(完整版)数列极限四则运算法则的证明
极限的四则运算(数列极限、函数极限)
a
k
,lim(C n
an)
Ca
。
例1、已知 lnim(6an bn ) 11 lnim(3an 2bn ) 7
求 lnim(2an bn ) 的值。
解:2an+bn=
1 15
(6an-bn)+
8 15
(3an+bn),
∴ lnim(2an bn )
3)
lim (
x
x3 2x2 1
x2 2x
) 1
KEY:1) 0(分子分母同除以x4); 2)0(分子有理化) 3)1/4(通分)
例3、(1)求
lim
x1
2x2 x3
x 1 2x2 1
的值。
x2 1
(2)求
lim
x1
2x2
x 1
的值
(见课本P87,注意其中的说明。)
3 5
( 2)n1 5
[1 ( 2)n ] 5
2
3 [(2)n1 55
( 2)2n1] 5
∴
lim
n
Tn
3 5
[ 1
1
2
5 1
4
]
3 (5 10) 5 . 5 3 21 7
5 25
例5、有一个边长为1的正方形,以其四边中点为顶点画 第二个正方形,再以第二个正方形的四边中点为顶点画
=
lim[ 1 n 15
(6an
bn
)
185(3an
2bn
)]
=
1 15
×11+
185×(-7)
第05讲收敛数列性质 四则运算
<
1 2 n n2 1
n (1 n) 1 2 n > 1 2 n 2 2 2 2 2 2 n n n 1 n 2 n n n n n n (1 n) (1 n) 1 2 2 夹挤定理 lim lim 2 n n 2 1 n n n 2 1 2 n 1 lim ( 2 2 2 ) n n 1 n 2 n n 2
即 a yn a ,
已知 n N '时, 有
a z n a ,
yn xn z n
a yn x n z n a ,
即 xn a 成立,
lim x n a .
n
特别的若
a xn zn , 且 lim zn a.
n n
lim zn a ,
n
那么数列 x n 的极限存在, 且 lim x n a .
准则1 证
0,
当 n N 1时恒有 y n a , 0 , 使得 n 又 zn a , 当 n N 2时恒有 z n a ,
lim yn a N
P29 LT7
1 1 求 lim( 2 2 2 ). n n 1 n 2 n n
n n n
2
1
解
1 n 1
2
1 n n
2
n n2 1
n 又 lim lim 2 n n n n
1 1 1 n
1,
由夹挤定理
1 n2 n
lim
n n 1
n n
lim xn a xn n . 当 lim yn b 0时, lim n yn lim yn b n
高中数学优质课 课题:数列极限的四则运算
n
n2
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
lim n 1 1 n 2n 2
思考:对比解1、解2,判断哪种解法正确,并分析原因
注: 极限的运算法则只能推广到有限多项, 当项
数无限时,要先求和(或积)再求极限
巩固练习:
求下列极限
2 4 6 2n
(1) lim n
n
an
)
lim
n
C
lim
n
an
Ca
应用举例:
例1 求下列极限
(1)
1
lim (
n
n
2
2) n
3n 2 (2) lim
n n
(3)
lim
n
2n2 3n2
n 2
(4)
lim
n
3n3 2n4
n n2
((43①是次21))数若分分高子nlnlinimim子于与m一分分分223般(33nn母子nn母n地1n24232的的中,2次次n最2n当nn22数数高分)相,3ln次nl子iinlmmnli同这inl项m分mi0lnmi2(,个3m的母32nl22n3这分in3系是m2n个n式1关数2n12nln2nlni2n1ni1m分在1)nlm于之2i3mn式n比lnn21ninl的ln3在minnli;1mimm3的nlnlniimm(n2②00多3(的322((若项0极2n30nl3分n0式的限i21nm20母时极是n))n11203,限n的220))0
课题:数列极限的四则运算
复习 回顾
函数极限的四则运算法则:
如果 lim f (x) a, lim g(x) b,那么
极限四则运算
函数极限的四则运算: 如果
lim
x x0
f ( x) a
lim g ( x ) b 那么
x x0
lim [ f ( x ) g ( x )] a b
