线性代数新教材精彩案例
【课程思政优秀教学案例】《线性代数》课程
案例课程：可逆矩阵一、课程简介《线性代数》是面向我校理工类，经管类专业学生的数学基础课程。
通过线性方程组、向量、矩阵的理论和方法的学习，培养学生具有初步的抽象思维能力、逻辑推理能力，一定的计算和表述能力以及综合运用所学知识分析、解决问题的能力。
课程思政建设中特色和改革创新点：1.教育为学生提升自身价值为教学理念支撑课程思政建设。
2.课程思政方法可移植，模式可复制。
项目教学模式的探索和研究也可以为相应的其它公共基础课程借鉴性和移植，具有较大的应用和推广价值。
3.课程思政元素贯穿课堂教学全过程。
二、案例展示1、课程思政育人目标（1）素质提升目标。
通过线性代数课程的学习不但要掌握课程知识而且还要让学生感受“文化自信”，实现课程育人。
（2）专业学习目标。
通过课程的学习掌握课程内容，满足后续专业课程的学习。
（3）价值塑造目标。
把数学教学内容和知名数学家的事迹相结合，激励学生学好课程知识的同时奋发向上、努力进取；把数学定理的阐述和做人道理相结合；把课程具体内容讲授和逻辑思维推进相结合。
2、课程思政元素及实施路径课程思政元素：矩阵有广泛的应用，既要学到知识也要学会运用知识，同时要让知识实现最大的价值，为国家富强添砖加瓦。
实施路径1）展示线性方程组与矩阵的联系：通过平面图形和空间图形以及高维空间图形的介绍让学生发现可逆矩阵的存在。
2）突出重点的方法：“抓两面、突重点”即①思维启发面：通过几何展示。
②逻辑思维面：可逆矩阵的介绍，环环相扣，层层递进。
3）突破难点的手段：“抓两点，破难点”即一抓学生情感和思维的兴奋点；二抓教学内容的切入点。
3、教学改革成效1）课程内容生动有趣，深入浅出，便于学生理解。
学生对教师教学评价好，教学相长。
2）我校学生考研数学成绩逐年稳步提升；数学建模和高等数学竞赛等学科竞赛成绩稳中有升。
3）《线性代数》课程是省首批线上线下混合式一流课程，也是省首批课程思政示范课程。
4）基于线性代数相关的课程建设获得省级以上教学改革研究立项5项，发表相关教育研究论文6篇。
线性代数精彩应用案例_之一_
1 斐波那契数列
例 1 数列 F1 , F2 , , Fn , 如果 = Fn- 1 + Fn- 2 ( 对所有的正整数 n 3) , 就称为斐波那契( F ibonacci) 数列. 试求斐波那契数列的通项公式.
解 先求满足递推关系
an = an- 1 + an- 2
Fn=
qn2 q2 -
qn1 q1
=
n
n
1+ 5 2
-
1- 5 2
.
5
以上的解法的关键是: 满足条件( 1) 的两个等比数列{ an } , { bn} 之和{ cn } 仍然满足条件( 1) , ( 虽然
{ cn } 一般说来不再是等比数列) , 适当选择{ an } , { bn } 就可以使{ cn } 的前两项都等于 1. 实际上, 满足条件( 1) 的任意两个数列的和仍然满足条件( 1) , 满足条件( 1) 的任意一个数列{ an } 的
公式.
例 1 可以推广到更一般的情形:
问题 1 对任意给定的复数 b, c, 如果数列{ un} 满足条件
un = bun- 1 + c un- 2 ( n 3)
( 4)
并且已知这个数列的前两项 u1 , u2 , 求 un . 仍用 V 表示复数组成的全体数列{ an} 组成的复数域上线性空间. 则满足条件( 4) 的全体数列组成 V
列 , 与等比数列类似可以得到它的通项:
F n- 1 =
n- 1 = A n- 2 = A2 n- 3 =
Fn
= An- 2 1 = An- 2 F1 = An- 2 1 .
