CF，求证：AD 是△ABC 的角平分线．【参考答案】1．A．。
《角平分线》第一课时导学案
1.4角平分线（一）学习目标：1、通过学习角平分线定理及逆定理的过程，掌握该定理及逆定理，并运用之进行证明、计算、作图，以及掌握该定理在三角形中的应用；2、通过探索与证明，进一步发展推理意识及能力；3、证明是严密推理的方法，并培养自身的逆向思维能力。
学习过程：一、前置准备角平分线的定义：______________________________________二、自主学习：问题1：还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？你能证明它吗？定理归纳：问题2：你能写出这个定理的逆命题？它是真命题吗？如果是，你作证明它？定理归纳：三、合作交流：（做一做）用尺规怎样做已知角的平分线呢？并对自己的做法加以证明。
四、归纳总结：1、角平分线的性质及判定的内容是什么？2、如何用尺规作已知角的平分线？五、例题解析：如图，已知AD为△ABC的角平分线，∠B=90°，DF⊥AC，垂足为F，DE=DC，求证BE=CF[解析]要证BE=CF，只需证△ADE≌△FDC六、当堂训练：1、如图在△ABC中AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论：①AS=AR，②QP∥AR，③△BRP≌△QSP中（）A全部正确B：仅①和②正确C：仅①正确D：仅①和③正确。
2、在△ABC中∠C=90°，∠A的平分线交BC于D，BC=CM，BD：DC：=4：3，则点D到AB的距离为___________。
3、在RT△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于D，DE是是斜边AB 的垂直平分线，且DE=1CM，则AC=_______________.课下训练：1、OM平分∠BOA，P是OM上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，下列结论中错误的是（）A：PD=PE B：OD=OE C：∠DPO=∠EPO D：PD=OD2、如图所示，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，则下列结论不正确的是（）A:△AEG≌△AFG B:△AED≌△AFDC:△DEG≌△DFG D:△BDE≌△CDF3、△ABC中, ∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，连结AO，若∠OBC=25°，∠OCB=30°，则∠OAC=_____________°4、与相交的两直线距离相等的点在（）A：一条直线上B：一条射线上C：两条互相垂直的直线上D：以上都不对5、∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为2CM，则M到OB的距离为____________。
角平分线的性质 导学案
第五章 生活中的轴对称角平分线的性质 导学案一、预习：（认真看书125—127）1、点到线的距离：2、作图：表示出点A 到直线l 距离ｌＡｌＡ3、过点P 做OA ，OB 的距离4、角平分线的对称轴是 5填空：角 平分线 上的点 到角 的两边 的距离 相等 几何语言： 二、新课1．已知：△ABC 中，∠B =90°， ∠A 、∠C 的平分线交于点O ，则∠AOC 的度数为 .2．角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________．3．∠AOB 的平分线上一点M ，M 到 OA 的距离为1.5 cm ，则M 到OB 的距离为_________. 4．如图，∠AOB =60°，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，且CD =CE ，则∠DOC =_________. 5．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE =3 cm ，BD =5 cm ，则BC =_____cm .6．如图，CD 为Rt △ABC 斜边上的高，∠BAC 的平分线分别交CD 、CB 于点E 、F ，FG ⊥AB ，垂足为G ，则CF ______FG ，CE ________CF .7．如图，已知AB 、CD 相交于点E ，∠AEC 及∠AED 的平分线所在的直线为PQ 与MN ，则直线MN 与PQ 的关系是_________.8．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等． 9．点O 是△ABC 内一点，且点O 到三边的距离相等，∠A =60°，则∠BOC 的度数为_____________．10．在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC =32，且BD ∶CD =9∶7，则D 到AB 的距离为 . 11．三角形中到三边距离相等的点是（ ）A 、三条边的垂直平分线的交点B 、三条高的交点C 、三条中线的交点D 、三条角平分线的交点12．如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ）A 、PD ＝PEB 、OD ＝OEC 、∠DPO ＝∠EPOD 、PD ＝OD 13．如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）A 、1处 B 、2处 C 、3处 D 、4处14．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（ ）A 、4㎝ B 、6㎝ C 、10㎝第4题第5题第6题第7题D 、不能确定21DAPOEBl 2l 1l 3DCEB第12题 第13题 第14题15．