x x0
lim [ f ( x ) g ( x )] a b
x x0
lim
x x0
x x0
f ( x) a ( b 0) g ( x) b
0 lk l l 1 a0n a1n al a0 l k lim k 1 b0 b n b n b n 0 k 1 k 不存在 l k
练习:P88 1,2
例3:求下列极限
P90
1, 2
1 2 3 n 1/2 lim n 4 7 3n 1 ] lim [ n ( n 1) n ( n 1) n ( n 1)
n 2
n
3/2
1/3
1 1 1 ] lim [ 1 4 4 7 ( 3n 2)( 3n 1)
n
x ax 3 例4: 已知 lim b, 求常数a , b的值 x 1
2 x 1
a=-2;b=-4
例5: 在半径为R的圆内接正n边形中,r 是边心距,
2 2 3 3 4
下去, 试求点P的极限位置。
作业:练习:P91
P4 P5
O
4a 2a , 5 5
P1 x
;/ 清货公司 ;
去?怎么才能去雨帝部落?" 夜妖娆虽然依旧静静の坐着,但是内心却是早已飞到数万里外の雨帝部落.这地方她是一刻也不想待下去了. "吱呀!" 石门打开了,走进来一些妖yaw女子,蛇一样の娇躯随着行走不断の扭
数列极限四则运算法则的证明
数列极限四则运算法则的证明work Information Technology Company.2020YEAR数列极限四则运算法则的证明设limAn=A,limBn=B,则有法则1:lim(An+Bn)=A+B法则2:lim(An-Bn)=A-B法则3:lim(An·Bn)=AB法则4:lim(An/Bn)=A/B.法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数)(n→+∞的符号就先省略了,反正都知道怎么回事.)首先必须知道极限的定义:如果数列{Xn}和常数A有以下关系:对于ε>0(不论它多么小),总存在正数N,使得对于满足n>N的一切Xn,不等式|Xn-A|<ε都成立,则称常数A是数列{Xn}的极限,记作limXn=A.根据这个定义,首先容易证明: 引理1: limC=C. (即常数列的极限等于其本身)法则1的证明:∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n>N₁时恒有|An-A|<ε.①(极限定义)同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n>N₂时恒有|Bn-B|<ε.②设N=max{N₁,N₂},由上可知当n>N时①②两式全都成立.此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|≤|An-A|+|Bn-B|<ε+ε=2ε.由于ε是任意正数,所以2ε也是任意正数.即:对任意正数2ε,存在正整数N,使n>N时恒有|(An+Bn)-(A+B)|<2ε.由极限定义可知,lim(An+Bn)=A+B.为了证明法则2,先证明1个引理.引理2:若limAn=A,则lim(C·An)=C·A.(C是常数)证明:∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N,使n>N时恒有|An-A|<ε.①(极限定义)①式两端同乘|C|,得: |C·An-CA|<Cε.由于ε是任意正数,所以Cε也是任意正数.即:对任意正数Cε,存在正整数N,使n>N时恒有|C·An-CA|<Cε.由极限定义可知,lim(C·An)=C·A. (若C=0的话更好证)法则2的证明:lim(An-Bn)=limAn+lim(-Bn) (法则1)=limAn+(-1)limBn (引理2)=A-B.为了证明法则3,再证明1个引理.引理3:若limAn=0,limBn=0,则lim(An·Bn)=0.证明:∵limAn=0, ∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n>N₁时恒有|An-0|<ε.③(极限定义)同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n>N₂时恒有|Bn-0|<ε.④设N=max{N₁,N₂},由上可知当n>N时③④两式全都成立.此时有|An·Bn| =|An-0|·|Bn-0| <ε·ε=ε².