第4章 玻色统计和费米统计
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前言
三种粒子系统 非简并性条件（经典极限条件） 玻耳兹曼统计的成功 玻耳兹曼统计的遗留问题
1，金属固体的热容量/低温固体的热容量
2，空腔热辐射问题中的“紫外灾难”
第1节 热力学量的统计表达式
回忆：玻耳兹曼统计方法： 1，计算配分函数Z； 2，通过配分函数计算热力学函数 设想：量子统计方法： 1，计算巨配分函数； 2，通过巨配分函数计算热力学函数
ln gl ln 1 e l
l
ln gl ln 1 e l
l
内能
ln U
1 ln Y X
ln ln S k ln
光子的自旋为s=1，为玻色子 .
玻色系统单态平均粒子数： f
光子系统有其特殊性
1 e 1
a
l
l
常数
m0 0, pc
光子系统的平均粒子数 f
1 e
kT
1
普朗克公式
V 2 4 p dp 3 h
V 2 8 p dp 3 h
一，巨配分函数
考虑玻色分布 则内能 假设
l
al
e l 1
e
l
gl
U l al
l
l
l gl
1
l
l g l e
l
1 e l
ln U
Hale Waihona Puke Baidu对比两式，则：
ln gl ln 1 e l
此结论导致“紫外灾难”，并且动摇了经典物理的 基础。 2，普朗克公式考虑光能量按hν传播——量子力学的萌芽。
光子系统的平均粒子数 f
1 e
kT
1
普朗克公式 U , T d
普朗克公式极限情况
kT
V 3d 2c3 e kT 1
[ksai]：称为巨配分函数
1 e
l
l gl
二，平均粒子数和广义力
平均粒子数 N
N al
l
广义力
Y
dW YdX
U Y X
al
l
l
e l 1
gl
gl e l l l 1 e
V 2 d 8 3 3 h c
V 3 2 d 8 3 h c3
V g d 2 3 2 d c
V 2 d 2 3 c e kT 1
dN d f g d
U , T d V 3d U , T d 2 3 , u , T d c e kT 1 V
3 2m kT 2 1 U g VkTe 1 e 5 2 2 h 2 2
3
3
3 1 e 即： U NkT 1 2 4 2
说明： 1：在弱简并情况下，内能表达式分为两部分。 2：在玻耳兹曼分布的基础上，考虑到系统的弱简并性（此时玻色分 布和费米分布不能通过简并性条件利用玻耳兹曼分布的结果），增 加了一项附加内能。
x 2 dx 3 2V U g 3 2mkT 2 x 0 e h 1 1 1 x e 考虑 x x x e 1 e 1 e
3
1 e
x
代入N和U的积分，即可得到：
1 2m kT 2 N g 1 3 e Ve 2 2 h 2
光子系统的平均粒子数 f
1 e
kT
1
普朗克公式
8 h 3d , T d 3 h c e kT 1
U , T d u , T d V
普朗克公式的意义
8 2 d 1，瑞利-金斯用传统理论推导出辐射能量正比于 c 3
1
1
D d
2 3 2V N g 3 2m 2 d h e 1
“＋”表示费米气体， “－”表示玻色气体
系统的内能为：
2V U g 3 2m h
3 2
e 1 d
3
2
方便推导起见，令x=β ε
2 3 2V x dx N g 3 2mkT 2 x 0 e h 1 1
3：对于费米系统，附加内能为正；对于玻色系统，附加内能为负。
第3节 光子气体
一，空腔热辐射（普朗克公式）
有关概念： 1，“紫外灾难” 2，热辐射，黑体，绝对黑体，黑体辐射，空腔辐射场
光子气体
电磁辐射场 光子是一种准粒子 光子气体
p k
其中k称为波矢，是电磁波方向2π 长度上的波数。
l X
对比巨配分函数
ln N
1 ln Y X
对于PVT系统 P 1 ln V
三，熵和因子α
用类似玻耳兹曼系统的方法，可计算出玻色系统的熵
ln ln S k ln
其中
1 kT
kT
说明：
1，对于玻色系统，可通过巨配分函数计算基本 热力学函数U, P, S
2，再通过基本热力学函数计算出其它热力学量
四，热力学公式
玻色系统 巨配分函数
1 e
l
l
费米系统
l gl
1 e
l gl
广义力/状态方程
熵
第2节 弱简并玻色气体和费米气体
什么叫弱简并性气体？简并性气体？非 简并性气体？ 弱简并性气体的内能有何特点？
在体积V内，dε范围内的微观状态数：
1 3 2V 2 D d g 3 2m 2 d h
g表示因自旋引起的状态增加
1 e
则系统粒子数为： N
三种粒子系统 非简并性条件（经典极限条件） 玻耳兹曼统计的成功 玻耳兹曼统计的遗留问题
1，金属固体的热容量/低温固体的热容量
2，空腔热辐射问题中的“紫外灾难”
第1节 热力学量的统计表达式
回忆：玻耳兹曼统计方法： 1，计算配分函数Z； 2，通过配分函数计算热力学函数 设想：量子统计方法： 1，计算巨配分函数； 2，通过巨配分函数计算热力学函数
ln gl ln 1 e l
l
ln gl ln 1 e l
l
内能
ln U
1 ln Y X
ln ln S k ln
光子的自旋为s=1，为玻色子 .