F2
1
只要算出了 An- 2 , 就能得到 F n . 为了算出 An- 2 , 利用矩阵相似的理论和方法, 先将 A 相似于尽可能
《线性代数》课程思政的案例及思考
《线性代数》课程思政的案例及思考
1. 案例：
一个公司有三个部门，分别是生产部、销售部和财务部，每个部门都有自己的工作任务，但是三个部门之间也有一定的联系，比如生产部的产品需要销售部去销售，销售部的销售额需要财务部去统计，财务部的财务报表需要生产部和销售部去提供数据。
这个案例可以用线性代数的矩阵来表示，比如可以用一个3×3的矩阵来表示三个部门之间的关系，比如第一行表示生产部和其他部门的关系，第二行表示销售部和其他部门的关系，第三行表示财务部和其他部门的关系，比如：
1 0 1
1 1 0
0 1 1
这个矩阵表示，生产部和财务部有关系，销售部和生产部、财务部都有关系，财务部和生产部、销售部都有关系。
2. 思考：
这个案例可以用来引导学生思考，比如可以让学生思考，如果有四个部门，那么应该如何用矩阵来表示？如果有五个部门，又应该如何用矩阵来表示？这样可以让学生学习如何用矩阵来表示多个部门之间的关系，从而加深对线性代数的理解。
线性代数教学中的实用案例
线性代数教学中的实用案例数学科学系杨晶一、课程与任课教师的基本情况线性代数课程是清华大学理工专业本科生必修的一门数学基础课，与微积分一起是高等教育中最重要的基础数学课程。
线性代数课程教给学生高等数学中的基本概念、方法和思想，是理工科学生进一步学习更多科学技术知识的数学基础课与先修课。
因此，线性代数课程属于“量大面广”的硬课，教师、学生、学生所在院系均非常重视。
线性代数课程面向大一学生开设，分上下两个学期，秋季学期64学时，春季学期32学时。
笔者所教授的班是整个课程组中一个特殊的类型，专门面向双培生与文体特长生，属于因材施教分层教学的试点班级。
2020年春，本课程共20人选课，每周4学时，前8周结课。
作为这门课程的任课教师，笔者独立开授的慕课“简明线性代数”入选国家在线精品课程。
笔者曾获全国高校数学微课程教学设计竞赛精英赛金奖、北京市高等教育教学成果奖二等奖、北京高校第十届青年教师教学基本功比赛一等奖、清华大学教师教学大赛一等奖、清华大学“良师益友”称号，清华大学青年教师教学优秀奖等教学类奖项。
在此次新冠肺炎疫情期间，还担任了清华大学在线教学指导专家组的成员。
二、课程开展在线教学的全局情况1、教学理念与在线教学目标疫情期间，本课程作为清华大学的在线公开示范课，最重要的教学目标和教学理念就是：在老师和学生无法面对面的情况下，把疫情对教学的影响降到最低，以做到在线学习与线下课程教学质量“实质等效”。
更进一步，长远地看，希望疫情期间我们对在线教学的探索和实践，能对“后疫情”时期的线性代数课堂教学产生积极的影响和借鉴。
2、在线教学工具的准备和使用为了保证上述教学思路和目标的实现，必须找到可行的方案，实现实时交互，获取数据，反馈调整，保证质量。
经过2月初的反复测试和讨论，最终确定了线上教学工具和方案。
具体来说，软件方面，采用“zoom会议软件和荷塘雨课堂嵌套”的方式。
其中，zoom会议软件负责即时沟通，共享屏幕并录屏回放；而荷塘雨课堂负责课堂组织（如：签到、点名等），更重要的是充分利用其限时练习题、问卷、弹幕、投稿等功能，及时收集和反馈学生学习成效数据。
线性代数在天气预报中的应用 案例解析
线性代数在天气预报中的应用案例解析线性代数是一门数学分支，与线性方程组、线性变换以及向量空间等概念相关。
尽管它看起来可能与天气预报没有任何关系，但实际上，线性代数在天气预报中有着重要的应用。
本文将通过案例解析，介绍线性代数在天气预报中的具体应用。
案例一：温度预测温度预测是天气预报中最常见的任务之一。
我们常常需要根据过去几天的气温数据，通过建立数学模型来预测未来几天的气温变化。
线性代数提供了一种有效的方法来解决这个问题。
假设我们有一组数据，包含过去7天的气温情况，分别是28°C、25°C、27°C、26°C、29°C、31°C和30°C。
我们将这组数据表示为向量（28, 25, 27, 26, 29, 31, 30）。
为了建立一个能够预测未来气温的模型，我们利用线性代数中的最小二乘法来拟合一条直线。
我们假设直线的方程为 y = a + bx，其中 y 表示温度，x 表示天数。
通过最小二乘法，我们可以求得最佳拟合直线的参数 a 和 b。
根据这个模型，我们可以预测未来几天的温度。
案例二：风向风速预测风向和风速的预测对于许多行业和领域都有着重要的意义，例如风力发电、飞行器安全等。
线性代数也可以应用于风向风速的预测中。
所示：(80°, 3m/s)(90°, 4m/s)(75°, 3.5m/s)(85°, 3.2m/s)(70°, 2.8m/s)我们将这组数据表示为矩阵形式：[80 3][90 4][75 3.5][85 3.2][70 2.8]为了预测未来的风向和风速，我们可以使用线性代数中的回归分析方法。
通过将矩阵进行分解和计算得到的拟合方程，我们可以得到预测模型。
案例三：降水量预测对于农业、水资源管理等领域来说，降水量的准确预测十分重要。
线性代数可以提供一种有效的方法来建立降水量预测模型。
《线性代数》新教材精彩案例(之一)
２ 前
言（ ） 选
有人 说 ， 学 的永 恒 主题 是爱 与死 ． 文 数 学 的永 恒 主 题 是 什 么 ？ 问题 的 答 案 也 许 会 众 说 纷 纭 ， 且 随 着 科 学 的 发 展 而 不 断 变 化 ． 无 论 如 并 但 何 ， 以说 函数与 方程 是数 学 的重 要 主题 ， 少 是 中学 数学 与 大学 数学 的重 要 主题． 可 至
将 方程 组 （ 通过 一系 列初 等行变换 化成 三角形 ： Ｕ）
ｃ卜 ｂ — ＋ （ ） Ｕ ａ一 １， Ｃ ｂ＋ 口一 １， ＋ ６＋ ３ ａ一 １，