由于ε是任意正数,所以ε²也是任意正数.即:对任意正数ε²,存在正整数N,使n>N时恒有|An·Bn-0|<ε².由极限定义可知,lim(An·Bn)=0.法则3的证明:令an=An-A,bn=Bn-B.则liman=lim(An-A)=limAn+lim(-A) (法则1)=A-A (引理2) =0.同理limbn=0.∴lim(An·Bn)=lim[(an+A)(bn+B)]=lim(an·bn+B·an+A·bn+AB)=lim(an·bn)+lim(B·an)+lim(A·bn)+limAB (法则1)=0+B·liman+A·limbn+limAB (引理3、引理2)=B×0+A×0+AB (引理1) =AB.引理4:如果limXn=L≠0,则存在正整数N和正实数ε,使得对任何正整数n>N,有|Xn|≥ε.证明:取ε=|L|/2>0,则存在正整数N,使得对任何正整数n>N,有|Xn-L|<ε.于是有|Xn|≥|L|-|Xn-L|≥|L|-ε=ε引理5: 若limAn存在,则存在一个正数M,使得对所有正整数n,有|An|≤M.证明:设limAn=A,则存在一个正整数N,使得对n>N有|An-A|≤1,于是有|An|≤|A|+1,我们取M=max(|A1|,...,|AN|,|A|+1)即可法则4的证明:由引理4,当B≠0时(这是必要条件),正整数N1和正实数ε0,使得对正整数n>N1,有|Bn|≥ε0.由引理5,又正数M,K,使得使得对所有正整数n,有|An|≤M,|Bn|≤K.现在对ε>0,正整数N2和N3,使得:当n>N2,有|An-A|<ε0*|B|*ε/(M+K+1);当n>N3,有|Bn-B|<ε0*|B|*ε/(M+K+1);现在,当n>max(N1,N2,N3)时,有|An/Bn-A/B|=|An*B-Bn*A|/|B*Bn|=|An(B-Bn)+Bn(An-A)|/|B*Bn|≤(|An|*|B-Bn|+|Bn|*|A-An|)/(|B|*ε0)≤ε(M+K)/((M+K+1)<ε法则5的证明:lim(An的k次方)=limAn·lim(An的k-1次方) (法则3) ....(往复k-1次) =(limAn)的k次方=A的k次方.。
数列的极限
limlim3
n n
2
-nlinlmimn2n212
3 2 0 0 3
变式练习:
(1)已知lim an2 n n 3n2 b
=2 , 求a的值
(6
)
(2)求lim x
2x2 3x2
x 2
2
的极限(
3
)
(3)
若
lim (2x
x
ax2
2x 2) 1 bx
n2
(2) lim[ 1 1 1
1
]
n 2 5 58 811
(3n 1) (3n 2)
小结与反思:
1、本节知识结构
函数的极限
函数极限的四则运 算法则
数列的极限
数列极限的四则运 应用
算法则
求分式的极限 求无限项和的极限
2、思想方法反思
(1) 一般地,当分子分母是关于n的的多项式时,①若分子分母的
优质课评选
课题:数列极限的四则运算
授课人:刘殿仓
复习 回顾
函数极限的四则运算法则:
如果 lim f (x) a, lim g(x) b,那么
xx0
xx0
lim [ f (x) g(x)] a b lim [ f (x) g(x)] a b
xx0
xx0
lim f (x) a (b 0) xx0 g(x) b
,则a=__-_4__b=_2______
注:
求 x 的函数极限问题转化为求 n 的数
列极限问题
例2
求
lim
n
1
2
3 n2
_极限的性质与四则运算法则
二、四则运算法则
根据极限的定义, 只能验证某个常数 A是否为某个函数 ƒ(x)的极限, 而不能求出函数ƒ(x)的极限. 为了解决极限的计 算问题, 下面介绍极限的运算法则; 并利用这些法则和一些 已知结果来求函数极限。 定理 设 lim f ( x ) A , lim g( x ) B, 则
备忘 a0b0 0时,
an x n an 1 x n 1 a0 lim x b x m b x m 1 b0 m m 1
0 an bm
nm nm nm
消极大公因子法对分子、分母含指数形式也适用。
例
注
(2) n 3 n 求极限 lim 。 n 1 n 1 n ( 2) 3
当x→-∞时结果为-(a+b),故x→∞ 时极限不存在
x 2 2x 例7 求 lim . x 2 x2
解
x 2 2x x 2 2x 原式 lim x 2 x 2 2x
x 2
