高中数学必修2直线方程.docx
高中数学必修2《第3章：直线与方程(3.2直线的方程)》学生版
个性化辅导教案学员姓名科目年级授课时间课时 3 授课老师教学目标掌握直线的五种形式，会求点到直线的距离，会处理一些对称的问题重点难点直线的五种形式，点到直线的距离，对称问题第三章：直线与方程3.2直线的方程3．2.1直线的点斜式方程[导入新知]1．直线的点斜式方程(1)定义：如图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程y－y0＝k(x－x0)叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式．(2)说明：如图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x－x0＝0，或x＝x0.2．直线的斜截式方程(1)定义：如图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程y＝kx＋b叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式．(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．[化解疑难]1．关于点斜式的几点说明：(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P(x0，y0)和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．(2)方程y －y 0＝k (x －x 0)与方程k ＝y －y 0x －x 0不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P (x 0，y 0)的一条直线．(3)当k 取任意实数时，方程y －y 0＝k (x －x 0)表示恒过定点(x 0，y 0)的无数条直线．2．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y ＝kx ＋b 的形式，但有区别，当k ≠0时，y ＝kx ＋b 即为一次函数；当k ＝0时，y ＝b ，不是一次函数，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零．直线的点斜式方程[例1] (1)经过点(－5,2)且平行于y 轴的直线方程为________．(2)直线y ＝x ＋1绕着其上一点P (3,4)逆时针旋转90°后得直线l ，则直线l 的点斜式方程为________． (3)求过点P (1,2)且与直线y ＝2x ＋1平行的直线方程为________． [解析] (1)∵直线平行于y 轴，∴直线不存在斜率，∴方程为x ＝－5.(2)直线y ＝x ＋1的斜率k ＝1，所以倾斜角为45°.由题意知，直线l 的倾斜角为135°，所以直线l 的斜率k ′＝tan 135°＝－1，又点P (3,4)在直线l 上，由点斜式方程知，直线l 的方程为y －4＝－(x －3)．(3)由题意知，所求直线的斜率为2，且过点P (1,2)，∴直线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. [答案] (1)x ＝－5 (2)y －4＝－(x －3) (3)2x －y ＝0 [类题通法]已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝x 0.[活学活用]1．写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A (2,5)，斜率是4； (2)经过点B (2,3)，倾斜角是45°； (3)经过点C (－1，－1)，与x 轴平行．直线的斜截式方程[例2] (1)倾斜角为150°，在y 轴上的截距是－3的直线的斜截式方程为________．(2)已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．[解析] (1)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k ＝tan 150°＝－33，由斜截式可得所求的直线方程为y ＝－33x －3.(2)由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2， 又∵l ∥l 1，∴l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，∴l 在y 轴上的截距b ＝－2，由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.[答案] (1)y ＝－33x －3 [类题通法]1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b ＝0时，y ＝kx 表示过原点的直线；当k ＝0时，y ＝b 表示与x 轴平行(或重合)的直线．2．截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．[活学活用]2．求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且在y 轴上的截距是－5的直线方程．两直线平行与垂直的应用[例3] 当a 为何值时，(1)两直线y ＝ax －2与y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直？ (2)两直线y ＝－x ＋4a 与y ＝(a 2－2)x ＋4互相平行？[解] (1)设两直线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＝a ，k 2＝a ＋2. ∵两直线互相垂直， ∴k 1k 2＝a (a ＋2)＝－1， 解得a ＝－1.故当a ＝－1时，两条直线互相垂直． (2)设两直线的斜率分别为k 3，k 4， 则k 3＝－1，k 4＝a 2－2. ∵两条直线互相平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，4a ≠4，解得a ＝－1. 故当a ＝－1时，两条直线互相平行． [类题通法]判断两条直线位置关系的方法直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2. (1)若k 1≠k 2，则两直线相交． (2)若k 1＝k 2，则两直线平行或重合， 当b 1≠b 2时，两直线平行； 当b 1＝b 2时，两直线重合．(3)特别地，当k 1·k 2＝－1时，两直线垂直． (4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑． [活学活用]3．(1)若直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直，则a ＝________. (2)若直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行，则a ＝________.7.斜截式判断两条直线平行的误区[典例] 已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当l 1∥l 2时，求m 的值．[解] 由题设l 2的方程可化为y ＝－m －23x －23m ，则其斜率k 2＝－m －23，在y 轴上的截距b 2＝－23m .∵l 1∥l 2，∴l 1的斜率一定存在，即m ≠0. ∴l 1的方程为y ＝－1m x －6m.由l 1∥l 2，得⎩⎨⎧－m －23＝－1m，－23m ≠－6m，解得m ＝－1.∴m 的值为－1.[易错防范]1．两条直线平行时，斜率存在且相等，截距不相等．当两条直线的斜率相等时，也可能平行，也可能重合．2．解决此类问题要明确两直线平行的条件，尤其是在求参数时要考虑两直线是否重合．[成功破障]当a为何值时，直线l1：y＝－2ax＋2a与直线l2：y＝(a2－3)x＋2平行？[随堂即时演练]1．直线y＝2x－3的斜率和在y轴上的截距分别等于()A．2,3B．－3，－3C．－3,2 D．2，－32．直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是()A．y＋3＝x－2 B．y－3＝x＋2C．y＋2＝x－3 D．y－2＝x＋33．过点(－2，－4)，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是________．4．在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4平行的直线的斜截式方程为________．5．(1)求经过点(1,1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的方程；(2)求经过点(－2，－2)，且与直线y＝3x－5垂直的直线的方程．3．2.2 & 3.2.3直线的两点式方程、直线的一般式方程两点式、截距式[导入新知]直线的两点式与截距式方程两点式截距式条件P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2) 其中x 1≠x 2，y 1≠y 2在x 轴上截距a ，在y 轴上截距b 图形方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1x a ＋y b＝1 适用范围不表示垂直于坐标轴的直线不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线[化解疑难]1．要注意方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1和方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)形式不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程．2．直线方程的截距式为x a ＋yb ＝1，x 项对应的分母是直线在x 轴上的截距，y 项对应的分母是直线在y 轴上的截距，中间以“＋”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接读出直线在两轴上的截距，如：x 3－y4＝1，x 3＋y4＝－1就不是直线的截距式方程.直线方程的一般式[导入新知]1．直线与二元一次方程的关系(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示． (2)每个关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线． 2．直线的一般式方程的定义我们把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．[化解疑难]1．求直线的一般式方程的策略(1)当A ≠0时，方程可化为x ＋B A y ＋C A ＝0，只需求B A ，C A 的值；若B ≠0，则方程化为A B x ＋y ＋CB ＝0，只需确定A B ，CB的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．2．直线的一般式转化为其他形式的步骤 (1)一般式化为斜截式的步骤 ①移项得By ＝－Ax －C ；②当B ≠0时，得斜截式：y ＝－A B x －CB .(2)一般式化为截距式的步骤①把常数项移到方程右边，得Ax ＋By ＝－C ；②当C ≠0时，方程两边同除以－C ，得Ax －C ＋By－C ＝1；③化为截距式：x －C A ＋y－C B＝1.由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式．利用两点式求直线方程[例1] 三角形的三个顶点是A (－1,0)，B (3，－1)，C (1,3)，求三角形三边所在直线的方程． [解] 由两点式，直线AB 所在直线方程为：y －(－1)0－(－1)＝x －3－1－3，即x ＋4y ＋1＝0.