玻色系统单态平均粒子数： f
光子系统有其特殊性
1 e 1
a
l
l
常数
m0 0, pc
光子系统的平均粒子数 f
1 e
kT
1
普朗克公式
V 2 4 p dp 3 h
V 2 8 p dp 3 h
一，巨配分函数
考虑玻色分布 则内能 假设
l
al
e l 1
e
l
gl
U l al
l
l
l gl
1
l
l g l e
l
1 e l
ln U
Hale Waihona Puke Baidu对比两式，则：
ln gl ln 1 e l
此结论导致“紫外灾难”，并且动摇了经典物理的 基础。 2，普朗克公式考虑光能量按hν传播——量子力学的萌芽。
光子系统的平均粒子数 f
1 e
kT
1
普朗克公式 U , T d
普朗克公式极限情况
kT
V 3d 2c3 e kT 1
[ksai]：称为巨配分函数
1 e
l
l gl
二，平均粒子数和广义力
平均粒子数 N
N al
l
广义力
Y
dW YdX
U Y X
al
l
l
e l 1
gl
gl e l l l 1 e
V 2 d 8 3 3 h c
V 3 2 d 8 3 h c3
V g d 2 3 2 d c
V 2 d 2 3 c e kT 1
dN d f g d
U , T d V 3d U , T d 2 3 , u , T d c e kT 1 V
3 2m kT 2 1 U g VkTe 1 e 5 2 2 h 2 2
3
3
3 1 e 即： U NkT 1 2 4 2
说明： 1：在弱简并情况下，内能表达式分为两部分。 2：在玻耳兹曼分布的基础上，考虑到系统的弱简并性（此时玻色分 布和费米分布不能通过简并性条件利用玻耳兹曼分布的结果），增 加了一项附加内能。
x 2 dx 3 2V U g 3 2mkT 2 x 0 e h 1 1 1 x e 考虑 x x x e 1 e 1 e
3
1 e
x
代入N和U的积分，即可得到：
1 2m kT 2 N g 1 3 e Ve 2 2 h 2
光子系统的平均粒子数 f
1 e
kT
1
普朗克公式
8 h 3d , T d 3 h c e kT 1
U , T d u , T d V
普朗克公式的意义
8 2 d 1，瑞利-金斯用传统理论推导出辐射能量正比于 c 3
1
1
D d
2 3 2V N g 3 2m 2 d h e 1
“＋”表示费米气体， “－”表示玻色气体
系统的内能为：
2V U g 3 2m h
3 2
e 1 d
3
2
方便推导起见，令x=β ε
2 3 2V x dx N g 3 2mkT 2 x 0 e h 1 1
3：对于费米系统，附加内能为正；对于玻色系统，附加内能为负。
第3节 光子气体
一，空腔热辐射（普朗克公式）
有关概念： 1，“紫外灾难” 2，热辐射，黑体，绝对黑体，黑体辐射，空腔辐射场
光子气体
电磁辐射场 光子是一种准粒子 光子气体
p k
其中k称为波矢，是电磁波方向2π 长度上的波数。
l X
对比巨配分函数
ln N
1 ln Y X
对于PVT系统 P 1 ln V
三，熵和因子α
用类似玻耳兹曼系统的方法，可计算出玻色系统的熵
ln ln S k ln
其中
1 kT
kT
说明：
1，对于玻色系统，可通过巨配分函数计算基本 热力学函数U, P, S
2，再通过基本热力学函数计算出其它热力学量
四，热力学公式
玻色系统 巨配分函数
1 e
l
l
费米系统
l gl
1 e
l gl
广义力/状态方程
熵
第2节 弱简并玻色气体和费米气体
什么叫弱简并性气体？简并性气体？非 简并性气体？ 弱简并性气体的内能有何特点？
在体积V内，dε范围内的微观状态数：
1 3 2V 2 D d g 3 2m 2 d h
g表示因自旋引起的状态增加
1 e
则系统粒子数为： N