眼 ， 高实 现这 种转 化 的能 力 ， 提 这需 要在 长期 的实践 中努 力 ， 不是 仅 仅 通过 几 十 学 时 的课 堂 教 学 就 能做
到的． 是 ， 堂 教 学 至 少 应 当 让 学 生 有 一 个 良 好 的 开 端 和 正 确 的 前 进 方 向 ， 不 要 背 道 而 驰・ 但 课 而 ，
的连 续剧 ． 每个 故 事从 颇具 悬 念 的问题 开 始 ， 解决 问题 的过程 中将所 要学 习 的知识 一 步一 步“ 明” 在 发 出 来． 随着 剧情 的发 展 ， 知识 的 引入 如“ 随风潜 入 夜” 知识 的应用 如“ ， 润物 细无 声 ” 都成 为 自然 而然 的 了． ，
线性 代数 干什 么 ？“ 性 ” 线 就是 “ 次 ” 线 性代 数 的主 要 内容 就 是 研 究 多元 的一 次 方程 组 与 一 次 函 一 ． 数组 ． 次方程 组 也称 线性 方 程 组． 数 项 为 ０的 多 元 一 次 函数 Ｙ—ａ ＋ … ＋ａ ｚ 一 常 ｎ 称 为 线 性 函数 ． 个 元线 性 函数 组成 的函数组 Ｙ 一 ． ＋ … ＋ａ ． （ ≤ ｎ 称为 线性 变换 ． 学非 数学 专业 线 性代 ｚ １ ≤ ） ｚ 大
线性代数 13个应用案例 【李尚志】
(
)
6.空间中平行四边形的面积
已知 n 维直角坐标空间中三点A(a1,…,an), B(b1,…,bn)，O(0,…,0)。求平面OAB中以OA,OB为 一组邻边的平行四边形OACB的面积SOACB。
B C
O
A
相关知识点
1．行列式的性质 2．基变换，坐标变换 3．标准正交基
解题方法
建立新的直角坐标系，利用行列式的几何意 义计算面积。
解题过程
若ã22 = 0，平移坐标系 ~ ~ ~ ~ a13 a11 x ~ x ~ = + ~ 0 ~ y y 化曲线方程为
~ ~ 0 ~ x a11 0 ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 0 ~ x y 0 a23 ~ = 0 y ~ ~ ~ ~ 0 a a33 1 23 此时，曲线为抛物线及其退化情形。
解题过程
在平面OAB上建立以O为原点的平面直角坐标系。 y
B C
O
A
x 在此坐标系下， A = u x + u y, B = v x + v y 1 2 1 2
解题过程
于是，
S OACB u1 = det u 2 v1 v2 v1 v2
u1 u 2 xT u1 = det v v y T (x y ) u 2 1 2 a1 = det b 1 a1 ⋯ an ⋮ ⋯ bn a n b1 ⋮ bn
(x
解题过程
第二步，旋转坐标系 x ~ cos θ ~ = y sin θ 化曲线方程为
~ a11 ~ 1) 0 y ~ a 13
线性代数案例
线性代数案例Cayler-Hamilton 定理【实验目的】1．理解特征多项式的概念2．掌握Cayler-Hamilton 定理 【实验要求】掌握生成Vandermonde 矩阵的vander 命令、求矩阵特征多项式系数的poly()命令、求矩阵范数的norm 命令及矩阵多项式运算的polyvalm 命令 【实验内容】Cayler-Hamilton 定理是矩阵理论中的一个比较重要的定理，其内容为：若矩阵A 的特征多项式为1121)det()(+-++++=-=n n n n n a s a s a s a A sI s f则有()0,f A =亦即11210n n n n a A a A a A a E -+++++=假设矩阵A 为Vandermonde 矩阵，试验证其满足Cayler-Hamilton 定理。
【实验方案】Matlab 提供了求取矩阵特征多项式系数的函数poly()，但是poly()函数会产生一定的误差，而该误差在矩阵多项式求解中可能导致了巨大的误差，从而得出错误的结论。
在实际应用中还有其他简单的数值方法可以精确地求出矩阵的特征多项式系数。
例如，下面给出的Fadeev-Fadeeva 递推算法也可以求出矩阵的特征多项式。
()1111,1,2,...,,,2,...,kk k k k c tr AR k n k R I R AR c I k n--⎧=-=⎪⎨⎪==+=⎩该算法首先给出一个单位矩阵I ，并将之赋给1R ，然后对每个k 的值分别求出特征多项式参数，并更新k R 矩阵，最终得出矩阵的特征多项式的系数k c 。
该算法可以直接由下面的Matlab 语句编写一个()1poly 函数实现：Function c=poly1(A) [nr,nc]=size(A);if nc==nr % 给出若为方阵，则用Fadeev-Fadeeva 算法求特征多项式 I=eye(nc); R=I; c=[1 zeros(1,nc)];for k=1:nc,c(k+1)=-1/k*trace(A*R);r=A*R+c(k+1)*I; endelseif (nr==1 \ nc==1) % 给出为向量时，构造矩阵A=A(isfinite(A));n=length(A) ; % 出去非数或无界的特征根c=[1 zeros(1,n)];for j=1:nc(2:(j+1))=c(2:(j+1))-A(j).*c(1:j);endelse % 参数有误则给出错误信息error (’Argument must be a vector or a square matrix.’)end.【实验过程】>> A = vander([1 2 3 4 5 6 7]);运行结果：A =1 1 1 1 1 1 164 32 16 8 4 2 1729 243 81 27 9 3 14096 1024 256 64 16 4 115625 3125 625 125 25 5 146656 7776 1296 216 36 6 1117649 16807 2401 343 49 7 1 >> A运行结果：aa1 =1.0e+009 *0.0000 -0.0000 -0.0002 0.0287 1.1589 -6.2505 -2.4223 0.0249如调用新的poly1()函数，则可以得出如下的精确结果。