同理，直线BC 所在直线方程为： y －3－1－3＝x －13－1，即2x ＋y －5＝0. 直线AC 所在直线方程为： y －30－3＝x －1－1－1，即3x －2y ＋3＝0.[类题通法]求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．[活学活用]1．(1)若直线l 经过点A (2，－1)，B (2,7)，则直线l 的方程为________． (2)若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________.直线的截距式方程及应用[例2] 直线l 过点P (43，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点．(1)当△AOB 的周长为12时，求直线l 的方程． (2)当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程．[解] (1)设直线l 的方程为 x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)， 由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12. 又因为直线l 过点P (43，2)，所以43a ＋2b＝1，即5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3，⎩⎨⎧a 2＝125，b 2＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0 或15x ＋8y －36＝0.(2)设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知，ab ＝12，43a ＋2b ＝1，消去b ，得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝6， 所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0. [类题通法]用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与x 轴和y 轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便． (2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．(3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．[活学活用]2．求经过点A (－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程．直线方程的一般式应用[例3] (1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值；(2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？ [解] (1)法一：由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0. l 2：mx ＋3y －2＝0. ①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行． ②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2.解得m ＝2或m ＝－3.∴m 的值为2或－3. 法二：令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2. 同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0， l 1与l 2不重合，l 1∥l 2， ∴m 的值为2或－3.(2)法一：由题意，直线l 1⊥l 2，①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0，显然垂直．②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直．③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3，当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，所以a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 法二：由直线l 1⊥l 2，所以(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1. 将a ＝±1代入方程，均满足题意． 故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. [类题通法]1．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， (1)若l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)若l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.2．与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0，(m ≠C )，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋m ＝0.[活学活用]3．(1)求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l 的方程； (2)求经过点A (2,1)且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程．3.探究直线在坐标轴上的截距问题[典例] 求过点A (4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l 的方程． [解] 当直线过原点时，它在x 轴、y 轴上的截距都是0， 满足题意．此时，直线的斜率为12，所以直线方程为y ＝12x .当直线不过原点时，由题意可设直线方程为x a ＋y b＝1，又过点A ，所以4a ＋2b＝1(1)．4．截距和是定数问题求过点A (4,2)且在两坐标轴上截距之和为12的直线l 的方程．解：设直线l 的方程为x a ＋y b＝1， 由题意⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋2b ＝1，a ＋b ＝12.∴4b ＋2a ＝ab ，即4(12－a )＋2a ＝a (12－a )，∴a 2－14a ＋48＝0，解得a ＝6或a ＝8.因此⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝4. ∴所求直线l 的方程为x ＋y －6＝0或x ＋2y －8＝0.[方法感悟]如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距的绝对值相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m 倍(m ＞0)”等条件时，可采用截距式求直线方程，但一定要注意考虑“零截距”的情况．[随堂即时演练]1．直线x 3－y 4＝1在两坐标轴上的截距之和为( ) A ．1B ．－1C ．7D ．－72．直线3x －2y ＝4的截距式方程是( )A.3x 4－y 2＝1 B.x 13－y 12＝4 C.3x 4－y －2＝1 D.x 43＋y －2＝1 3．直线l 过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l 的方程为________．4．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________．5．三角形的顶点坐标为A (0，－5)，B (－3,3)，C (2,0)，求直线AB 和直线AC 的方程．。
【精品】高中数学 必修2_直线的一般式方程及综合 讲义 知识点讲解+巩固练习(含答案) _基础
直线的一般式方程及综合【学习目标】1．掌握直线的一般式方程；2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处；3．能利用直线的一般式方程解决有关问题.【要点梳理】要点一：直线方程的一般式关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．要点诠释：1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线.当B≠0时，方程可变形为A Cy xB B=--，它表示过点0,CB⎛⎫-⎪⎝⎭，斜率为AB-的直线．当B=0，A≠0时，方程可变形为Ax+C=0，即CxA=-，它表示一条与x轴垂直的直线．由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线．2．在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2x―y+1=0，也可以是1122x y-+=，还可以是4x―2y+2=0等．）要点二：直线方程的不同形式间的关系直线方程的五种形式的比较如下表：要点诠释：在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（x 1≠x 2，y 1≠y 2），应用时若采用(y 2―y 1)(x ―x 1)―(x 2―x 1)(y ―y 1)=0的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同．要点三：直线方程的综合应用1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．（1）从斜截式考虑已知直线111:b x k y l +=,222:b x k y l +=,12121212//()l l k k b b αα⇒=⇒=≠；12121211221tan cot 12l l k k k k παααα⊥⇒-=⇒=-⇒=-⇒=- 于是与直线y kx b =+平行的直线可以设为1y kx b =+；垂直的直线可以设为21y x b k=-+． （2）从一般式考虑：11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1212120l l A A B B ⊥⇔+=121221//0l l A B A B ⇔-=且12210A C A C -≠或12210B C B C -≠，记忆式（111222A B C A B C =≠） 1l 与2l 重合，12210A B A B -=，12210A C A C -=，12210B C B C -=于是与直线0Ax By C ++=平行的直线可以设为0Ax By D ++=；垂直的直线可以设为0Bx Ay D -+=.【典型例题】类型一：直线的一般式方程例1．根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式：（1A （5，3）；（2）过点B （―3，0），且垂直于x 轴；（3）斜率为4，在y 轴上的截距为―2；（4）在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴；（5）经过C （―1，5），D （2，―1）两点；（6）在x ，y 轴上的截距分别是―3，―1．【答案】（130y -+-=（2）x+3=0（3）4x ―y ―2=0（4）4x ―y ―2=0（5）2x+y ―3=0（6）x+3y+3=0【解析】 （1）由点斜式方程得35)y x -=-30y -+-=．（2）x=―3，即x+3=0．（3）y=4x ―2，即4x ―y ―2=0．（4）y=3，即y ―3=0．（5）由两点式方程得5(1)152(1)y x ---=----，整理得2x+y ―3=0． （6）由截距式方程得131x y +=--，整理得x+3y+3=0． 【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x 的系数为正，x ，y 的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x 项、y 项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．举一反三：【变式1】已知直线l 经过点A （―5，6）和点B （―4，8），求直线的一般式方程和截距式方程，并画图．【答案】2x －y+16=0 1816x y +=- 【解析】 所求直线的一般式方程为2x －y+16=0，截距式方程为1816x y +=-．图形如右图所示． 【高清课堂：直线的一般式 381507 例4】例2．ABC ∆的一个顶点为(1,4)A --，B ∠、C ∠ 的平分线在直线10y +=和10x y ++=上，求直线BC 的方程.【答案】230x y +-=【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，所以可得A 点关于B ∠的平分线的对称点'A 在BC 上，B 点关于C ∠的平分线的对称点'B 也在BC 上．写出直线''A B 的方程，即为直线BC 的方程.例3．已知直线1:310l ax y ++=，2:(2)0l x a y a +-+=，求满足下列条件的a 的值．（1）12//l l ；（2）12l l ⊥．【思路点拨】利用直线平行和垂直的条件去求解。