lim
x 2 2x
x 2
x 2
1 x
1 x
x 0
。
提 示
答案 不存在。
取t满足xt=1,则 x→0-时t→-∞; x→0+时t→+∞。
7、其他
必要时会用到以前所学的公式或其他计算技巧。
例
答案 练习 答案
1 1 1 求极限 lim 1 2 2 3 n(n 1) 。 n
推论3 如果 lim f i ( x)存在(i 1,2,, n), 则 lim[ f1 ( x) f 2 ( x) f n ( x)]
lim f1 ( x) lim f 2 ( x) lim f n ( x)
极限四则运算法则
DOCS SMART CREATE
极限四则运算法则
DOCS
01
极限四则运算的基本概念
极限的定义与性质
极限的定义
• 数列极限:当自变量趋向某一值时,数列的项趋向另一值
• 函数极限:当自变量趋向某一值时,函数的值趋向另一值
极限的性质
• 极限存在唯一性:如果一个函数在某个点存在极限,那么这个极限是唯一的
DOCS
间接法求解极限的步骤
• 通过已知条件和极限的性质,间接求出极限的值
• 分析已知条件,找出与极限相关的表达式
• 根据极限的性质,将表达式变形
• 求出极限的值
无穷小量与无穷大量在极限运算中的应用
无穷小量的概念
• 当自变量趋向某一值时,函数值趋向于0,但永远无法等于0
无穷大量的概念
• 当自变量趋向某一值时,函数值趋向于无穷大,但永远无法等于无穷
• 将复杂的极限问题转化为导数问题
过求导数的方法求解极限
• 通过洛必达法则求解极限,简化运算过程
对数函数与指数函数在极限运算中的技巧
对数函数与指数函数在极限运算中的性质
• 对数函数的极限:当自变量趋向于无穷大时,对数函数的极限等于无穷小量
• 指数函数的极限:当自变量趋向于无穷大时,指数函数的极限等于无穷大量
对数函数与指数函数在极限运算中的应用
• 利用对数函数和指数函数的性质,简化极限运算
• 通过变换函数形式,将复杂的极限问题转化为简单的极限问题
04
极限四则运算的案例分析
连续函数与间断函数的极限分析
连续函数的极限分析
断续函数的极限分析
• 连续函数在一点的极限等于函数在该点的值
数学分析 第二章21-2数列极限的准则、运算法则
2021/3/22
1
极限存在准则
1.定理3(夹逼准则)
若数列( xn )n1, ( yn )n1,(zn ) 满足下列条件:
(1) yn xn zn (n N),
(2)
lim
n
yn
lim
n
zn
a,
则数列
(
xn
)n1的极限存在,
且
lim
n
xna.Leabharlann 2021/3/222
证 yn a, zn a,(n )
xn
yn
a b.
3.lim xn a , (b 0).
y n n
b
2021/3/22
11
证1 xn a, yn b,(n )
0, N1 0, N2 0, 使得
当 n N1时恒有 xn a ,
当 n N2时恒有 yn b ,
取 N max{ N1, N2 }, 当 n N时, 恒有 上两式同时成立,
M | b | (M | b |)
即lim n
xn
yn
ab
lim
n
xn
lim n
yn
特别地,两个无穷小量的积仍是无穷小量.
更一般,一个有界量与一个无穷小量的积仍
是无穷小量.
2021/3/22
15
证3 xn a, yn b,(n )
0, N1 0, N2 0, 使得
当 n N1时恒有 xn a , 当 n N2时恒有 yn b ,
| (xn yn ) (a b) | | xn a | | yn b | 2
即lim( n
xn
yn )
a
b
数列极限四则运算法则的证明
数列极限四则运算法则的证明数列极限四则运算法则是数学中非常重要的一条定理,它可以帮助我们在进行数列极限运算时更加方便和简化计算。
本文将从定理的定义、证明思路、具体证明过程以及应用等方面进行详细介绍和阐述。
让我们来了解一下数列极限四则运算法则的定义。
数列极限四则运算法则是指在满足一定条件的情况下,对数列的极限进行加、减、乘、除运算,得到的结果仍然是一个数列,并且这个数列的极限等于对原数列的极限进行相应的运算得到的结果。
简单来说,就是对数列的极限进行四则运算,可以直接对数列的极限进行运算,而不需要对数列的每一项进行运算。
接下来,我们来探讨数列极限四则运算法则的证明思路。
证明数列极限四则运算法则的关键在于如何证明对于两个数列极限的和、差、乘积和商,它们的极限分别等于原数列极限的和、差、乘积和商。
