高考不等式公式难题

1、已知函数在点的切线方程为.

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）设，求证：在上恒成立；

（Ⅲ）已知，求证：.

2、设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）

个数为.

（1）求的值及的表达式；

（2）记，试比较的大小；若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围；

（3）设为数列的前项的和，其中，问是否存在正整数，使成立？若存

在，求出正整数；若不存在，说明理由.

3、函数的定义域为{x| x ≠1}，图象过原点，且．

（1）试求函数的单调减区间；

（2）已知各项均为负数的数列前n项和为，满足，求证：；

4、设为正整数，规定：，已知．

（1）解不等式：；

（2）设集合，对任意，证明：；

（3）求的值；

（4）若集合，证明：中至少包含有个元素．

5、已知数列中，，且

（1）求证：；

（2）设，是数列的前项和，求的解析式；

（3）求证：不等式对于恒成立。

6、已知函数满足下列条件：

①函数的定义域为[0，1]；

②对于任意；

③对于满足条件的任意两个数

（1）证明：对于任意的；

（2）证明：于任意的；

（3）不等式对于一切x∈[0，1]都成立吗？试说明理由.

7、已知函数f(x)的导函数是。对任意两个不相等的正数，证明：

（Ⅰ）当时，；

（Ⅱ）当时，。

参考答案

1、解：（Ⅰ）将代入切线方程得

∴，化简得 (2)

分

解得：.

∴

. …………………………………………4分

（Ⅱ）由已知得在上恒成立

化简

即在上恒成立

设，

…………………………………………6分

∵∴，即

∴在上单调递增，

∴在上恒成

立…………………………………………8分

（Ⅲ）∵∴，

由（Ⅱ）知有

， (10)

分

整理得

∴当时，

. …………………………………………12分

2、（本小题主要考查数列、不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）

解：⑴-----------------2分

当时，

取值为1，2，3，…，共有个格点

当时，

取值为1，2，3，…，共有个格点

∴-----------------4分

⑵

-------------5分

当时，

当时，

------------------6分

∴时，

时，

时，

∴中的最大值为. ------------------8分

要使对于一切的正整数恒成立，

只需

∴ -------------------9分

⑶

. ---------------10分

将代入，

化简得，（﹡）-------------------11分

若时，

，

显然-------------------12分

若时

（﹡）式化简为

不可能成立 --------------13分

综上，

存在正整数

使成立. - --------------14分

3、解：（1）由己知.

且

∴。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4

于是

由得或

故函数的单调减区间为和 .。。。。。。。。。。。。。。。。6

（2）由已知可得，

当时，

两式相减得

∴（各项均为负数）

当时，，∴。。。。。。。。。。。8

于是，待证不等式即为．

为此，我们考虑证明不等式.。。。。。。。。。。。10

令则，

再令，由知

∴当时，单调递增∴于是

即①.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12

令，由知

∴当时，单调递增∴于是

即②.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。14

由①、②可知

所以，，即 .。。。。。16

4、解：（1）①当0≤≤1时，由≤得，≥．∴≤≤1．

②当1＜≤2时，因≤恒成立．∴1＜≤2．

由①，②得，≤的解集为{|≤≤2}．

（2）∵，，，

∴当时，；

当时，；

当时，．

即对任意，恒有．

（3），，

，

，

一般地，（）．

（4）由（1）知，，∴．则．∴．

由（2）知，对，或1，或2，恒有，∴．则0，1，2．

由（3）知，对，，，，恒有，

∴，，，．

综上所述，，0，1，2，，，，．∴中至少含有8个元素．

5、解：（1），

又因为，则，即，又，

，

（2），

因为，所以

当时，

当时，，①

，②

①-②：，

.综上所述，

（3），

又，易验证当时不等式成立；

假设，不等式成立，即，两边乘以3得

又因为

所以

即时不等式成立.故不等式恒成立.

6、（1）证明：对于任意的

即对于任意的

（2）证明：由已知条件可得

所以对于任意的