北师大版高中数学必修二第二章1.1直线的倾斜角和斜率.docx
§1直线与直线的方程1.1 直线的倾斜角和斜率问题导学1．求直线的倾斜角活动与探究1已知直线l1的倾斜角是30°，直线l2⊥l1，试求直线l2的倾斜角．迁移与应用1．如图，有三条直线l1，l2，l3，倾斜角分别是α1，α2，α3，则下列关系正确的是( )．A．α1＞α2＞α3 B．α1＞α3＞α2C．α2＞α3＞α1 D．α3＞α2＞α12．直线l过原点，且倾斜角为150°，若将直线l绕原点逆时针方向旋转30°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为__________．求直线的倾斜角，主要是根据题意画出图形，根据倾斜角的定义，找出直线向上的方向与x轴正半轴所成的角，即为倾斜角，注意平面几何中相关知识的应用．2．求直线的斜率活动与探究2(1)已知两条直线的倾斜角α1＝30°，α2＝45°，求这两条直线的斜率；(2)如图，已知A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，AC的斜率；(3)求经过两点A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率．迁移与应用1．(1)若直线l 的倾斜角为60°，则该直线的斜率为__________；(2)经过两点A (3,2)，B (4,7)的直线的斜率是__________．2．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．①(1,1)，(－1，－2)；②(1，－1)，(－2,4)；③(2,2)，(10,2)；④(－2，－3)，(－2,3)．1．求直线的斜率通常有两种方法：一是已知直线的倾斜角α时，可根据斜率的定义，利用k ＝tan α求得；二是已知直线上经过的两点时，可利用两点连线的斜率公式计算求得．2．使用斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1时，要注意前提条件x 1≠x 2.若x 1＝x 2，则斜率不存在．当两点的横坐标含有字母时，要先讨论横坐标是否相等再确定直线的斜率．3．直线的倾斜角和斜率的关系活动与探究3a 为何值时，过点A (2a,3)，B (2，－1)的直线的倾斜角是锐角？钝角？直角？迁移与应用已知直线l经过点P(5,10)，Q(m,12)，若l的倾斜角θ≥90°，则实数m的取值范围是__________．根据斜率与倾斜角的关系(即当倾斜角0°≤α＜90°时，斜率是非负的；当倾斜角90°＜α＜180°时，斜率是负的)来解答直线的倾斜角是锐角还是钝角问题．4．运用斜率公式解决三点共线问题活动与探究4已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，求实数a的值．迁移与应用已知三点A(1，－1)，B(3,3)，C(4,5)，求证：三点在同一直线上．三点共线问题的证明(1)用斜率法证明三点共线问题．(2)三点共线问题也可利用线段长度之间的关系来证明，即若|AB |＋|BC |＝|AC |，则可判定A ，B ，C 三点共线．当堂检测1．对于下列命题：①若θ是直线l 的倾斜角，则0°≤θ＜180°；②若k 是直线l 的斜率，则k ∈R ；③任一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．42．若直线l 的斜率k ＝－1，则其倾斜角等于( )．A ．0° B．45° C．90° D．135°3．过点P (－2，m )，Q (m,4)的直线的斜率为1，则m 的值为( )．A ．1B ．4C ．1或3D ．1或44．已知A (3，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－3，C (a ，2a )三点共线，求实数a 的值． 5．已知直线l 的倾斜角为30°，且过点P (1,2)和Q (x,0)，求该直线的斜率和x 的值．答案：课前预习导学预习导引1．一个点 方向2．(1)逆时针 倾斜角 0° 0°≤α＜180°预习交流1 提示：任何一条直线都有唯一的倾斜角；倾斜角相同的直线不是唯一的，它们是一组平行线；不同的直线其倾斜角可能是相同的．(2)正切 tan α预习交流2 提示：并非每一条直线都有斜率，当直线与x 轴垂直时，即倾斜角为90°时，该直线的斜率不存在；当倾斜角0°≤α＜90°时，斜率k ≥0；当90°＜α＜180°时，斜率k ＜0，故可知斜率k 的取值范围为(－∞，0)∪[0，＋∞)，即k ∈R .预习交流3 提示：斜率和倾斜角之间的关系是“数与形”的关系，斜率是个实数，倾斜角则是一个角；每条直线都有唯一的倾斜角与之对应，但并不是每条直线都有斜率，当倾斜角0°≤α＜90°时，斜率是非负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大；当倾斜角90°＜α＜180°时，斜率是负的，倾斜角越大，直线的斜率也越大．3．y 2－y 1x 2－x 1(x 2≠x 1) 预习交流4 提示：不能．斜率公式的适用条件是x 1≠x 2，当两点的横坐标相同时，不能用斜率公式，因为此时直线与x 轴垂直，其倾斜角为90°，斜率不存在．预习交流5 提示：无关，即k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 1－y 2x 1－x 2. 课堂合作探究问题导学活动与探究1 思路分析：由l 1⊥l 2知两直线与x 轴可构成直角三角形，因此可利用三角形内角和定理以及倾斜角的定义求出l 2的倾斜角．解：如图所示，由于l 2⊥l 1，所以△MAB 是直角三角形，而l 1的倾斜角等于30°，即∠MAB ＝30°，于是∠MBA ＝60°，从而∠MBx ＝180°－60°＝120°，即直线l 2的倾斜角等于120°.迁移与应用 1．D2．0° 解析：将l 绕原点旋转30°后，直线与x 轴重合，其倾斜角为0°.活动与探究2 思路分析：利用斜率公式k ＝tan α和k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)来解决． 解：(1)k 1＝tan 30°＝33，k 2＝tan 45°＝1. (2)直线AB 的斜率k AB ＝1－2－4－3＝17； 直线BC 的斜率k BC ＝－1－10－(－4)＝－24＝－12； 直线AC 的斜率k AC ＝2－(－1)3－0＝33＝1. (3)当a ＝3时，斜率不存在．当a ≠3时，直线的斜率k ＝43－a . 迁移与应用 1．(1) 3 (2)52．解：①k ＝－2－1－1－1＝32；②k ＝4－(－1)－2－1＝－53；③k ＝2－210－2＝0；④∵x 1＝x 2＝－2，∴斜率不存在．活动与探究3 思路分析：根据倾斜角与斜率的关系解决本题．若直线的倾斜角是锐角，则k ＞0，若为钝角，则k ＜0，若为直角，则斜率不存在．解：当过点A ，B 的直线的倾斜角是锐角时，k AB ＞0，根据斜率公式得k AB ＝3＋12a －2＝2a －1＞0， ∴a ＞1；同理，当倾斜角为钝角时，k AB ＜0，即2a －1＜0， ∴a ＜1.当倾斜角为直角时，A ，B 两点的横坐标相等．即2a ＝2，∴a ＝1.迁移与应用 m ≤5 解析：当θ＝90°时，直线l 的斜率不存在，故m ＝5；当θ＞90°时，倾斜角为钝角，l 的斜率k ＜0，即2m －5＜0，解得m ＜5.综上m 的取值范围是m ≤5. 活动与探究4 思路分析：先用k AB ＝k BC 建立关于a 的方程，然后解方程求实数a 的值． 解：∵A ，B ，C 三点共线，且3≠－2，∴BC ，AB 的斜率都存在，且k AB ＝k BC .又∵k AB ＝7－23－a ＝53－a ，k BC ＝－9a －7－2－3＝9a ＋75， ∴9a ＋75＝53－a ，解得a ＝2或a ＝29. 迁移与应用 证明：∵k AB ＝3＋13－1＝2，k BC ＝5－34－3＝2， ∴k AB ＝k BC .又直线AB 和BC 有公共点B ，∴A ，B ，C 三点共线．当堂检测1．C 2．D 3．A4．解：∵A ，B ，C 三点共线，3≠32， ∴AB ，AC 的斜率都存在，且k AB ＝k AC .∴－3－032－3＝2a －0a －3，解得a ＝2. 5．解：由斜率的计算公式得，该直线的斜率k ＝tan 30°＝33. 又l 过点P (1,2)和Q (x,0)，则k ＝2－01－x ＝33，解得x ＝1－2 3.。
高中数学人教A版必修2练习第21课时直线的两点式方程 Word版含解析
．已知直线与两坐标轴相交且被两轴截得的线段的中点是()，则此直线的方程为．
答案：＋－＝
解析：设直线与轴的交点为()，与轴的交点为(，)，则由已知得：＝，＝，即＝，＝，所以所求直线的方程为＋＝，即＋－＝.
．已知△的三个顶点(，－)，()，()，则边上的中线所在的直线方程为．
答案：－－＝
解析：线段的中点的坐标为(，)，即(，)
当＝时，直线的方程为＋＝，直线经过第一、二、四象限；当＝时，直线的方程为＋＝，直线经过第一、二、四象限．
综上所述，直线的方程为＋－＝或＋－＝.
．(分)已知直线经过点()，且在两坐标轴上的截距之和为，求直线的方程．
解：当直线经过原点时，直线在两坐标轴上的截距均等于，符合题意．
又直线过点()，∴所求直线方程为＝，即－＝.
当直线不经过原点时，设其方程为＋＝，
由题意可得＋＝，①
又经过点()，有＋＝，②
由①②，得＝，＝－，
则的方程为＋＝，即－－＝.
故所求直线的方程为－＝或－－＝.
能力提升
．(分)直线－＋＝与两坐标轴所围成的三角形面积不大于，那么的范围是()
．≥－
．≤
．－≤≤且≠
．≤－或≥
答案：
解析：令＝，＝，令＝，得＝－.
第课时直线的两点式方程
课时目标
.能识记和描述两点式方程及其使用范围．
．能识记和描述截距式方程及其使用范围．
．能应用两点式和截距式公式求直线方程．
识记强化
．我们把经过两点(，)，(，)(其中≠，≠)的直线方程＝叫做直线的两点式方程，简称两点式．若(，)，(，)中的＝或＝时，直线没有两点式方程．当＝时，直线平行于轴，直线方程为－＝或＝.当＝时，直线平行于轴，直线方程为－＝或＝.
2021_2022年高中数学第三章直线与方程2
特别提醒 应用斜截式方程时，应注意斜率是否存在，当斜率
不存在时，不能表示成斜截式方程．
跟踪练习
写出满足下列条件的直线的方程． (1)斜率为 5，在 y 轴上截距为－1，________； (2)倾斜角 30°，在 y 轴上截距为 3，________. [答案] (1)5x－y－1＝0 (2)x－ 3y＋3＝0 [解析] (1)方程为 y＝5x－1，即 5x－y－1＝0. (2)方程为 y＝xtan30°＋ 3，即 x－ 3y＋3＝0.