我们可以通过数学归纳法来证明这一点,即先证明对于两个数列极限的和,它们的极限等于原数列极限的和,然后再逐一证明差、乘积和商的情况。
然后,让我们来具体证明数列极限四则运算法则。
首先,考虑两个数列{a_n}和{b_n},它们的极限分别为A和B。
我们要证明数列{a_n+b_n}的极限为A+B。
假设存在ε>0,对于任意的N>0,当n>N 时,有|a_n-A|<ε/2和|b_n-B|<ε/2成立。
那么对于n>N,有|a_n+b_n-(A+B)|=|(a_n-A)+(b_n-B)|≤|a_n-A|+|b_n-B|<ε/2+ε/2=ε。
由此可得,数列{a_n+b_n}的极限为A+B。
接下来,我们来证明数列{a_n-b_n}的极限为A-B。
同样地,假设存在ε>0,对于任意的N>0,当n>N时,有|a_n-A|<ε/2和|b_n-B|<ε/2成立。
那么对于n>N,有|a_n-b_n-(A-B)|=|(a_n-A)-(b_n-B)|≤|a_n-A|+|b_n-B|<ε/2+ε/2=ε。
极限四则运算的证明
极限四则运算的证明极限四则运算的证明是基于极限的定义和四则运算的性质来证明的。
对于任意给定的两个数列a_n和b_n,我们可以定义它们的和、差、积和商:1.和:(a_n + b_n) = lim(n→∞)(a_n + b_n)2.差:(a_n - b_n) = lim(n→∞)(a_n - b_n)3.积:(a_n * b_n) = lim(n→∞)(a_n * b_n)4.商:(a_n / b_n) = lim(n→∞)(a_n / b_n)这里用到的是极限的定义,即当n趋近于无穷大时,a_n和b_n 的极限存在且唯一。
同时,我们还需要用到四则运算的性质,即加、减、乘、除四种运算都是有交换律、结合律和分配律的。
对于任意的a、b、c、d四个数,我们可以将它们分别表示为两个数列a_n和b_n的极限:a = lim(n→∞)a_nb = lim(n→∞)b_nc = lim(n→∞)c_nd = lim(n→∞)d_n那么,根据四则运算的性质,我们有:1.a + b = lim(n→∞)(a_n + b_n) = lim(n→∞)a_n + lim(n →∞)b_n = a + b2.a - b = lim(n→∞)(a_n - b_n) = lim(n→∞)a_n - lim(n →∞)b_n = a - b3.ab = lim(n→∞)(a_n * b_n) = lim(n→∞)a_n * lim(n→∞)b_n = ab4.a/b = lim(n→∞)(a_n / b_n) = lim(n→∞)a_n / lim(n→∞)b_n = a/b (假设b不等于0)这个证明过程比较简单,但是它为后续的极限运算提供了重要的基础。
同时,这个证明也揭示了极限和四则运算之间密切的关系,为我们深入理解数学的基本原理提供了帮助。
极限的四则运算
极限四则运算:
定义:所谓的极限四则运算法则:需要具有两个极限同时存在,如果有一个极限自身不存在的时候,四则运算法则无法成立。
性质:唯一性:若数列的极限存在,则极限值是唯一的,且它的任何子列的极限与原数列的相等。
有界性:如果一个数列’收敛‘(有极限),那么这个数列一定有界。
保不等式性:设数列{xₙ} 与{yₙ}均收敛。
若存在正数N ,使得当n>N时有xₙ≥yₙ,则(若条件换为xₙ>yₙ,结论不变)。
和实数运算的相容性:如果两个数列{xₙ} ,{yₙ} 都收敛,那么数列{x ₙ+yₙ}也收敛,而且它的极限等于{xₙ} 的极限和{yₙ} 的极限的和。
其中我们可以设:limf(x)和limg(x)存在
令:limf(x)=A,limg(x)=B,其中,B≠0;c是一个常数
备注:四则运算可以相互带入数值进行互算,第四带入数值B不能为0不然等式不能成立。
数列极限的四则运算
问题2:如果不能看出函数值的变化趋势, 那么怎样才能把问题转化为已知能求的函数 极限?转化的数学方法与依据是什么?
为了解决这些问题,我们有必要给出 函数极限的运算法则:(证明从略)
函数极限的四则运算: 如果
那么
注意:使用极限
运算法则的前提
是各部分极限存
次数相同,这个分式在
的极限是分子与分母中最高次项的系数之
比; ②若分母的次数高于分子的次数,这个分式在
的极限是0
(2) 求
的函数极限问题转化为求
的数列极限问题
(3) 当项数无限时,要先求和(或积)再求极限
Thank you!
