《因式分解》章节 总结提升

(2)(xy－x)＋(－y＋1) ＝x(y－1)－(y－1) ＝(y－1)(x－1)．
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6．分解因式： (1)(a2＋b2)2－4a2b2； (2)(a2－2a＋1)－b2.
[解析] 第(1)小题先用平方差公式分解因式，再运用完 全平方公式继续分解．第(2)小题前三项可运用完全平方公 式变形为(a－1)2，从而与 b2 构成平方差的形式，运用平方 差公式继续分解因式．
A，B，C 都不正确，D 计算正确，故选 D.
[点评] 整式运算时，首先看清运算的种类，然后严格地运 用各自不同的概念和法则指导运算，同时还要特别注意符号 等．
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3．计算：(a＋b)(a－b)＋(a＋b)2－2a2.
解：(a＋b)(a－b)＋(a＋b)2－2a2 ＝a2－b2＋a2＋2ab＋b2－2a2＝2ab.
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类型之四
因式分解
因式分解是指把一个多项式化成几个整式的积的形式， 因式分解是整式乘法的逆运算．因式分解的基本方法是提公
因式法和公式法，有时要考虑把一个多项式分组后才能运用
提公因式法和公式法，从而达到整体上进行因式分解．因式 分解要注意如下几点：(1)因式分解的结果必须从整体上看是 乘积的形式，局部变为乘积形式不是因式分解；(2)因式分解 的结果中，每一个因式都是整式；(3)因式分解必须是恒等变
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2．若(x－3)0＝1，求 x 的取值范围．
解：由x－3≠0，得x≠3.
[点评] 在求零次幂时一定注意底数不为0这个条件．
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类型之二
整式的运算
整式的运算基础为幂的运算，根据是乘法的交换律，结合 律，及乘法对加法的分配律；整式除法的基础是同底数幂的除 法，根据是整式的乘法．计算时按照先乘方，再乘除，最后算 加减的顺序，有括号时先算括号里面的，同时要注意公式的逆
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例 1 下列运算正确的是( D A．a5·a5＝2a5 B．(a2)3＝a9 C．a6÷a3＝a2 D．a4b8＝(ab2)4 )
[解析]
A．a5·a5＝a10；B.(a2)3＝a2×3＝a6；C.a6÷a3＝
a6－3＝a3；D.a4b8＝a4·(b2)4＝(ab2)4.故选 D.
[点评] 对同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方公式的
4．计算：(a－2b－3c)2.
解：原式＝[(a－2b)－3c]2 ＝(a－2b)2－2(a－2b)· 3c＋(3c)2 ＝a2－4ab＋4b2－6ac＋12bc＋9c2.
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类型之三
求值问题
解答化简求值类问题的关键是化简，将整式化简后再代入求 值，可使计算更加简便．
例 3 先化简，再求值： (2x－1)2＋(x＋2)(x－2)－4x(x－1)，其中 x＝3.
不易出错．
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5．已知 x2－5x＝14，求(x－1)(2x－1)－(x＋1)2＋1 的值．
解：(x－1)(2x－1)－(x＋1)2＋1 ＝2x2－x－2x＋1－(x2＋2x＋1)＋1 ＝2x2－x－2x＋1－x2－2x－1＋1 ＝x2－5x＋1. 因为 x2－5x＝14， 所以原式＝(x －5x)＋1＝14＋1＝15.