B．－1
C．3
D．－3
[答案] B
2．直线y＝－2x＋3的斜率是________，在y轴上的截距是
________，在x轴上的截距是________.
[答案]
－2
3
3 2
[解析] 斜率是－2；在 y 轴上的截距是 3；令 y＝0 得 x＝32， 即在 x 轴上的截距是32.
3．写出下列直线的点斜式方程并化成斜截式：
特别提醒 若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值
时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b1≠b2
这个条件．
跟踪练习
(1)已知直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝______. (2)经过点(1,1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的方程为_____. [答案] (1)－1 (2)2x－y－1＝0 [解析] (1)由两直线垂直可得a(a＋2)＝－1，即a2＋2a＋1＝0 ，所以a＝－1； (2)由y＝2x＋7得k1＝2，由两直线平行知k2＝2.∴所求直线方程 为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
规律总结
①使用点斜式方程，必须注意前提条件是斜率存在． ②注意方程x＝1的含义：它表示一条垂直于x轴的直线，这条
3.2.2直线的两点式方程(高中数学人教版必修二)
练习：
1.求经过下列两点的直线的两点式方程，再化 斜截式方程. y 1 x 2
(1)P(2，1)，Q(0，-3) (2)A(0，5)，B(5，0) (3)C(-4，-5)，D(0，0)
3 1 0 2
y 5 x0 05 50
y0 x0 5 0 4 0
y y1 x x1 x1 x2 , y1 y2 3.两点式： y2 y1 x2 x1
说明：
（1）这个方程是由直线上两点确定； （2）当直线没斜率或斜率为0时，不能 用两点式来表示；
x y 4.截距式： 1 a b
说明: （1）这一直线方程是由直线的纵截
距和横截距所确定； （2）截距式适用于纵，横截距都 存在且都不为0的直线；
得: y-3=x-1
所以，直线方程为: y=x+2
所以，直线方程为: y=x+2
变式： 已知直线 L经过 P1 （x1 ，1 ）、 P 2 （x 2 ， 2 ）两点， y y 求已知直线 L的方程。
有其他做法吗？介绍新的知识与方法
已知直线上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)（其中 x1≠x2, y1≠y2 ），如何求出通过这两点的直 线方程呢？
是不是任意一条直线都有其截距式方程呢?
注意：
①不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线 ②截距可是正数,负数和零
3、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)，
求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直 y 线的方程.
C .
. A
O
.M
. B
x
3x-5y-7=0 变式1:BC边上垂直平分线所在直线的方程? 变式2:BC边上高所在直线的方程? 3x-5y+15=0
【优秀课件】人教版高中数学必修二第三章3.2.2 直线的两点式方程
直线 方程 名称 点 斜 式 斜 截 式
直线的方程
已知 条件 直线方程 使用范围
点P 0 ( x0 , y0 ) 和斜率k
y y0 k ( x x0 )
直线斜率存在
斜率k和直 线在y轴上率存在
巩固练习
1.已知直线l的方程是 x 3 y 2 0,
l
●
y
B(0，b)
A(a， 0)
O
●
x
二、直线的截距式方程
x y 我们把方程: 1(a 0, b 0) a b 叫做直线的“截距式方程”.简称“截距式” .
说明： （1）a , b 表示截距； （2）适用范围：
不能表示过原点以及与坐标轴平 行或重合的直线.
知识理解
下列四个命题中的真命题是(
方程为x y 3 0; x y 1 0
(2)当a b 0时, 直线过原点，所以直线方程为y 2 x 所以，满足条件的直线方程有三条.
课堂小结
形式
点斜式 斜截式 两点式
条件
过点( x0,y0), 斜率为k 在y轴上的截距为b, 斜率为k 过P1（x1, y1), P2（x2, y2)
B
)
A.经过定点P ( x0 , y0 )的直线, 都可用方程y y0 k ( x x0 )来表示； B.经过任意两个不同点P 1 ( x1 , y1 )，P 2 ( x2 , y2 )的直线都可以用方程 ( y y1 )( x2 x1 ) ( x x1 )( y2 y1 )来表示； x y C.不经过原点的直线都可以用方程 1来表示； a b D.经过定点的直线都可以用方程y kx b来表示.
第三章
高中数学必修2直线方程
一、知识要点: 1. 倾斜角与斜率2. 直线方程式的5种形式:点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式（注意用前四种方程的条件及一般式与其它形式转化的条件）3．两条直线平行、垂直的条件(与斜率及系数的关系)4．距离公式：两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式 5. 对称问题(点对称、轴对称)二、基础知识练习：1. 直线倾斜角的取值范围___________, 过两点P 1(x 1,y 1), P 2(x 2,y 2)的斜率公式______________2．x=1的倾斜角为__________,直线310x +=的倾斜角是__________,90α=时的斜率_________.3. 直线方程的点斜式方程_________________,直线方程的斜截式方程_________________,直线方程的两点式方程_________________,直线方程的截距式方程_________________,直线方程的一般式方程_______________,与x 轴垂直的直线方程___________,与y 轴垂直的直线方程___________.4.已知直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+,若1l ∥2l ,则__________________,若1l ⊥2l ,则______________;已知直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=,若1l ∥2l ,则_________________ ,若1l ⊥2l ,则______________.5. 与:0l Ax By C ++=平行的直线可设为______________ ,与:0l Ax By C ++=垂直的直线可设为____________________.6. 平面上任意两点111222(,),(,)P x y P x y 的距离公式__________________________, 点000(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离d=_________________,两条平行直线1:0l Ax By C ++=与2:0l Ax By C ++=间距离为d=________________.7.两平行直线3x+4y-12=0和6x+8y+6=0间的距离是________________.三、基础应用：1.下列命题正确的有 :①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应,也有唯一一个斜率与之对应; ②倾斜角的范围是:0°≤α<180°,且当倾斜角增大时,斜率也增大; ③过两点A(1,2),B(m,-5)的直线可以用两点式表示; ④过点(1,1),且斜率为1的直线的方程为111y x -=-; ⑤直线Ax+By+C=0(A,B 不同时为零),当A,B,C 中有一个为零时,这个方程不能化为截距式. ⑥若两直线平行,则它们的斜率必相等;⑦若两直线垂直,则它们的斜率相乘必等于-1.2.若直线062:1=++y ax l 与直线01)1(:22=-+-+a y a x l ;21//l l 时，a=__________;这时它们之间的距离是________;21l l ⊥时，a=________ 3．求满足下列条件的直线方程：(1)经过点P(2，-1)且与直线2x+3y+12=0平行； (2)经过点Q(-1，3)且与直线x+2y-1=0垂直； (3)经过点R(-2，3)且在两坐标轴上截距相等；(4)经过点M(1，2)且与点A(2,3)、B(4,-5)距离相等；(5) 经过点N(-1,3)且在x 轴的截距与它在y 轴上的截距的和为零.4．已知直线l 过点（1,2），且与x ，y 轴正半轴分别交于点A 、B 求△AOB 面积为4时l 的方程；四、巩固练习 1．直线,031=-+-k y kx 当k 变动时，所有直线都过定点（ ）A ．（0，0）B ．（0，1）C ．（3，1）D ．（2，1）2.过点(1,3)且与原点距离为1的直线有 ( )A.3条B. 2条C. 1条D. 0条 3.到x 轴、y 轴和直线02=++y x 的距离相等的点有 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4. 