历年试题数学分析

历年试题数学分析

河南大学2002年硕士研究生招生入学考试数学分析

一、计算下列各题（每题5分，共50分）： 1、2211

1222lim 11

133

3n x n →∞+++

+++;

2、

222arcsin

22x a x y a x a

=- ()0a >,求y ';

3、()1ln ln ln x dx x ⎡⎤+⎢⎥

⎣

⎦

⎰; 4、20

sin x e xdx

π

⎰

;

5、计算广义积分21

1

dx x -⎰;

6、求幂级数()

135

n

n

n x n ∞

=-⋅∑

的收敛区间;

7、设,y

x z x =求,z z

x y

∂∂∂

∂; 8、展开函数()()cos 2x

f x x ππ=-≤≤为傅里叶级数;

9、计算二重积分

2

2,:2,,1D

x dxdy D x y x xy y ===⎰⎰所围成;

10、应用格林公式计算2

2

C

xy dy x ydx -⎰,式中C 为按逆时针

方向绕圆周2

2

x y a +=一圈的路径.

二、(10)求函数()()

2

12x

y x x dx

=--⎰的极值，并求其图形

上的拐点.

(下缺)

河南大学2003年硕士研究生招生入学考试数学分析

一、完成以下各题(每小题8分,共48分) 1、()

(

)

23ln 1lim ln 1x x

x e e →∞

++;

2、设

()2

ln 1arctan x t y t t

⎧=+⎪⎨=-⎪⎩,求

22,dy d y

dx dx

;

3、计算广义积分2

2

2

,02

sin sin dx x π

α

π

αα

<<

-⎰

;

4、将()11x

f x x

-=+展成x 的幂级数,并确定收敛区间; 5、计算()()2y

y AB

e

x dx xe y dy

++-⎰,其中AB 是经过()()()

0,0,0,1,1,2A C B 的任一光滑圆弧;

6、求函数()2

43

1

x f x x +=+的极大值和极小值. 二、(12分)求由方程()22ln 0xz xyz xyz -+=所确定的函数

()

,z f x y =的全微分.

三、(12分)展开函数

()1,02

0,2

x f x x π

π

π

⎧

≤≤

⎪⎪

=⎨

⎪≤≤⎪⎩

为余弦级数.

四、(12分)求曲线2

2y

x

=与4y x =-所围区域的面积.

五、(12分)计算二重积分()D

x y dxdy +⎰⎰,其中D 是圆

22x y x y

+≤+外部.

六、(12分)证明微积分学基本定理:若函数()f x 在[],a b 上连续,则()()[]

,,x

a

x f t dt t a b Φ=∈⎰

在[],a b 上可导,且有()()x f x 'Φ=.

七、(12分)证明曲线1xy =上任一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为一常数.

八、(10分)若()f x '在[],a b 上连续，对任意正整数n ，令

()()()()1,0,1,,,.k n

b k a k b a

x a k k n n

b a r n f x f x dx n =-=+⋅

=-=-∑⎰

证明：（1）()()()1

1

;

k

k n

x k x k r n f x f x dx -==-⎡⎤⎣⎦∑⎰

（2）

()12

1;2k

k x k

x b a x x dx n --⎛⎫-= ⎪⎝⎭

⎰

（3）

()2

2

1

1

1122n

n

k k

k k b a b a m r n M

n n ==--⎛⎫⎛⎫

≤≤ ⎪ ⎪

⎝⎭

⎝⎭∑∑，这里

(){}(){}

inf ,sup k

k

k k x x m f x M f x ∈∆∈∆''==；

（4）()()()lim 2

n b a

n r n f b f a →∞

-⋅=-⎡⎤⎣⎦. 九、(10分)设()f z 在1z ≤上解析,且()1f z ≤,试证()01f '≤. 十、(10分)试证:当a e >时,方程0

z

n e

az -=在单位圆1

z <