线性代数实践教学案例(2篇)
第1篇一、案例背景线性代数是数学的一个重要分支，它研究向量空间、线性变换以及线性方程组等问题。
线性代数在物理学、计算机科学、经济学、生物学等领域都有广泛的应用。
为了提高学生对线性代数的理解和应用能力，本案例以某高校线性代数课程为背景，通过设计一系列实践教学活动，引导学生将理论知识与实际问题相结合，培养学生的创新思维和实践能力。
二、案例目标1. 让学生掌握线性代数的基本概念、性质和运算方法；2. 培养学生运用线性代数解决实际问题的能力；3. 培养学生的创新思维和实践能力；4. 提高学生的团队协作能力和沟通能力。
三、案例实施（一）实践教学环节设计1. 理论教学与实践教学相结合在教学过程中，将线性代数的理论知识与实际问题相结合，通过案例分析、实验验证、小组讨论等形式，让学生在理解理论的基础上，掌握线性代数的应用方法。
2. 课堂教学与课外实践相结合课堂教学主要讲解线性代数的基本概念、性质和运算方法，课外实践环节主要引导学生运用所学知识解决实际问题，如数学建模、编程实现等。
3. 小组合作与个人探究相结合将学生分成若干小组，每组负责完成一个实践项目。
在小组合作中，培养学生的团队协作能力和沟通能力；同时，鼓励学生进行个人探究，培养学生的创新思维。
（二）具体实践案例1. 案例一：线性方程组的求解（1）理论教学：讲解线性方程组的解法，如高斯消元法、克莱姆法则等。
（2）实践教学：给出一个实际问题，如求解线性方程组，让学生运用所学知识求解。
（3）实验验证：利用MATLAB等软件，验证线性方程组的解法。
2. 案例二：线性变换的应用（1）理论教学：讲解线性变换的基本概念、性质和运算方法。
（2）实践教学：分析一个实际问题，如图像处理、信号处理等，让学生运用线性变换解决。
（3）实验验证：利用MATLAB等软件，实现线性变换的算法。
3. 案例三：矩阵的特征值与特征向量（1）理论教学：讲解矩阵的特征值与特征向量的概念、性质和计算方法。
《线性代数》新教材精彩案例(之二)
（
程 组写 成 向量形 式
２ ） （ ） 解 得（一 （ ， 之 。 ）
。 ） ．
因此 ， ７ 点 （ ｙ ） 与 个 ｚ ， 总体 上最 接近 的直 线是 ｙ 一１ ０ ６ ３ ＋４ ８ ２ ． 一 ．４ ４ｘ ． １５ 例 ｌ中的方 程组 （ ． ） 例 ２中的（ ． 都 没有 确 精解 ， 它们 的近 似解 使 “ ３ １与 ３ １） 求 总体 误 差 ” 小 ． 方 最 将 ＋ 一ｃ 就化 成一 个几 何 问题 ： 口 一Ｏ ｎ 一Ｏ 所 生成 的平 面 丌上 求 一 ， 在 Ａ 与 Ａｚ
与 口 一Ｏ Ａ ＋ｈ ， ａ 求
（． ） ３ ２ 的几 何意 义是 ： 三维几 何 向量 ｃ ห้องสมุดไป่ตู้ 一 表 示 成 ｎ ＝
线性 组 合系数 ｋ ｂ Ｏ Ｏ ，． Ａ ， Ａ 的全体 实系 数线 性组 合０户 应 的点 Ｐ 组 成 过 ０， Ａ 对 Ａ ， 的平 面 丌 方 程 组 ．
函数 Ｙ一尼 ＋６近似地 表示 ． ｚ 待定 系数 ｋ ｂ 足方程 组 ，满
ｆｘｌ 一Ｙ１ ｋ ＋６ ，
； （ ． ３ １）
ｌ ｘ７ ｂ Ｙ ＋ — ７ ｋ
写 成 向 量 形 式 和 矩 阵 形 式 ， 别 是 分
忌 ＋ ｂ 一 Ｃ １ ａ２ ，
ＡＸ ＝ ｃ，
（ ． ３２）
ｄ。 （ ｘ１ ６ Ｙ１ ＋ … ＋ （ ｘ７ ６一 ７ 。 一 ｋ ＋ 一 ） ｋ ＋ ）
第 ４期
李 尚志 ：线性 代数 》 教 材 精彩 案例 （ 二 ） 《 新 之
７
取 最 小 值 ． 沿 用 例 １的 方 法 ， ＡＸ＝ｃ 边 同 时 左 乘 Ａ 得 到 ＡＴ Ｘ —Ａ Ｃ即 仍 将 两 Ａ
_线性代数_新教材精彩案例之一_李尚志
４ ３ ２ ） １ ５ １ ４ １ ３ １ ｎ（ ６ ｎ ＋１ ５ ｎ ＋１ ０ ｎ －１ Ｓ ｎ ＋ ｎ ＋ ｎ － ｎ＝ ． ｎ＝ ５ ２ ３ ３ ０ ３ ０ 例 １ 的一次方程组左边好像一个上宽下窄的三角形 ， 可以由下而上依次求出各未知数的值 ． 如果一
次方程组不是三角形 ， 但可以通过同解变形化成三角形 ， 仍能够仿照例 １ 的方法求解 ． 中学用加减消去法解二元一次方程组 ， 将原方程分别乘常数再相加得到新方程 ， 则原方程组的解都 是新方程的解 ． 一般地 ， 方程组 Ｕ 的各方程分别乘常数再相加到新方程称为方程组 Ｕ 的 线性组合 ． 如果 原方程组 Ｕ 的每个方程也都是新方程组 Ｗ 的线 新方程组 Ｗ 的每个方程都是原方程组 Ｕ 的线性组合 ， 性组合 ， 则方程组 Ｕ 与 Ｗ 同解 ， Ｕ →Ｗ 是同解变形 ． 易见方程组的如下三种变形是同解变形 ， 称为方程组的 初等变换 ． （ ）将第ｉ 个方程与第ｊ 个方程互相交换位置 ， 记为 Ｕ →Ｗ ． ｉ （ ）将第ｉ 个方程两边同乘非零常数λ： ｉ ｉ Ｕ →Ｗ ． （ ）将第ｉ 个方程的λ 倍加到第ｊ 个方程 ： ｉ ｉ ｉ Ｕ →Ｗ ． ） （ ） ， （ ） ， （ ） ， ） 例 ２ 二次函数 ｙ＝ｆ（ 的图象经过三个已知点 求 ｆ（ ｘ １， １ ２， ２ ３， ０ ４ ．
烄 １ ０
） ） ， ） ） －（ １ ＋（ ２ －（ １ ＋（ ３
烄 １ １ １
１烌
０ 烆 －２ ０烌 ２ －３ 烎
２ ８ －１ 烎
烄 １ ０ ０
－３烌 １ １ ２ ． ３ ２烎
→ ０ １ ３ ０ 烆
烄 ｃ
（ ） ） ， ） ） －２ ２ ＋（ ３ －（ ２ ＋（ １
