(完整版)数列极限四则运算法则的证明

数列极限四则运算法则的证明

设limAn=A,limBn=B,则有

法则1:lim(An+Bn)=A+B

法则2:lim(An-Bn)=A-B

法则3:lim(An·Bn)=AB

法则4:lim(An/Bn)=A/B.

法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数)

(n→+∞的符号就先省略了,反正都知道怎么回事.)

首先必须知道极限的定义:

如果数列{Xn}和常数A有以下关系:对于∀ε＞0(不论它多么小),总存在正数N,使得对于满足n＞N的一切Xn,不等式|Xn-A|＜ε都成立,

则称常数A是数列{Xn}的极限,记作limXn=A.

根据这个定义,首先容易证明:引理1: limC=C.(即常数列的极限等于其本身)

法则1的证明:

∵limAn=A,∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n＞N₁时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义)

同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n＞N₂时恒有|Bn-B|＜ε.②

设N=max{N₁,N₂},由上可知当n＞N时①②两式全都成立.

此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|≤|An-A|+|Bn-B|＜ε+ε=2ε.

由于ε是任意正数,所以2ε也是任意正数.

即:对任意正数2ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|(An+Bn)-(A+B)|＜2ε.

由极限定义可知,lim(An+Bn)=A+B.

为了证明法则2,先证明1个引理.

引理2:若limAn=A,则lim(C·An)=C·A.(C是常数)

证明:∵limAn=A,∴对任意正数ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义)

①式两端同乘|C|,得:|C·An-CA|＜Cε.

由于ε是任意正数,所以Cε也是任意正数.

即:对任意正数Cε,存在正整数N,使n＞N时恒有|C·An-CA|＜Cε.

由极限定义可知,lim(C·An)=C·A.(若C=0的话更好证)

法则2的证明:

lim(An-Bn)

=limAn+lim(-Bn)(法则1)

=limAn+(-1)limBn(引理2)

=A-B.

为了证明法则3,再证明1个引理.

引理3:若limAn=0,limBn=0,则lim(An·Bn)=0.

证明:∵limAn=0,∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n＞N₁时恒有|An-0|＜ε.③(极限定义)同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n＞N₂时恒有|Bn-0|＜ε.④

设N=max{N₁,N₂},由上可知当n＞N时③④两式全都成立.

此时有|An·Bn|=|An-0|·|Bn-0|＜ε·ε=ε².

由于ε是任意正数,所以ε²也是任意正数.

即:对任意正数ε²,存在正整数N,使n＞N时恒有|An·Bn-0|＜ε².

由极限定义可知,lim(An·Bn)=0.

法则3的证明:令an=An-A,bn=Bn-B.

则liman=lim(An-A)

=limAn+lim(-A)(法则1)

=A-A(引理2)=0.

同理limbn=0.

∴lim(An·Bn)

=lim[(an+A)(bn+B)]=lim(an·bn+B·an+A·bn+AB)

=lim(an·bn)+lim(B·an)+lim(A·bn)+limAB(法则1)

=0+B·liman+A·limbn+limAB(引理3、引理2)

=B×0+A×0+AB(引理1)=AB.

引理4:如果limXn=L≠0,则存在正整数N和正实数ε,使得对任何正整数n>N,有|Xn|≥ε.

证明：取ε=|L|/2>0,则存在正整数N,使得对任何正整数n>N,有|Xn-L|<ε.于是有|Xn|≥|L|-|Xn-L|≥|L|-ε=ε

引理5:若limAn存在,则存在一个正数M,使得对所有正整数n,有|An|≤M.

证明：设limAn=A,则存在一个正整数N,使得对n>N有|An-A|≤1,于是有|An|≤|A|+1,我们取M=max(|A1|,...,|AN|,|A|+1)即可

法则4的证明:

由引理4,当B≠0时(这是必要条件),∃正整数N1和正实数ε0,使得对∀正整数n>N1,有|Bn|≥ε0.

由引理5,又∃正数M,K,使得使得对所有正整数n,有|An|≤M,|Bn|≤K.

现在对∀ε>0, ∃正整数N2和N3,使得:

当n>N2,有|An-A|<ε0*|B|*ε/(M+K+1)；

当n>N3,有|Bn-B|<ε0*|B|*ε/(M+K+1)；

现在,当n>max(N1,N2,N3)时,有

|An/Bn-A/B|

=|An*B-Bn*A|/|B*Bn|

=|An(B-Bn)+Bn(An-A)|/|B*Bn|

≤(|An|*|B-Bn|+|Bn|*|A-An|)/(|B|*ε0)

≤ε(M+K)/((M+K+1)<ε

法则5的证明:

lim(An的k次方)

=limAn·lim(An的k-1次方)(法则3)....(往复k-1次)

=(limAn)的k次方

=A的k次方.