关于空间维度的数学解释

Ｓ ＣＩ Ｅ ＮＴＩ Ｓ Ｔ】 专栏 ｌ 科学家
而 且物 质 的 空 间密度 会 随着 空 间维度 的增 多而 变 得 更加 复 杂 。这就 是为什 么有 人 认为 四维 空 间是三 维空 间 的压缩 。 在 三 角 函数 中 ， 一个 “ 角 ”（ 记 为 ０） 除 了用 角度 制 表示 外 ， 还可 以用 弧度 制 表示 。例 如， 在 一个 平 面 直角 坐 标 系 中 ，以坐标 原 点 Ｏ 但 求 导与 空 间维 度 之 间 的确 存 在 ： 为一 个 端 点 ，以 Ｘ轴 上 的任 意一 点 Ａ （ 不与 Ｄ 联 系—— 某 个 维度 的 物体 可 以用 求 导 的方 式 转 ： 点重 合 ）为另 一 个端 点 做一 条 线段 。当这 条 线 化 为 比它 低一 个空 间维度 中的物理 量 。 ： 段绕 Ｄ旋 转 里半 圈 时 ， 则我 们 就说 它 转 了 １ ８ ０ 。 用弧 度制 表 示为 ；当它重 新 回到 起 点时 ， 这 条线 段 就 转 了 ３ ６ ０ ￣， 用 弧度 制 表示 为 ２ 。如 果 只考虑 Ａ点的运 动 轨迹 ，则 当它运 动 到 的 位置 时 ， 它 所 走过 的路径 不 能 围成 一 个封 闭 图 形 ， 所 以只能 是 一维 。位 移 用 一条 坐 标 轴就 能
分析 数学公 式 中的 空问 维度 维数
么才能知道其表示的空间维度 的维数呢？前文
我们 有 提 到 ，圆 的周 长 公 式 为 （ 、２ ； ｎ ｃ ，面 积 公
：
每 一个 式 子 都有 它 的几 何 意 义 ， 那么 ， 怎 ！
式为Ｓ ＝ ｒ ； 球 的 表面 积 公 式为 Ｓ ＝ ４ ７ ｒ ｒ， 体积
四个 空间 维 ，而且 在 四维 空 间 中 ， 物 质 的各 物 理量 （ 例 如长 度 、宽 度或 高度 ）都会 在 三维 空 间 的基 础 上有 所 压缩 ， 而 且 空 间维度 的维数 越 多 ， 压 缩 得越 厉 害 。原 因在 于 ，当物 质 处于 二 维 以上 的空 间 中时 ，各个 空 间维 之 间会 相 互作 用 ， 产 生 一种 压 力 。就是 这种 压 力使 得 物质 在
在 数 学 中 ，“ 求 导 ”是 一 种 便 于我 们 理 解
空 间 维 度 很 好 的 方 法 。若 己知 一 个 物 体 的 三 围尺度 —— 体 积 的 公式 ， 就 能 够 用 求 导 的方 法
就 能 够 得 到 它 的 二 维 尺 度 —— 面 积 。 例 如 球 的体 积 公 式 为 ， 我 们 可 以根 据 求 导 公 式 ｆ ： 。 ， ＝ ｎ ａ 求 出表 面积 公式 为 Ｓ＝ ４ ｒ ‘，Ｉ 司样 ，我
分布 情况 相 对其 在 三 维 空 间中 的分 布 复杂 。如 果 按 照 这 样 推 理 ，空 间 维 度 越 多 ， 物 质 分 布
越 复 杂 。 空 间 维 度 与 物 质 的 分 布 的 联 系 如 下
所述。
不过 我 们 需要 意 识 到 ，在 三 维 空 间 中 ，球 是一 种 特殊 的情 况 ，也 就 是说 ，一个 三 维物 体 的体积 公 式 ， 求 导后 不 一定 得到 它 的面积 公式 。 例 如 正 方 体 的体 积 公 式 为 Ｖ ＝ ａ 求 导 之 后 得 到
ＳＣＩ ＥＮＴＩ ＳＴ 专栏 １ 科学家
关 于空 间维 度 的 数 学解 释
Baidu Nhomakorabea何 泊 杉 ，王 涛
天文 学是建 立在 数学 基础 上 的一门 学科 ，其 中很 多 内容都需 要通 过数 学来对 其进行 解释 。文章 主要 就 天 文 学 中 的 空 间 维 度 进 行 探 讨 。并 就 如 何 通 过 数 学 对 空 间维度 进行解 释展 开探讨 ，以期 进一 步明确 天文 学 与数学之间的关系 。
们 也 可 以用 这 样 的方法 将 从 二 维空 间 的尺 度 得 到一 维 空 间 的尺 度 。例 如 圆 的 二维 尺 度—— 而
积 的公 式 为 ＝ ｒ 也 能 用求 导 的方 式 得 出它 的 维尺 度——周 长 的公 式 Ｃ＝２ 厢。
一
维 空 间 的压 缩 ，也 就 是说 ，四维 间 中的 物质
表示 。其 实不管 绕 Ｄ点旋 转 多少 圈 ， 对 于 点 来说 ， 也 只是 走 的一 维路 线 。但对 于 线段 Ｏ Ａ 绕 ： Ｄ 点旋 转 ，当 点到 达 ２ 万的 位 置 （ 也 就是 Ａ ： 的起 点位置 ）时 ， 对 于 线段０． ４ 扫过 的点来 说 ， ： 它在 Ｏ Ａ扫过 的面 内。这 时 ， 各 点 的位置 就 需要 ： 两 条坐标 轴 （ 记作 Ｘ 轴和 ｙ 轴 ）在 二维 空 间中 ， ！ 点 的分 布 比 它在 一 维 空 间 中的 分布 更 加 广 泛 ， ： 而 且各 点 的坐 标 可 以用 三 角 函数 计算 得 到。 ： ｛ ： ： ｌ ℃ ０ ｓ 一 目 为 ‘ 与 辅 的 丧 角 ． 为 ｎ 。 的 距 离 Ｊ ， ： ： ・
公式为 ： 。正方形的周长为 Ｃ ＝ ４ ａ ， 面积公
式为Ｓ ＝ ａ ：正 方体 的表 面 积为 Ｓ ： ６ ａ， 体积公
式为 Ｖ ＝ ａ。我们 可 以发现 ， 当 Ｌ 何 体 的空 间维 度 的维 数 越 多时 ， 式 子 的指 数越 大 ， 而 且式 子 的指数 就 表示 几 何体 的 空 间维数 。当空 间维 数 增多时 ， 物质 在此 空 间 中的 分布 情 况就 会越 复 杂 。例 如 ， 在 一维 空 间 中 ， 物 质 只 能分 布在 一 条 直线 上 ： 在 二 维空 间 中 ， 物 质 分布 在 一个 面 上 ： 而 在 三维 空 间 中 ， 物 质 就分 布 在一 个立 体 空间内 ， 如果 推 论成 立 ， 则在 四维 空间 中的物 质 除 了要 布满 前三 个 空 间维 之外 ， 还 要 布满 第