３ ａ ａ ０ ａ ０， ３ －６ ４ ＋１ ５＝ ４ ａ ０ ａ ０， ４ －１ ５＝ ５ ａ １． ５＝
2024版《线性代数》课程思政教学设计案例
《线性代数》课程思政教学设计案例目录•课程思政背景与目标•课程内容与思政元素融合•教学方法与手段创新•教学过程设计与实施•教学效果评估与反思•课程思政建设展望与挑战课程思政背景与目标线性代数课程注重培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和空间想象能力，是理工科学生必修的数学基础课程之一。
线性代数课程的知识点相互关联，层层递进，需要学生具备扎实的数学基础和较强的思维能力。
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性方程组、矩阵、线性空间等内容，具有高度的抽象性和广泛的应用性。
线性代数课程特点思政教育与线性代数课程的融合，有助于培养学生的综合素质和创新能力，促进学生的全面发展。
线性代数课程中蕴含着丰富的思政教育资源，如爱国主义情怀、职业道德、人文素养等，通过挖掘这些资源，可以引导学生树立正确的世界观、人生观和价值观。
将思政教育融入线性代数课程，可以帮助学生更好地理解数学知识的本质和意义，激发学生的学习兴趣和动力，提高学生的学习效果。
思政教育融入意义教学目标与要求知识与技能目标掌握线性代数的基本概念、基本理论和基本方法，能够运用所学知识解决实际问题。
过程与方法目标通过线性代数课程的学习，培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和空间想象能力，提高学生的自主学习能力和创新能力。
情感态度与价值观目标引导学生树立爱国主义情怀，增强民族自豪感和自信心；培养学生的职业道德和人文素养，提高学生的综合素质和社会责任感。
同时，要求学生具备严谨、求实的科学态度，追求真理、勇于创新的科学精神。
课程内容与思政元素融合强调矩阵理论的严谨性和逻辑性，培养学生追求真理、勇于探索的精神。
通过矩阵的运算性质，引导学生理解团队合作、协同发展的重要性。
结合矩阵在实际问题中的应用，如图像处理、数据分析等，激发学生关注国家科技发展和社会进步的热情。
矩阵理论中的思政元素线性方程组求解中的思政元素通过线性方程组的求解过程，培养学生解决问题的能力和毅力。
线性代数的应用案例
已知不同商店三种水果的价格、D 「10|(4 5迅10卫.10.152.303.050.20 =」1.652.100.10 」 -此结果说明，人员A 在商店A 购买水果的费用为 2.30，人员A 在商店B 购买水果的费用为3.50，人员B 在商店A 购买水果的费用为 此结果说明，城镇案例一不同人员需要水果的数量以及不同城镇不同人员的数目的矩阵:商店A 商店B苹果- 0.10 0.15] 橘子 0.15 0.20梨' 0.10 0.10一苹果橘子梨人员A 5 10 3 人员B ||45 5人员A 人员B城镇 1 1000 500 城镇 2 1(2000 1000第一个矩阵为A ，第二个矩阵为 B ,而第三个矩阵为 C 。
(1) 求出一个矩阵，它能给出在每个商店每个人购买水果的费用是多少?(2) 求出一个矩阵，它能确定在每个城镇每种水果的购买量是多少？解：(1 )设该矩阵为D ，则D=BA ，即:1.65，人员B 在商店B 购买水果的费用为2.10。
(2)设该矩阵为E ，贝U E=CB ，即:1000 500 5 10 3七000 1000_|〔4 5 5- 7000 12500 5500 *4000 25000 11000一1苹果的购买量为7000，城镇1橘子的购买量为12500，城镇1梨的购 买量为5500 ;城镇2苹果的购买量为14000，城镇2橘子的购买量为 25000，城镇2梨的 购买量为11000。
题后说明：这是一个矩阵的具体应用问题。
其实很显然在没有矩阵的知识前，我们也可以解出这一简单的问题。
此题的一般提法是：现有两个城镇（城镇1和城镇2）;城镇1中有人员A（1000人）和人员B（500人），城镇2中有人员A（2000人）和人员B（1000人）；人员A需苹果、橘子和梨分别5、10和3，而人员B需苹果、橘子和梨分别4、5和5;现不妨假设每个城镇中都有两个商店（商店A和商店B），每个商店内的苹果、橘子和梨的价格均不相同。
让抽象变得自然线性代数精彩案例
向量方向的变化
选取特征向量为基
计算案例: 若当标准形
网上资源
精品课程国家级
数学实验(2003),线性代数(2004)
2006申报精品课程 国家级
联系办法: lisz@
利用基本性质计算 n 阶行列式
(3.1) 当 i1,i2,…,in 中有两个相等时， 这样的项可以从 (3.1) 中去掉。只剩下 i1,i2,…, in 两两不相等的项, (3.1)中的 变成对1,2,…,n 的 全体排列 (i1,i2,…, in ) 求和，成为：
(3.2)
以下只须对每个排列
求
微积分中的代数模型
• 物理: 以匀速代变速 • 几何: 以直代曲 • 代数: 以线性代非线性
线性化--微分与导数
• y = f(x) 在a的微分：
• • • • • • • Dy= f(x)-f(a) ≈ 线性函数 dy = kDx 误差 q = Dy-dy 是 Dx = x-a 的高阶无穷小. 导数 f ’(a) = 一次项系数 k . 一次函数逼近 f(x) ≈ f(a) +f’(a)(x-a) 误差集合 o(Dx) ：Dx 的高阶无穷小 非零作零貌似零: q+q = q, q-q = q, aq= q. 同余式 f(x) ≡ f(a) +f’(a)(x-a) （mod o(Dx) ）
子空间概念的应用
4 阶幻方构造法 4x +
同加1
随风潜入夜:概念的引入
方程个数的真与假
方程组 有几个方程？
3个? 2个?
