理论力学经典课件碰撞
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理论力学-碰撞PPT课件
锤不回跳，此时可近似认为k =0，于是汽锤效率
m2 0.949% 4
m1m2
2021
25
§19-5 碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用 撞击中心
设刚体绕固定轴z 转动，转动惯量为IZ，受到外碰撞冲量
S (e) i
(i1,2, ,n)
的作用。
碰撞开始时 Lz1 I z1
碰撞结束时 Lz2 I z 2
的积分形式为：
m um vS
(1-19)
2021
8
对于有n个质点组成的质点系，将作用于第 i 个质点上的
碰撞冲量分为外碰撞冲量
S
( i
e
)
和内碰撞冲量
S
( i
i
)
，则有：
m iu i m iv i S i(e ) S i(i) ( i 1 ,2 , ,n )
将这n个方程相加, 且Si(i) 0(内碰撞冲量总是成对出现的),故
2021
1
在前面讨论的问题中，物体在力的作用下，运动速度都 是连续地、逐渐地改变的。本章研究另一种力学现象——碰 撞，物体发生碰撞时，会在非常短促的时间内，运动速度突 然发生有限的改变。本章研究的主要内容有碰撞现象的特征， 用于碰撞过程的基本定理，碰撞过程中的动能损失，撞击中 心。
2021
2
第十九章 碰撞 §19–1 碰撞现象及其基本特征 碰撞力
§19-2 用于碰撞过程的基本定理
§19–3 质点对固定面的碰撞 恢复系数
§19–4 两物体的对心正碰撞 动能损失
§19–5 碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用
撞击中心
小结
2021
3
§19-1 碰撞现象及其基本特征 碰撞力
碰撞：运动着的物体在突然受到冲击（包括突然受到约 束或解除约束）时，其运动速度发生急剧的变化，这种现象 称为碰撞。
理论力学PPT课件第6章 6.3碰撞46页PPT
1987年12月20日,“多纳帕斯号”(设计载人:608人,经改装 后可载人:1518人,实际载人:3000人),在往马尼拉方向行驶 时因与油轮相撞而起火,造成船上3000人几乎丧身.
2019/10/8
19
2. 研究碰撞的基本假设：
(1) 在碰撞过程中，重力、弹性力等非碰撞力与碰撞力相比 小得多，其作用可以忽略不计。但必须注意，在碰撞前和 碰撞后，非碰撞力对物体运动状态的改变作用不可忽略。 (2) 由于碰撞时间极短，而速度又是有限量，所以物体在 碰撞过程的位移很小，可以忽略不计，即认为物体在碰撞 开始时和碰撞结束时的位置相同。
v1
v2
u1
u2
取整体，由冲量守恒，有 m 1 v 1 m 2 v 2 m 1 u 1 m 2 u 2 以及：e u2 u1 v1 v2
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31
u1v1(1e)m 1m 2m 2(v1v2)v1
u2v2(1e)m 1m 1m 2(v1v2)v2
2. 用于碰撞过程的冲量矩定理
L O 2 L O 1 M 0 e M 0 ( I i e )
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用于定轴转动刚体碰撞时的微分方程积分形式
J O z2 J O z1 M O e z =m O z ( I i e )
用于平面运动刚体碰撞时的微分方程积分形式
T＝ m1m2
2m1 m2
v12＝1T1m1
m2
说明系统损失的动能与两物体的质量比有关。
2019/10/8
34
工程应用：
T＝
T1
1 m1
m2
（1） 打桩时，希望桩获得尽可能多的动能，去克服土
壤给桩的阻力，这就要求损失的动能越少越好。这时
2019/10/8
19
2. 研究碰撞的基本假设：
(1) 在碰撞过程中，重力、弹性力等非碰撞力与碰撞力相比 小得多，其作用可以忽略不计。但必须注意，在碰撞前和 碰撞后，非碰撞力对物体运动状态的改变作用不可忽略。 (2) 由于碰撞时间极短，而速度又是有限量，所以物体在 碰撞过程的位移很小，可以忽略不计，即认为物体在碰撞 开始时和碰撞结束时的位置相同。