数列极限的四则运算: 如果
那么
特别地,如果C是常数,那么
注:上述法则可推广到有限个数列的加,减,乘,除。
几个基本数列的极限:
观察
归纳
(k是常数, 是正整数)
(c为常数)
c=c (c为常数)
例1 、 求下列极限
一般地,当分子分母是关于n的的多项式时,
①若分子分母的次数相同,这个分式在
的极限是分子与分母中最高次项的系数之比;
②若分母的次数高于分子的次数,这个分式
在
的极限是0
变式练习:
(1)已知
=2 , 求a的值 ( 6 )
(2)求
的极限(
)
(3) 若 a=__-_4__b=___2____
,则
注: 求
的函数极限问题转化为求
列极限问题
的数
例题2、求下列极限
(1)
(2)
方法:分子,分母同除以 绝对值 最大的 底数的n次方
Hale Waihona Puke 例3 、思考:对比解1、解2,判断哪种解法正确,并分析原因
【数学课件】数列极限的四则运算(2)
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底,就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭
好好学习,天天向上。 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文
3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力,而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为,教会学生自己教育自己,这是一种
优质课评选
课题:数列极限的四则运算
复习 回顾
函数极限的四则运算法则:
如果 lim f (x) a, lim g(x) b,那么
xx0
xx0
lim [ f (x) g(x)] a b lim [ f (x) g(x)] a b
xx0
xx0
lim f (x) a (b 0) xx0 g(x) b
注: 求 x 的函数极限问题转化为求 n 的数
列极限问题
例2
求
lim
n
1
2
3 n2
n
1 23 n
lim
n
n2
lim
n
1 n2m
n
n n2
000
0
lim 1 2 3 n
n
n2
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
lim n 1 1 n 2n 2
思考:对比解1、解2,判断哪种解法正确,并分析原因
上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方,儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲,最大的乐趣就在于:在其有生之年,能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情,就是爱。教育没有了情爱,就成了无水的池,任你四方形也罢、圆形也罢,总逃不出一个空虚。班主任广博的爱
(完整版)极限四则运算法则
极限四则运算法则由极限定义来求极限是不可取的,也是不行的,因此需寻求一些方法来求极限。
定理1:若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ,则)]()(lim[x g x f ±存在,且)(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±。
证明: 只证B A x g x f +=+)]()(lim[,过程为0x x →,对0,01>∃>∀δε,当100δ<-<x x 时,有2)(ε<-A x f ,对此ε,02>∃δ,当200δ<-<x x 时,有2)(ε<-B x g ,取},m in{21δδδ=,当δ<-<00x x 时,有εεε=+<-+-≤-+-=+-+22)()())(())(()())()((B x g A x f B x g A x f B A x g x f所以B A x g x f x x +=+→))()((lim 0。
其它情况类似可证。
注:本定理可推广到有限个函数的情形。
定理2:若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ,则)()(lim x g x f ⋅存在,且)(lim )(lim )()(lim x g x f AB x g x f ⋅==。
证明:因为B x g A x f ==)(lim ,)(lim ,⇒,)(,)(βα+=+=B x g A x f (βα,均为无穷小))())(()()(αβαββα+++=++=⇒B A AB B A x g x f ,记αβαβγ++=B A , γ⇒为无穷小, AB x g x f =⇒)()(lim 。
推论1:)(lim )](lim[x f c x cf =(c 为常数)。
推论2:n n x f x f )]([lim )](lim [=(n 为正整数)。
函数极限的四则运算法则证明过程
函数极限的四则运算法则证明过程函数极限的四则运算法则是指在计算函数极限时,如果两个函数的极限存在,则它们的和、差、积、商的极限也存在,并且满足一定的运算规则。
下面我们来逐步证明四则运算法则的正确性。