如果直线02=+-y ax 与直线03=--b y x 关于直线0=-y x 对称，则（ ）A. 31=a , 6=b B. 31=a , 6-=b C. 3=a 2-=b D. 3=a , 6=b5．已知点M （4，2）与N （2，4）关于直线l 对称，则直线l 的方程为 （ ）A ．06=++y xB ．06=-+y xC ．0=+y xD ．0=-y x6．设三条直线0123201832,06232=+-=+-=++y mx y m x y x 和围成直角三角形，则m 的取值是 ( ）A ．01或±B ．或094－C ．941,0或－-D ．941-或－ 7.与两平行直线：1l ：;093=+-y x l 2：330x y --=等距离的直线方程为 .8.直线l 方程为08)2()23(=+-++y m x m ，若直线不过第二象限，则m 的取值范围是 . 9.一束光线从点(1,1)A -出发,经x 轴反射到点(2,3)O ,光线经过的最短路程是 ；10．已知132=-n m ，则直线5=+ny mx 必然过定点___________.11．△ABC 中，A (0，1)，AB 边上的高线方程为x ＋2y －4＝0，AC 边上的中线方程 为2x ＋y －3＝0,求AB ，BC ，AC 边所在的直线方程．1．直线L ：ax+4my+3a=0 (m ≠0)过点(1 , -1)，那么L 的斜率为 （ ）A ．41B ．-4C ． -41D ．4 2．两平行直线分别过（1，5），（－2，1）两点，设两直线间的距离为d ，则（ ）A ．d=3B ．d=4C ．3≤d ≤4D ．0<d ≤53.过点()4,2-且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有 （ ）Ａ．１条 Ｂ．２条 Ｃ．３条 Ｄ．４条4.等腰ABC ∆的三个顶点的坐标是A(-3,4),B(-5,0)C(-1,0),则BC 边的中线AD 的方程（ ）A. x=-3B.y=-3C.x=-3(40≤≤y )D.y=-3 (51x -≤≤-) 5．如果直线012=-+ay x 与直线01)13(=---ay x a 平行，则a 等于 （ ）A ．0B ．61C ．0或1D ．0或61 6.已知直线l 过点P(5,10),且原点到它的距离为5,则直线l 的方程为 .7.直线02=+-b y x 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么b 的取值范围是 .8.经过点(0,1)P -作直线l ,若直线l 与连接(1,2),(2,1)A B -的线段没有公共点,则直线l 的斜率k 的取值范围为 .9．直线01)2(:05)1(:21=-++=+-+my x m l y m mx l 与互相垂直，则m 的值是 . 10.已知直线l 与直线3x+4y －7=0平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l 的方程。
高中数学 必修二 习题：第3章 直线与方程3.2.2 Word版含解析
第三章 3.2 3.2.2一、选择题1．直线x 2－y5＝1在x 轴、y 轴上的截距分别为( )A ．2,5B ．2，－5C ．－2，－5D ．－2,5[答案] B[解析] 将x 2－y 5＝1化成直线截距式的标准形式为x 2＋y －5＝1，故直线x 2－y5＝1在x 轴、y 轴上的截距分别为2、－5.2．已知点M (1，－2)、N (m,2)，若线段MN 的垂直平分线的方程是x2＋y ＝1，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1 [答案] C[解析] 由中点坐标公式，得线段MN 的中点是(1＋m 2，0)．又点(1＋m2，0)在线段MN的垂直平分线上，所以1＋m4＋0＝1，所以m ＝3，选C ．3．某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李，行李费用y (元)与行李质量x (kg)的关系如图所示，则旅客最多可免费携带行李的重量为( )A ．20 kgB ．25 kgC ．30 kgD ．80 kg [答案] C[解析] 由图知点A (60,6)、B (80,10)，由直线方程的两点式，得直线AB 的方程是y －610－6＝x －6080－60，即y ＝15x －6.依题意，令y ＝0，得x ＝30，即旅客最多可免费携带30千克行李．4．如右图所示，直线l 的截距式方程是x a ＋yb＝1，则有( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0[答案] B[解析] 很明显M (a,0)、N (0，b )，由图知M 在x 轴正半轴上，N 在y 轴负半轴上，则a >0，b <0.5．已知△ABC 三顶点A (1,2)、B (3,6)、C (5,2)，M 为AB 中点，N 为AC 中点，则中位线MN 所在直线方程为( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y ＋8＝0C ．2x ＋y －12＝0D ．2x －y －12＝0[答案] A[解析] 点M 的坐标为(2,4)，点N 的坐标为(3,2)，由两点式方程得y －24－2＝x －32－3，即2x＋y －8＝0.6．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为( )A ．－32B ．－23C ．25D ．2[答案] A[解析] 直线方程为y －91－9＝x －3－1－3，化为截距式为x －32＋y 3＝1，则在x 轴上的截距为－32.二、填空题7．已知点P (－1,2m －1)在经过M (2，－1)、N (－3,4)两点的直线上，则m ＝________[答案] 32[解析] 解法一：MN 的直线方程为：y ＋14＋1＝x －2－3－2，即x ＋y －1＝0，代入P (－1,2m －1)得m ＝32.解法二：M 、N 、P 三点共线， ∴4－(2m －1)－3＋1＝4－(－1)－3－2，解得m ＝32.8．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是________.[答案] 3x ＋2y －6＝0[解析] 设直线方程为x a ＋yb ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3a ＋b ＝5，解得a ＝2，b ＝3，则直线方程为x 2＋y3＝1，即3x ＋2y －6＝0. 三、解答题9．已知点A (－1,2)、B (3,4)，线段AB 的中点为M ，求过点M 且平行于直线x 4－y2＝1的直线l 的方程.[解析] 由题意得M (1,3)，直线x 4－y 2＝1的方程化为斜截式为y ＝12x －2，其斜率为12，所以直线l 的斜率为12.所以直线l 的方程是y －3＝12(x －1)，即x －2y ＋5＝0.10．求分别满足下列条件的直线l 的方程：(1)斜率是34，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6；(2)经过两点A (1,0)、B (m,1)；(3)经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等． [解析](1)设直线l 的方程为y ＝34x ＋b .令y ＝0，得x ＝－43b ，∴12|b ·(－43b )|＝6，b ＝±3. ∴直线l 的方程为y ＝43x ±3.(2)当m ≠1时，直线l 的方程是 y －01－0＝x －1m －1，即y ＝1m －1(x －1) 当m ＝1时，直线l 的方程是x ＝1. (3)设l 在x 轴、y 轴上的截距分别为a 、b . 当a ≠0，b ≠0时，l 的方程为x a ＋yb ＝1；∵直线过P (4，－3)，∴4a －3b ＝1.又∵|a |＝|b |，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a －3b ＝1a ＝±b，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7b ＝－7. 当a ＝b ＝0时，直线过原点且过(4，－3)， ∴l 的方程为y ＝－34x .综上所述，直线l 的方程为x ＋y ＝1或x 7＋y －7＝1或y ＝－34x .一、选择题1．如果直线l 过(－1，－1)、(2,5)两点，点(1 008，b )在直线l 上，那么b 的值为( )A ．2 014B ．2 015C ．2 016D ．2 017[答案] D[解析] 根据三点共线，得5－(－1)2－(－1)＝b －51 008－2，得b ＝2 017.2．两直线x m －y n ＝1与x n －ym＝1的图象可能是图中的哪一个( )[答案] B[解析] 直线x m －yn ＝1化为y ＝n m x －n ，直线x n －ym＝1化为 y ＝mnx －m ，故两直线的斜率同号，故选B ．3．已知A 、B 两点分别在两条互相垂直的直线y ＝2x 和x ＋ay ＝0上，且线段AB 的中点为P (0，10a)，则直线AB 的方程为( )A ．y ＝－34x ＋5B ．y ＝34x －5C ．y ＝34x ＋5D ．y ＝－34x －5[答案] C[解析] 依题意，a ＝2，P (0,5)．设A (x 0,2x 0)、B (－2y 0，y 0)，则由中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－2y 0＝02x 0＋y 0＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4y 0＝2，所以A (4,8)、B (－4,2)．