v1
v2
u1
u2
取整体，由冲量守恒，有 m 1 v 1 m 2 v 2 m 1 u 1 m 2 u 2 以及：e u2 u1 v1 v2
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u1v1(1e)m 1m 2m 2(v1v2)v1
u2v2(1e)m 1m 1m 2(v1v2)v2
2. 用于碰撞过程的冲量矩定理
L O 2 L O 1 M 0 e M 0 ( I i e )
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用于定轴转动刚体碰撞时的微分方程积分形式
J O z2 J O z1 M O e z =m O z ( I i e )
用于平面运动刚体碰撞时的微分方程积分形式
T＝ m1m2
2m1 m2
v12＝1T1m1
m2
说明系统损失的动能与两物体的质量比有关。
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工程应用：
T＝
T1
1 m1
m2
（1） 打桩时，希望桩获得尽可能多的动能，去克服土
壤给桩的阻力，这就要求损失的动能越少越好。这时
碰撞基本概述课件.pptx
′
碰撞后的速度与第一个小球 的运动方向相同。
（2）碰撞前系统的动能为
1
1
1
2
1 = 1 1 + 2 22
2
2
1
1
2
= × 0.5 × 4 J + × 0.25 × (−3)2 J = 5.13J
2
2
碰撞后系统的动能为
2
1
= （1 + 2 ） ′2
2
2
1
= 0.5 + 0.25 × 1.67 2 J = 1.05J
2
2
2
2
例1.一个物体质量为 ，初速度为 ，在光滑的
水平面上与一个质量为 的静止的物体发生弹性
碰撞。求碰后两物体的速度。
解： 由动量守恒和机械能守恒得
1 1 = 1 1′ + 2 2′
1
1
1
2
′2
1 1 = 1 1 + 2 2′2
2
2
2
解得
1 − 2
=
1
1 + 2
以相同ห้องสมุดไป่ตู้速度
反弹回去
例2.在热核反应过程中，当铀
核裂变时会放出若干个
中子，中子的速度很高，降低中子的速度可以提高裂变概
率。因此，常常用慢化剂（重水、石墨等）来降低中子的
速度。假设中子的速率为 ∙ − ，与重水里的氘核发
生弹性碰撞，氘核开始处于静止状态，氘核的质量是中子
2
∆ = 2 − 1 = 4.08J
大部分能量在碰撞过程中转化为内能了。
• 非对心碰撞
= ′
= ′
Y
′
1
(a)碰撞前
碰撞后的速度与第一个小球 的运动方向相同。
（2）碰撞前系统的动能为
1
1
1
2
1 = 1 1 + 2 22
2
2
1
1
2
= × 0.5 × 4 J + × 0.25 × (−3)2 J = 5.13J
2
2
碰撞后系统的动能为
2
1
= （1 + 2 ） ′2
2
2
1
= 0.5 + 0.25 × 1.67 2 J = 1.05J
2
2
2
2
例1.一个物体质量为 ，初速度为 ，在光滑的
水平面上与一个质量为 的静止的物体发生弹性
碰撞。求碰后两物体的速度。
解： 由动量守恒和机械能守恒得
1 1 = 1 1′ + 2 2′
1
1
1
2
′2
1 1 = 1 1 + 2 2′2
2
2
2
解得
1 − 2
=
1
1 + 2
以相同ห้องสมุดไป่ตู้速度
反弹回去
例2.在热核反应过程中，当铀
核裂变时会放出若干个
中子，中子的速度很高，降低中子的速度可以提高裂变概
率。因此，常常用慢化剂（重水、石墨等）来降低中子的
速度。假设中子的速率为 ∙ − ，与重水里的氘核发
生弹性碰撞，氘核开始处于静止状态，氘核的质量是中子
2
∆ = 2 − 1 = 4.08J
大部分能量在碰撞过程中转化为内能了。
• 非对心碰撞
= ′
= ′
Y
′
1
(a)碰撞前
《高三物理碰撞》课件
v1' = (m1 - m2)v1 / (m1 + m2), v2' = (m2 - m1)v2 / (m1 + m2)
弹性碰撞的实例
两个小球在光滑水平面上发生弹性碰撞
01
在这种情况下，两个小球在碰撞前后的速度满足动量守恒和动
能守恒，且没有能量损失。