某个方程是其余方程的线性组合 线性相关
极大线性无关组，秩
• 方程组线性相关 • 有多余的方程（是其余方程的线性组 合） • 删去多余的方程 ---- 打假 • 将打假进行到底 • 极大线性无关组 • 剩下的方程的个数---- 秩rank
2024版《线性代数》课程思政教学设计的两个案例
《线性代数》课程思政教学设计的两个案例目录•课程思政教学背景与意义•案例一：结合历史人物故事进行思政教育•案例二：利用实际问题探讨社会责任意识培养•教学方法与手段创新•考核方式改革及评价标准制定•总结与展望01课程思政教学背景与意义线性代数涉及大量抽象概念，如向量空间、线性变换等，需要学生具备较强的抽象思维能力。
高度抽象性广泛应用性严密逻辑性线性代数作为数学的一个重要分支，在自然科学、社会科学、工程技术等领域都有广泛应用。
线性代数课程强调逻辑推理和证明，有助于培养学生的逻辑思维能力和数学素养。
030201线性代数课程特点思政教育融入线性代数课程必要性落实立德树人根本任务将思政教育融入线性代数课程，有助于实现全员全程全方位育人，落实立德树人根本任务。
培养学生正确价值观通过在线性代数课程中融入思政教育元素，可以引导学生树立正确的价值观、世界观和人生观。
提高学生综合素质思政教育不仅关注学生的知识传授，还注重学生的能力培养和素质提升，有助于提高学生的综合素质。
通过线性代数课程的学习，培养学生追求真理、尊重科学、勇于创新的价值观念。
价值观引导学生认识数学与自然界的内在联系，理解数学在认识世界和改造世界中的重要作用，树立正确的世界观。
世界观鼓励学生将所学的线性代数知识和方法应用于实际问题的解决中，培养学生积极向上、勇于探索的人生态度。
人生观培养学生正确价值观、世界观和人生观02案例一：结合历史人物故事进行思政教育选取具有代表性历史人物故事01选择在数学或科学领域有杰出贡献的历史人物，如华罗庚、陈景润等。
02讲述他们为数学或科学事业奋斗的故事，包括他们的成长经历、学术成就以及为国家和社会做出的贡献。
挖掘故事背后所蕴含思政元素强调历史人物的爱国情怀和民族精神，如华罗庚在困难时期坚持数学研究，为国家的科学事业做出贡献。
突出历史人物的科学精神和创新精神，如陈景润在数论领域的突破性研究，展现了他对数学科学的追求和勇于创新的精神。
《线性代数》课程思政
《线性代数》课程思政典型教学案例（一）1. 案例名称“Matlab 被禁”事件的启示2. 结合知识点矩阵乘法3. 案例意义以2020年“Matlab 被禁”事件给我们中国社会大众敲响警钟——中国科技的发展更需要依赖于自身实力，未来国产替代进口刻不容缓。
此次事件让我们认识到我们不能将国家和企业的信息安全完全寄托于外国软件的商业道德与自律，加快研发自主可控软件是保证中国信息安全的重要手段。
使学生认识有关线性代数应用的科技发展现况与趋势，培养持续学习的习惯和勇于探索的创新精神，培育学生精益求精的大国工匠精神，激发学生科技报国的使命担当。
4.案例设计与实施（1）教学设计（1.1）总体思路课前要求学生观看教师在泛雅平台开设的湖南省一流本科建设课程《线性代数》在线开放课程视频，并且回答矩阵的乘法与数的乘法有何不同？是否满足交换律？可交换的条件是什么？这一系列问题环环相扣，层层递进，引导学生在回答问题链的过程中还原科学探索路径，并归纳提取抽象的定义和一些重要的结论。
课中内容导入：由国产片《哪吒之魔童降世》导入本章主题，对比国内外动画电影技术，简单概括矩阵相关理论在其中的应用，点出中国技术的快速发展，增强民族自豪感、激发奋斗激情。
同时，简单介绍5G 网络技术.5G 网络技术即第五代移动通信网络技术,其技术基础是极化码。
极化码看起来很复杂,但本质上还是一些矩阵的乘法,教师还可简要介绍人工智能技术以及民营企业之星“华为”的故事。
内容讲解：抓住“矩阵”这一根主线进行教学，从实际问题出发探索矩阵概念的形成、矩阵运算的定义，完成由具体问题到抽象数学符号语言的转化， 从中归纳处相应的数学本质。
在讲解矩阵乘法时介绍案例“Matlab 被禁”事件，强调科技报国和工匠精神。
课堂测验：采用学习通在线测试，检验学生课堂学习效果。
通过课后作业和思考题的形式复习巩固课堂所学知识点；设置在线问卷，了解学情。
（1.2）思政设计知识点精讲：矩阵的乘积：设()ij m s A a ⨯=矩阵，()ij s n B a ⨯=矩阵，即：课后111221222112s m m ms s a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 121222122111n n s s sn b b b b B b b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 则定义A 与B 的乘积是一个m n ⨯的矩阵()ij m n C c ⨯=，记作： ()ij m n AB C c ⨯==其中，1122ij i j i j is sj c a b a b a b =+++1(1,2,,;1,2,,).sik kj k a b i m j n ====∑ （ij c 等于A 第i 行的所有元素与B 的第j 列的对应元素乘积的和） 几点说明① 相乘条件： 左矩阵A 的列数等于右矩阵B 的行数；② 相乘方法：——乘积C 矩阵的元素ij c 等于左A 的第i 行与右B 的第j 列的对应元素乘积的和）；③ 相乘结果：——乘积C 矩阵的行列数，分别取自左A 的行数，右B 的列数。