由直线的两点式方程，得直线AB 的方程是y －82－8＝x －4－4－4，即y ＝34x ＋5，选C ．4．过P (4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条[答案] B[解析] 解法一：设直线方程为y ＋3＝k (x －4)(k ≠0)． 令y ＝0得x ＝3＋4kk ，令x ＝0得y ＝－4k －3.由题意，3＋4k k ＝－4k －3，解得k ＝－34或k ＝－1.因而所求直线有两条，∴应选B ．解法二：当直线过原点时显然符合条件，当直线不过原点时，设直线在坐标轴上截距为(a,0)，(0，a )，a ≠0，则直线方程为x a ＋ya＝1，把点P (4，－3)的坐标代入方程得a ＝1.∴所求直线有两条，∴应选B ． 二、填空题5．直线l 过点P (－1,2)，分别与x 、y 轴交于A 、B 两点，若P 为线段AB 的中点，则直线l 的方程为________.[答案] 2x －y ＋4＝0 [解析] 设A (x,0)、B (0，y )． 由P (－1,2)为AB 的中点，∴⎩⎨⎧x ＋02＝－10＋y 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝4.由截距式得l 的方程为 x －2＋y4＝1，即2x －y ＋4＝0. 6．已知A (3,0)、B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________.[答案] 3[解析] 直线AB 的方程为x 3＋y4＝1，∴y ＝4－4x3，∴xy ＝x (4－43x )＝4x －43x 2＝－43(x 2－3x )＝－43[(x －32)2－94]＝－43(x －32)2＋3，∴当x ＝32时，xy 取最大值3.三、解答题7．△ABC 的三个顶点分别为A (0,4)、B (－2,6)、C (－8,0).(1)分别求边AC 和AB 所在直线的方程； (2)求AC 边上的中线BD 所在直线的方程； (3)求AC 边的中垂线所在直线的方程； (4)求AC 边上的高所在直线的方程； (5)求经过两边AB 和AC 的中点的直线方程．[解析] (1)由A (0,4)，C (－8,0)可得直线AC 的截距式方程为x －8＋y4＝1，即x －2y ＋8＝0.由A (0,4)，B (－2,6)可得直线AB 的两点式方程为y －46－4＝x －0－2－0，即x ＋y －4＝0.(2)设AC 边的中点为D (x ，y )，由中点坐标公式可得x ＝－4，y ＝2，所以直线BD 的两点式方程为y －62－6＝x ＋2－4＋2，即2x －y ＋10＝0.(3)由直线AC 的斜率为k AC ＝4－00＋8＝12，故AC 边的中垂线的斜率为k ＝－2.又AC 的中点D (－4,2)，所以AC 边的中垂线方程为y －2＝－2(x ＋4)， 即2x ＋y ＋6＝0.(4)AC 边上的高线的斜率为－2，且过点B (－2,6)，所以其点斜式方程为y －6＝－2(x ＋2)，即2x ＋y －2＝0.(5)AB 的中点M (－1,5)，AC 的中点D (－4,2)， ∴直线DM 方程为y －25－2＝x －(－4)－1－(－4)，即x －y ＋6＝0.8．已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点，点M 在此抛物线上，点N 在y 轴上，以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，求点M 的坐标.[解析] 容易求得抛物线与x 轴的交点分别为(－3,0)、(1,0)不妨设A (－3,0)、B (1,0)，由已知，设M (a ，b )、N (0，n )，根据平行四边形两条对角线互相平分的性质，可得两条对角线的中点重合．按A 、B 、M 、N 两两连接的线段分别作为平行四边形的对角线进行分类，有以下三种情况：①若以AB 为对角线，可得a ＋0＝－3＋1，解得a ＝－2；②若以AN为对角线，可得a＋1＝－3＋0，解得a＝－4；③若以BN为对角线，可得a＋(－3)＝1＋0，解得a＝4.因为点M在抛物线上，将其横坐标的值分别代入抛物线的解析式，可得M(－2,3)或M(－4，－5)或M(4，－21)．。
高一年级数学下册必修二知识点：直线的方程
【导语】我们学会忍受和承担。
但我们⼼中永远有⼀个不灭的⼼愿。
是雄鹰，要翱翔⽻天际！是骏马，要驰骋于疆域！要堂堂正正屹⽴于天地！努⼒！坚持！拼搏！成功！⼀起来看看⾼⼀频道为⼤家准备的《⾼⼀年级数学下册必修⼆知识点：直线的⽅程》吧，希望对你的学习有所帮助！ 定义： 从平⾯解析⼏何的⾓度来看，平⾯上的直线就是由平⾯直⾓坐标系中的⼀个⼆元⼀次⽅程所表⽰的图形。
求两条直线的交点，只需把这两个⼆元⼀次⽅程联⽴求解，当这个联⽴⽅程组⽆解时，两直线平⾏；有⽆穷多解时，两直线重合；只有⼀解时，两直线相交于⼀点。
常⽤直线向上⽅向与X轴正向的夹⾓（叫直线的倾斜⾓）或该⾓的正切（称直线的斜率）来表⽰平⾯上直线(对于X轴)的倾斜程度。
可以通过斜率来判断两条直线是否互相平⾏或互相垂直，也可计算它们的交⾓。
直线与某个坐标轴的交点在该坐标轴上的坐标，称为直线在该坐标轴上的截距。
直线在平⾯上的位置，由它的斜率和⼀个截距完全确定。
在空间，两个平⾯相交时，交线为⼀条直线。
因此，在空间直⾓坐标系中，⽤两个表⽰平⾯的三元⼀次⽅程联⽴，作为它们相交所得直线的⽅程。
表达式： 斜截式:y=kx+b 两点式:(y-y1)/(y1-y2)=(x-x1)/(x1-x2) 点斜式:y-y1=k(x-x1) 截距式:(x/a)+(y/b)=0 补充⼀下：最基本的标准⽅程不要忘了,AX+BY+C=0, 因为,上⾯的四种直线⽅程不包含斜率K不存在的情况,如x=3,这条直线就不能⽤上⾯的四种形式表⽰,解题过程中尤其要注意,K不存在的情况。
练习题： 1.已知直线的⽅程是y+2=-x-1，则() A.直线经过点(2，-1)，斜率为-1 B.直线经过点(-2，-1)，斜率为1 C.直线经过点(-1，-2)，斜率为-1 D.直线经过点(1，-2)，斜率为-1 【解析】选C.因为直线⽅程y+2=-x-1可化为y-(-2)=-[x-(-1)]，所以直线过点(-1，-2)，斜率为-1. 2.直线3x+2y+6=0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则有()A.k=-，b=3B.k=-，b=-2C.k=-，b=-3D.k=-，b=-3 【解析】选C.直线⽅程3x+2y+6=0化为斜截式得y=-x-3，故k=-，b=-3. 3.已知直线l的⽅程为y+1=2(x+)，且l的斜率为a，在y轴上的截距为b，则logab的值为() A.B.2C.log26D.0 【解析】选B.由题意得a=2，令x=0，得b=4，所以logab=log24=2. 4.直线l：y-1=k(x+2)的倾斜⾓为135°，则直线l在y轴上的截距是()A.1B.-1C.2D.-2 【解析】选B.因为倾斜⾓为135°，所以k=-1， 所以直线l：y-1=-(x+2)， 令x=0得y=-1. 5.经过点(-1，1)，斜率是直线y=x-2的斜率的2倍的直线是()A.x=-1B.y=1C.y-1=(x+1)D.y-1=2(x+1) 【解析】选C.由已知得所求直线的斜率k=2×=. 则所求直线⽅程为y-1=(x+1).。
【精品课件】高中数学必修2 直线的方程(两点式、一般式)
x C A
所以任意一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同 时为零)都表示一条直线.
问题探究
结论一： 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用
一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0 (其 中A,B不同时为0)表示.
结论二： 任意一个关于x，y的二元一次方程
Ax+By+C=0 (其中A,B不同时为0)都表示一条直 线.
y 4 x. 5
x y 1,
把P(-5，4)代入上式得 a 1. a a
直线方程为 x y 1,
即 x y 1 0. 综上：直线方程为 y 或54 x
截距为零不 容忽视
x y 1 0.
练习：
1.根据下列条件写出直线方程，并画出简图。
（1）在x轴上的截距是2，在y轴上的截距是3；
⑤过原点
C=0
课堂练习
4.设直线L的方程为（m2-2m-3）x+（2m2+m-1)y=2m-6 根据下列条件确定m的值
(1)L在x轴上的截距为-3；(2)L的斜率为1.
小结
1.本节课都学了哪些知识点？
①二元一次方程与直线的一一对应关系； ②直线的一般式方程的概念； ③ 直线方程的一般式Ax+By+C=0系数A、B、C的几何意义； ④直线方程的各种特殊形式和一般式之间在一定条件下可以互 相转化。
直线的方程 ①过点P1(x1, y1)，垂直于x轴的直线的方程：
x= x1 ②过点P1(x1, y1)，垂直于y轴的直线的方程：
y= y1 ③x轴： y= 0
④y轴： x= 0
问题探究
问题一： 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用
高中数学 第三章 直线与方程 3.2 直线的方程 3.2.3 直线的一般式方程课件 新人教A版必修2
() A．2，3
B．－2，－3
C．－2，3
D．2，－3
解析：－x2＋－y3＝1 为直线的截距式，在 x 轴，y 轴
上的截距分别为－2，－3.