两个分子在气体中的弹性碰撞
02
气体分子之间的碰撞大多数是弹性碰撞，因为它们之间的相互
作用力较小，能量损失也很小。
原子核之间的弹性碰撞
03
原子核之间的相互作用力很强，但它们之间的碰撞仍然可以近
似为弹性碰撞，因为它们的动量很大，能量损失很小。
03
非弹性碰撞
非弹性碰撞的定义
非弹性碰撞是指两个物体在碰撞过程中动能损失不能被完全吸收和转化的碰撞过程 。
在非弹性碰撞中，两个物体的速度在碰撞后会发生变化，但它们的总动能会减少。
碰撞的特点
总结词
碰撞具有时间短暂、动量守恒、能量守恒等特点。
详细描述
碰撞过程非常短暂，通常只有几个毫秒甚至更短的时间。在这么短的时间内，系统的动 量和能量是守恒的，即系统的总动量和总能量在碰撞前后保持不变。这是因为在经典物 理学中，系统的总动量和总能量是守恒的，只有在相对论中才会出现动量和能量的不守
该公式表示碰撞前后，系统内 各物体的动量总和保持不变。
动量守恒定律的实例
子弹打木块
一颗子弹以一定速度打入静止的 木块，在子弹打入的过程中，子 弹和木块组成的系统动量守恒。
弹性碰撞
两个小球在光滑的水平面上发生碰 撞，如果碰撞为弹性碰撞，则碰撞 前后两小球的速度总和保持不变。
天体运动
在行星绕恒星运动的过程中，如果 忽略其他星体的影响，行星和恒星 组成的系统动量守恒。
弹性碰撞的实例
两个小球在光滑水平面上发生弹性碰撞
01
在这种情况下，两个小球在碰撞前后的速度满足动量守恒和动
能守恒，且没有能量损失。
两个分子在气体中的弹性碰撞
02
气体分子之间的碰撞大多数是弹性碰撞，因为它们之间的相互
作用力较小，能量损失也很小。
原子核之间的弹性碰撞
03
原子核之间的相互作用力很强，但它们之间的碰撞仍然可以近
似为弹性碰撞，因为它们的动量很大，能量损失很小。
03
非弹性碰撞
非弹性碰撞的定义
非弹性碰撞是指两个物体在碰撞过程中动能损失不能被完全吸收和转化的碰撞过程 。
在非弹性碰撞中，两个物体的速度在碰撞后会发生变化，但它们的总动能会减少。
碰撞的特点
总结词
碰撞具有时间短暂、动量守恒、能量守恒等特点。
详细描述
碰撞过程非常短暂，通常只有几个毫秒甚至更短的时间。在这么短的时间内，系统的动 量和能量是守恒的，即系统的总动量和总能量在碰撞前后保持不变。这是因为在经典物 理学中，系统的总动量和总能量是守恒的，只有在相对论中才会出现动量和能量的不守
该公式表示碰撞前后，系统内 各物体的动量总和保持不变。
动量守恒定律的实例
子弹打木块
一颗子弹以一定速度打入静止的 木块，在子弹打入的过程中，子 弹和木块组成的系统动量守恒。
弹性碰撞
两个小球在光滑的水平面上发生碰 撞，如果碰撞为弹性碰撞，则碰撞 前后两小球的速度总和保持不变。
天体运动
在行星绕恒星运动的过程中，如果 忽略其他星体的影响，行星和恒星 组成的系统动量守恒。
2.1第四节碰撞ppt课件
F-(m+M)g=(m+M) v
2 1
.
将v1代入即得F=(mL+M)g+(m+M)
v12 (mM)g m2v2 .
L
(mM)L
答 案:mMg m2v2
(mM)L
第第2288页页
三､从动量､能量观点解决的有关问题
例3:如下图,一轻质弹簧两端连接着物体A和B,放在光滑的水
平面上,物体A被水平速度为v0的子弹击中,子弹嵌在其中,已
16
答 案 :1v 4 0(2)v 8 0(3)1 1 6m v20
第第3322页页
巩固练习3:如下图,位于光滑水平桌面上的小滑块P和Q都可 视作质点,质量相等.Q与轻质弹簧相连.设Q静止,P以某一 初速度向Q运动并与弹簧发生碰撞.在整个碰撞过程中,弹 簧具有的最大弹性势能等于( )
第第3333页页
二､对心碰撞和非对心碰撞 1.对心碰撞:碰撞前后,物体的运动方向在同一直线上,也叫正
碰,是在一维直线上发生的碰撞. 2.非对心碰撞:碰撞前后物体的运动方向不在同一直线上,也
叫斜碰,是在二维平面上发生的碰撞.
第第1100页页
3.对弹性正碰的讨论 在光滑水平面上质量为m1的小球以速度为v1与质量为m2的 静止的小球发生弹性正碰,如下图,根据动量守恒定律
巩固练习2:如下图,质量为m的子弹,以速度v水平射入用轻绳 悬挂在空中的木块,木块的质量为M,绳长为L,子弹停留在 木块中,求子弹射入木块后的瞬间绳子中的张力的大小.