形；(4)分解因式必须把每个因式分解到不能再分解为止，即
分解因式一定要彻底．
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例 4 把下列各式分解因式： (1)x3＋6x2－27x； (2)(xy－x)＋(－y＋1)．
解：(1)x3＋6x2－27x ＝x(x2＋6x－27) ＝x[(x2＋6x＋9)－36] ＝x[(x＋3)2－62] ＝x(x＋3＋6)(x＋3－6) ＝x(x＋9)(x－3)．
向运用，使运算更简捷．
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例2下列运算正确的是( A．a3·a3＝2a6 B．(－a)3·(－a5)＝－a8
D)
C．(－2a2b)3·4a＝－24a6b3
1 1 1 2 2 D. －3a－4b 3a－4b ＝16b － a 9
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[解析] 根据同底数幂的乘法法则可知a3·a3＝a3＋3＝a6≠ 2a6.因为(－a)3与－a5的底数不同，分别为－a和a，因此在 运用同底数幂的运算法则时必须转化成同底数的幂进行计 算，可把－a5转化为(－a)5，得(－a)3·(－a5)＝(－a)3·(－ a)5＝(－a)8＝a8≠－a8.在单项式相乘中先算乘方，再算乘 法，因此(－2a2b)3·4a＝(－2)3·(a2)3·b3·4a＝(－ 1 1 8a b )· 4a＝－32a b ≠－24a b .因为式子(－ a－4b)( a－ 3 3 1 1 4b)可转化为(－4b－ a) (－4b＋ a)， 3 3
6 3 7 3 6 3
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1 1 因此把－4b 看成一个数， a 也看成一个数，这样(－4b－ 3 3 1 1 1 a)(－4b＋ a)形如平方差公式，因此，(－ a－4b) ( a－4b)＝ 3 3 3
1 1 1 1 2 2 2 2 (－4b－ a)(－4b＋ a)＝(－4b) － a ＝16b － a .综上所知 3 3 9 3
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解：(1)原式＝(a2＋b2)2－(2ab)2 ＝(a2＋b2＋2ab)(a2＋b2－2ab) ＝(a＋b)2(a－b)2. (2)(a2－2a＋1)－b2 ＝(a－1)2－b2 ＝(a－1＋b)(a－1－b) ＝(a＋b－1)(a－b－1)．
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知 识 框 架
同 底 数 幂 相 乘
单 项 式 乘 单 项 式 多 项 式 乘 多 项 式 多 项 式 乘 多 项 式
平方差公式（a+b)(a-b
）=__________ a2－b2
完全平方公式(a+b） ^2=______________ a2±2ab＋b2 乘法公式 因式分解
[解析] 所求值的式子多处含有乘法公式，既可用平方差公
式，又可用完全平方公式化简，因此本题用乘法公式化简
较容易．
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解：原式＝4x2－4x＋1＋x2－4－4x2＋4x ＝x2－3. 当 x＝3 时，原式＝x2－3＝32－3＝6.
[点评] 在解题过程中能用乘法公式计算的应优先考虑用 乘法公式，要自觉地养成这种习惯，这样解题会较简便，也
反向运用必须熟练，准确掌握幂的运算性质．
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1．下列运算正确的是( B ) A．(ab2)2＝ab4 C．(a2)3＝a5
[解析]
B．a2·a3＝a5
D．a10÷a2＝a5
A 选项，(ab2)2＝a2b4；B 选项，a2·a3wenku.baidu.coma2＋3＝a5，正
确地运用了同底数幂的乘法；C 选项是幂的乘方，用错了幂的乘 方法则，应该是(a2)3＝a2×3＝a6；D 选项是同底数幂的除法，也用 错了法则，应该是 a10÷a2＝a10 2＝a8.
幂 的 乘 方
积 的 乘 方
整 式 的 运 算
整式的乘法 同底数幂相除 整式除法
单项式除以单项式
多项式除以单项式
把一个多项式化成几个整 积的形式 式的————，叫做这个多 项式的因式分解，也叫做把 这个多项式分解因式
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整 合 提 升
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类型之一
幂的运算性质
幂的运算性质包括：(1)同底数幂相乘：am·an＝am＋n(m，n 都是正整数)；(2)幂的乘方：(am)n＝amn(m，n 都是正整数)； (3)积的乘方：(ab)n＝anbn(n 为正整数)；(4)同底数幂相除： am÷an＝am－n(a≠0，m，n 都是正整数，并且 m>n)；(5)零指数 幂：a0＝1(a≠0)．这些都是整式乘除的基础，另外，将公式 反过来用可以使一些计算或化简简便， 从而培养一定的计算技 巧．