实数的运算与大小比较

专题2 实数的运算与大小比较

一、考纲要求

1、理解乘方、幂的有关概念;

2、掌握实数运算法则与运算顺序,能熟练地进行实数的加、减、乘、除、乘方与开方运算,以及简单的混合运算;

3、灵活运用运算律简化实数运算;

4、 会比较实数的大小、

二、知识梳理

1、有理数加、减、乘、除、乘方及其混合运算的运算法则

(1)有理数加法法则:

①同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加、 ②绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值、互为相反数的两个数相加得零、 ③一个数同0相加,仍得这个数、 (2)有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数、 (3)有理数乘法法则: ①两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘、任何数同0相乘,都得0、 ②几个不等于0的数相乘,积的符号由__负因数的个数_决定、当__负因数的个数为奇数时,积为负,当__负因数的个数为偶数时_,积为正、

③几个数相乘,有一个因数为0,积就为_0_、

(4)有理数除法法则:

①除以一个数,等于_乘以这个数的倒数_、_零_不能作除数、

②两数相除,同号得正_,异号得负_,并把_绝对值相除_、 0除以任何一个_非零 的数,都得0

(5) 乘方运算:①=n a a ·a ·a …·a (n 个a 相乘) ,其中a 叫做底数,n 叫做指数、

②正数的任何次幂都就是正数;负数的奇数次幂就是负数,负数的偶数次幂就是正数;0的任何次幂都就是0 ③=0a 1 (其中a ≠0 )=-p a a p 1

(其中a ≠0 且p 就是正整数)

(6)实数的运算顺序:

①先算_乘方、开方,再算乘、除,最后算加、减

②同级运算从左到右,按顺序进行

③如果有括号,就先做括号里面的,按小括号、中括号 、大括号 依次进行、

2、运算律

(1)加法交换律:a +b =b +a 、 (2)加法结合律: (a +b )+c=a +(b +c)、

(2)乘法交换律: ab =ba 、 (4)乘法结合律: (ab )c=a (b c)、

(3)乘法分配律: (a +b )c=a c+b c 、

3、实数大小的比较——常用的几种方法

(1)数轴比较法:数轴上两个点表示的数, 右边 的点表示的数总比 左边的点表示的数大、

(2)代数比较法:正数 大于 0,负数 小于 0,正数 大于 负数;两个负数比较大小,绝对值大的数反而小.

(3)倒数比较法:对任意正实数a 、b 有:

(4)平方比较法:如,因为(23)2 ＜(32)2,所以23＜ 32

(5)求差比较法:设a 、b 就是任意两个数,若a -b >0,则a > b ;若a -b =0,则a = b ,若a -b <0,则a < b 、

(6)求商比较法: 已知a >0、b >0,若

b a >1,则a > b ;若b a =1,则a = b ;若b

a <1,则a <

b 、 (7)近似估算法、特殊值法 三、要点精析

1、提高实数的运算能力,首先要认真审题,理解有关概念;其次要正确、灵活地应用零指数、负整数指数的定义及实数的六种运算法则,根据运算律及顺序,选择合理、简捷的解题途径.要特别注意把好符号关. 在较复杂的运算中,不注意运算顺序或者不合理使用运算律,从而使运算出现错误、

如5÷5

1×5=5÷1=5,正确的算法就是5×5×5=125、

2、实数的各种比较方法,要明确应用条件及适用范围.如:“差值比较法”用于比较任何两数的大小,而“商值比较法”只适用于比较两个正数大小,还有“平方法”“倒数法”等.要依据数值特点确定合适的方法.

四、中考真题与试题精粹

1、(2015安徽省)在－4,2,－1,3这四个数中,比－2小的数就是( )

A.－4

B.2

C.－1

D.3

【答案】A

【解析】

试题分析:根据有理数大小比较的法则直接求得结果,再判定正确选项.

试题解析:∵正数与0大于负数,

∴排除2与3.

∵|﹣2|=2,|﹣1|=1,|﹣4|=4,

∴4＞2＞1,即|﹣4|＞|﹣2|＞|﹣1|,

∴﹣4＜﹣2＜﹣1.

故选:A.

点评:考查了有理数大小比较法则.正数大于0,0大于负数,正数大于负数;两个负数,绝对值大的反而小.

考点:有理数大小比较.

2、(2015安徽省)( )

D.2

【答案】B

【解析】

试题分析:直接利用二次根式的乘法运算法则求出即可.

==

试题解析4

故选:B.

点评:此题主要考查了二次根式的乘法运算,正确化简二次根式就是解题关键.

考点:二次根式的乘除法.

3、(2015安徽省)与1( )

A.4

B.3

C.2

D.1

【答案】B

【解析】

试题分析:由于4＜5＜9,由此根据算术平方根的概念可以找到5接近的两个完全平方数,再估算与

数即可求解.

试题解析:∵4＜5＜9,

3.

又5与4比较接近,

2、

∴与3、

故选:B.

点评:此题主要考查了无理数的估算能力,估算无理数的时候,“夹逼法”就是估算的一般方法,也就是常用方法. 考点:估算无理数的大小.

4、(2014•菏泽,第1题3分)比﹣1大的数就是( )

A、-3

B、

10

9

-C、0 D、-1

【答案】C

【解析】

试题分析:根据零大于一切负数,负数相比较,绝对值大的反而小试题解析.

试题解析:-3、

10

9

-、0、-1四个数中比﹣1大的数就是0.

故选C.

点评:本题考查了有理数的大小比较,就是基础题,熟记大小比较方法就是解题的关键.

考点:有理数大小比较.

5、(2014•新疆,第1题5分)下表就是四个城市今年二月份某一天的平均气温:

城市吐鲁番乌鲁木齐喀什阿勒泰

气温(℃)﹣8 ﹣16 ﹣5 ﹣25

A. 阿勒泰

B. 喀什

C. 吐鲁番

D. 乌鲁木齐

【答案】A

【解析】

试题分析:根据正数大于0,0大于负数,可得答案.

试题解析:﹣25＜﹣16＜﹣8＜﹣5,

故选:A.

点评:本题考查了有理数比较大小,负数比较大小,绝对值大的数反而小.

考点:有理数大小比较

6、(2014·台湾,第11题3分)如图数轴上有A、B、C、D四点,根据图中各点的位置,判断那一点所表示的数与11﹣239最接近？( )

A.A

B.B

C.C

D.D

【答案】B

【解析】

试题分析:39,再求出11﹣39,根据数轴上点的位置得出即可.

解:∵62＝36＜39＜42、25＝6、52,

396、5,

∴12＜3913,

∴﹣12＞﹣3913,

∴﹣1＞11﹣392,