第第2266页页
解析:物理过程共有两个阶段:射入阶段和圆周运动阶段.射入 阶段可认为木块还未摆动,绳子没有倾斜,子弹和木块所组 成的系统水平方向不受外力作用,动量守恒.子弹停留在木 块中后以一定的速度做变速圆周运动,绳子倾斜,水平方向 有了分力,动量不再守恒.
理论力学经典课件-碰撞
mA v A mB vB mA vA mB vB
这时，
vA ＝vB ＝v AB
于是，有
mA v A mB vB mA mB v AB
v AB
mA vA mB vB mA mB
18 103 0.2 i 0.03 j 0.02 k 0
18 103 6.6 103
0.146 i 0.022 j 0.015 k m/s
AB
vAB A v'A B v'B
由
mA v A mB vB mA vA mB vB
k I2 vB vA I1 vA vB
解得碰撞后两个球的速度分别为
vA
vA
1
k
mA mA mB
vA
vB
vB
vB
1
k mA
mA mB
vA
vB
vA A
B vB
AB
vAB A v'A B v'B
（3）碰撞后阶段
根据平面运动微分方程，有
maC F mgf
JC Fr mgfr
由运动学可知
v vC aCt
C t
C
aC
mg
F FN
由平面运动可知，当 v rC 时，轮开始纯滚
解得： t 1 k 3gl 0.24 s 14gf
突加约束问题
运动的刚体 突然受到其他 物体的阻碍， 发生碰撞，在 接触处发生完 全不可恢复的 变形，亦即产 生完全非弹性 碰撞－突然施 加约束，简称 突加约束。
例题6
质量为m、半径为r的均
质圆柱体，以质心速度vC
§15-1 碰撞现象·碰撞力
碰撞－物体与物体之间，在极短的时间内，发生 有限量的动量传递与能量转换，同时伴随有极大的 撞击力的动力学过程。
这时，
vA ＝vB ＝v AB
于是，有
mA v A mB vB mA mB v AB
v AB
mA vA mB vB mA mB
18 103 0.2 i 0.03 j 0.02 k 0
18 103 6.6 103
0.146 i 0.022 j 0.015 k m/s
AB
vAB A v'A B v'B
由
mA v A mB vB mA vA mB vB
k I2 vB vA I1 vA vB
解得碰撞后两个球的速度分别为
vA
vA
1
k
mA mA mB
vA
vB
vB
vB
1
k mA
mA mB
vA
vB
vA A
B vB
AB
vAB A v'A B v'B
（3）碰撞后阶段
根据平面运动微分方程，有
maC F mgf
JC Fr mgfr
由运动学可知
v vC aCt
C t
C
aC
mg
F FN
由平面运动可知，当 v rC 时，轮开始纯滚
解得： t 1 k 3gl 0.24 s 14gf
突加约束问题
运动的刚体 突然受到其他 物体的阻碍， 发生碰撞，在 接触处发生完 全不可恢复的 变形，亦即产 生完全非弹性 碰撞－突然施 加约束，简称 突加约束。
例题6
质量为m、半径为r的均
质圆柱体，以质心速度vC
§15-1 碰撞现象·碰撞力
碰撞－物体与物体之间，在极短的时间内，发生 有限量的动量传递与能量转换，同时伴随有极大的 撞击力的动力学过程。
001碰撞ppt 30张
6、完全非弹性碰撞：
V1 V2
光滑
m1 v1 m 2 v 2 (m1 m 2 )v 1 1 1 2 2 m1 v1 m 2 v 2 (m1 m 2 )v 2 Ek max 2 2 2
碰撞的分类
正碰
按碰撞前后速度方向的关系分 按能量损失的情况分
斜碰
弹 性 碰 撞 ： 动量守恒，动能没有损失 非 弹 性 碰 撞 ： 动量守恒，动能有损失 完全非弹性碰撞： m1v1+m2v2=(m1+m2)v, 动能损失最大
B
B.动量不守恒，机械能不守恒
C.动量守恒，机械能不守恒 D.动量不守恒，机械能守恒
5.(多选）如图甲所示，在光滑水平面上的两小球发生正
碰.小球的质量分别为m1和m2.图乙为它们碰撞前后的s-
t(位移—时间)图象.已知m1=0.1 kg.由此可以判断(
C
)
A.碰前m2静止，m1向右运动 B.碰后m2和m1都向右运动 C.m2=0.3 kg
求：(1)滑块A与滑块B碰撞结束瞬间的速度；
(2)被压缩弹簧的最大弹性势能.