《线性代数》课程思政的案例及思考
2、提高教师素质：加强教师的政治素养和人文素养培训，使其具备将思政 教育融入专业课程中的能力。同时，可以邀请一些专家学者进行授课或讲座，为 教师提供更多的学习机会和交流平台。
3、学生需求：学生的个体差异和需求，有针对性地进行教学。同时，可以 增加一些互动环节和实践环节，让学生更好地参与到课程中来，提高学生的学习 积极性和主动性。
二、案例分析
1、案例一：数学之美
在《线性代数》课程中，矩阵是重要的概念之一。教师可以通过介绍一些有 趣的矩阵变换，如通过矩阵变换生成图像、文字等，让学生感受到数学之美。同 时，教师还可以引导学生思考这些变换背后的哲学意义，培养学生的审美意识和 创新思维。
2、案例二：逻辑思维与批判性 思维
在讲解线性方程组时，教师可以引导学生通过观察、归纳、推理等方式，自 主发现规律，从而培养学生的逻辑思维和批判性思维。同时，教师还可以通过一 些实际案例，让学生了解这些思维方式在解决实际问题中的应用，从而增强学生 的社会责任感和解决问题的能力。
1、深入挖掘思政教育元素。在深入理解线性代数课程内容的基础上，从课 程中挖掘出与思政教育相关的元素，如矩阵的行列式计算可以与国家的经济发展 起来，矩阵的初等变换可以与社会的变革起来等。
2、设计具有代表性的教学案例。根据挖掘出的思政教育元素，设计具有代 表性的教学案例。例如，我们可以设计一个关于中国高铁发展的案例，通过高铁 的运营数据来展示矩阵的计算和应用。
线性方程组是线性代数中的一个重要内容，它在实际生活中有着广泛的应用。 例如，在解决环境污染问题时，我们可以建立一个线性方程组来表示不同因素对 环境的影响，并通过求解这个方程组来找到解决问题的最优方案。
在这个案例中，教师可以首先介绍线性方程组的概念和求解方法。然后，通 过一个具体的例子，让学生理解线性方程组在解决问题中的应用。例如，假设我 们面临一个城市交通拥堵的问题，我们可以建立一个线性方程组来表示不同政策 对交通拥堵的影响，并通过求解这个方程组来找到最优的解决方案。
线性代数应用案例
行列式的应用案例1 大学生在饮食方面存在很多问题，多数大学生不重视吃早餐，日常饮食也没有规律，为了身体的健康就需要注意日常饮食中的营养。
大学生每天的配餐中需要摄入一定的蛋白质、脂肪和碳水化合物，下表给出了这三种食物提供的营养以及大学生的正常所需营试根据这个问题建立一个线性方程组，并通过求解方程组来确定每天需要摄入的上述三种食物的量。
解：设123,,x x x 分别为三种食物的摄入量，则由表中的数据可以列出下列方程组12323123365113337 1.1352347445x x x x x x x x ++=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩ 利用matlab 可以求得x =0.27722318361443 0.39192086163701 0.23323088049177案例2 一个土建师、一个电气师、一个机械师组成一个技术服务社。
假设在一段时间内，每个人收入1元人民币需要支付给其他两人的服务费用以及每个人的实际收入如下表所示，问这段时间内，每人的总收入是多少？（总收入=实际收入+支付服务费）解：设土建师、电气师、机械师的总收入分别是123,,x x x 元，根据题意，建立方程组1232133120.20.35000.10.47000.30.4600x x x x x x x x x --=⎧⎪--=⎨⎪--=⎩ 利用matlab 可以求得x =1.0e+003 *1.25648414985591 1.44812680115274 1.55619596541787案例3 医院营养师为病人配制的一份菜肴由蔬菜、鱼和肉松组成，这份菜肴需含1200cal 热量，30g 蛋白质和300mg 维生素c ，已知三种食物每100g 中的有关营养的含量如下表，试求所配菜肴中每种食物的数量。
解：设所配菜肴中蔬菜、鱼和肉松的数量分别为123,,x x x 百克，根据题意，建立方程组12312312360300600120039630906030300x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩利用matlab 可以求得x =1.521739130434782.3990.65217391304348矩阵的应用案例1 矩阵概念的引入 （1）线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数(,1,2,,),(1,2,,)i j j a i j n b j n ==按原来的位置构成一数表11121121222212n n n n nnn a a a b aa ab a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦该数表决定着上述方程组是否有解，以及如果有解，解是什么等问题，因而研究这个数表就很重要。
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最后一行为零 各列线性相关. 线性代数新教材精彩案例
案例3.5 惟一解公式(Crammer)
xa+yb=0 有非零解 (x,y).