如图，MP ⊥NP ，MQ 为△MNP 的角平分线，MT ＝MP ，连接TQ ，则下列结论中不正确的是（ ）A 、TQ ＝PQB 、∠MQT ＝∠MQPC 、∠QTN ＝90°D 、∠NQT ＝∠MQTNTQPMEDCBAEDC BAF第15题 第16题 第17题 16．如图在△ABC 中，∠ACB =90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于D ，如果AC =3 cm ，那么AE +DE 等于( )A ．2 cmB ．3 cmC ．4 cmD ．5 cm17．如图，已知AB =AC ，AE =AF ，BE 与CF 交于点D ，则对于下列结论：①△ABE ≌△ACF ；②△BDF ≌△CDE ；③D 在∠BAC 的平分线上．其中正确的是（ ）A ．①B ．②C ．①和②D ．①②③18．如图，AB =AD ，CB =CD ，AC 、BD 相交于点O ，则下列结论正确的是（ ）A ．OA =OCB ．点O 到AB 、CD 的距离相等C ．∠BDA =∠BDCD ．点O 到CB 、CD 的距离相等19．△ABC 中，∠C =90°，点O 为△ABC 三条角平分线的交点，OD ⊥BC 于D ，OE ⊥AC 于E ，OF ⊥AB 于F ，且AB =10cm ，BC =8cm ，AC =6cm ，则点O 到三边AB 、AC 、BC 的距离为（ ）A ．2cm ，2cm ，2cm ； B ． 3cm ，3cm ，3cm ； C ． 4cm ，4cm ，4cm ； D ． 2cm ，3cm ，5cm 20．两个三角形有两个角对应相等，正确说法是（ ）A ．两个三角形全等B ．如果还有一角相等，两三角形就全等DCAO 第18题C．两个三角形一定不全等D．如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等已知：Ａ＇ＡＢ为正三角形，ＡＢＣ为等腰三角形，∠ＢＡＣ＝１２０° ∠ＤＣＥ＝６０°，求证：ＤＥ＝ＤＢ＋ＥＡB A。
角的平分线的性质和判定
《角的平分线的性质和判定》导学案
主讲：刘世勤
【教学目标】
1，掌握尺规作角的平分线的方法，提高作图能力；
2，经历角的平分线的性质的发现过程，掌握角的平分线的性质定理；
3，会运用角的平分线的性质解决几何问题；
【教学重点】
理解并会证明关于角平分线的两个重要结论，并能运用解决实际问题。
【教学难点】
角平分线的性质的探究及其应用；
【教学过程】
一，情景导入：学生阅读教材P48图12.3-1思考，学生回答并且展示，教师点评
二、新知探究，合作交流：
探究一：作角的平分线的方法
教师引导学生作图：作<AOB的平分线
探究二：角平分线的性质：
1，学生阅读教材P48图12.3-3思考，学生回答并且展示，教师点评
学生归纳角平分线的性质：
2，教师引导学生阅读教材P49角平分线的几何证明过程：
已知（条件），求证（结论），证明（运用几何语言，由已知推出结论）探究三：角平分线的判定
1，学生阅读教材P49图12.3-5思考，如何确定这个点？学生猜想。
2，教师引导，学生完成角平分线的判定的证明过程。
学生展示，教师点评。
已知：求证：
证明：
三，巩固练习：教材P49练习1，2
四，课堂小结，本节课的收获。
五，课外作业：
1，文字证明题：三角形两内角的平分线的交点，到三边的距离相等教材P51：1，2，3。
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【MeiWei 81重点借鉴文档】
12.3 角平分线的性质（1）导学案
、学习目标
1、 能用三角形全等的知识，解释角平分线的原理;
2、 会用尺规作已知角的平分线.
二、 温故知新
如图1，在/ AOB 的两边 0A 和0B 上分别取 OM=ONMC L OA NCL OB MC 与NC 交于C 点. 求证：（1） Rt △ MO © Rt △ NOC
（2） / MOC M NOC
三、 自主探究 合作展示
探究（一）
1、 依据上题我们应怎样平分一个角呢？
2、 思考：把上面的方法改为“在已知/ AOB 的两边上分别截取 OM=QN 使
MC=NC 连接OC 则OC 即为/ AOB 的平分线。
”结论是否仍然成立呢?
件行吗?
OA 是/ BAC 的平分线，点 O 是射线 取点 O 的
三个不同的位置，分别过点 AM 上的任意一点. O 作OE 1 AB, OD 丄AC,点D E 为垂足，
测
四、学习反思
请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。
【MeiWei 81重点借鉴文档】 3、受上题的启示，我们可以制作一个如图 2所示的平分角的仪器： 其中AB=AD BC=DC 将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE AE 就是角平分线•你能说明它的道理吗？ 探究 思考 已知 求作 作法 二）
如何作出一个角的平分线呢？
/ AOB / AOB 勺平分线.
（1 ）以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 OA OB 于 M N 1 M N 为圆心，大于 MN 的长为半径作弧.两弧在 2
（2）分别以 C. OC 射线OC 即为所求.
/ AOB 内部交于点 （3）作射线 请同学们依据以上作法画出图形。
议一议: 在上面作法的第二步中，去掉“大于 1 丄MN 的长”这个条 2 E1 第二步中所作的两弧交点一定在/ AOB 的内部吗?
探究（三）
如图 操作测量： 量OD OE 的长.将三次数据填入下表： 3,
OD
OE
第次 卜面用我们学过勺 知:女第二次 AO 平 寸知识证明发现： 乙分 / RAC OEI A B ODI AC 'H ♦丿'口 1 ' 1 1 ：
图1
观察测量结果，猜想线段 OD 与OE 的大小关系，写出结论:。