答案：B
4．直线 l 过点(－1，2)和点(2，5)，则直线 l 的方程 为______________．
解析：由题意直线过两点，由直线的两点式方程可得：
y－2 x－（－1）
[典例 1] 已知 A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)， 在△ABC 中，求：
(1)BC 边的方程； (2)BC 边上的中线所在直线的方程．
பைடு நூலகம்
[自主解答] (1)BC 边过两点 B(5，－4)，C(0，－2)，
y－（－4） x－5
由两点式得，
＝ ，即 2x＋5y＋10＝0，
－2－（－4） 0－5
2．直线方程的一般式
(1)直线与二元一次方程的关系． ①在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可 以用一个关于 x、y 的二元一次方程表示． ②每个关于 x、y 的二元一次方程都表示一条直线． (2)直线的一般方程的定义． 我们把关于 x、y 的二元一次方程 Ax＋Bx＋C＝0(其 中 A、B 不同时为 0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
(1)求边 BC 所在直线的方程； (2)求边 BC 上的中线 AM 所在的直线方程． 解：(1)直线 BC 过点 B(3，－3)，C(0，2)，由两点式， 得2y＋＋33＝x0－－33，整理得 5x＋3y－6＝0，所以边 BC 所在 的直线方程为 5x＋3y－6＝0.
(2)因为 B(3，－3)，C(0，2)，所以由中点坐标公式 可得边 BC 上的中点 M 的坐标为3＋2 0，－32＋2，即 32，－12，可得直线 AM 的方程为－y－12－00＝x32－－（（－－55））， 整理得直线 AM 的方程为 x＋13y＋5＝0.
高一数学必修二：3.2.2直线的两点式方程
2.求满足下列条件的直线方程:
(1)过点A(0,0),B(1,1)
y0 x0 解 10 10
即y=x。
（2）在x轴上的截距是－2,在y轴上的截距是2
x y 1 解 2 2
即x-y+2=0。
(3)过定点且在两坐标轴上的截距相等
解：设直线的两截距皆为a，当a=0时,直线方 程设为y=kx。 3 将P(2,3)代入k= 2 当a≠0时,设直线方程为 x y 1 a a 将P(2,3)代入得a=5。
A
o
Mx B
y C
A
o
Mx B
解：过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为：
y2 x0 -32 30
整理得：5x+3y-6=0 这就是BC边所在直线的方程。
BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线 段，由中点坐标公式可得点M的坐标为： y C A o Mx B
30 32 3 1 ( , ) 即 ( ,- ) 2 2 2 2
若点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)中有x1=x2或y1=y2，此时 直线的方程是什么？有两点式方程吗？ 当x1 ＝x2或y1= y2时，直线P1 P2没有两点式方程。 ( 因为x1 ＝x2或y1= y2时，两点式的分母为零，没有 意义)。
y
y
O
x
O
x
x1 ＝x2
y1 ＝y2
当x1 ＝x2时，直线P1 P2平行于y轴，直线方程 为x-x1=0或x＝x1. 当y1 ＝y2时，直线P1 P2平行于x轴，直线方程 为y-y1=0或y＝y1.
y 2 y1 y y1 (x x1 ) x 2 x1
当y2≠y1时，可写为
y y1 x x1 y 2 y 1 x 2 x1
数学必修二直线方程知识点
数学必修二直线方程知识点数学必修二直线方程知识点1直线方程形式一般式：Ax+By+C=0(AB≠0)斜截式：y=kx+b(k是斜率b是x轴截距)点斜式：y-y1=k(x-x1)(直线过定点(x1,y1))两点式：(y-y1)/(x-x1)=(y-y2)/(x-x2)(直线过定点(x1,y1)，(x2,y2))截距式：x/a+y/b=1(a是x轴截距,b是y轴截距)做题过程中，点斜式和斜截式用的最多(两种合占90%以上)，一般式属于中间过渡形态。
在与圆及圆锥曲线结合的过程中，还要用到点到直线距离公式。
2直线方程的局限性各种不同形式的直线方程的局限性：(1)点斜式和斜截式都不能表示斜率不存在的直线;(2)两点式不能表示与坐标轴平行的直线;(3)截距式不能表示与坐标轴平行或过原点的直线;(4)直线方程的一般式中系数A、B不能同时为零。
数学集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB 或BA2.“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。
AíA②真子集:如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)③如果AíB,BíC,那么AíC④如果AíB同时BíA那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
4.子集个数：有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，含有2n-1个非空子集，含有2n-1个非空真子集学数学的好方法第一，兴趣。
如今的家庭和学校对孩子的期望很高，而且女生的性格普遍较为文静，心理不够强大，还有的就是数学这科目难度相对来说较高，很容易会导致女生对数学的兴趣降低。
人教版高中数学必修二《3.2.2直线的两点式方程》
目标展示：
回顾旧知
直线上一点和斜率
在直角坐标系中确定一条直线需要什么条件？
y y0 k x x0
直线在y轴上的截距和斜率
y kx b
直线上的任意两个不同点
斜率k存在
导入新课
已知直线l过A（3，-5）和B（-2，5），
求直线l的方程
直线l斜率是什么？结合点斜式直线l的方程如何？
已知直线上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)
（其中x1≠x2, y1≠y2 ），如何求出通过
这两点的直线方程呢？
(一) 直线的两点式方程
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
简称两点式。
【思考】是不是已知任一直线中的两点就能用 两点式写出直线方程呢？ 不是! 当x1＝x2或y1= y2时，直线P1 P2没有两点式方程
都可以用方程(yy1 )(x2 x1 ) (x x1 )(y2 y1 )表示;
2.教材第97页第1、2、3题。
课堂小结：
1）到目前为止，我们所学过的直线方程的表 达形式有多少种？它们之间有什么关系？ 2）要求一条直线的方程，必须知道多少个条 件？ 3）重点理解直线方程的两点式和截距式运用 的条件。
令y=0 令y=0
(二) 直线的截距式方程
x y 1 a b
由直线在x轴和y轴的截距确定，简称截距式
横、纵截距都存在且都不为0的直线.
过原点的直线方程能用截距式表示吗？
应用举例
1.求经过点P(-5，4)，且在两坐标轴上的截 距相等的直线方程 . 距的绝对值相等的直线方程 截距m相等
m 0, x y m m 0, y kx
2.2 直线的方程(含3课时)高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)
问题，用代数学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几
何问题的目的。依照这种思想他创立了“解析几何学”。
情境导入
我们知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.这样，在平面
直角坐标系中，给定一个点P0（x0,y0）和斜率k(或倾斜角)，就能唯一确定一
(2)设两直线的斜率分别为 k3，k4，则 k3＝－1，k4＝a2－2.
a2－2＝－1，
∵两条直线互相平行，∴
4a≠4，
故当 a＝－1 时，两条直线互相平行．
解得 a＝－1.
04课堂小结
P
A
R
T
ONLeabharlann E课堂小结人教A版2019选修第一册
第 二 章 直线和圆的方程
2.2.2 直线的两点式方程
学习目标
−
ሺ
−
−
ሺ
−
− ሻ.
又因为 ≠ ，
上式可以变形为
−
−
=
−
.
−
这就是经过两点 ， 和 ， ( ≠ , ≠ )的直线方程.
≠ ሻ，
直线的两点式方程
y
O
x
直线的斜截式方程
3.写出下列直线的斜截式方程：
(1)直线斜率是3，在y轴上的截距是－3；
(2)直线倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；
(3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2.
直线的斜截式方程
解：(1)y＝3x－3.
(2)∵k＝tan 60°＝ 3，∴y＝ 3x＋5.
注意：截距是个实数，可正，可负，也可以为0，不是距离！！
高中数学必修二 直线的方程
若l与线段AB相交，
则kPA≤k≤kPB，
∵kPA=-2，kPB=
1， 2
∴-2≤k≤ 1 .
2
题型三 求直线的方程 【例3】 求适合下列条件的直线方程： （1）经过点P（3，2），且在两坐标轴上的截距 相等； （2）经过点A（-1，-3），且倾斜角等于直线y= 3x的倾斜角的2倍. 思维启迪 选择适当的直线方程形式，把所需要 的条件求出即可. 解 （1）方法一 设直线l在x,y轴上的截距均为a, 若a=0，即l过点（0，0）和（3，2）， ∴l的方程为y= 2 x，即2x-3y=0.
D.第四象限
解析 由题意知A·B·C≠0.
直线方程变为y=- A x- C ， BB
∵A·C＜0，B·C＜0，∴A·B＞0，
∴其斜率k=- A＜0,在y轴上的截距b=- C ＞0,
B
B
∴直线过第一、二、四象限.
5.一条直线经过点A（-2，2），并且与两坐标轴 围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为 .
捷解题的目的.方法二则巧妙利用了不等式所表示
的平面区域的性质使问题得以解决.