• 三向量a,b,c共面 一个是另两个的线性组合
xa+yb+zc=0 有非零解 (x,y,z)
• 推广到 n 维向量 • 线性相关: • 线性无关:
有非零解 只有零解
若有解必惟一
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案例3.1 二阶行列式:几何定义
解方程组 OB顺时针方向旋直角到 与方程两边作内积消去y， 得
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案例2.1 方程组惟一解问题
• 例1.过已知点 • 的多项式函数曲线 • 方程组的解是否惟一:
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方程组惟一解问题
• 例2.已知电压与各电阻,求各段电流
：方程组总有惟一解吗？
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案例2.2 n=2,3的几何解法
成的行列式,经s次两列互换为d (123)=1. • n 阶行列式 D=
• 排列
经s次对换变成
•则
•在
中将1,2,…依次往前一步步换到第
1,2, … 位.则 s = 逆序数
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案例3.4 行列式判定线性无关
• 方阵A的行列式(n维体积) D ≠ 0 各列线性无关方程组Ax=b有惟一解。
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5、线性代数之教学任务
• 学会少量算法，解决大量问题 • 各种问题转化(凌波微步)少量算法 • 无招胜有招 • 如何实现：通过有招学无招 • 积累案例，使用案例 • 案例：阳春白雪下里巴人 • 抽象数学贴近生活，喜闻乐见，易学易用
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博客与视频
比梦更美好, 名师培养了我 数学家的文学故事 数学聊斋, 数学诗选 视频: 李尚志 访谈:教育人生—数学的草根本色
是平行四边形OAPB有线性向代数面新教积材精.彩称案例为二阶行列式。
利用基本性质计算 2 阶行列式
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案例3.2 三阶行列式
几何定义：D=a ·(b×c) 平行六面体有向体积 利用基本性质计算：
=
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案例3.3 n阶行列式定义
• 3阶算法： • 各=(列-1取)s.不d同(ij行k)元是素自a然i,b基j,c列k相向乘量再ei乘,edj,(iejkk排)
已出版教材 李尚志, 线性代数(数学专业用),
高等教育出版社,2006.5
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精品课程网页
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案例1.1 解n元一次方程组
• 与中学接轨：加减消去法 • 各方程乘常数再相加 = 线性组合 • 原方程组解新方程解原方程解? • 怎样保证:变形前后互为线性组合! • 怎样实现:初等变换,高斯消去法。 • 只计算系数:矩阵消元. • 只用到加减乘除:数域
• 记A的线性组合 b
为乘积形式
•则 • (3) • k个m维数组Xj线性相关 bj线性相关 • A,B互为线性组线合性代且数新教线材精性彩案例无关 m=k
案例4.2 矩阵乘法的引入
• 矩阵 A=(a1,…, am) 看成列向量组 • 线性组合 a1x1+…+anxn 写成 “行向量”A乘
列向量 X
• 以n=3为例:
• 左边第2列乘-y,第3列乘-z,各加到第1列 • 再提取公因子x,得 xD=D1 x=D1/D. 类似可得 y=D2/D, z=D3/D.
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案例4.1 秩与维数的惟一性
• 向量组 A=(a1,…, am) 的线性组合
B=(b1,…,bk) . k>m
B 线性相关.
矩阵运算解决 几何解 • 方程组几何描述代数语言描述
矩阵运算求解
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• 几何 PK 代数 • 几何好看不好算 • 代数好算不好看 • 几何代数: 帮助计算 • 代数几何：帮助理解
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3、线性代数之易
• 内容: 最简单的方程 ---- 一次方程
•
最简单的函数 ---- 一次函数
CCTV1见证与亲历:首博诞生记
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网上资源
精品课程国家级 数学实验(2003),线性代数(2004) 教育部
线性代数(非数学专业)(2006) 高等数学 (2008) (郑志明)
联系办法:
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新书介绍 数学的神韵
科学出版社 2010.4
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• 算法少：只有两个
• (1) 矩阵初等变换，(2) 矩阵乘法。
• 通过初等矩阵相互转化 1 . 5 个
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4、线性代数之难:抽象
• 不怪抽象，不怪学生 • 怪谁：只为考试死记硬背，不解决问题 • 解方程组只会用中学代入法; 判定方程
组解的惟一性不会用线性无关; 算旋转 不会用矩阵乘法; 算旋转轴不会用特征 向量; …… • 抽象=许多不同事物共同点=难得糊涂 • =放之四海皆准=无招胜有招
• A与矩阵X=(X1,…, Xk)的乘积: A乘各列 • AX=A(X1,…,Xk)=(AX1,…,AXk) • 实际上是利用分块运算引入矩阵乘法
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二元一次方程组的几何意义
写成向量形式
惟一解条件: OA,OB 不共线 , 组成平面上一组基
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案例2.3. n元方程组几何解释
用各aj 线性组合 b,何时系数惟一？
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案例2.4 共线共面概念推广
• 几何概念难推广，用代数运算描述易推广
• 两向量a,b共线
一个是另一个的实数倍
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一、 指导思想
• 1、主题
• 文学: 永恒主题 = 爱 + 死 ?
• 数学: 重要主题 = 方程+函数 • 微积分: 非线性线性 • 线性代数: 多元一次方程组+
多元一次函数组
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2、代数几何熔一炉
• 空间解析几何 = 3 维线性代数 • 线性代数 = n 维解析几何 • 空间为体，矩阵为用 • 几何问题矩阵语言描述