1. 和的极限法则证明:设函数序列{f_n(x)}和{g_n(x)}分别收敛于函数f(x)和g(x),即lim{n→∞}f_n(x) = f(x)和lim{n→∞}g_n(x) = g(x)。
我们要证明lim{n→∞}(f_n(x) + g_n(x)) = f(x) +g(x)。
根据极限的定义,对于任意ε > 0,存在N1和N2,当n>N1时有|f_n(x) - f(x)| < ε/2,当n>N2时有|g_n(x) - g(x)| < ε/2。
取N = max{N1, N2},则当n>N时有|f_n(x) + g_n(x) - (f(x) + g(x))| = |(f_n(x) -f(x)) + (g_n(x) - g(x))| ≤ |f_n(x) - f(x)| + |g_n(x) - g(x)| < ε/2 + ε/2 = ε。
因此,lim{n→∞}(f_n(x) + g_n(x)) = f(x) + g(x)。
2. 差的极限法则证明:类似地,我们可以证明lim{n→∞}(f_n(x) - g_n(x)) = f(x) - g(x)。
3. 积的极限法则证明:要证明lim{n→∞}(f_n(x) * g_n(x)) = f(x) * g(x),我们可以利用极限的乘法法则进行证明。
具体证明步骤略。
4. 商的极限法则证明:对于lim{n→∞}(f_n(x) / g_n(x)) = f(x) / g(x),我们需要额外假设g(x) ≠ 0,以避免出现除以零的情况。
具体证明步骤略。
综上所述,通过以上证明过程,我们可以得出函数极限的四则运算法则的正确性。
在实际计算函数极限时,可以根据这些法则简化计算过程,提高计算的效率。
2.4极限的四则运算(2)
2011-4-10
1+ 2 + 3 +⋯+ n 求 . 例3 、 lim 2 n →∞ n
1+ 2 + 3 +⋯+ n lim n →∞ n2 n 1 2 = lim 2 + lim 2 + ⋯ + lim 2 n →∞ n n →∞ n n →∞ n = 0 + 0 +⋯+ 0 =0
1+ 2 + 3 +⋯+ n lim n →∞ n2 1 n( n + 1) = lim 2 2 n →∞ n n +1 1 = lim = n →∞ 2n 2
0 0
lim [ f ( x)] = lim f ( x) = a n n ∈ N * (2)x→ x ) x → x0 0
n
2011-4-10
n
(
)
2、函数极限的四则运算法则:x → x0 ) 函数极限的四则运算法则: (
+
如果 lim f (x) = a, lim g(x) = b,那么 + +
练习4: 练习 : 化下列循环小数为分数: 化下列循环小数为分数
(1)0.7; (2)0.28.
. . .
注意: 注意 由上知化循环小数为分数,实际上就是求无穷等比 由上知化循环小数为分数 实际上就是求无穷等比 数列的各项之和: 数列的各项之和:
S = lim S n
n→ ∞
a1 ( q < 1) = 1−q
2
lim = n→∞
n 4n 2 + n + 2n
1 1 4+ +2 n
定理27极限的四则运算法则若为收敛数列
lim n
n
a1n a2n amn
max( a1, a2 ,, am )
定理2.7(极限的四则运算法则)若 an 、bn
为收敛数列,则an bn,an bn,an bn 也都收敛,
且有
lnim(an
bn
)
a
b
lim
n
an
lim;
上式仅当a b时才能成立. 故收敛数列极限唯一.
定理2.3(收敛数列的有界性)
如果数列{xn}收敛 则{xn}为有界数列
证
设
lim
n
xn
a,
由定义,
取 1,
则N ,使得当n N时恒有 xn a 1,
即有 xn a 1.
取 M max{ x1 ,, xN , a 1},
a
lim
n
an
b n n
b
lim
n
bn
例4 求极限 lim(1 a an ) (0 a 1) n
例5
求 lim n
am nm bk nk
am1nm1 bk1nk1
a1n a0 b1n b0
其中 m k, am 0, bk 0
定理2.3(收敛数列的有界性)
如果数列{xn}收敛 则{xn}为有界数列 •讨论
1 如果数列{xn}收敛 那么数列{xn}一定有界 发散的数列是否一定无界? 有界的数列是否收敛?
2 数列1 1 1 1, (1)n 的有界性与收 敛如何?
定理2.4(保号性)
子列同为收敛或发散,且在收敛时有相同的极限。
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数列极限四则运算法则的证明
设limAn=A,limBn=B,则有
法则1:lim(An+Bn)=A+B
法则2:lim(An-Bn)=A-B
法则3:lim(An·Bn)=AB
法则4:lim(An/Bn)=A/B.
法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数)
(n→+∞的符号就先省略了,反正都知道怎么回事.)
首先必须知道极限的定义:
如果数列{Xn}和常数A有以下关系:对于∀ε>0(不论它多么小),总存在正数N,使得对于满足n>N的一切Xn,不等式|Xn-A|<ε都成立,
则称常数A是数列{Xn}的极限,记作limXn=A.
