第二章线性规划的对偶理论(DualityTheory)

材料A、材料B的出让代价，则有：
（LP2） min w 16y1 36y2 65y3
90 y1 3 y 2 y1 2 y 2 5 y 3 70 y , y , y 0 1 2 3
对偶问题
二、对称形式下对偶问题的一般形式
满足下列条件的线性规划问题称为具有对称形式: (1)变量均满足非负约束； (2)约束条件当目标函数求极大时取 “≤”号，
, y3 y 3 y3 ，则 令 y2 y2
min 2 y1 y2 4 y3
2 y1 3 y2 y3 1 3 y y y 4 1 2 3 5 y1 6 y2 y3 3 y1 0, y2 0, y3无约束
(CB CN ) CB B1( B N ) 0
C CB B 1 A 0 1 C B 0 B
Y C B B 1
Y A C AY C 即 Y 0 Y 0
此时， Y 'b CB B 1b z
1.初始表中单位阵在迭代后单纯形表中对应的位置就是B-1 2.对于原问题的任意可行解，各松弛变量检验数的相反数 恰好是其对偶问题的一个可行解，且两者具有相同的目标 函数值。根据下面介绍的对偶问题的基本性质还将看到， 若原问题取得最优解，则对偶问题的解也为最优解。
n
n
m
ij
yi ) x j aij x j yi ( a ji yi c j )
i 1 j 1 m n j i ij
j
m
n
m
b y ( a x ) y a x
ij i 1 j 1
yi
( aij x j bi )
j 1
i 1 n
c x b y
若原问题为求极小形式的对称形式线性规划问题， 对偶问题应该具有什么形式？
Min w Y 'b A'Y C Y 0
max w Y 'b A'Y C Y 0
min z CX
Max z CX
AX b X 0
AX b X 0
非基变量 基变量
XB
0 b Xs C j - zj B
XN
N
Xs
I
0
初始 单纯形表
非基变量
CB
CN
基变量
最终
单纯形表
CB
XB
XB B-1b Cj - zj
I 0
Xs B-1 N B-1 CN-CBB-1N -CBB-1
XN
若B-1b为最优解，则
CB CB ( B 1B ) 0 CN CB B 1 N 0 CB B 1 0
j 1 j j i 1 i
m
i
推论1：原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问
题目标函数值的下界；反之对偶问题任一可行解的目标 函数值是其原问题目标函数值的上界。
例1
m axZ x1 2 x 2 3 x 3 4 x4
m i nW 20 y1 20 y2
源自文库
y1 2 y2 1 x1 2 x 2 2 x 3 3 x4 20 2 y1 y2 2 （P） 2 x1 x 2 3 x 3 2 x4 20 x 0 （D） 2 y1 3 y 2 3 1 4 3 y 2 y 4 2 1 试估计它们目标函数的界， y1 0, y2 0 并验证弱对偶性原理。
★若一个线性规划问题是另一个线性规划问题的 对偶问题，则它们互为对偶问题 ★对偶问题的对偶问题是原问题
三、非对称形式的原——对偶问题关系
【例2-2】 写出下述线性规划问题的对偶问题
max Z x1 4 x2 3x3
2 x1 3 x 2 5 x3 2 3x x 6 x 1 1 2 3 x1 x 2 x3 4 x1 0, x 2 0, x3 无约束
第二章 线性规划的对偶理论
(Duality Theory)
线性规划的对偶问题 对偶问题的基本性质 对偶问题的经济解释----影子价格 对偶单纯形法 灵敏度分析 WinQSB软件应用
第一节 线性规划的对偶问题
一、问题的提出
【例2-1】第一章例1-1中讨论了某企业利用三种 资源生产甲乙两种产品的生产计划问题，得到其 线性规划问题为：
约束系数矩阵
约束条件的右端项 向量 目标函数中的价格 系数向量 Max z=CX AX≤b X≥0
max z c0 x0 c1 x1 cn xn
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 max z CX a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 AX b X 0 a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm min w b1 y1 b2 y2 x j 0( j 1,2, , n)
2．变量均有非负约束
, x2 0 令 x2 x2
x3 , x3 , x3 0 x3 x3 4 y3 4 y3 min 2 y1 y2
y3 y3 1 2 y1 3 y 2 y3 y3 4 3 y1 y 2 y3 y3 3 5 y1 6 y 2 y3 y3 3 5 y1 6 y 2 , y3 , y3 0 y1 , y 2
3x3 3x3 则 max z x1 4x2