【解析】(1)滑块A下滑过程中机械能守恒，设A到达水平面
时速度为v1,由机械能守恒定律有
m A gh
A、B碰撞过程中动量守恒，设滑块A与滑块B碰撞结束瞬间
1 m A v12 , 解得v1 2gh 2
的速度为v2,由动量守恒定律有
' m1v1 m2 v2 m1v1' m2 v2
弹性碰撞中没有机械能损失
1 1 1 1 2 2 '2 ' 2 m1v1 m2 v 2 m1v1 m2 v 2 2 2 2 2
2m2 v2 m1 m2 v1 v m1 m2
理论力学第十六章 碰撞 教学PPT详述
e I2 v1
I1
v1
v1 2gh1 , v1 2gh2
e h2 h1
n
A
B h1 h2 v'1 v1
C
例题8-1
两小球的质量分别为m1和m2 ，碰撞开始时两质心的速度分 别为v1和v2 ，且沿同一直线，如图所示。如恢复系数为e， 试求碰撞后两球的速度和碰撞过程中损失的动能。
v1
C1
v2
冲量矩定理
根据研究碰撞问题的基本假设，在碰撞过程中，质点系内各质点的位 移均可忽略，因此，可用同一矢 ri 表示质点 Mi 在碰撞开始和结束时的位 置。 质点对固定点的动量矩为
碰前： MO (mivi ) ri mivi
碰后： MO (mivi ) ri mivi
所以
ri mivi ri mvi ri Ii
例如，两直径25mm的黄铜球，以72mm/s的相对法向 速度碰撞，碰撞时间只有0.0002秒。
碰撞的物体间产生巨大的碰撞力。
例如，用铁锤打击钢板表面。
接示波器
力传感器
塑料
碰撞问题基本特征
碰撞的物体间产生巨大的碰撞力。
例如，用铁锤打击钢板表面。
锤重4.45N; 碰撞前锤的速度 457.2 mm/s; 碰撞的时间间隔 0.00044s; 撞击力峰值 1491 N， 静载作用的335倍。
T0
T1 T0
设锤头在和桩开始接触时具有的速度是 v1 ,则初动能
➢ 理想情况e =1时，碰撞结束后，物体能完全恢复原来的形状，这
种碰撞称为完全弹性碰撞。
➢ 在另一极端情况 e =0 时，说明碰撞没有恢复阶段，即物体的变
形不能恢复，碰撞结束于变形阶段，这种碰撞称为非弹性碰撞或塑 性碰撞。
理论力学第三章碰撞
质点系动量矩定理的积分形式
冲量矩定理
n
n
ri mi vi ri mi vi
i 1
i 1
n
i 1
t2 t1
ri
d
I
e i
n
LO2 LO1
M
O
(
I
e i
)
MO (I e)
i 1
在一定的时间间隔内，质点系动量矩的改变等于
同一时间间隔内，作用在质点系上所有外力冲量矩
的主矩。
§3-2 用于碰撞过程的基本定理
铁锤打击人体
锤重4.45N;
碰撞前锤的速度 457.2 mm/s;
塑料
碰撞的时间间隔 0.01s;
撞击力峰值 244.8 N，
静载作用的55倍。
2.碰撞现象的特点
撞击过程中能量的急剧转换－撞击过程中， 各种机械能之间、机械能与其他形式能量之间 以极快的速度转换。
m
势能
动能 m
弹性应变能
2.碰撞现象的特点
e＝ vAn vA cos vAn vA cos
水平方向动量守恒 mvA sin ＝mvA sin
B
e＝ tan
tan
§3-4 碰撞问题举例
例题1
锻造用的汽锤锤重与打桩机锤头重量均为 mAg; 汽锤的铁 砧与桩的重量均为 mBg。汽锤和打桩机的锤头打击前速度 均为 vA
试分析：汽锤与打桩机在打击过程中的动量传递与能量转换。
T1 m
A
mB
§3-4 碰撞问题举例
例题1
解：汽锤和打桩机锤头打击前后的动能变化
T＝ mAmB
2 mA mB
v
A
2＝ 1
T1 m
A
冲量矩定理
n
n
ri mi vi ri mi vi
i 1
i 1
n
i 1
t2 t1
ri
d
I
e i
n
LO2 LO1
M
O
(
I
e i
)
MO (I e)
i 1
在一定的时间间隔内，质点系动量矩的改变等于
同一时间间隔内，作用在质点系上所有外力冲量矩
的主矩。
§3-2 用于碰撞过程的基本定理
铁锤打击人体
锤重4.45N;
碰撞前锤的速度 457.2 mm/s;
塑料