根据这个定义,首先容易证明:引理1: limC=C.(即常数列的极限等于其本身)
法则1的证明:
∵limAn=A,∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n>N₁时恒有|An-A|<ε.①(极限定义)
同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n>N₂时恒有|Bn-B|<ε.②
设N=max{N₁,N₂},由上可知当n>N时①②两式全都成立.
此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|≤|An-A|+|Bn-B|<ε+ε=2ε.
由于ε是任意正数,所以2ε也是任意正数.
即:对任意正数2ε,存在正整数N,使n>N时恒有|(An+Bn)-(A+B)|<2ε.
由极限定义可知,lim(An+Bn)=A+B.
为了证明法则2,先证明1个引理.
引理2:若limAn=A,则lim(C·An)=C·A.(C是常数)
证明:∵limAn=A,∴对任意正数ε,存在正整数N,使n>N时恒有|An-A|<ε.①(极限定义)
①式两端同乘|C|,得:|C·An-CA|<Cε.
由于ε是任意正数,所以Cε也是任意正数.
即:对任意正数Cε,存在正整数N,使n>N时恒有|C·An-CA|<Cε.
由极限定义可知,lim(C·An)=C·A.(若C=0的话更好证)
法则2的证明:
lim(An-Bn)
=limAn+lim(-Bn)(法则1)
=limAn+(-1)limBn(引理2)
=A-B.
为了证明法则3,再证明1个引理.
引理3:若limAn=0,limBn=0,则lim(An·Bn)=0.
证明:∵limAn=0,∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n>N₁时恒有|An-0|<ε.③(极限定义)同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n>N₂时恒有|Bn-0|<ε.④
设N=max{N₁,N₂},由上可知当n>N时③④两式全都成立.
此时有|An·Bn|=|An-0|·|Bn-0|<ε·ε=ε².
由于ε是任意正数,所以ε²也是任意正数.
即:对任意正数ε²,存在正整数N,使n>N时恒有|An·Bn-0|<ε².
由极限定义可知,lim(An·Bn)=0.
法则3的证明:令an=An-A,bn=Bn-B.
则liman=lim(An-A)
=limAn+lim(-A)(法则1)
=A-A(引理2)=0.
同理limbn=0.
∴lim(An·Bn)
=lim[(an+A)(bn+B)]=lim(an·bn+B·an+A·bn+AB)
=lim(an·bn)+lim(B·an)+lim(A·bn)+limAB(法则1)
=0+B·liman+A·limbn+limAB(引理3、引理2)
=B×0+A×0+AB(引理1)=AB.
引理4:如果limXn=L≠0,则存在正整数N和正实数ε,使得对任何正整数n>N,有|Xn|≥ε.
证明:取ε=|L|/2>0,则存在正整数N,使得对任何正整数n>N,有|Xn-L|<ε.于是有|Xn|≥|L|-|Xn-L|≥|L|-ε=ε
引理5:若limAn存在,则存在一个正数M,使得对所有正整数n,有|An|≤M.
证明:设limAn=A,则存在一个正整数N,使得对n>N有|An-A|≤1,于是有|An|≤|A|+1,我们取M=max(|A1|,...,|AN|,|A|+1)即可
法则4的证明:
由引理4,当B≠0时(这是必要条件),∃正整数N1和正实数ε0,使得对∀正整数n>N1,有|Bn|≥ε0.
由引理5,又∃正数M,K,使得使得对所有正整数n,有|An|≤M,|Bn|≤K.
现在对∀ε>0, ∃正整数N2和N3,使得:
当n>N2,有|An-A|<ε0*|B|*ε/(M+K+1);
当n>N3,有|Bn-B|<ε0*|B|*ε/(M+K+1);
现在,当n>max(N1,N2,N3)时,有
|An/Bn-A/B|
=|An*B-Bn*A|/|B*Bn|
=|An(B-Bn)+Bn(An-A)|/|B*Bn|
≤(|An|*|B-Bn|+|Bn|*|A-An|)/(|B|*ε0)
≤ε(M+K)/((M+K+1)<ε
法则5的证明:
lim(An的k次方)
=limAn·lim(An的k-1次方)(法则3)....(往复k-1次)
=(limAn)的k次方
=A的k次方.。