' ' " 2 x1 3x2 5 x3 5 x3 2 ' ' " 3x1 x2 6 x3 6 x3 1 ' ' " x1 x2 x3 x3 4 ' ' " x x x x 1 2 3 3 4 x1 , x2 , x3 , x3 0
【练习】写出下列线性规划问题的对偶问题
max z 2x1 3x2 5x3 x4
4 x1 x 2 3 x3 2 x 4 5 3 x1 2 x 2 7 x 4 4 2 x1 3 x 2 4 x3 x 4 6 x1 0, x 2 , x3 0, x 4 无约束
对偶问题 约束系数矩阵的转置
目标函数中的价格系数向量
目标函数 约束条件
变量
Max z=CX m个 ≤ ≥ = n个 ≥0 ≤0 无约束
约束条件的右端项向量 目标函数 Min w=Y’b m个 ≥0 变量 ≤0 无约束 n个 ≥ 约束条件 ≤ =
【例2-3】写出下列线性规划问题的对偶问题
min 2x1 3x2 5x3 x4
设B是一个可行基，也称基矩阵。若将系数矩阵A分为 (B,N)两块(这里N是非基变量的系数矩阵),对应于基B的变量 为XB，其它非基变量用XN 表示。则:
XB X X N 同时也将C分为两块(CB ,CN )，CB 是目标函数中基变量XB 的系 数行向量，CN 是目标函数中非基变量XN 的系数行向量。于是
二、对偶问题的基本性质
1、弱对偶性：设 X 和Y 分别是问题（P）和（D） 的可行解，则恒有: 证明：
n j 1 m j j
__
__
C X Y b, 即 c j x j y i bi
j 1 i 1
__
__
n
m
c x ( a
j 1 m i 1 n i 1 i i i 1 j 1
( LP1) max z 90x1 70x2 x1 x2 16 3x1 2 x2 36 5 x2 65 x ,x 0 1 2
下面从另一个角度来讨论这个问题： 假定该企业决定自己不生产产品，而将现有的资 源转让或出租给其他企业，那么该如何确定资源 的转让价格？
第二节 对偶问题的基本性质
一、单纯形法计算的矩阵描述
(P)
max z CX
(D)
min w Y b
AX b X 0
AY C Y 0
对称形式线性规划问题的矩阵表达式加上松弛变量后为：
max z CX 0 X s
AX IX s b X 0, X s 0 其中，Xs=( xn+1,xn+2,…，xn+m )为松弛变量，I为m×m单位矩阵。
max Z x1 4 x2 3x3
2 x1 3 x2 5 x3 2 3x x 6 x 1 1 2 3 x1 x2 x3 4 x1 0, x2 0, x3无约束
原问题 A b C 约束系数矩阵 约束条件的右端项向量
目标函数中的价格系数向量
x1 x2 3 x3 x4 5 2 x 2 x x 4 1 3 4 x2 x3 x4 6 x1 0, x2 , x3 0, x4无约束
max z 5 y1 4 y 2 6 y 3 y1 2 y 2 2 y1 y 3 3 3 y1 2 y 2 y 3 5 y y y 1 2 3 1 y1 0, y 2 0, y 3 无约束
__
Y =（1,1），分别是（P） 解：由观察可知：X =（1,1,1,1），
和（D）的可行解。Z=10 ，W=40，故有 __ C X Y b
弱对偶定理成立。由推论⑴可知，W 的最小值不能小于 10，Z 的最大值不能超过40。
__
推论2：如原问题有可行解且目标函数值无界(具有无
界解)，则其对偶问题无可行解；反之对偶问题有可行 解且目标函数值无界，则其原问题无可行解
(a) (b) (c ) (d )
例中目标函数为max，若为对称形式，则约束条件应为 “≤”号，所有变量均应≥0。—— 非对称形式
1．目标函数为求极大，故约束条件应均为“≤” 号
约束b两边乘-1：
3x1 x2 6 x3 1
x1 x2 x3 4 约束c写成两个不等式约束： x1 x2 x3 4 x1 x2 x3 4
原 问 题
bm ym
对 偶
min w Y b
问
题
AY C Y 0
a11 y1 a21 y2 am1 ym c1 a y a y a y c 12 1 22 2 m2 m 2 a y a y a y c mn m n 1n 1 2 n 2 yi 0(i 1,2, , m)
目
标函数求极小时取“≥”号
注：对称形式与线性规划标准型是两种不同的形 式，对称形式中约束条件的符号由目标函数决定
从以下方面比较(LP1)与(LP2)：
原问题
对偶问题 约束系数矩阵的转 置 目标函数中的价格 系数向量 约束条件的右端项 向量 Min w=Y’b A’Y≥C’ Y≥0
A
b C 目标函数 约束条件 决策变量
分析问题： 1、定价不能太高，否则买方无法接受，并且对买方来说， 其目的是越低越好 ； 2、定价不能太低，否则企业不愿意放弃生产、出让资源
合理的价格应是对方用最少的资金购买该企业的全部 资源，而该企业所获得的利润又不低于自己组织生产 时所获得的利润。
设分别用y1、y2和y3代表单位时间(h)设备、每公斤