碰撞的时间间隔 0.01s;
撞击力峰值 244.8 N，
静载作用的55倍。
2.碰撞现象的特点
撞击过程中能量的急剧转换－撞击过程中， 各种机械能之间、机械能与其他形式能量之间 以极快的速度转换。
m
势能
动能 m
弹性应变能
2.碰撞现象的特点
e＝ vAn vA cos vAn vA cos
水平方向动量守恒 mvA sin ＝mvA sin
B
e＝ tan
tan
§3-4 碰撞问题举例
例题1
锻造用的汽锤锤重与打桩机锤头重量均为 mAg; 汽锤的铁 砧与桩的重量均为 mBg。汽锤和打桩机的锤头打击前速度 均为 vA
试分析：汽锤与打桩机在打击过程中的动量传递与能量转换。
T1 m
A
mB
§3-4 碰撞问题举例
例题1
解：汽锤和打桩机锤头打击前后的动能变化
T＝ mAmB
2 mA mB
v
A
2＝ 1
T1 m
A
§16.4碰撞ppt
A v1
B
m1
m2
A v1' m1
B v2' m2
试确定v1'与v1的关系，v2'与v1的关系
m1v1 m1v1 m2v2
1 2
m1v12
Байду номын сангаас
1 2
m1v12
1 2
m2v22
m1(v1 v1 ) m2v2
m1
(v
2 1
v12
)
m2v22
v1 v1 v2
v1
m1 m1
m2 m2
v1
v2
2m1 m1 m2
对心碰撞（正碰）→碰撞前后速度沿球心连线
非对心碰撞（斜碰）→碰撞前后速度不共线
散射：微观粒子的碰撞
【课堂练习】
下列对于碰撞的理解正确的是（AB）
A.碰撞是指相对运动的物体相遇时，在极短的时间 内它们的运动状态发生了显著变化的过程
B.在碰撞现象中，一般内力远大于外力，所以可以 认为碰撞时系统的总动量守恒
v1
若m1 m2 则v1 0 v2 v1 质量相等,交换速度 若m1 m2 则v1 v1 v2 2v1 大碰小,一起跑
若m1 m2 则v1 v1 v2 0 小碰大,要反弹
(二)碰撞的分类
从碰撞速度方向分类 1.对心碰撞——正碰：
碰前运动速度与两球心连线处于同一直线上
2.非对心碰撞——斜碰： 碰前运动速度与两球心连线不在同一直线上
在碰撞过程中,系统的能量总是守恒的吗？
在碰撞过程中,系统的能量总是守恒的吗?
m v0
m
2m v
由动量守恒定律： mv 0 0 2mv
v v0 2
碰撞前系统总动能：Ek0
理论力学PPT课件第6章6.3碰撞
情况下。
非弹性碰撞的公式
碰撞前后动量守恒：m1v1 + m2v2 = m1v1' + m2v2' 碰撞前后能量不守恒：E = E'
碰撞前后速度关系：v1' = v1 - Δv, v2' = v2 + Δv
非弹性碰撞的特点
01
形 变不能完全恢复，导致能量损
04
弹性碰撞公式的应 用
弹性碰撞公式可以用于计算两个 物体碰撞后的速度，它是解决碰 撞问题的重要工具之一。
弹性碰撞的特点
能量守恒
在弹性碰撞中，系统的总能量 在碰撞前后保持不变，即动能
守恒。
动量守恒
在弹性碰撞中，系统的总动量 在碰撞前后保持不变，即动量 守恒。
无能量损失
在弹性碰撞中，没有能量转化 为其他形式的能量，如热能或 内能等。
碰撞的分类
弹性碰撞
完全非弹性碰撞
碰撞过程中，物体间的作用力完全以 弹性反作用力形式出现，没有能量损 失。
碰撞过程中，物体间的作用力完全以 非弹性反作用力形式出现，能量损失 最大。
非弹性碰撞
碰撞过程中，物体间的作用力部分以 弹性反作用力形式出现，部分以非弹 性反作用力形式出现，存在能量损失。
02
弹性碰撞
台球碰撞
两球在桌面上发生碰撞， 运动轨迹发生变化，遵循 动量守恒定律。
汽车碰撞
汽车发生正面碰撞，车体 变形，遵循动量守恒和能 量守恒定律。
三维碰撞实例分析
三维碰撞
两个物体在三维空间中发 生相互作用，考虑三个方 向的动量变化。
卫星碰撞
卫星在太空中发生碰撞， 需要考虑地球引力、太阳 辐射压和其他因素的影响。
弹性碰撞的公式
01
非弹性碰撞的公式
碰撞前后动量守恒：m1v1 + m2v2 = m1v1' + m2v2' 碰撞前后能量不守恒：E = E'
