1.3.1二项式定理(公开课)

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(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)
0 (1)若每个括号都不取b,只有 C4 种取法得到a4; 1 (2)若只有一个括号取b,共有 C4 种取法得到a3b; 2 (3)若只有两个括号取b,共有 C4 种取法得到a2b2; 3 C (4)若只有三个括号取b,共有 4 种取法得到ab3; 4 (5)若每个括号都取b,共有 C4 种取法得b4.
先看下面的问题
若今天是星期四,20天后是星期几?再 过810天后的那一天是星期几?
810 = (7 +1)10
数学问题:(a+b)n 的展开式是什么?
1.3.1二项式定理
在两个袋子中分别取一个球,共有多少种结果?
a a a b a b a b b b a b
(a+b)2=a2+2ab+b2
你能发现这两个问题的相似之处吗?
对二项式定理的理解
(1)它有n+1项; (2)各项的次数都等于二项式的次数n; (3)字母a按降幂排列,次数由n递减到0; 字母b按升幂排列,次数由0递增到n.
n
0 n n
1 n-1 n
k n-k k n
n n n
二项式定理:
(a+b) = C a +C a b+...+C a b +...+C b .
你能用个类似数列通项公式的式子来表示这些展开 式的规律吗?
n
0 n n
1 n-1 n
k n-k k n
n n n
3 通项
n-k k 式中的 Ck 叫做二项展开式的 a b n
通项,用 Tk+1 表示,即通项为展开式的第 k+1项:
k n n-k k
Tk+1 = C a
b
(a+b)n = Cn0 an +Cn1 an-1b +Cn2 an-2b2 +‥· + Cnk an-kbk + ‥· +Cnnbn (n∈N*)
1 7 1. (2004年安徽、河北卷)在 (2x ) 的 x 展开式中,常数项是______.
3
A.14
B.-14
C.42
D. -42
解析:
T
k 1
C (2x )
k 7
3 7k
1 k k 7k ( ) Ck ( 1) 2 x 7 x
7 21 k 2
,
7 令 21 k 0, 2
3 10 7 3 3 10 3 3 7
1 C a 15, a . 2
3 10 3
引例:若今天是星期四,20天后是星期几?再过810天
后的那一天是星期几?
8
10
= (7 +1)
0 10 10
10
C 7 C 7 C 7 ... C 7 C 7
1 10 9 2 10 8 9 10 10 10
0
余数是1,则再过810天后的那一天是星期五。
例题2
(1)写出(1+2x)7的展开式的第4项的系数;
则k=6,故展开式中的常数项是
6 C6 ( 1) 2 14 ,选答案A. 7
2.(2005年全国高考上海卷)在(x-a)10的展开
式中,x7的系数是15,则实数a的值为_______. -1/2
解析:
T31 C x ( a) C a ( 1) x ,
(a+b)4= a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
那么(a+b)n =?
(a+b) = C a +C a b+...+C a b +...+C b .
n
0 n n
1 n-1 n
k n-k k n
n n n
二项式定理:
(a+b) = C a +C a b+...+C a b +...+C b .
2 二项式系数
各项的系数 Ck ( k 0,1, 2, ...,n )
n
n
0 n n
1 n-1 n
k n-k k n
n n n
我们看到的二项展开式共有n+1项,其中
叫做二项式系数(binomial coefficient).
二项式定理:
(a+b) = C a +C a b+...+C a b +...+C b .
解:
1 4 0 4 1 3 1 1 2 2 1 2 3 1 1 3 4 1 4 (1)(x + ) = C4 x + C4 x ( ) + C4 x ( ) +C4 x ( ) + C4 ( ) x x x x x
1 2 1 4 = x + 4x + 6 + 4( ) + ( ) x x
4 2
(2)先将原式化简,再展开,得
1 9 (2)求 ( x ) 的展开式中x3的系数。 x
解题归纳:利用通项公式解决问题比较简单规范。
例题3
求二项式
1 7 ( 3 ) 的展开式中的有理项. 2
3
分析:方法一用通项公式(适用于任意次幂) 方法二用定理展开(次数较小时使用)
答案:
105 4
课堂小结
1.二项式定理
二项式定理(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+
Cnran-rbr+…+Cnnbn 是通过不完全归纳法,并
结合组合的概念得到展开式的规律性,然后 用数学归纳法加以证明.
2.二项式定理的特点
(1)项数:共n+1项,是关于a与b的齐次多项式 (2)系数 (3)指数 :a的指数从n逐项递减到0,是降幂排 列;b的指数从0逐项递增到n,是升幂排列.
高考链接
在三个袋子中分别取一个球,共有多少种结果? a a a × 1
a a b ×3 3 b b a ×
a b
a b
a b
b b b ×1
由此你能推出下面的式子吗? (a+b)3= a3+ a2b+ ab2+ b3
(a+b)4= a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
如何从组合知识得到(a+b)4展开 式中各项的系数?
1 6 2x -1 6 1 (2 x ) =( ) = 3 (2x -1)6 x x x
1 6 1 5 2 4 3 3 4 2 5 6 = 3 (2x) C (2x) + C (2x) C (2x) + C (2x) C (2x) + C 6 6 6 6 6 6 x
1 6 5 4 3 2 = 3 (64x - 6* 32x +15*16x - 20*8x +15*4x - 6* 2x +1) x 60 12 1 3 2 = 64x -192x + 240x -160 + - 2 + 3 . x x x
若令a=1,b=x,则得到: (1+x)n =1+ Cn1x+ Cn2x2+ … +Cnkxk +…+ Cnnxn 若令a=1,b= -x,则展开式又如何? (1-x)n =1-Cn1x+ Cn2x2+ … +(-1)kCnkxk +…+(-1)n Cnnxn
例题1
用二项式定理展开下列各式: 1 4 1 6 (1) (x ) (2) (2 x ) xห้องสมุดไป่ตู้x
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