知能迁移2 已知点A（1，3），B（-2，-1）.若直
线l：y=k（x-2）+1
与线段AB相交，则k的取值范围是
A.k≥
1 2
B.k≤-2
C.k≥ 1 或k≤-2 2
D.-2≤k≤ 1 2
（ D）
解析 由已知直线l恒过定点P（2，1），如图.
由已知3-
2
k =2-3k，解得k=-1或k=
2
,
k
3
∴直线l的方程为
y-2=-（x-3）或y-2=
2 3
(x-3),
即x+y-5=0或2x-3y=0.
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一、知识要点 :
1.倾斜角与斜率
2.直线方程式的 5 种形式 : 点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式（注意用前四种方程
的条件及一般式与其它形式转化的条件）
3．两条直线平行、垂直的条件(与斜率及系数的关系)
4．距离公式：两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式
5.对称问题 ( 点对称、轴对称 )
二、基础知识练习：
1. 直线倾斜角的取值范围 ___________,过两点 P1(x 1,y1),P2(x2,y2) 的斜率公式______________
2． x=1 的倾斜角为 __________, 直线3x3y 1 0 的倾斜角是__________,90o时的
斜率 _________.
3. 直线方程的点斜式方程 _________________, 直线方程的斜截式方程_________________,直线方程的两点式方程_________________, 直线方程的截距式方程_________________, 直线方程的一般式方程_______________, 与 x 轴垂直的直线方程___________, 与 y 轴垂直的直线方程 ___________.
4. 已知直线l1: y k1 x b1 , l2 : y k2 x b2,若 l1∥ l 2,则__________________,若 l 1⊥ l 2,则 ______________; 已知直线l 1 : A1 x B1 y C10, l 2 : A2 x B2 y C 20 ,若 l1∥ l2,则_________________ , 若l1⊥l2 , 则 ______________.
5.与 l : Ax By C 0 平行的直线可设为______________ , 与l : Ax By C0 垂直的直线可设为 ____________________.
6.平面上任意两点P1( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 的距离公式__________________________,
点
P0 ( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax By C 0的距离 d=_________________,
两条平行直线 l : Ax By C10 与 l : Ax By C2 0 间距离为d=________________.
7. 两平行直线3x+4y-12=0 和 6x+8y+6=0 间的距离是 ________________.
三、基础应用：
1. 下列命题正确的有:
①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应 , 也有唯一一个斜率与之对应 ; ②倾斜角的范围是 :0 °≤α <180° , 且当倾斜角增大时 , 斜率也增大 ; ③过两点A(1,2),B(m,-5) 的直线可以用两点式表示 ;
④过点 (1,1), 且斜率为
y1
1 的直线的方程为 1 ;
x1
⑤直线 Ax+By+C=0(A,B 不同时为零 ), 当 A,B,C 中有一个为零时, 这个方程不能化为截距式.
⑥若两直线平行, 则它们的斜率必相等;
⑦若两直线垂直, 则它们的斜率相乘必等于-1.
2. 若直线l1: ax 2 y 6 0 与直线 l 2 : x (a 1) y a 210 ; l 1 // l 2时，a=__________;这时它们之间的距离是________; l1l 2时，a=________
3．求满足下列条件的直线方程：
(1)经过点 P(2 ， -1) 且与直线 2x+3y+12=0 平行；
(2)经过点 Q(-1 ， 3) 且与直线 x+2y-1=0 垂直；
(3)经过点 R(-2 ， 3) 且在两坐标轴上截距相等；
(4)经过点 M(1， 2) 且与点 A(2,3) 、 B(4,-5) 距离相等；
(5)经过点 N(-1,3) 且在x
轴的截距与它在 y 轴上的截距的和为零 .
4．已知直线l 过点（ 1,2 ），且与 x， y 轴正半轴分别交于点A、 B 求△ AOB面积为 4 时 l 的方程；
四、巩固练习
1．直线 kx
y 1 3k
0, 当 k 变动时，所有直线都过定点
（
）
A ．（0，0）
B ．（0，1）
C ．（ 3， 1）
D ．（ 2， 1）
2. 过点 (1,3) 且与原点距离为 1 的直线有
( )
A.3 条
B. 2
条
C. 1 条
D. 0
条
3. y
轴和直线 x y
2
的距离相等的点有
（
）
到 x 轴、
A.1 个
B.2个
C.3 个
D.4 个
4. 如果直线 ax
y
2 0 与直线 3x y b 0 关于直线 x y 0 对称，则（
）
A. a
1 b
6 B. a 1 b 6
,
,
3
3
C.
a 3
b 2
D.
a 3 ,
b 6
5．已知点 M （ 4， 2）与 N （ 2， 4）关于直线 l 对称，则直线
l 的方程为
（
）
A ． x y 6 0
B ． x y 6 0
C ． x y 0
D ． x y 0
6．设三条直线 3x
2 y 6 0 , 2x
3m 2 y 18 0和 2mx
3 y 12 0 围成直角三角形，
则 m 的取值是
( ）
A ．
1或0 B ．0或－
4
C ． 0, 1或－
4
D ．－1或
4
9
9
9
7. 与两平行直线：
l 1 ： 3x y 9
0 ; l 2： 3x y 3
0 等距离的直线方程为
.
8. 直线 l 方程为 (3m
2) x (2
m) y 8 0 ，若直线不过第二象限，则 m 的取值范围是
.
9. 一束光线从点 A( 1,1)出发 , 经 x 轴反射到点 O(2,3) , 光线经过的最短路程是
；
10．已知 2m
3n 1 ，则直线 mx ny 5必然过定点 ___________.
11．△ ABC 中， A(0， 1)， AB 边上的高线方程为 x ＋ 2y － 4＝ 0， AC 边上的中线方程
为 2x ＋y － 3＝ 0,求 AB ， BC ， AC 边所在的直线方程．
1．直线 L ： ax+4my+3a=0 (m ≠0) 过点 (1 , -1)
，那么 L 的斜率为 （
）
A ．
1
B
． -4
C
． -
1
D
． 4
4
4
2．两平行直线分别过（ 1， 5），（－ 2， 1）两点，设两直线间的距离为
d ，则
（
）
A ． d=3
B ．d=4
C ． 3≤ d ≤ 4
D ． 0<d ≤ 5
3. 过点
2,4 且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有
（
）
Ａ．１条
Ｂ．２条
Ｃ．３条
Ｄ．４条
4. 等腰
ABC 的三个顶点的坐标是
A(-3,4),B(-5,0)C(-1,0),
则 BC 边的中线 AD 的方程
（ ）
A. x=-3
B.y=-3
C.x=-3(
0 y 4 ) D.y=-3 (
5 x
1 )
5．如果直线 x
2ay 1 0 与直线 (3a 1) x
ay
1 0 平行，则 a 等于
（
）
A ． 0
1
C ．0或1
D ．0或
1
B ．
6
6
6. 已 知 直 线 l 过 点 P(5,10), 且原点到它的距离为
5, 则 直 线 l 的 方 程
为
.
7. 直线 x 2 y b
0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么
b 的取值范围
是
.
8. 经过点 P(0, 1) 作直线 l , 若直线 l 与连接 A(1, 2), B(2,1) 的线段没有公共点 , 则直线 l 的
斜率 k 的取值范围为
.
9．直线 l 1 : mx
(m 1) y 5 0与 l 2 : ( m 2)x my 1 0 互相垂直，则 m 的值是.
10. 已知直线 l
与直线 3x+4 y － 7=0 平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 24，求直
线 l 的方程。
1.过点(1,3)作直线 l ，若 l 经过点(a,0)和(0, b)，a、b N ，则可作出的l的条数为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 多于3
2 ．已知两直线a x b y 1 0 和 a x b y 10都通过点
P(2, 3)，求经过两点
1122
Q 1 (a 1 ,b 1 ),Q 2 (a 2 ,b 2 ) 的直线方程．
3.从点 A( 4,1) 出发的一束光线l,经过直线 l 1 : x y 3 0 反射,反射光线恰好通过点
B(1,6) ,求入射光线l 所在的直线方程.
4. 已知直线l : 2x y 1 0 和点A（-1，2）、B（0，3），试在l上找一点P，使得PA PB
的值最小，并求出这个最小值。
5. 设直线l的方程为m22m 3 x 2m2m 1 y2m60 ，根据下列条件求m 的
值．（ 1）直线l的斜率为１；（２）直线l 经过定点 P1,1．。