碰撞前后速度关系：v1' = v1 - Δv, v2' = v2 + Δv
非弹性碰撞的特点
01
形 变不能完全恢复，导致能量损
04
弹性碰撞公式的应 用
弹性碰撞公式可以用于计算两个 物体碰撞后的速度，它是解决碰 撞问题的重要工具之一。
弹性碰撞的特点
能量守恒
在弹性碰撞中，系统的总能量 在碰撞前后保持不变，即动能
守恒。
动量守恒
在弹性碰撞中，系统的总动量 在碰撞前后保持不变，即动量 守恒。
无能量损失
在弹性碰撞中，没有能量转化 为其他形式的能量，如热能或 内能等。
碰撞的分类
弹性碰撞
完全非弹性碰撞
碰撞过程中，物体间的作用力完全以 弹性反作用力形式出现，没有能量损 失。
碰撞过程中，物体间的作用力完全以 非弹性反作用力形式出现，能量损失 最大。
非弹性碰撞
碰撞过程中，物体间的作用力部分以 弹性反作用力形式出现，部分以非弹 性反作用力形式出现，存在能量损失。
02
弹性碰撞
台球碰撞
两球在桌面上发生碰撞， 运动轨迹发生变化，遵循 动量守恒定律。
汽车碰撞
汽车发生正面碰撞，车体 变形，遵循动量守恒和能 量守恒定律。
三维碰撞实例分析
三维碰撞
两个物体在三维空间中发 生相互作用，考虑三个方 向的动量变化。
卫星碰撞
卫星在太空中发生碰撞， 需要考虑地球引力、太阳 辐射压和其他因素的影响。
弹性碰撞的公式
01
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， k I2 vA I1 vA
h2 h1
vAv'A
vA 2gh1 , vA 2gh2
B
k h2
h1
恢复系数与碰撞前和碰撞后的速度之间的关系
k
I2 I1
vrn vrn
vrn —碰撞后两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度
vrn —碰撞前两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度
● 对于确定的材料，恢复系数为常量。
由质点系动量矩定理：
d dt
LO
MO (Fi(e) )
ri
Fi(e)
dLO
ri
F (e) i
dt
ri
dI
( i
e
)
dL LO2
LO1
O
t 0
ri
dIi(e)
或
LO2 LO1
t 0
ri
dIi(e)
根据基本假设，碰撞前后各质点的位置不变：
LO2
LO1
ri
t 0
dI
(e) i
或
LO2
静载作用的335倍。
铁锤打击人体
锤重4.45N;
碰撞前锤的速度 457.2 mm/s;
塑料
碰撞的时间间隔 0.01s;
撞击力峰值 244.8 N， 静载作用的55倍。
据有关资料介绍，一只重 17.8N 的飞鸟与飞机相撞， 如果飞机速度是 800km/h ，碰撞力可高达 3.55×105N ， 即为鸟重的 2万倍 ！这就是航空上所谓“鸟祸”的原 因之一。
请注意撞击 物与被撞击物 的特点！
★ 几个工程实际问题
请注意撞击 物与被撞击物 的特点！
★ 几个工程实际问题
击球手的手握在哪里 所受的撞击力最小？
★ 几个工程实际问题
请注意这一装 置的功能，与碰 撞有没有关系？
★ 几个工程实际问题
这与碰撞有 关系吗？
§15-2 用于碰撞过程的基本定理
1. 用于碰撞过程的动量定理——冲量定理
LO1
ri
I (e) i
MO
(
I (e) i
)
质点系在碰撞开始和结束时对点O的动量矩的变化，等于作用于 质点系的外碰撞冲量对同一点的主矩。
3. 碰撞时定轴转动刚体的动力学方程
J z2
J
z1
M
z
(
I (e) i
)
4. 碰撞时平面运动刚体的动力学方程
mvC x
mvCx
I
(e ix
)
mvC y
mvCy
（2）在碰撞过程中，由于时间非常短促，物体的 位移可忽略不计。
上述的两点简化是在碰撞过程中所提出的假说，因此 在具体问题的分析中，一定要分清碰撞过程和一般过程； 分清运动的三个阶段，即撞前的运动，碰撞阶段和撞后 的运动。
★ 几个工程实际问题
mA
vA
B A
两个飞船对接后速度？
vB
mB
★ 几个工程实际问题
I
(e) iy
J C 2
J C1
MC
(
I
(e) i
)
注意：以上各方程式中均不计普通力的冲量！
§15-3 恢复系数
考察两个球的正碰撞的变形阶段与恢复阶段
F
I1 I2
t
t1
tm t2
I1
tm F dt
t1
变形阶段的碰撞冲量；
I 2
t2 F dt
tm
恢复阶段的碰撞冲量。
考察两个球的正碰撞的变形阶段与恢复阶段
● 这一结果表明：对于确定的材料，不论碰撞前后物 体的运动速度如何，两个碰撞物体碰撞前后的相对速 度大小的比值是不变的。
● 恢复系数既描述了碰撞后物体速度的恢复程度，也 描述了物体变形的恢复程度。
恢复系数的取值范围
k 1
完全弹性碰撞：无能量损耗，
碰撞后变形完全恢复；
k 0
完全非弹性碰撞(塑性碰撞)： 变形完全不能恢复。
质点：
t
mv mv 0 Fdt I
质点系：
mivi mivi
I (e) i
I (i) i
I——碰撞冲量
mivi
mivi
I (e) i
I (i) i
mivi mivi
I (e) i
mvC
mvC
I
(e) i
质点系在碰撞开始和结束 时动量的变化，等于作用于 质点系的外碰撞冲量的主矢。
2. 用于碰撞过程的动量矩定理——冲量矩定理
F
I1 I2
t1
tm t2
mA I1 I1
mB
变形阶段
vA vAB
vB vAB
t
mA I2 I2
mB
恢复阶段
vAB v'A
vAB v'B
★ 恢复系数——碰撞的恢复阶段 的冲量与变形阶段的冲量之比， 用 k 表示：
k I2 I1
恢复系数与碰撞前和碰撞后的速度之间的关系 ——应用动量定理的积分形式，对于球A
vA
vB
vB
vB
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1
k mA
mA mB
vA
vB
vA A
B vB
AB
vAB A v'A B v'B
碰撞前系统的总动能 碰撞后系统的总动能
T1
1 2
m
A
v
2 A
1 2
mB
v
2 B
T2
1 2
m
AvA2
1 2
mB
vB2
碰撞前、后系统动能的变化
T＝T1－T2
1 2
mA vA
vA vA
vA
1 2
mB vB
§15-1 碰撞现象·碰撞力
碰撞－物体与物体之间，在极短的时间内，发生 有限量的动量传递与能量转换，同时伴随有极大的 撞击力的动力学过程。
● 碰撞主要研究碰撞物与被碰撞物在碰撞后的 运动效应。
铁锤打击钢板
锤重4.45N;
碰撞前锤的速度 457.2 mm/s;
塑料
碰撞的时间间隔 0.00044s;
撞击力峰值 1491 N，
vB
vB
vB
vA
vA
1
k
mA mA mB
vA
vB
vB
vB
1
k mA
mA mB
vA
vB
T＝ 1 2
1
k
mAmB mA mB
vA
vB
vA
vB
vA
vB
碰撞前、后系统动能的变化
T＝ 1 2
1
k
mAmB mA mB
vA
vB
vA
vB
vA
vB
k I2 vB vA I1 vA vB
★ 撞击力的瞬时性——撞击力在很短的时间间隔内发 生急剧变化：急剧增加到最大值后，很快衰减。
▼ 碰撞冲量——撞击力在碰撞时间内的累积效应。
F/N
Fmax
I t2 F dt t1
t/s
I t2 Fdt t1
研究碰撞问题的两点简化
（1）在碰撞过程中，由于碰撞力非常大，普通力 （重力、弹性力等）的冲量可忽略不计。
0 k 1
非完全弹性碰撞：能量损耗， 变形不能完全恢复；
§15-4 碰撞问题举例
例题1
vA A
B vB
AB
vAB A v'A B v'B
由
mA v A mB vB mA vA mB vB
k I2 vB vA I1 vA vB
解得碰撞后两个球的速度分别为
vA
vA
1
k
mA mA mB
k
I2 I1
mA mA
vA (v) v (vA)
v vA vA v
对于球B
k
I2 I1
mB vB v mB v vB
vB v v vB
k I2 vB vA I1 vA vB
对于球A与固定平面的正碰撞情形
k I2 vB vA I1 vA vB
AA
vB vB 0